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人教版九年级上册24.1.1 圆随堂练习题
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这是一份人教版九年级上册24.1.1 圆随堂练习题，文件包含专题2410圆中的计算与证明的综合大题专项训练50道举一反三人教版原卷版docx、专题2410圆中的计算与证明的综合大题专项训练50道举一反三人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共79页， 欢迎下载使用。
专题24.10 圆中的计算与证明的综合大题专项训练（50道）
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共50题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了圆中的计算与证明的综合问题的所有类型！
一．解答题（共50小题）
1．（2022秋•柯桥区月考）如图，D是⊙O弦BC的中点，A是⊙O上的一点，OA与BC交于点E，已知AO＝8，BC＝12．
（1）求线段OD的长；
（2）当EO=2BE时，求DE的长．
2．（2022•市中区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．
3．（2022秋•岱岳区期末）已知⊙O的直径为10，点A、点B、点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC、BD、CD的长；
（2）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．
4．（2022•济宁）如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．
（1）求证：BD＝CD；
（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
5．（2022秋•辛集市期末）如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作CD∥AB交⊙O于点D，连接AD，延长CD至点F，使BF＝BC．
（1）求证：BF∥AD；
（2）如图2，当CD为直径，半径为1时，求弧BD，线段BF，线段DF所围成图形的面积．
6．（2022•凤翔县一模）如图，⊙O的直径为AB，点C在⊙O上，点D，E分别在AB，AC的延长线上，DE⊥AE，垂足为E，CD与⊙O相切于点C．
（1）求证：∠A＝∠CDE；
（2）若AB＝4，BD＝3，求CD的长．
7．（2022秋•湛江校级月考）已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．
（1）若PA＝6，求△PCD的周长．
（2）若∠P＝50°求∠DOC．
8．（2022秋•仪征市校级月考）如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．
（1）正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为 ；
（2）连接BE，BE是否为⊙O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由．
9．（2022•高唐县二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠BAO＝30°，AC＝8．过点O作OH⊥AB于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M．
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）点P是BD上的一个动点（点P不与点B，D重合），当PH+PM的值最小时，求PD的长度．
10．（2022•黔东南州模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过O点作OE⊥AC，垂足为E．
（1）求OE的长；
（2）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和弧CF围成的图形（阴影部分）的面积S．
11．（2022秋•如东县期末）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，∠DAB＝30°，AB＝43．
（1）求CD的长；
（2）求阴影部分的面积．
12．（2022秋•松滋市期末）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EO、FO，若DE＝43，∠DPA＝45°
（1）求⊙O的半径．
（2）若图中扇形OEF围成一个圆锥侧面，试求这个圆锥的底面圆的半径．
13．（2022•沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD．
14．（2022•本溪）如图，△ABC中，AB＝AC，点E是线段BC延长线上一点，ED⊥AB，垂足为D，ED交线段AC于点F，点O在线段EF上，⊙O经过C、E两点，交ED于点G．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠E＝30°，AD＝1，BD＝5，求⊙O的半径．
15．（2022•崇左）如图，正方形ABCD的边长为1，其中弧DE、弧EF、弧FG的圆心依次为点A、B、C．
（1）求点D沿三条弧运动到点G所经过的路线长；
（2）判断直线GB与DF的位置关系，并说明理由．
16．（2022•凉山州二模）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC＝20°，AD=CD，求：∠BCD的度数．
17．（2022•白云区一模）如图，⊙O的半径OA⊥OC，点D在AC上，且AD=2CD，OA＝4．
（1）∠COD＝ °；
（2）求弦AD的长；
（3）P是半径OC上一动点，连接AP、PD，请求出AP+PD的最小值，并说明理由．
（解答上面各题时，请按题意，自行补足图形）
18．（2022•西湖区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝6，AC＝8，求BE、CF的长．
19．（2022•武昌区校级自主招生）如图，已知⊙O的直径为10，点A、B、C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（1）图①，当BC为⊙O的直径时，求BD的长．
（2）图②，当BD＝5时，求∠CDB的度数．
20．（2022•东莞市校级模拟）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）当∠E＝∠F时，则∠ADC＝ °；
（2）当∠A＝55°，∠E＝30°时，求∠F的度数；
（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
21．（2022•鹿城区校级模拟）如图，△ABC中，AB＞AC，AE是其外接圆的切线，D为AB上的点，且AD＝AC＝AE．求证：直线DE过△ABC的内心．
22．（2022•鼓楼区校级模拟）如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．
（1）求图1中∠APN的度数是 ；图2中，∠APN的度数是 ，图3中∠APN的度数是 ．
（2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案） ．
23．（2022•温州一模）如图，在⊙O上依次有A、B、C三点，BO的延长线交⊙O于E，AE=CE，过点C作CD∥AB交BE的延长线于D，AD交⊙O于点F．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接OA、OF，若∠AOF＝3∠FOE，且AF＝3，求劣弧CF的长．
24．（2022•岳麓区校级一模）如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD．
（1）求证：AD＝AN；
（2）若AB＝42，ON＝1，求⊙O的半径．
25．（2022•普陀区模拟）如图，在⊙O中，AD、BC相交于点E，OE平分∠AEC．
（1）求证：AB＝CD；
（2）如果⊙O的半径为5，AD⊥CB，DE＝1，求AD的长．
26．（2022•乌鲁木齐一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD＝45°．
（1）若AB＝4，求弧CD的长；
（2）若弧BC＝弧AD，AD＝AP，求证：PD是⊙O的切线．
27．（2022•饶平县校级模拟）如图，⊙O中，弦CD与直径AB交于点H．
（1）当∠B+∠D＝90°时，求证：H是CD的中点；
（2）若H为CD的中点，且CD＝22，BD=3，求AB的长．
28．（2022•苏州模拟）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC＝4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=32CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ＝3x．
（1）用关于x的代数式表示BQ＝ ，DF＝ ．
（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．
（3）当点P在点A右侧时，作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长．
29．（2022•福建模拟）如图1，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点B作BE⊥AC，交⊙O于点D，垂足为E，连接AD．
（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；
（2）如图2，连接CD，点F在线段BD上，且DF＝2DC，G是BC的中点，连接FG，若FG＝2，CD＝22，求⊙O的半径．
30．（2022•苏州模拟）如图，已知点D是△ABC外接圆⊙O上的一点，AC⊥BD于G，连接AD，过点B作直线BF∥AD交AC于E，交⊙O于F，若点F是弧CD的中点，连接OG，OD，CD
（1）求证：∠DBF＝∠ACB；
（2）若AG=62GE，试探究∠GOD与∠ADC之间的数量关系，并证明．
31．（2022•莱芜）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC＝BC，D为⊙O中AB上一点，延长DA至点E，使CE＝CD．
（1）求证：AE＝BD；
（2）若AC⊥BC，求证：AD+BD=2CD．
32．（2022•三明）如图①，②，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，0），以点A为圆心，4为半径的圆与x轴交于O，B两点，OC为弦，∠AOC＝60°，P是x轴上的一动点，连接CP．
（1）求∠OAC的度数；
（2）如图①，当CP与⊙A相切时，求PO的长；
（3）如图②，当点P在直径OB上时，CP的延长线与⊙A相交于点Q，问PO为何值时，△OCQ是等腰三角形？
33．（2022•昆明）（1）如图（1），OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD交OC于点E．
求证：CD＝CE；
（2）若将图（2）中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F，交⊙O于B′，其他条件不变，那么上述结论CD＝CE还成立吗？为什么？
（3）若将图（3）中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF，点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变，那么上述结论CD＝CE还成立吗？为什么？
34．（2022•襄城区模拟）如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．
（1）求证：AD＝AN；
（2）若AB＝8，ON＝1，求⊙O的半径．
35．（2022•台州校级模拟）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面．
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
（3）在（2）的条件下，小明把一只宽12cm的方形小木船放在修好后的圆柱形水管里，已知船高出水面13cm，问此小船能顺利通过这个管道吗？
36．（2022•泰州模拟）如图，BC是⊙O的直径，弦AD⊥BC，垂足为H，已知AD＝8，OH＝3．
（1）求⊙O的半径；
（2）若E是弦AD上的一点，且∠EBA＝∠EAB，求线段BE的长．
37．（2022•河北）图1是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图2是车棚顶部截面的示意图，AB所在圆的圆心为O．车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积．（不考虑接缝等因素，计算结果保留π）
38．（2022•咸宁模拟）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．
（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE＝BE．请证明此结论；
（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，PA，PB组成⊙O的一条折弦．C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE＝PE+PB．可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立．请写出证明过程；
（3）如图3，PA．PB组成⊙O的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．
39．（2022•南开区一模）已知：如图1，在⊙O中，直径AB＝4，CD＝2，直线AD，BC相交于点E．
（1）∠E的度数为 ；
（2）如图2，AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；
（3）如图3，弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．
40．（2022•安徽一模）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论．
（2）证明：PA+PB＝PC．
41．（2022•和平区一模）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE，OD．
（Ⅰ）如图①，求∠ODE的大小；
（Ⅱ）如图②，连接OC交DE于点F，若OF＝CF，求∠A的大小．
42．（2022•和平区二模）已知AB是⊙O的直径，AB＝2，点C，点D在⊙O上，CD＝1，直线AD，BC交于点E．
（Ⅰ）如图1，若点E在⊙O外，求∠AEB的度数．
（Ⅱ）如图2，若点E在⊙O内，求∠AEB的度数．
43．（2022•南开区二模）如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB＝30°，点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．
（Ⅰ）如图1，当∠ACD＝45°时，请你判断DE与⊙O的位置关系并加以证明；
（Ⅱ）如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．
44．（2022•红桥区二模）已知⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，与CO的延长线于点P，CP与⊙O交于点D．
（1）如图①，若AP＝AC，求∠B的大小；
（2）如图②，若AP∥BC，∠P＝42°，求∠BAC的大小．
45．（2022秋•镇海区期末）如图，在△ABC中，D在边AC上，圆O为锐角△BCD的外接圆，连结CO并延长交AB于点E．
（1）若∠DBC＝α，请用含α的代数式表示∠DCE；
（2）如图2，作BF⊥AC，垂足为F，BF与CE交于点G，已知∠ABD＝∠CBF．
①求证：EB＝EG；
②若CE＝5，AC＝8，求FG+FB的值．
46．（2022秋•虹口区校级期末）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是AB上任一点（点P与点A、B重合），连接AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．
（1）求∠APC和∠BPC的度数；
（2）求证：△ACM≌△BCP；
（3）若PA＝1，PB＝2，求四边形PBCM的面积；
（4）在（3）的条件下，求AB的长度．
47．（2022秋•赣榆区期中）铁匠王老五要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）请你帮助他算一算．
（1）请说明方案一不可行的理由；
（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长l及其底面圆半径r；若不可行，请说明理由．
48．（2022•浙江校级自主招生）如图，已知圆O的圆心为O，半径为3，点M为圆O内的一个定点，OM=5，AB、CD是圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M．
（1）当AB＝4时，求四边形ADBC的面积；
（2）当AB变化时，求四边形ADBC的面积的最大值．
49．（2022•浙江校级自主招生）如图，O为等边△ABC 的外接圆，半径为2，点D在劣弧AB上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC．若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的 位置，△DMN 的周长有最小值t，随着点D的运动，t 的值会发生变化，求所有t值中的最大值．
50．（2022•枣庄校级模拟）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且AC＝CF，∠CBF＝∠CFB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD＝5时，求BF的长和扇形DOE的面积；
（3）填空：在（2）的条件下，如果以点C为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为5，则r的取值范围为 ．
专题24.10 圆中的计算与证明的综合大题专项训练（50道）
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共50题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了圆中的计算与证明的综合问题的所有类型！
一．解答题（共50小题）
1．（2022秋•柯桥区月考）如图，D是⊙O弦BC的中点，A是⊙O上的一点，OA与BC交于点E，已知AO＝8，BC＝12．
（1）求线段OD的长；
（2）当EO=2BE时，求DE的长．
2．（2022•市中区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．
3．（2022秋•岱岳区期末）已知⊙O的直径为10，点A、点B、点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC、BD、CD的长；
（2）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．
4．（2022•济宁）如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．
（1）求证：BD＝CD；
（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
5．（2022秋•辛集市期末）如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作CD∥AB交⊙O于点D，连接AD，延长CD至点F，使BF＝BC．
（1）求证：BF∥AD；
（2）如图2，当CD为直径，半径为1时，求弧BD，线段BF，线段DF所围成图形的面积．
6．（2022•凤翔县一模）如图，⊙O的直径为AB，点C在⊙O上，点D，E分别在AB，AC的延长线上，DE⊥AE，垂足为E，CD与⊙O相切于点C．
（1）求证：∠A＝∠CDE；
（2）若AB＝4，BD＝3，求CD的长．
7．（2022秋•湛江校级月考）已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．
（1）若PA＝6，求△PCD的周长．
（2）若∠P＝50°求∠DOC．
8．（2022秋•仪征市校级月考）如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．
（1）正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为 ；
（2）连接BE，BE是否为⊙O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由．
9．（2022•高唐县二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠BAO＝30°，AC＝8．过点O作OH⊥AB于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M．
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）点P是BD上的一个动点（点P不与点B，D重合），当PH+PM的值最小时，求PD的长度．
10．（2022•黔东南州模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过O点作OE⊥AC，垂足为E．
（1）求OE的长；
（2）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和弧CF围成的图形（阴影部分）的面积S．
11．（2022秋•如东县期末）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，∠DAB＝30°，AB＝43．
（1）求CD的长；
（2）求阴影部分的面积．
12．（2022秋•松滋市期末）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EO、FO，若DE＝43，∠DPA＝45°
（1）求⊙O的半径．
（2）若图中扇形OEF围成一个圆锥侧面，试求这个圆锥的底面圆的半径．
13．（2022•沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD．
14．（2022•本溪）如图，△ABC中，AB＝AC，点E是线段BC延长线上一点，ED⊥AB，垂足为D，ED交线段AC于点F，点O在线段EF上，⊙O经过C、E两点，交ED于点G．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠E＝30°，AD＝1，BD＝5，求⊙O的半径．
15．（2022•崇左）如图，正方形ABCD的边长为1，其中弧DE、弧EF、弧FG的圆心依次为点A、B、C．
（1）求点D沿三条弧运动到点G所经过的路线长；
（2）判断直线GB与DF的位置关系，并说明理由．
16．（2022•凉山州二模）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC＝20°，AD=CD，求：∠BCD的度数．
17．（2022•白云区一模）如图，⊙O的半径OA⊥OC，点D在AC上，且AD=2CD，OA＝4．
（1）∠COD＝ °；
（2）求弦AD的长；
（3）P是半径OC上一动点，连接AP、PD，请求出AP+PD的最小值，并说明理由．
（解答上面各题时，请按题意，自行补足图形）
18．（2022•西湖区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝6，AC＝8，求BE、CF的长．
19．（2022•武昌区校级自主招生）如图，已知⊙O的直径为10，点A、B、C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（1）图①，当BC为⊙O的直径时，求BD的长．
（2）图②，当BD＝5时，求∠CDB的度数．
20．（2022•东莞市校级模拟）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）当∠E＝∠F时，则∠ADC＝ °；
（2）当∠A＝55°，∠E＝30°时，求∠F的度数；
（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
21．（2022•鹿城区校级模拟）如图，△ABC中，AB＞AC，AE是其外接圆的切线，D为AB上的点，且AD＝AC＝AE．求证：直线DE过△ABC的内心．
22．（2022•鼓楼区校级模拟）如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．
（1）求图1中∠APN的度数是 ；图2中，∠APN的度数是 ，图3中∠APN的度数是 ．
（2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案） ．
23．（2022•温州一模）如图，在⊙O上依次有A、B、C三点，BO的延长线交⊙O于E，AE=CE，过点C作CD∥AB交BE的延长线于D，AD交⊙O于点F．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接OA、OF，若∠AOF＝3∠FOE，且AF＝3，求劣弧CF的长．
24．（2022•岳麓区校级一模）如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD．
（1）求证：AD＝AN；
（2）若AB＝42，ON＝1，求⊙O的半径．
25．（2022•普陀区模拟）如图，在⊙O中，AD、BC相交于点E，OE平分∠AEC．
（1）求证：AB＝CD；
（2）如果⊙O的半径为5，AD⊥CB，DE＝1，求AD的长．
26．（2022•乌鲁木齐一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD＝45°．
（1）若AB＝4，求弧CD的长；
（2）若弧BC＝弧AD，AD＝AP，求证：PD是⊙O的切线．
27．（2022•饶平县校级模拟）如图，⊙O中，弦CD与直径AB交于点H．
（1）当∠B+∠D＝90°时，求证：H是CD的中点；
（2）若H为CD的中点，且CD＝22，BD=3，求AB的长．
28．（2022•苏州模拟）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC＝4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=32CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ＝3x．
（1）用关于x的代数式表示BQ＝ ，DF＝ ．
（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．
（3）当点P在点A右侧时，作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长．
29．（2022•福建模拟）如图1，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点B作BE⊥AC，交⊙O于点D，垂足为E，连接AD．
（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；
（2）如图2，连接CD，点F在线段BD上，且DF＝2DC，G是BC的中点，连接FG，若FG＝2，CD＝22，求⊙O的半径．
30．（2022•苏州模拟）如图，已知点D是△ABC外接圆⊙O上的一点，AC⊥BD于G，连接AD，过点B作直线BF∥AD交AC于E，交⊙O于F，若点F是弧CD的中点，连接OG，OD，CD
（1）求证：∠DBF＝∠ACB；
（2）若AG=62GE，试探究∠GOD与∠ADC之间的数量关系，并证明．
31．（2022•莱芜）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC＝BC，D为⊙O中AB上一点，延长DA至点E，使CE＝CD．
（1）求证：AE＝BD；
（2）若AC⊥BC，求证：AD+BD=2CD．
32．（2022•三明）如图①，②，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，0），以点A为圆心，4为半径的圆与x轴交于O，B两点，OC为弦，∠AOC＝60°，P是x轴上的一动点，连接CP．
（1）求∠OAC的度数；
（2）如图①，当CP与⊙A相切时，求PO的长；
（3）如图②，当点P在直径OB上时，CP的延长线与⊙A相交于点Q，问PO为何值时，△OCQ是等腰三角形？
33．（2022•昆明）（1）如图（1），OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD交OC于点E．
求证：CD＝CE；
（2）若将图（2）中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F，交⊙O于B′，其他条件不变，那么上述结论CD＝CE还成立吗？为什么？
（3）若将图（3）中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF，点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变，那么上述结论CD＝CE还成立吗？为什么？
34．（2022•襄城区模拟）如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．
（1）求证：AD＝AN；
（2）若AB＝8，ON＝1，求⊙O的半径．
35．（2022•台州校级模拟）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面．
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
（3）在（2）的条件下，小明把一只宽12cm的方形小木船放在修好后的圆柱形水管里，已知船高出水面13cm，问此小船能顺利通过这个管道吗？
36．（2022•泰州模拟）如图，BC是⊙O的直径，弦AD⊥BC，垂足为H，已知AD＝8，OH＝3．
（1）求⊙O的半径；
（2）若E是弦AD上的一点，且∠EBA＝∠EAB，求线段BE的长．
37．（2022•河北）图1是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图2是车棚顶部截面的示意图，AB所在圆的圆心为O．车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积．（不考虑接缝等因素，计算结果保留π）
38．（2022•咸宁模拟）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．
（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE＝BE．请证明此结论；
（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，PA，PB组成⊙O的一条折弦．C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE＝PE+PB．可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立．请写出证明过程；
（3）如图3，PA．PB组成⊙O的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．
39．（2022•南开区一模）已知：如图1，在⊙O中，直径AB＝4，CD＝2，直线AD，BC相交于点E．
（1）∠E的度数为 ；
（2）如图2，AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；
（3）如图3，弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．
40．（2022•安徽一模）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论．
（2）证明：PA+PB＝PC．
41．（2022•和平区一模）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE，OD．
（Ⅰ）如图①，求∠ODE的大小；
（Ⅱ）如图②，连接OC交DE于点F，若OF＝CF，求∠A的大小．
42．（2022•和平区二模）已知AB是⊙O的直径，AB＝2，点C，点D在⊙O上，CD＝1，直线AD，BC交于点E．
（Ⅰ）如图1，若点E在⊙O外，求∠AEB的度数．
（Ⅱ）如图2，若点E在⊙O内，求∠AEB的度数．
43．（2022•南开区二模）如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB＝30°，点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．
（Ⅰ）如图1，当∠ACD＝45°时，请你判断DE与⊙O的位置关系并加以证明；
（Ⅱ）如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．
44．（2022•红桥区二模）已知⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，与CO的延长线于点P，CP与⊙O交于点D．
（1）如图①，若AP＝AC，求∠B的大小；
（2）如图②，若AP∥BC，∠P＝42°，求∠BAC的大小．
45．（2022秋•镇海区期末）如图，在△ABC中，D在边AC上，圆O为锐角△BCD的外接圆，连结CO并延长交AB于点E．
（1）若∠DBC＝α，请用含α的代数式表示∠DCE；
（2）如图2，作BF⊥AC，垂足为F，BF与CE交于点G，已知∠ABD＝∠CBF．
①求证：EB＝EG；
②若CE＝5，AC＝8，求FG+FB的值．
46．（2022秋•虹口区校级期末）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是AB上任一点（点P与点A、B重合），连接AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．
（1）求∠APC和∠BPC的度数；
（2）求证：△ACM≌△BCP；
（3）若PA＝1，PB＝2，求四边形PBCM的面积；
（4）在（3）的条件下，求AB的长度．
47．（2022秋•赣榆区期中）铁匠王老五要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）请你帮助他算一算．
（1）请说明方案一不可行的理由；
（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长l及其底面圆半径r；若不可行，请说明理由．
48．（2022•浙江校级自主招生）如图，已知圆O的圆心为O，半径为3，点M为圆O内的一个定点，OM=5，AB、CD是圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M．
（1）当AB＝4时，求四边形ADBC的面积；
（2）当AB变化时，求四边形ADBC的面积的最大值．
49．（2022•浙江校级自主招生）如图，O为等边△ABC 的外接圆，半径为2，点D在劣弧AB上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC．若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的 位置，△DMN 的周长有最小值t，随着点D的运动，t 的值会发生变化，求所有t值中的最大值．
50．（2022•枣庄校级模拟）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且AC＝CF，∠CBF＝∠CFB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD＝5时，求BF的长和扇形DOE的面积；
（3）填空：在（2）的条件下，如果以点C为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为5，则r的取值范围为 ．
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