专题14 用锐角三角形函数解决问题压轴题七种模型全攻略-【常考压轴题】2022-2023学年九年级数学下册压轴题攻略（苏科版）

专题14 用锐角三角形函数解决问题压轴题七种模型全攻略

考点一 用锐角三角函数解直角三角形                考点二 用锐角三角函数解非直角三角形

考点三 利用锐角三角函数解决仰角俯角问题          考点四 利用锐角三角函数解决方位角问题

考点五 利用锐角三角函数解决坡度坡比问题          考点六 利用锐角三角函数测高问题

考点七 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积

考点一 用锐角三角函数解直角三角形               

例题：（2022·江苏·苏州市胥江实验中学校九年级期中）（1）在中，，已知，，求，a，b；

（2）如图，在中，，，D为AC上一点，，．求AD的长．

【变式训练】

1．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）在中，，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，

(1)，，求b、

(2)，，求的周长．

2．（2022·山东·聊城江北水城旅游度假区李海务街道办事处中学九年级阶段练习）如图，在直角中，，点是边的中点，．．

(1)求AD和AB的长；

(2)求sin∠BAD的值．

考点二 用锐角三角函数解非直角三角形

例题：（2022·江苏淮安·九年级阶段练习）如图，在中， ，，，求、的长．

【变式训练】

1．（2022·辽宁·大连市第三十四中学九年级阶段练习）中，，，，求边的长度．

2．（2022·山东·测试·编辑教研五九年级阶段练习）在中，，，为锐角且．

(1)求的面积；

(2)求的值；

(3)求的值．

考点三 利用锐角三角函数解决仰角俯角问题

例题：（2021·陕西·渭南初级中学九年级期中）李威在A处看一棵大树的顶端D处的仰角是30°，向树的方向前进30米到B处看树顶D处的仰角是60°，李威的眼睛离地面高米，已知，E、F、G在一条直线上，求树高 是多少？（结果保留根号）

【变式训练】

1．（2022·重庆市育才中学九年级阶段练习）如图所示，在大楼的正前方有一斜坡 （坡角），在它们之间有一片水域，现要测量大楼的高度．小明在斜坡上的点D处利用热气球探测器测得楼顶点B处的仰角为；当热气球探测器竖直向上上升到点F处，测得楼顶点B处的仰角为 ；已知米，米，其中点在同一直线上．（参考数据：，）

(1)求斜坡的高度（精确到十分位）；

(2)求大楼的高度（精确到十分位）．

2．（2022·安徽·合肥市五十中学新校二模）如图，坡的坡度为：，坡面长米，，现计划在斜坡中点处挖去部分坡体用阴影表示修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡请将下面两小题的结果都精确到米，参考数据：．

(1)若修建的斜坡的坡角即恰为，则此时平台的长为______米；

(2)坡前有一建筑物，小明在点测得建筑物顶部的仰角为，在坡底点测得建筑物顶部的仰角为，点、、、、在同一平面内，点、、在同一条水平直线上，问建筑物高为多少米？

考点四 利用锐角三角函数解决方位角问题

例题：（2022·湖南·长沙市北雅中学模拟预测）如图，某日我国某岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）

【变式训练】

1．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东方向上．（参考数据：，，，．）

(1)求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）

(2)如果轮船M沿着南偏东的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由．

2．（2022·浙江宁波·一模）如图，某渔船沿正东方向以10海里／小时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛周围9海里内有暗礁．参考数据：，，．

(1)B处离岛C有多远？如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？

(2)如果渔船在B处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险？

考点五 利用锐角三角函数解决坡度坡比问题

例题：（2022·湖南·炎陵县教研室一模）如图，株洲市炎陵县某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（CD），放置在教学楼A栋的顶部（如图所示）该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿芙蓉小学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度为i=1：3，AB=2m，AE=8m．

(1)求点B距水平面AE的高度BH．

(2)求宣传牌CD的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414 ,≈1.732 ）

【变式训练】

1．（2022·上海·九年级专题练习）如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、BE和一段水平平台DE构成．已知天桥高度BC=5.4米，引桥水平跨度AB=9米．

(1)求水平平台DE的长度

(2)若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD、CE的长度之比．

（参考数据：取sin370.60，cos370.80，tan370.75）

2．（2022·湖南·醴陵市教育局教育教学研究室模拟预测）风能作为一种清洁能源越来越受到世界各国的重视，我市结合自身地理优势架设风力发电机利用风能发电．王芳和李华假期去明月峰游玩，看见风电场的各个山头上布满了大大小小的风力发电机，好奇的想知道风力发电机塔架的高度．如图，王芳站在点测得点与塔底点的距离为，李华站在斜坡的坡顶处，已知斜坡的坡度，坡面长，李华在坡顶处测得轮毂点的仰角，请根据测量结果帮他们计算：

(1)斜坡顶点B到CD所在直线的距离；

(2)风力发电机塔架的高度．结果精确到，参考数据，，，，

考点六 利用锐角三角函数测高问题

例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图，－楼房AB后有一－假山CD，CD的坡度为，测得B与C的距离为24米，山坡坡面上E点处有一休息亭，与山脚C的距离米，小丽从楼房房顶A处测得E的俯角为45°．

(1)求点E到水平地面的距离；

(2)求楼房AB的高．

【变式训练】

1．（2022·河南·九年级专题练习）如图，小明家马路对面的商业楼外墙上有一个大型显示屏，小明在自己家楼顶处测得显示屏顶端的仰角为，后退10米到达处测得显示屏底端处的仰角为，已知商业楼的底端与小明家楼底端之间的距离为50米，求显示屏AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，）

2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点与点在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底处测得楼顶的仰角为，然后沿坡面上行了米（即米）到达点处，此时在处测得楼顶的仰角为．（参考数据：，，）

（1）求点到点的水平距离的长；

（2）求楼的高度．

考点七 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积

例题：（2022·海南·九年级专题练习）一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为，点、、在同一条直线上，测得，，，，其中一段支撑杆，另一段支撑杆，

(1)求的距离；

(2)求支撑杆上的到水平地面的距离是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据，，，）

【变式训练】

1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为2cm，固定支点O到水平桌面的距离为7.5cm，当支架OA、AB拉直时所形成的线段与点M共线且与底座垂直，此时测得B到底座的距离为31.64cm（线段AB，AO，OM的和），经调试发现，当∠OAB=115°，∠AOM=160°时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得A到B的水平距离为10cm，求此时点B到桌面的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，）

2．（2022·上海·九年级专题练习）图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上，图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当，时，求托板顶点A到底座CD所在平面的距离（结果精确到1mm）．（参考数据：，，，，）

一、选择题

1．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，设∠CAB＝α，CD＝h，那么BC的长度为（　　）

A． B． C． D．h•cosα

2．（2022·陕西·西安市中铁中学三模）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为　　

A． +1 B．2 C． D．-

3．（2022·山东威海·九年级期中）上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，10时到达B处（如图）．从A，B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么船在B处时与小岛M的距离（  ）

A．海里 B．海里 C．40海里 D．海里

二、填空题

4．（2022·山东·东平县实验中学九年级阶段练习）如图，在中，，为上一点，，，．则＝_____．

5．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）一条上山直道的坡度为，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为_______米．

6．（2022·江苏·苏州市胥江实验中学校九年级期中）如图，在一街道的两旁有甲、乙两幢建筑物，某广告公司在甲建筑物上悬挂一条广告条幅，现在乙建筑物的顶部测得条幅顶端A的仰角为，条幅底端B的俯角为，已知街道宽，则广告条幅AB的长是______．（结果保留根号）

三、解答题

7．（2022·山东·东平县实验中学九年级阶段练习）如图，在中，，，，求的面积．

8．（2022·山东·济南阳光100中学九年级阶段练习）如图．已知中，，．

(1).若，求的长度；

(2).若，求的长度．

9．（2022·山东·临沂第二十七中学八年级期中）如图，学校科技小组，计划测量一处电信塔的高度，小明在A处用仪器测到D的仰角，向塔正前方水平直行到达点B，测到塔尖的仰角，若小明的眼睛离地面，你能计算出塔的高度DE吗？写出计算过程．

10．（2022·江苏·星海实验中学九年级阶段练习）如图，在建筑物DF的左边有一个小山坡，坡底B、C同建筑底端F在同一水平线上，斜坡AB的坡比为 ，小李从斜坡底端B沿斜坡走了26米到达坡顶A处，在坡顶A处看建筑物的顶端D的仰角α为，然后小李沿斜坡AC走了米到达底部C点，已知建筑物上有一点E，在C处看点E的仰角为，（点A、B、C、D、E、F在同一平面内）建筑物顶端D到E的距离DE长度为28.8米，求建筑物DF的高度．（参考数据：， ，，）

11．（2022·江苏·阳山中学九年级阶段练习）某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米．

(1)直接写出∠BAD＝       ；

(2)求旗杆的高度.（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）

12．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校九年级期中）综合与实践

小明为自己家设计了一个在水平方向可以伸缩的遮阳蓬，如图所示，已知太原地区在夏至日的正午太阳高度角（即正午太阳光线与地平面的夹角）为 ，冬至日的正午太阳高度角为 ，小明家的玻璃窗户 高为 ，在点上方 的处安装与墙垂直的宽为的遮阳蓬，并且该遮阳蓬可伸缩（可变化）；为了保证在夏至日正午太阳光不射到屋内，冬至日正午整块玻璃都能受到太阳光照射，求可伸缩的遮阳蓬宽度的范围．（结果精确到，参考数据：，，，，，）

13．（2021·江苏·阳山中学九年级阶段练习）如图是投影仪安装截面图，投影仪A发出的光线夹角∠BAC＝30°，投影屏幕高BC＝m．固定投影仪的吊臂AD＝0.5m，且AD⊥DE，ADEF，∠ACB＝45°，求

(1)AC的长（结果保留根号）；

(2)屏幕下边沿C离教室顶部的距离CE．（结果精确到0.1m）（选用数据≈1.4，≈1.7）

14．（2022·江西·寻乌县教育局教学研究室二模）“为梦想战，决战中考”，如图①是寻乌县第三中学的中考倒计时牌，图②为它的侧面图，图③为它的侧面简意图，已知，．

(1)如图③，A处离地面多高？

(2)如图④，芳芳站在倒计时牌前的点H处观察倒计时牌（点D、C、H在同一水平线上），测得芳芳的身高为，当芳芳的视线恰好落在点B处时（忽略眼睛到头顶的距离）视线俯角为，求此时的距离．（结果精确到．参考数据：，，，，）

15．（2022·宁夏·中考真题）北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度为米，以起跳点正下方跳台底端为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点的坐标为，着陆坡顶端与落地点的距离为米，若斜坡的坡度（即．求：

(1)点的坐标；

(2)该抛物线的函数表达式；

(3)起跳点与着陆坡顶端之间的水平距离的长．（精确到米）（参考数据：）