专题01 二次函数的定义压轴题四种模型全攻略-《常考压轴题》2022-2023学年九年级数学下册压轴题攻略（苏科版）

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专题01 二次函数的定义压轴题四种模型全攻略

考点一 二次函数的识别 考点二 二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项
考点三 根据二次函数的定义求参数 考点四 列二次函数关系式
典型例题


考点一 二次函数的识别
例题：（2022·江苏·盐城市初级中学一模）下列函数中为二次函数的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用二次函数的定义进而分析得出答案．
【详解】
解：A、，是一次函数，故此选项不符合题意；
B、，是二次函数，故此选项符合题意；
C、，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D、，未知数的最高次为3，不是二次函数，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义；熟练掌握二次函数解析式的一般形式()，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2020·陕西·西安市大明宫中学三模）观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中二次函数有（       ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义判断即可．
【详解】
①是二次函数；
②是二次函数；
③是二次函数；
④不是二次函数；
⑤不是二次函数；
⑥不是二次函数；
这六个式子中二次函数有①②③
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的定义，即一般地，形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数．
2．（2022·全国·九年级课时练习）下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是____________．
【答案】②④##④②
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断．
【详解】
解：①y=5x-5为一次函数；
②y=3x2-1为二次函数；
③y=4x3-3x2自变量次数为3，不是二次函数；
④y=2x2-2x+1为二次函数；
⑤y=函数式为分式，不是二次函数．
故答案为②④．
【点睛】
本题考查二次函数的定义，熟记定义“函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0”是解题关键．

考点二 二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项
例题：（2022·福建省福州外国语学校八年级期末）二次函数的一次项系数是（       ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项作答．
【详解】
解：二次函数y=x2－2x+3的一次项系数是－2；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级）设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（       ）
A．a＝﹣1，b＝3，c＝0 B．a＝﹣1，b＝0，c＝3
C．a＝﹣1，b＝3，c＝3 D．a＝1，b＝0，c＝3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的一般形式可得答案．
【详解】
解：二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数是a＝﹣1，一次项系数是b＝0，常数项是c＝3；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的一般形式，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．
2．（2022·全国·九年级）已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝___，一次项系数b＝___，常数项c＝___．
【答案】     3     -5     1
【解析】
【分析】
形如：这样的函数是二次函数，其中二次项系数为 一次项系数为 常数项为 根据定义逐一作答即可．
【详解】
解：二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣5，常数项c＝1，
故答案为：3，﹣5，1．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键．

考点三 根据二次函数的定义求参数
例题：（2022·全国·九年级课时练习）已知y＝+2x﹣3是二次函数式，则m的值为 _____．
【答案】-1
【解析】
【分析】
若y＝+2x﹣3是二次函数式，则二次项系数不等于零，可得答案；
【详解】
解：由题意得：，
解得：m=-1，
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义，理解二次函数的定义是解题关键．
【变式训练】
1．（2021·黑龙江·塔河县第一中学校九年级期中）已知是关于的二次函数，那么的值____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义，中，未知数x的指数为2，系数不为0，列式计算即可．
【详解】
解：∵是关于的二次函数，
∴且，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是二次函数的定义，熟练掌握形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键．
2．（2021·广东广州·九年级期中）关于的函数是二次函数，则的值为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，求出m的值即可解决问题．
【详解】
解：∵是关于x的二次函数，
∴m2-m=2，m+1≠0，
解得：m=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的定义及解一元二次方程；牢固掌握定义和方程的解法是解题的关键．

考点四 列二次函数关系式
例题：（2022·上海市青浦区教育局二模）为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为，第一季度的总产值为（亿元），则关于的函数解析式为________________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意分别求得每个月的产值，然后相加即可求解．
【详解】
解：∵某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为，
∴二月份的为
三月份的为
第一季度的总产值为（亿元），则
故答案为：
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·山东滨州·九年级期中）某商店从厂家以每件元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售价为元，则可卖出件，那么卖出商品所赚钱元与售价元之间的函数关系为________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意分析出每件商品的盈利为：元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化简即可.
【详解】
解：由题意得：每件商品的盈利为：元，
所以：


故答案为：
【点睛】
本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键.
2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在长方形中，，，点，从点出发，点沿线段运动，点沿线段运动（其中一点停止运动，另一点也随之停止运动）．若设，阴影部分的面积为，则与之间的关系式为______．

【答案】y=-+48
【解析】
【分析】
先求出，进而即可得到答案．
【详解】
由题意得：，
∴阴影部分的面积=6×8-，即：y=-+48．
故答案是：y=-+48．
【点睛】
本题主要考查列二次函数解析式，解题的关键是掌握割补法求面积．










课后训练


一、选择题
1．（2022·吉林·安图县第三中学九年级阶段练习）下列函数中是二次函数的是（　　）
A．y=2x+1 B． C．y=- D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义进行判断．
【详解】解：A、该函数是一次函数，不是二次函数，故本选项错误；
B、该函数是二次函数，故本选项正确；
C、该函数是反比例函数，故本选项错误；
D、该函数是三次函数，故本选项错误；
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的定义．熟知一般地，形如（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解答此题的关键．
2．（2020·北京房山·九年级期中）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ）
A．1，4，3 B．0，4，3 C．1，-4，3 D．0，-4，3
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如的函数，叫做二次函数．其中x，y是变量，是常量， a是二次项系数， b是一次项系数， c是常数项作答．
【详解】解：解:二次函数的二次项系数是1，一次项系数是，常数项是3．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数， 一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．
3．（2022·江苏·九年级专题练习）一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（    ）
A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2
【答案】D
【分析】根据两年后机器价值＝机器原价值×（1﹣折旧百分比）2可得函数解析式．
【详解】解：根据题意知y＝100（1﹣x）2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图像要根据自变量的取值范围来确定．
4．（2021·河北·唐山市第九中学九年级阶段练习）若函数是关于x的二次函数，则m的取值为（    ）
A． B．2 C．3 D．或2
【答案】D
【分析】根据二次函数的定义，必须二次项系数不等于0，且未知数的次数等于2，据此列不等式组并求解即可．
【详解】解：由二次函数的定义可知，当时，该函数是二次函数，
∴m=-3或m=2，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，明确二次函数的定义并正确列式，是解题的关键．
5．（2022·江苏·九年级专题练习）如图所示，在中，，且，设直线截此三角形所得的阴影部分的面积为，则与之间的函数关系式为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】中，，且，可得；再由平行线的性质得出，即，进而证明，最后根据三角形的面积公式，求出与之间的函数关系式．
【详解】解：如图所示，
∵中，，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
即：．
故选：B．

【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法，考查了等腰直角三角形的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形的面积等知识点．解题的关键是能够找到题目中的有关面积的等量关系．
二、填空题
6．（2021·全国·九年级课前预习）把y＝（2－3x）（6＋x）变成y＝ax²＋bx＋c的形式，二次项为____，一次项系数为______，常数项为______．
【答案】          －16     12
【解析】略
7．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，BD＝1，设BC＝x，AD＝y，当x＞时，y关于x的函数解析式为 _____．

【答案】
【分析】由BD=1，AD=y，可得AB=AC=y+1，在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=2y+1，在Rt△BCD中，CD2=BC2-BD2=x2-1，即得2y+1=x2-1，可得答案．
【详解】解：∵BD=1，AD=y，
∴AB=y+1，
∵AB=AC，
∴AC=y+1，
在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=（y+1）2-y2=2y+1，
在Rt△BCD中，CD2=BC2-BD2=x2-12=x2-1，
∴2y+1=x2-1，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是将CD2作等量，列出y与x的关系式．
8．（2021·重庆·垫江第八中学校九年级阶段练习）若函数y＝（a＋1）x|a|＋1是二次函数，则a的值是　______ ．
【答案】１
【分析】根据二次函数的定义，列出关于a的方程和不等式，即可求解．
【详解】根据二次函数的定义可得：，解得：a=1．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查二次函数的定义，掌握二次函数的最高次项的次数为2，二次项系数不等于零，是解题的关键．
9．（2021·山东·泰安市泰山区大津口中学九年级阶段练习）已知是二次函数，则的值为___________．
【答案】-1
【分析】根据二次函数的定义，即可求解．
【详解】解：∵是二次函数，
∴且，
解得：．
故答案为：-1
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数是解题的关键．
10．（2021·全国·九年级专题练习）下列函数一定是二次函数的是__________．
①；②；③；④；⑤y=(x-3)2-x2
【答案】③
【分析】根据二次函数的定义： 一般地,把形如y=ax²+bx+c(a≠0)(a、b、c是常数)的函数叫做二次函数，据此判断即可．
【详解】解：①，必须满足a≠0才为二次函数，故①不一定是二次函数；
②等号右边为分式，故②不是二次函数；
③是二次函数，故③是二次函数；
④，时，该式不是二次函数；
⑤，该式不是二次函数；
故答案为：③．
【点睛】本题考查了二次函数的识别，熟知二次函数的定义是解本题的关键．
三、解答题
11．（2022·全国·九年级专题练习）下列函数中，哪些是二次函数？
（1）y＝3x—1；
（2） ；
（3）  ；
（4） ；
（5） ；
（6）
【答案】（2）（4）是二次函数
【分析】根据二次函数的定义，即可求解．
【详解】解∶（1）不是二次函数，因为自变量的最高次数是1．
（2）是二次函数，因为符合二次函数的概念．
（3）不是二次函数，因为自变量的最高次数是3．
（4）是二次函数，因为符合二次函数的概念．
（5）不是二次函数，因为原式整理后为y=－x．
（6）不是二次函数，因为x－2为分式，不是整式．
故（2）（4）是二次函数．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如（其中a、b、c均为常数，且）的函数关系称为二次函数是解题的关键．
12．（2022·全国·九年级课时练习）已知函数y=（a+1） +（a﹣2）x（a为常数），求a的值：
(1)函数为二次函数；
(2)函数为一次函数．
【答案】(1)a=1
(2)a=0或﹣1
【分析】（1）直接利用二次函数的定义得出a2+1=2，a+1≠0得出即可；
（2）利用一次函数的定义分别求出即可．
(1)
当 时，函数为二次函数，
解得：a=±1，a≠-1，
∴a=1；
(2)
当 时，函数为一次函数，
解得：a=0，
当a+1=0，即a=﹣1时，函数为一次函数，
所以，当函数为二次函数时，a=1，当函数为一次函数时，a=0或﹣1．
【点睛】此题主要考查了二次函数与一次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
13．（2022·全国·九年级课时练习）一个二次函数．
（1）求k的值．
（2）求当x=3时，y的值？
【答案】（1）k=2；（2）14
【分析】（1）根据二次函数的定义列出关于k所满足的式子，求解即可；
（2）在（1）的基础上，先求出二次函数解析式，然后代入x=3求解即可．
【详解】解：（1）依题意有，
解得：k=2，
∴k的值为2；
（2）把k=2代入函数解析式中得：，
当x=3时，y=14，
∴y的值为14．
【点睛】本题考查二次函数的定义，以及求二次函数的函数值，理解并掌握二次函数的基本定义是解题关键．
14．（2022·全国·九年级专题练习）已知函数y＝（k2﹣k）x2+kx+k+1（k为常数）．
（1）若这个函数是一次函数，求k的值；
（2）若这个函数是二次函数，则k的值满足什么条件？
【答案】（1）k＝1；（2）k≠0且k≠1
【分析】（1）由一次函数的定义求解可得；
（2）由二次函数的定义求解可得．
【详解】解：（1）若这个函数是一次函数，
则k2﹣k＝0且k≠0，
解得k＝1；
（2）若这个函数是二次函数，
则k2﹣k≠0，
解得k≠0且k≠1．
【点睛】本题主要考查了一次函数的定义、二次函数的定义，准确分析判断是解题的关键．
15．（2022·浙江宁波·八年级期末）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元．
(1)降价后平均每天可以销售荔枝 千克（用含x的代数式表示）．
(2)设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式．
(3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？
【答案】(1)
(2)
(3)24元/千克

【分析】（1）根据“当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克”可直接得出结论；
（2）利用利润=（售价-成本）×销售量可得出结论；
（3）令y=480，求出x的值，再根据题意对x的值进行取舍即可．
（1）
根据题意得，降价后平均每天可以销售荔枝：（40+10x）千克，
故答案为：（40+10x）．
（2）
根据题意得，
整理得
（3）
令，代入函数得，
解方程，得，
因为要尽可能地清空库存，所以舍去取
此时荔枝定价为（元/千克）
答：应将价格定为24元/千克．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列函数关系式，列代数式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．