专题03 一元二次方程的根与系数的关系压轴题四种模型全攻略-《常考压轴题》2022-2023学年九年级数学上册压轴题攻略（苏科版）

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专题03 一元二次方程的根与系数的关系压轴题四种模型全攻略

考点一 已知一元二次方程的一个解，根据根与系数的关系求另一个解
考点二 根据一元二次方程的根与系数的关系求代数式的值
考点三 根据一元二次方程的根与系数的关系求参数问题
考点四 一元二次方程根的判别式与根与系数的综合问题

典型例题


考点一 已知一元二次方程的一个解，根据根与系数的关系求另一个解
例题：（2022·陕西·西安铁一中分校三模）若关于x的方程有一个根是2，则另一个根是（       ）
A．6 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由根和系数的关系即可求得方程的另一个根．
【详解】
解：设另一个根为m，由根和系数的关系有：
解得
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程根和系数的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏南京·二模）关于x的方程x2+bx−2=0有一个根是1，则方程的另一个根是______．
【答案】-2
【解析】
【分析】
设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得到1×t=-2，然后解一次方程即可．
【详解】
解：设方程的另一个根为t，
根据题意得1×t=-2，解得t=-2．
故答案为：-2．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．
2．（2022·四川成都·二模）已知关于x的方程x2+3x+m＝0的一个根是1，则此方程的另一个根为 _____．
【答案】-4
【解析】
【分析】
设该方程的两根为x1，x2，根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和，结合“已知关于x的方程x2+3x+m＝0的一个根是1”，即可得到答案．
【详解】
设该方程的两根为x1，x2，
则x1+x2＝﹣3，
∵该方程的一个根为1，
∴另一个根为：﹣3﹣1＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．

考点二 根据一元二次方程的根与系数的关系求代数式的值
例题：（2022·江西南昌·二模）若一元二次方程的两个实数根为a，b，则的值为_______．
【答案】5
【解析】
【分析】
先根据根与系数的关系得到然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：根据题意得

故答案为：
【点睛】
本题考查了根与系数的关系．解题的关键在于熟练掌握根与系数的关系，若是一元二次方程的两根时，则
【变式训练】
1．（2022·贵州六盘水·九年级期末）若a，b是关于x的方程的两个实数根，则___．
【答案】2020
【解析】
【分析】
由a，b是关于x的方程的两个实数根得，，，再整理代数式即可求得答案．
【详解】
解： a，b是的两个实数根，
，a+b=2,
即，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出，是解题的关键．
2．（2022·江西赣州·九年级期中）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值是______
【答案】-5
【解析】
【分析】
先根据一元二次方程的解的定义得到m2+2m+1=0，则m2+2m=-1，根据根与系数的关系得出m+n=-2，再将其代入整理后的代数式计算即可．
【详解】
解：∵m是一元二次方程x2+2x+1=0的根，
∴m2+2m+1=0，
∴m2+2m=-1，
∵m、n是一元二次方程x2+2x+1=0的两个根，
∴m+n=-2，
∴m2+4m+2n=m2+2m+2m+2n=-1+2×（-2）=-5．
故答案为：-5．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．
考点三 根据一元二次方程的根与系数的关系求参数问题
例题：（2022·江苏南京·模拟预测）已知关于x的方程x2+2（m﹣1）x﹣4m＝0的两个实数根是x1，x2，且x1+x2＝4，则m的值为__．
【答案】-1
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣2（m﹣1）＝4，再解方程即可．
【详解】
解：∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x﹣4m＝0的两个实数根是x1和x2，且x1+x2＝4，
∴由根与系数的关系得：x1+x2＝﹣2（m﹣1）＝4，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．
【变式训练】
1．（2022·四川泸州·中考真题）已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（       ）
A． B． C．或3 D．或3
【答案】A
【解析】
【分析】
利用根与系数的关系以及求解即可．
【详解】
解：由题意可知：，且
∵，
∴，解得：或，
∵，即，
∴，
故选：A
【点睛】
本题考查根与系数的关系以及根据方程根的情况确定参数范围，解题的关键是求出，再利用根与系数的关系求出或（舍去）．
2．（2022·四川泸州·二模）已知是关于x的一元二次方程两个实数根，且，则a＝______．
【答案】2
【解析】
【分析】
先根据一元二次方程根的判别式可得，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得，然后根据建立方程，解方程即可得．
【详解】
解：由题意，此方程根的判别式，
解得，
是关于的一元二次方程两个实数根，
，
，
，
，
解得或（舍去），
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．

考点四 一元二次方程根的判别式与根与系数的综合问题
例题：（2022年四川省南充市中考数学试卷）已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
【答案】(1)k；
(2)k=3
【解析】
【分析】
根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）0，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值．
(1)
解：∵一元二次方程有实数根．
∴∆0，即32-4（k-2）0，
解得k
(2)
∵方程的两个实数根分别为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得k=3．
【点睛】
此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·湖南·双牌县教育研究室模拟预测）已知关于的一元二次方程有，两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若，求及的值；
(3)是否存在实数，满足？若存在，求出实数的值？若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)；
(3)存在；或
【解析】
【分析】
（1）根据方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，求出m的范围即可；
（2）利用根与系数的关系求出两根之和，把x1的值代入计算求出x2，进而求出m的值即可；
（3）利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入已知等式计算，判断即可．
(1)
解：∵关于的一元二次方程有，两个实数根，
∴，
解得；
(2)
解：∵，，，
∴，
∴，
解得；
(3)
解：存在，理由如下：∵，，，
∴，
∴，
整理得，
∵，
∴，
解得，．
【点睛】
此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及根的判别式意义是解本题的关键．
2．（2022·湖北荆门·一模）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
【答案】(1)见解析；
(2)，
【解析】
【分析】
（1）利用一元二次方程根的判别式判断即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方公式的变形求值即可．
(1)
解：∵一元二次方程，
，


∴无论为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
(2)
解：依题意得，，，
∵，∴，
∴，即，
（3a+1）（a-1）=0，
解得，；
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，．








课后训练


一、选择题
1．（2022·甘肃庆阳·二模）若关于x的一元二次方程的一个根为x＝－1，则这个方程的另一根为（       ）
A．x＝3 B．x＝－3 C．x＝2 D．x＝－2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据韦达定理即可得出答案．
【详解】
解：根据韦达定理有，
即－x2＝－3，
解得x2＝3．
故选A．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），熟练掌握此知识点是解题的关键．
2．（2022·全国·九年级期末）已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，则a2+b2的值为（　　）
A．36 B．50 C．28 D．25
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，a、b可看作方程x2﹣6x+4＝0的两根，则根据根与系数的关系得到a+b＝6，ab＝4，然后把原式变形得到原式＝再利用整体代入的方法计算即可．
【详解】
解：∵a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，
∴a，b可看作方程x2﹣6x+4＝0的两根，
∴a+b＝6，ab＝4，
∴a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝62﹣2×4
＝28，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
3．（2022·山东·临沂市河东区教育科学研究与发展中心二模）关于的方程有两个实数根，，且，则的值为（       ）
A．1 B．5 C．0或5 D．1或5
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据一元二次方程根的判别式求出的取值范围，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得和的值，然后代入计算即可得．
【详解】
解：关于的方程有两个实数根，，
方程根的判别式，，
解得，
当时，方程为，解得，不符题意，
则，
，
，
解得或（舍去），
经检验，是所列分式方程的解，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
4．（2022·山东烟台·一模）已知一元二次方程的两个根分别为，则的值为（       ）
A． B．0 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系可得，，再代入通分计算即可求解．
【详解】
∵方程的两根分别为、，
∴，，
∴，
∴=
=
=
=


故选：B．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系，熟练运用一元二次方程解的定义及根与系数的关系是解决问题的关键．
二、填空题
5．（2022·江西南昌·模拟预测）已知方程的两根分别是，，则的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由根与系数的关系，即可求出答案．
【详解】
解：∵方程的两根分别是，，
∴；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握．
6．（2022·江苏南京·二模）设x1、x2是方程x2−mx=0的两个根，且x1+x2=−3，则m的值是______．
【答案】-3
【解析】
【分析】
由根与系数的关系可得x1+x2=m，结合x1+x2=-3可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：∵x1、x2是方程x2−mx=0的两个根，
∴x1+x2=m．
∵x1+x2=-3，
∴m=-3．
故答案为：-3．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．
7．（2022·江西九江·三模）已知，是一元二次方程的两根，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根的定义可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，代入即可求解．
【详解】
解：∵，是一元二次方程的两根，
∴，，
则．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，若是一元二次方程的两根，，．
8．（2022·江西吉安·一模）已知，是关于的一元二次方程的两个根，若，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
由根与系数的关系可得m+n=3，mn=a，左边分解因式后即可求得a的值．
【详解】
∵，是关于的一元二次方程的两个根，
∴m+n=3，mn=a，
∵，
∴，
即，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，因式分解，解一元一次方程等知识，一元二次方程根与系数的关系是本题的关键．
三、解答题
9．（2022·山东淄博·二模）已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)当时，方程的两根为，，求的值．
【答案】(1)
(2)5
【解析】
【分析】
（1）一元二次方程有实数根，即根的判别式；
（2）由一元二次方程根与系数的关系解答．
(1)
解：根据题意，可知，
∴，
∴；
(2)
当时，原方程变为，
∵x1，x2是方程的两个实数根，
∴，，，，
∴原式


．




【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
10．（2022·河南濮阳·八年级期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若此方程的两实数根满足，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则，由此求得的取值范围；
（2）由得，利用一元二次方程根与系数的关系进行求解．
(1)
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得．
(2)
解：根据题意得，，．
，
，
即，
解得或，
又，
．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握两根之和与两根之积的表达式是解决本题的关键．
11．（2022·河南濮阳·八年级期中）已知的两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根.
(1)当时，求的周长；
(2)当为何值时，是菱形？求此时菱形的边长.
【答案】(1)7
(2)当时，是菱形菱形的边长为
【解析】
【分析】
（1）代入x=可求出a值，将a值代入原方程，利用根与系数的关系可求出AB+AD的长，再利用平行四边形的周长=相邻两边之和×2，即可求出结论．
（2）根据菱形的性质可知AB=AD，利用根的判别式Δ=0可求出a值，将a=1代入原方程，解之可得出此时菱形的边长；
(1)
将x=3代入原方程得：
解得：
原方程为

的周长为
(2)
（1）当AB=AD时，平行四边形ABCD是菱形，
∴Δ=（-4a）2-4×4×（2a-1）=0，
∴a1=a2=1．
将a=1代入原方程得：4x2-4x+1=0，
即（2x-1）2=0，
∴x1=x2=，
∴此时菱形的边长为．
当时，是菱形菱形的边长为．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、根的判别式、解一元二次方程、根与系数的关系以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）利用根的判别式Δ=0，找出关于a的方程；（2）利用根与系数的关系，求出平行四边形相邻两边之和．
12．（2022·全国·九年级单元测试）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-4mx+4m2-9＝0的两实数根．
(1)若这个方程有一个根为-1，求m的值；
(2)若这个方程的一个根大于-1，另一个根小于-1，求m的取值范围；
(3)已知Rt△ABC的一边长为7，x1，x2恰好是此三角形的另外两边的边长，求m的值．
【答案】(1)m的值为1或-2
(2)-2＜m＜1
(3)m＝或m＝
【解析】
【分析】
（1）把x=-1代入方程，列出m的一元二次方程，求出m的值；
（2）首先用m表示出方程的两根，然后列出m的不等式组，求出m的取值范围；
（3）首先用m表示出方程的两根，分直角△ABC的斜边长为7或2m+3,根据勾股定理求出m的值.
(1)
解：∵x1，x2是一元二次方程x2-4mx+4m2-9＝0的两实数根，这个方程有一个根为-1，
∴将x＝-1代入方程x2-4mx+4m2-9＝0，得1+4m+4m2-9＝0．
解得m＝1或m＝-2．
∴m的值为1或-2．
(2)
解：∵x2-4mx+4m2＝9，
∴(x-2m)2＝9，即x-2m＝±3．
∴x1＝2m+3，x2＝2m-3．
∵2m+3＞2m-3，
∴
解得-2＜m＜1．
∴m的取值范围是-2＜m＜1．
(3)
解：由(2)可知方程x2-4mx+4m2-9＝0的两根分别为2m+3，2m-3．
若Rt△ABC的斜边长为7，
则有49＝(2m+3)2+(2m-3)2．
解得m＝±．
∵边长必须是正数，
∴m＝．
若斜边为2m+3，则(2m+3)2＝(2m-3)2+72．
解得m＝．
综上所述，m＝或m＝．
【点睛】
本题主要考查了根的判别式与根与系数的关系的知识，解答本题的关键是熟练掌握根与系数关系以及根的判别式的知识，此题难度一般.