初中数学人教版九年级上册21.1 一元二次方程测试题

专题21.4  一元二次方程根与系数的关系【八大题型】

【人教版】

【知识点  一元二次方程的根与系数的关系】

如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.

注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.

【题型1  由根与系数的关系求代数式的值（直接）】

【例1】（2022•江安县模拟）若α、β是一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的两根，则的值是 　   　．

【变式1-1】（2021秋•密山市校级期末）若x1，x2是一元二次方程x2﹣7x+5＝0的两根，则（x1﹣1）（x2﹣1）的值为（　　）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2

【变式1-2】（2022•汉川市模拟）已知实数a、b满足|b+3|＝0，若关于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，则的值是（　　）

A． B． C．2 D．

【变式1-3】（2022春•琅琊区校级月考）若α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣5x﹣14＝0的两个根，则α﹣β的值为（　　）

A．﹣9 B．9 C．﹣9或9 D．﹣5或5

【题型2  由根与系数的关系求代数式的值（代换）】

【例2】（2022•乳山市模拟）若x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的两个根，则3x12﹣3x1+x22＝（　　）

A． B． C． D．

【变式2-1】（2022•牟平区一模）已知一元二次方程x2﹣2022x+1＝0的两个根分别为x1，x2，则x121的值为（　　）

A．﹣1 B．0 C．﹣2022 D．﹣2021

【变式2-2】（2022•东港区校级一模）若m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，则m2﹣6m﹣n+2022的值是（　　）

A．2016 B．2018 C．2020 D．2022

【变式2-3】（2022春•海门市期末）若m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则2m2+4n2﹣4n+2022的值为 　    　．

【题型3  由根与系数的关系求代数式的值（降次）】

【例3】（2022•呼和浩特）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x13﹣2022x1+x22的值是（　　）

A．4045 B．4044 C．2022 D．1

【变式3-1】（2022•硚口区模拟）已知a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两根，则代数式﹣a3+5a的值是（　　）

A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1

【变式3-2】（2022•松山区模拟）若m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m3﹣4n2+17的值为（　　）

A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4

【变式3-3】（2022春•汉阳区校级月考）已知m，n是方程x2﹣4x+2＝0的两根，则代数式2m3+5n24的值是（　　）

A．57 B．58 C．59 D．60

【题型4  由方程两根满足关系式求字母系数的值】

【例4】（2021秋•毕节市期末）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（　　）

A．﹣3或1 B．﹣1或3 C．﹣1 D．3

【变式4-1】（2021秋•黔西南州期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．且x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，则a的值为（　　）

A．﹣6 B．﹣1 C．1或﹣6 D．6或﹣1

【变式4-2】（2022春•仓山区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4kx+3k2＝0．

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若此方程的两个实数根x1，x2，满足x1﹣x2＝3，求k的值．

【变式4-3】（2022•内江）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且x12+2x2﹣1，则k的值为 　  　．

【题型5  构造一元二次方程求代数式的值】

【例5】（2022•鄞州区模拟）已知实数a≠b，且满足（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2，则的值为（　　）

A．23 B．﹣23 C．﹣2 D．﹣13

【变式5-1】（2021秋•鄞州区校级期末）已知实数α，β满足2α2+5α﹣2＝0，2β2﹣5β﹣2＝0，且αβ≠1，且的值为（　　）

A． B． C． D．

【变式5-2】（2022•周村区二模）已知a、b、m、n为互不相等的实数，且（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，则ab﹣mn的值为（　　）

A．4 B．1 C．﹣2 D．﹣1

【变式5-3】（2022春•杭州期中）若xy+x≠1，且5x2+300x+9＝0，9y2+318y+314＝0，则的值是 　　．

【题型6  已知方程根的情况判断另一个方程】

【例6】（2022•新华区校级一模）已知关于x的一元二次方程（p+1）x2+2qx+（p+1）＝0（其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论：

①1和一1都是方程x2+qx+p＝0的根

②0可能是方程x2+qx+p＝0的根

③﹣1可能是方程x2+qx+p＝0的根

④1一定不是方程x2+qx+p＝0的根

其中正确的是（　　）

A．①② B．③④ C．②③ D．①④

【变式6-1】（2022春•余杭区月考）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0，且ac≠0，a≠c．下列说法正确的是（　　）

A．若方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则方程cx2+bx+a＝0没有实数根 

B．若方程ax2+bx+c＝0的两根符号相同，则方程cx2+bx+a＝0的两根符号也相同 

C．若5是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则5也是方程cx2+bx+a＝0的一个根 

D．若方程ax2+bx+c＝0和方程cx2+bx+a＝0有一个相同的根，则这个根必是x＝1

【变式6-2】（2022春•仓山区校级期末）已知两个关于x的一元二次方程M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a＝0，其中ac≠0，a≠c．下列结论错误的是（　　）

A．若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根 

B．若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根 

C．若5是方程M的一个根，则是方程N的一个根 

D．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是x＝1

【变式6-3】（2022春•瑶海区校级期末）关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（　　）

A．p是正数，q是负数 B．（p﹣2）2+（q﹣2）2＜8 

C．q是正数，p是负数 D．（p﹣2）2+（q﹣2）2＞8

【题型7  根与系数关系中的新定义问题】

【例7】（2022秋•武侯区校级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1，x2，且满足数轴上x1，x2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有　    　．（填序号）

①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程；

②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x+1）（mx+n）＝0一定是关于2的等距方程；

③若方程ax2+bx+c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；

④当两根满足x1＝3x2，关于x的方程px2﹣x0是关于2的等距方程．

【变式7-1】（2021秋•金牛区期末）将两个关于x的一元二次方程整理成a（x+h）2+k＝0（a≠0，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）与方程（x+1）2﹣2＝0是“同源二次方程”，且方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个根为x1、x2，则b﹣2c＝　4　，ax1+x1x2+ax2的最大值是 　   　．

【变式7-2】（2021秋•章贡区期末）我们定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．

（1）请说明方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程；

（2）若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则m，n具有怎样的关系？

（3）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（b2﹣4ac≥0）是倍根方程，则a，b，c的等量关系是 　   　．（直接写出结果）

【变式7-3】（2022春•宜秀区校级月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：

（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：

①x2﹣4x﹣5＝0；

②2x2﹣2x+1＝0；

（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；

（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．

【题型8  由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】

【例8】（2021秋•锦江区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．

（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；

（2）若该方程有一个小于5的根，另一个根大于5，求m的取值范围；

【变式8-1】（2022春•临平区月考）已知一元二次方程mx2+nx﹣（m+n）＝0．

（1）试判断方程根的情况．

（2）若m＜0时方程的两根x1，x2满足x1•x2＞1，且n＝1，求m的取值范围．

【变式8-2】（2022秋•新都区校级月考）实数k取何值时，关于x的一元二次方程x2+（3k﹣1）x+3k﹣2＝0

（1）有两个负根？

（2）两根异号，且负根绝对值较大？

（3）一根大于5，一根小于5？

【变式8-3】（2022春•越秀区校级月考）设关于x的方程x2﹣5x﹣m2+1＝0的两个实数根分别为α、β．

（1）证明：无论实数m为何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）当|α|+|β|≤6时，试确定实数m的取值范围．