2023学年中考二轮复习专题十五：反比例函数与几何图形结合

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2023年中考二轮复习专题四：
反比例函数与几何图形结合
方法点睛
反比例函数与几何图形结合常涉及以下几个方面：
1．求反比例函数与一次函数的解析式：(1)找到或求出反比例函数图象上一点的坐标，利用待定系数法求解；(2)找到或求出一次函数图象上两点的坐标，再利用待定系数法求解．
注：当已知一次函数与反比例数函数图象上的一个交点A的坐标及交点B的横(纵)坐标，确定两个函数的解析式时，先利用点A的坐标求得反比例函数解析式，再由反比例函数解析式求得点B的坐标，再利用A，B两点的坐标确定一次函数解析式．
2、(1)给出图形面积求点的坐标：根据解析式用只含一个参数的代数式表示该点的坐标，列出关于该图形面积的等式进行求解．
(2)点的存在性问题：涉及线段和面积的关系，图形的判定等，对这类题应观察图形，结合问题，建立数学模型，按照题意列出等量关系式进行求解．
典例分析
例1：（2022达州中考）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接，．

（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】（1）先利用一次函数求出A点的坐标，再将A点坐标代入反比例函数解析式即可；
（2）先求出B、C点坐标，再利用三角形的面积公式求解即可；
（3）分三种情况，利用坐标平移的特点，即可得出答案．
【小问1详解】
解：把代入一次函数，得，
解得，
，
把代入反比例函数，得，
，
反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
解：令，解得或，
当时，，即，
当时，，
，
；
【小问3详解】
解：存在，理由如下：
当OA与OB为邻边时，点先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，则点也先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，即；
当AB与AO为邻边时，点先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点，则点也先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点，即；
当BA与BO为邻边时，点先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，则点也先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，即；
综上，P点坐标为或或．
【点睛】本题考查了反比例函数与特殊四边形的综合题目，涉及求反比例函数解析式，三角形的面积公式，反比例函数与一次函数的交点问题，平移的性质，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键．
专题过关
1. （2022西宁中考） 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点B在反比例函数图象上，连接AB，过点B作轴于点．

（1）求反比例函数解析式；
（2）点D在第一象限，且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先将代入求出，再将代入反比例函数即可求出k；
（2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，需分类讨论：当AB为一条对角线时，当AC为一条对角线时，当AD为一条对角线时，根据中点坐标公式分别求出D点坐标，另还需考虑D在第一象限．
【小问1详解】
解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点A
把代入得
∴
∴
把代入反比例函数得
∴
∴反比例函数的解析式是；
【小问2详解】
由（1）知A(1,4)，C(2,0)，反比例函数解析式为，
∵，B在反比例函数图象上，
∴B(2，2),
令D(m,n)，
以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，
当AB为一条对角线时，则，
解得m=1，n=6，
∴D(1,6)
当AC为一条对角线时，则，
解得m=1，n=2，
∴D(1,2)
当AD为一条对角线时，则，
解得m=3，n=-2，
∴D(3,-2)（舍去）
综上所述，点D的坐标是或．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数相交问题以及平行四边形存在性问题，解题关键是由题中的条件分别求出A，B，C的坐标，再分类讨论求出平行四边形的第四个顶点坐标．
2. （2022绵阳中考） 如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，垂直x轴于点，为坐标原点，四边形的面积为38．

（1）求反比例函数及一次函数的解析式；
（2）点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使的面积最小时点P的位置（不需证明），并求出点P的坐标和面积的最小值．
【答案】（1），；
（2），．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求出反比例函数解析式，再利用四边形的面积为38．求出，进一步利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）平移一次函数与在第三象限有唯一交点P，此时P到MN的距离最短，的面积最小，设平移后的一次函数解析式为：，联立，解得：，进一步求出：，即，连接PM，PN，过点P作的延长线交于点B，作交于点C，根据以及点的坐标即可求出的面积．
【小问1详解】
解：∵在上，
∴，即反比例函数解析式为：，
设，
∵四边形的面积为38．
∴，整理得：，
解得：（舍去），，
∴，
将和代入可得：解得：，
∴一次函数解析式为：．
【小问2详解】
解：平移一次函数到第三象限，与在第三象限有唯一交点P，此时P到MN的距离最短，的面积最小，
设平移后的一次函数解析式为：，联立可得：，整理得：，
∵有唯一交点P，
∴，解得：或（舍去），
将代入得：，解得：
经检验：是分式方程的根，
∴，
连接PM，PN，过点P作的延长线交于点B，作交于点C，

则：，
∵，，，
∴，
，
，
∴．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合，难度较大，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握平行线之间的距离，解分式方程，解一元二次方程知识点．
3. （2022眉山中考） 已知直线与反比例函数的图象在第一象限交于点．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点，求的值；
（3）在（2）的条件下，设直线与轴、轴分别交于点，，求证：．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）先根据一次函数求出M点坐标，再代入反比例函数计算即可；
（2）先求出A的点坐标，再代入平移后的一次函数解析式计算即可；
（3）过点作轴于点，过点作轴于点，即可根据A、B坐标证明，得到，，再求出C、D坐标即可得到OC=OD，即可证明．
【小问1详解】
∵直线过点，
∴
∴将代入中，得，
∴反比例函数的表达式为
【小问2详解】
∵点在的图象上，
∴，
∴
设平移后直线的解析式为，
将代入中，得．
【小问3详解】
如图，过点作轴于点，过点作轴于点．

∵，，
∴，，
∴
∴，
∴，
又∵直线与轴、轴分别交于点，，
∴，，
∴
在和中，

∴．
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，熟练根据坐标找线段关系是解题的关键．
4. （2022衡阳中考）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点．

（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）设直线交轴于点，点，分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形是平行四边形，求点的坐标．
【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为
（2）或
【解析】
【分析】（1）分别将，代入反比例函数解析式，即可求得，的值，再将，两点坐标代入一次函数解析式，求得，的值；
（2）若四边形是平行四边形，则，且，即，由此进行求解．
【小问1详解】
解：将点，代入，
得，解得，
点，反比例函数的解析式为；
将点，代入，
得，解得，
一次函数的解析式为．
【小问2详解】
解：将代入，得，
，．
若四边形是平行四边形，
则，且，
设，，
则，
解得．
或．
【点睛】本题考查一次函数、反比例函数与平行四边形的综合，熟练掌握平行四边形的性质与判定及函数相关知识是解题的关键．
5. （2022常德中考） 如图，已知正比例函数与反比例函数的图象交于，两点．


（1）求的解析式并直接写出时的取值范围；
（2）以为一条对角线作菱形，它的周长为，在此菱形的四条边中任选一条，求其所在直线的解析式．
【答案】（1）或
（2）或或或
【解析】
【分析】（1）由点可求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的对称性可求出，从而求解出时的取值范围；
（2）由菱形的性质和判定可知另外两个点在直线的图象上且两个点关于原点对称，从而可求出这两个点的坐标即可求解．
【小问1详解】
解：设，
在反比例函数的图象上，
，
，
由反比例函数图象的性质对称性可知：A与B关于原点对称，即，
当或时，；
小问2详解】
如图所示，菱形的另外两个点设为M、N，


由菱形的性质和判定可知M、N在直线的图象上且两个点关于原点对称，
不妨设，则，
菱形AMBN的周长为，
,
，，
，
，即，，
设直线AM的解析式为：,
则：，解得：，
AM的解析式为：，
同理可得AN的解析式为：，
BM的解析式为：，
BN的解析式为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合性问题，涉及了菱形性质的应用，勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数解析式求法，菱形性质的灵活应用是解题的关键．
6. （2022绥化中考）在平面直角坐标系中，已知一次函数与坐标轴分别交于，两点，且与反比例函数的图象在第一象限内交于P，K两点，连接，的面积为．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）当时，求x的取值范围；
（3）若C为线段上的一个动点，当最小时，求的面积．
【答案】（1）
（2）或，
（3）
【解析】
【分析】（1）先运用待定系数法求出直线解析式，再根据的面积为和直线解析式求出点P坐标，从而可求出反比例函数解析式；
（2）联立方程组并求解可得点K的坐标，结合函数图象可得出x的取值范围；
（3）作点K关于x轴的对称点，连接，交x轴于点C，连接KC，则PC+KC的值最小，求出点C的坐标，再根据求解即可．
【小问1详解】
解：∵一次函数与坐标轴分别交于，两点，
∴把，代入得，
，解得，，
∴一次函数解析式为
过点P作轴于点H，

∵
∴
又
∴
∴
∴，
∴
∴
∵在双曲线上，
∴
∴
【小问2详解】
解：联立方程组得，
解得， ，
∴
根据函数图象可得，反比例函数图象直线上方时，有或，
∴当时，求x的取值范围为或，
【小问3详解】
解：作点K关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，则（1，-2），OM=1，
连接交x轴于点C，连接KC，则PC+KC的值最小，
设直线的解析式为
把代入得，
解得，
∴直线的解析式为
当时，，解得，，
∴
∴
∴

，
∴



【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，正确作出辅助线是解答本题的关键．
7 .（2022大庆中考）已知反比例函数和一次函数，其中一次函数图象过，两点．

（1）求反比例函数的关系式；
（2）如图，函数的图象分别与函数图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式；
（2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，进行计算即可；
【小问1详解】
解：把代入，得
，
解得，，
所以反比例函数解析式是；
【小问2详解】
存在点P使△ABP周长最小，理由：
解和得，
和，
，
和，
，
作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，当点、、在一条直线上时，线段 的长度最短，所以存在点P使△ABP周长最小，

△ABP的周长= ，
，
，
．
【点睛】本题考查函数的综合，掌握待定系数法求函数解析式，利用轴对称求出点位置是解题关键．
8. （2022湘潭中考） 已知、是平面直角坐标系中两点，连接．


（1）如图①，点在线段上，以点为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点的反比例函数表达式；
（2）如图②，点是线段上一点，连接，将沿翻折，使得点与线段上的点重合，求经过、两点的一次函数表达式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据的坐标，可得直线的解析式，根据题意点为与的交点，求得交点的坐标，即可求解；
（2）设，，根据题意求得，根据轴对称的性质结合图形求得，在中，即可求得的值，进而待定系数法求解析式即可求解．
【小问1详解】
、
设直线的解析式为，则，
解得，
则直线的解析式为，
以点为圆心的圆与两条坐标轴都相切，则，
点为与的交点，
，
解得，
则，
设点的反比例函数表达式为，则，
；
【小问2详解】
设，
将沿翻折，使得点与线段上的点重合，
，
、

中，
，，
在中，
即
解得
则
设直线的解析式为
则
解得
直线的解析式为．
【点睛】本题考查了坐标与图形，切线性质，勾股定理与折叠，求直线解析式，求反比例函数解析式，求两直线交点，数形结合是解题的关键．
9. （2022成都中考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．

（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）过点作直线，交反比例函数图象于另一点，连接，当线段被轴分成长度比为的两部分时，求的长；
（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设是第三象限内的反比例函数图象上一点，是平面内一点，当四边形是完美筝形时，求，两点的坐标．
【答案】（1）反比例函数的表达式为，点的坐标为
（2）或
（3），
【解析】
【分析】(1)首先把点A的坐标代入，即可求得点A的坐标，再把点A的坐标代入，即可求得反比例函数的解析式，再利用方程组，即可求得点B的坐标；
(2)设直线AC的解析式为y=kx+b，点C的坐标为，直线AC与y轴的交点为点D， 把点A、C的坐标分别代入y=kx+b，可求得点D的坐标为，可求得AD、CD的长，再分两种情况分别计算，即可分别求得；
(3)方法一：如图，过点作，交的另一支于点，过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，交于点，作交于点，设交于点，根据，求得点的坐标，进而求得的解析式，设点D的坐标为(a，b)，根据定义以及在直线上，建立方程组，即可求得点的坐标．
【小问1详解】
解：把点A的坐标代入，
得，解得a=1，
故点A的坐标为(1,4)，
把点A的坐标代入，
得k=4，
故反比例函数的表达式为，
，
得，
解得，，
故点A的坐标为(1,4)，点的坐标为；
【小问2详解】
解：设直线AC的解析式为y=kx+b，点C的坐标为，直线AC与y轴的交点为点D，
把点A、C的坐标分别代入y=kx+b，得
，
解得，
故点D的坐标为，
，
，
如图：当AD:CD=1:2时，连接BC，

得，得，
得，
解得或(舍去)，
故或(舍去)，
故此时点C的坐标为(-2,-2)，
，
如图：当CD:AD=1:2时，连接BC，

得，得，
得，
解得或(舍去)，
故或(舍去)，
故此时点C的坐标为 ，
，
综上，BC的长为或；
【小问3详解】
解：如图，过点作，交的另一支于点，过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，交于点，作交于点，设交于点，如图
∵

设，，则


又


即
解得或（舍去）
则点
设直线的解析式为，将点，

解得
直线的解析式为
设，根据题意，的中点在直线上，则
∵
则
解得或（在直线上，舍去）
．
综上所述，．

【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，平面直角坐标系中两点间距离公式，相似三角形的判定与性质等知识，采用分类讨论的思想和待定系数法求解析式是解决本题的关键．
10. （2022河南西华二模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于和两点．

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集；
（3）将直线BC向下平移5个单位长度得到直线l，已知点P，Q分别为x轴、直线l上动点，当的值最小时，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】(1)将点B，点C坐标代入反比例函数解析式可求m，n值，再用待定系数法求出一次函数解析式即可；
(2)根据函数图象的交点坐标可求得不等式的解集；
(3)平移后的函数解析式为y=-x，如图：过点C作直线l的垂线，垂足为Q，交x轴于点P，此时P C+P Q的值最小，过点C作轴于点D，可得CD=1，OD=4，，可得，据此即可解答．
【小问1详解】
解：点B(1，4)在反比例函数的图象上

反比例函数的解析式为
点C(n， 1)在反比例函数的图象上

点C(4，1)
将点B(1，4)，C(4，1)代入y=k x+b中，
得
解得
一次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：点B(1，4)，C(4，1)
由图象可得不等式的解集为；
【小问3详解】
解：把的图象向下平移5个单位长度后，得到的函数解析式为y=-x
如图：过点C作直线l的垂线，垂足为Q，交x轴于点P，此时P C+P Q的值最小，过点 C作轴于点D，

CD=1，OD=4，，
，
，
，
点P的坐标为．
【点睛】本题考查了利用待定系数一次函数及反比例函数的解析式，由两函数图象的交点求不等式的解集，点到直线的距离，采用数形结合的思想是解决此类题的关键
11.（2022河南西华一模） 在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点，，直线l：y＝mx＋n经过A，B两点，直线l分别交x轴，y轴于D，C两点．


（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）在y轴上是否存在一点E，使得以A，C，E为顶点的三角形与△CDO相似？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）； ．
（2）(0，3)或(0，-1)
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法，直接将点的坐标代入，求解即可；
（2）根据相似三角形的判定定理，要使以A，C，E为顶点的三角形与△CDO相似，必须AE⊥CE和AE⊥AC，且根据判定定理 则斜边和直角边对应成比例，由此可求CE的值，进而求得E点的坐标．
【小问1详解】
解∶∵反比例函数经过点A(2，3)，点B(6，a)，
∴k=3x2=6a
解得k=6，a=1，
∴B(6，1)，反比例函数解析式为；
∵直线l∶y=mx+n经过A，B两点，

解得
∴直线AB的解析式为 ．
【小问2详解】
解：存在，点E的坐标为(0，1)或(0，-1)；理由如下∶
如图，将x=0，y=0分别代入，得C(0，4)，D(8，0)，
∴AC= ，CD=
∵△COD为Rt△
∴要使以A，C，E为顶点的三角形与△CDO相似，那么△ACE也为Rt△
故存在AE⊥CE（如图1）和AE⊥AC（如图2）两种情况，
①AE⊥CE


∴AE//OD，
∴ ，即
∴CE=1．
故E的坐标为(0，3)；
②AE⊥AC


∵要使以A，C，E为顶点的三角形与△CDO相似．而∠C=∠C
∴，即，解得CE=5
故E点的坐标为(0，-1)．
综上可得，点E坐标为(0，3)或(0，-1)．
【点睛】本题考查求一次函数和反比例函数，和函数与相似三角形的判定，解题的关键是明确相似三角形的判定定理．
12.（2022河南长垣一模） 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数（＞0）的图象交于点A，将直线沿轴向上平移个单位长度，交轴于点B，交反比例函数图象于点C，且．AD⊥轴于点D、CE⊥于点E．

（1）求证：△BCE∽△OAD；
（2）求点A和点C的坐标；
（3）求值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）（1，1），（，3）；
（3）
【解析】
【分析】（1）由平移得到BCOA，∠DOA＝∠EBC，由AD⊥轴于点D、CE⊥于点E，得到∠CEB＝∠ADO＝90°，结论得证；
（2）由△BCE∽△OAD得到，设A（，），表示出AD、OD、CE、BE，由点A（，）在上，得到，即得点A的坐标，由点C在得点C的坐标；
（3）求出点B的坐标，由待定系数法求出直线BC的表达式，由平移的规律求出的值．
【小问1详解】
证明：由图形的平移可知BCOA，
∴ ∠DOA＝∠EBC
∵AD⊥轴于点D、CE⊥于点E
∴∠CEB＝∠ADO＝90°
∴△BCE∽△OAD；
【小问2详解】
解：由（1）知△BCE∽△OAD
∴
由点A在上，则设A（，），且＞0，
则AD＝，OD＝，CE＝BE＝，
∵ 点A（，）在上，
∴＝，
解得＝ ，
∵＞0
∴＝1
∴点A的坐标是（1，1）
∵点C（，）在上，
∴ ＝1
解得＝3
∴点C的坐标是（，3）
【小问3详解】
解：∵点C坐标是（，3）
∴OE＝3
∵由（2）知BE＝＝
∴OB＝OE-BE＝3-＝
∴点B的坐标是（0，）
设直线BC表达式为，
将B（0，），C（，3）分别代入得

解得
∴直线BC的表达式为
∵直线沿轴向上平移个单位长度，得到直线，即
∴＝．
【点睛】本题是反比例函数和一次函数的交点问题，求出交点坐标是解题的关键．
13.（2022河南虞城二模） 如图，点A为直线y＝3x上位于第一象限的一个动点，过点A作AB⊥x轴于点B，将点B向右平移2个单位长度到点C，以AB，BC为边构造矩形ABCD，经过点A的反比例函数的图象交CD于点M．


（1）若B(1，0)，求点M坐标；
（2）连接AM，当AM⊥OA时，求点A的坐标．
【答案】（1）点M的坐标为(3，1)；
（2）点A的坐标为(，)．
【解析】
【分析】（1）先利用待定系数法求得反比例函数表达式，以及点M的横坐标，进一步计算即可求解；
（2）证明△OBA∽△MDA，利用相似三角形的性质求得DM=，得到点M(m+2，3m−)，利用反比例的性质得到方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：∵B(1，0)，
∴当x=1时，y=3x=3，故点A(1，3)，
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k=1×3=3，
故反比例函数表达式为y=，
∵OC=OB＋BC=1＋2=3，即点M的横坐标为3，则y==1，
故点M的坐标为(3，1)；
【小问2详解】
解：设点A(m，3m)(m≠0)，


∵四边形ABCD为矩形，故∠ABO=∠BAD=90°，
∵AM⊥OA，∠OAB=∠MAD，
又∵∠OBA=∠MDA=90°，
∴△OBA∽△MDA，
∴，即，解得：DM=，
故点M(m+2，3m−)，
∵点A、M都在反比例函数图象上，
∴m•3m=(m+2)(3m−)，
解得：m=，故点A的坐标为(，)．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
14. （2022河南商城二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A，B，点P在以点为圆心，1为半径的上，Q是AP的中点，OQ长的最大值为时．

（1）试确定反比例函数的表达式．
（2）与x轴在点C的左侧交于点M，请直接写出劣弧MP的长是___________．（，，．）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）连结BP，过点B作BD⊥x轴于D，先证OQ为△ABP的中位线，得出OQ=，OQ长的最大值为时，BP的最大值为：，当BP过圆心时BP最大，根据点B在一次函数上，设B（t，2t），由勾股定理得：得出，解方程即可；
（2）根据点B（），求出BD=，BC=2，利用sin∠DCB=，求出∠MCP=∠DCB=53°，然后利用弧长公式求解即可．
【小问1详解】
解：连结BP，过点B作BD⊥x轴于D，
由反比例函数的对称性质知OA=OB，
∵Q为AP中点，
∴OQ为△ABP的中位线，
∴OQ=，
∵OQ长的最大值为时，BP的最大值为：，
当BP过圆心时BP最大，
∵点B在一次函数上，
设B（t，2t），
CD=t-(-2)=t+2，BD=-2t，BC=BP-CP=3-1=2，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：即，
解得（舍去），
∴点B（），
∵点B在反比例函数图像上，
；
【小问2详解】
解：∵点B（），
∴BD=，BC=2，
∴sin∠DCB=，
∴∠DCB=53°，
∴∠MCP=∠DCB=53°，
∴．

【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数，一次函数与反比例函数综合，三角形中位线，勾股定理，一元二次方程，锐角三角函数，扇形弧长，掌握待定系数法求反比例函数，一次函数与反比例函数综合，三角形中位线，勾股定理，一元二次方程的解法，锐角三角函数，扇形弧长是解题关键．
15. （2022新乡二模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数为和反比例函数图像交于A，B两点，矩形OAEC的边EC交x轴于点D，AD⊥x轴，点D的坐标为（2，0），且AE=ED．

（1）求这两个函数的解析式；
（2）点P为y轴上的一个动点，当PE-PA的值最大时，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）点P（0，4）．
【解析】
【分析】（1）由矩形的性质可证AD=OD=2，从而得出点A的坐标，代入即可；
（2）由三角形三边关系可知：当点P、A、E共线时，PE-PA最大，延长EA交y轴于点P，求出直线AE的函数解析式即可．
【小问1详解】
解：∵四边形OAEC是矩形，
∴∠E=∠OAE=90°，
∵AE=DE，
∴∠OAD=∠DAE=45°，
∵AD⊥x轴，
∴∠OAD=∠AOD=45°， 而
∴AD=OD=2， ∴点A（2，2），
将点A（2，2）代入和得，

∴
【小问2详解】
解：由三角形三边关系可知：当点P、A、E共线时，PE-PA最大，延长EA交y轴于点P，

过点E作EH⊥AD于H，
∵△AED是等腰直角三角形，AD=2，
∴EH=HD=1 ， ∴
设AE为：
，解得：
∴直线AE函数关系式为：，
当x=0时，y=4， ∴点P（0，4）．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，一次函数的性质，待定系数法求函数解析式，矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，利用数形结合思想是解题的关键．
16. （2022河南西平一模） 如图，一次函数经过点，，与反比例函数的图象交于点，D两点．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）结合函数图象，直接写出当时x的取值范围；
（3）点P在x轴上，是否存在是以CD为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；
（2）或
（3）存在，点的坐标为或
【解析】
【分析】（1）根据点坐标，利用待定系数法可得一次函数的解析式，再求出点的坐标，利用待定系数法可得反比例函数的解析式；
（2）联立两个函数的解析式求出点的坐标，结合函数图象即可得；
（3）设点P的坐标为(m，0),利用勾股定理求出的值，再分①和②两种情况，由此建立方程，解方程即可得．
【小问1详解】
解：将点代入得：，
解得，
则一次函数的解析式为；
将点代入得：，
则，
将点代入得：，
则反比例函数的解析式为．
【小问2详解】
解：联立，
解得或，
则，
结合函数图象可知，当时，或．
【小问3详解】
解：存在；
，
，
设点坐标为，
则，
，
由题意，分以下两种情况：
①当时，是以为腰的等腰三角形，
则，即，
此方程无解；
②当时，是以为腰的等腰三角形，
则，即，
解得或，
此时点的坐标为或，
综上，存在是以为腰的等腰三角形，此时点的坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、一次函数的几何应用、一元二次方程的应用等知识点，熟练掌握待定系数法和函数图象法是解题关键．
17.（2022河南天一大联考） 如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y的图象交于点A（m，2），B（﹣1，4），与y轴交于点C，连接OA，OB．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△OAB的面积；
（3）若点P在y轴上，且BPOA，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1），
（2）△OAB的面积为3
（3）点P的坐标（0，3）或（0，5）
【解析】
【分析】（1）把B（﹣1，4）代入y求得，将点A（m，2），代入，进而求得的值，根据的坐标待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据直线解析式求得点的坐标，根据求解即可；
（3）设，根据BPOA，列出方程解方程求解即可求解．
【小问1详解】
把B（﹣1，4）代入y，
，
反比例函数解析式为：
将点（m，2），代入，即，得

设直线解析式为

解得
一次函数的解析式为
【小问2详解】
由，令，得






【小问3详解】
设，，，

BPOA，

解得
点P的坐标（0，3）或（0，5）
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理求坐标系中两点距离，解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键．
18. （2022河南实验中学一模）如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，D是AB边的中点，反比例函数y（x＞0）的图象经过点D，与BC边交于点E．
（1）求反比例函数的表达式及点E的坐标；
（2）若点P在y轴上，当△PDE的周长最小时，求出此时点P的坐标．

【18题答案】
【答案】（1），点E的坐标为(2，2)；（2）(0，)
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质先求得的坐标，进而待定系数法求反比例函数的解析式，再求得点的坐标；
（2）作点E关于y轴的对称点F，连接DF交y轴于点P，连接PE，则此时△PDE的周长最小，根据对称性求得点F的坐标，设直线DF的表达式为y=mx+b， 待定系数法求一次函数的解析式，令，进而求得点的坐标．
【详解】解：（1）∵在矩形OABC中，AB=2，BC=4，D是AB边的中点，
∴AD=1,OA=4,则点D坐标为（1，4），
∵反比例函数的图象经过点D（1，4），
∴,
∴反比例函数的表达式为.
∵OC=AB=2, ∴点E的横坐标为2，
当x=2时，，
∴点E的坐标为(2，2).
(2)如图，作点E关于y轴的对称点F，连接DF交y轴于点P，连接PE，

△PDE的周长,
则此时△PDE的周长最小.
∵点E的坐标为(2，2)，
∴点F的坐标为(-2，2)，
设直线DF的表达式为y=mx+b，
则，
解得，
∴设直线DF的表达式为，
令，得，则点P的坐标为(0，)
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数与一次函数综合，待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，关于坐标轴对称的点的坐标特点，根据对称性求最值问题，综合运用以上知识是解题的关键．
19. （2022河南虞城二模）如图，一次函数交反比例函数于A，B两点，过点A作轴于点C，的面积为3．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）D为y轴上一个动点，当有最小值时，求点D的坐标．
【答案】（1）反比例函数的解析式为
（2）D点坐标为
【解析】
【分析】（1）由反比例函数比例系数k的几何意义可以求出k的值；
（2）作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于点D，连接，则此时最小，求出点A与点B的坐标，再求出直线EB的函数关系式，再求出点D的坐标．
【小问1详解】
∵反比例函数的图象过点A，过点A作x轴的垂线，垂足为C．的面积为3，
∴，
∵，
∴，
故反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
如图，作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于点D，连接，则此时最小

由，
解得，或
∴
∴
设直线的解析式为，
则，
解得
∴直线的解析式为
∴时，，
∴D点坐标为
【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，坐标与图形性质，线段最短问题，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
20.（2022河南夏邑一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，直线经过A，B两点．


（1）求反比例函数与一次函数的解析式，并在下面的平面直角坐标系中描绘出一次函数的大致图象．
（2）当直线l向下平移b个单位时，与的图象有唯一交点，求b的值．
（3）若直线分别交x轴，y轴于D，C两点，在y轴上是否存在一点Q，使得与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），作图象见解析
（2）b的值为
（3）存在，点Q的坐标为或
【解析】
【分析】（1）带点求解即可；
（2）由题意得，由即可求解；
（3）根据题意，分析出符合题意的情况并求解即可；
【小问1详解】
解：将代入中得，解得：
∴
将代入中得，
∴
将、代入得，
解得：
∴
如图：

【小问2详解】
平移后的表达式为：
由题意可得
则

∴（舍去）
【小问3详解】
如图：


当时，轴，
∴
当时，
将x=0代入得
将y=0代入得
∴
∵
∵
∴，即
∴
∴
综上点Q的坐标为或
【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的综合应用、三角形的相似，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
21.（2022南阳方城二模） 如图，在矩形中，，点D是边的中点，反比例函数的图象经过点D，交边于点E，直线的解析式为．


（1）求反比例函数的解析式和直线的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使的周长最小，求出此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，的周长最小值是______．
【答案】（1），；（2）点P坐标为；（3）．
【解析】
【分析】（1）首先求出D点坐标，然后将D点坐标代入反比例解析式，求出k即可得到反比例函数的解析式.将x=2代入反比例函数解析式求出对应y的值，即得到E点的坐标，然后将点D,E两点的坐标代入一次函数的解析式中，即可求出DE的解析式.
(2)作点D关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，连接．此时的周长最小.然后求出直线的解析式，求直线与y轴的交点坐标，即可得出P点的坐标；
（3）的周长的最小值为DE+，分别利用勾股定理两条线段的长，即可求.
【详解】解：（1）∵D为的中点，，
∴．
∵四边形矩形，，
∴D点坐标为．
∵在的图象上，
∴．∴反比例函数解析式为．
当时，．
∴E点坐标为．
∵直线过点和点
∴
解得
∴直线的解析式为．
∴反比例函数解析式为，
直线的解析式为．

（2）作点D关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，连接．
此时周长最小．∵点D的坐标为，
∴点的坐标为．
设直线的解析式为．
∵直线经过
∴
解得
∴直线的解析式为．
令，得．
∴点P坐标为．

（3）由（1）(2)知D（1，4），E（2，2），(-1,4).又B(2,4),
∴BD=1,BE=2,B=3.
在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE==.
在Rt△BE中，由勾股定理，得E==.
的周长的最小值为+DE =．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，矩形的性质，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，轴对称的最短路径问题等，难度适中，正确的求出解析式和找到周长最小时的点P是解题的关键.
22. （2022洛阳一模）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，B两点．

（1）求k的值及点B的坐标；
（2）请直接写出不等式的解集；
（3）已知轴，以AB、AD为边作菱形ABCD，求菱形ABCD的面积．
【答案】（1）k=-6，B（2，-3）
（2）x＞2和-2＜x＜0
（3）
【解析】
【分析】（1）将A(a，3)代入，得A(-2，3)，将A(-2，3)代入，得k=-6，
解可得点B的坐标；
（2）根据一次函数和反比例函数的性质，再结合图形，可得答案；
（3）先求出AB和AE的长，根据菱形的性质得AB=CB，即可得答案．
【小问1详解】
解：将A(a，3)代入，得，得a=-2，
∴A(-2，3)，
将A(-2，3)代入，得，得k=-6，
∴k=-6，
∵点B是反比例函数与正比例函数的交点，点B在第四象限，
∴ 解得： 和（舍去），
∴B（2，-3）；
【小问2详解】
∵A(-2，3)，B（2，-3），k=-6，
∴＞，
∵k＜0，反比例函数在每个象限内，y的值随x的值增大而增大，一次函数，y的值随x的值增大而减小，再结合图形可知，x＞2和-2＜x＜0，
∴不等式＞的解集为：x＞2和-2＜x＜0；
【小问3详解】
如下图，作AE⊥BC，

∵A(-2，3)，B（2，-3），
∴AE=6，BE=4，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，
∵S菱形=BC×AE= ．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的性质，勾股定理的应用，菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的性质．
23. （2022开封二模）如图，平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图像相交于点，两点．


（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）直接写出的解集．
（3）已知直线AB与y轴交于点C，点是x轴上一动点，作PQ⊥x轴交反比例函数图像于点Q，当以C，P，Q，O为顶点的四边形的面积等于2时，求t的值．
【答案】（1）反比例函数的解析式为：；一次函数的解析式为：
（2）或
（3）当或时，以C，P，Q，O为四边形的面积等于2．
【解析】
【分析】（1）由题意得把代入得n＝3，即可得出A点坐标，将AB两点代入一次函数y＝kx+b求出k、b，从而得出答案；
（2）一次函数在反比例函数图像的上方时，自变量x的取值范围即可．
（3）由题意得，OC＝2，再根据面积求出，即可求出P点坐标，求t的值．
【小问1详解】
把代入得n＝3，
∴反比例函数的解析式为：
把代入得m＝3，把，代入得k＝1，b＝2
∴一次函数的解析式为：
【小问2详解】
∵不等式的解集即为：y1＞y2的解集，
∴或
【小问3详解】
由y＝x＋2可知，
∴OC＝2
∵n＝3
∴△OPQ的面积为．
∴四边形COQP的面积为
解得
∵P点坐标为，点P可能在x轴正半轴或负半轴，
∴或
∴当或时，以C，P，Q，O为四边形的面积等于2．

【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握函数解析式的求法以及利用数形结合得出函数值大小关系是重点．
24. （2022鹤壁一模）如图，在矩形ABCO中，，点D是边AB的中点，反比例函数的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为．

（1）求反比例函数和直线DE的解析式．
（2）在x轴上找一点P，使的周长最小，求出此时点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，的周长最小值是_________．
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由已知可得D点坐标，从而得到反比例函数解析式，进而得到E点坐标，再由待定系数法可以确定直线DE的解析式；
（2）作点D关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接PD．此时的周长最小．由作图写出的坐标，求出的解析式，然后令y=0，即可得到P点坐标；
（3）由（2）及勾股定理即可得到的周长最小值．
【小问1详解】
解：点D是边AB的中点，，
∴，
四边形ABCO是矩形，，
D点的坐标为
点在的图象上，
，
∴反比例函数的解析式为，
∵E在反比例函数图象上，
∴当时，，
∴E点的坐标为，
∴直线过点和点，
，
解得：，
直线DE的解析式为；
【小问2详解】
解：如图，作点D关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接PD．此时的周长最小，

D点的坐标为，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
直线过点和点，
解得
∴直线的解析式为，
∵当时，，
点P的坐标为；
【小问3详解】
解：由（2）可得：
的周长最小值．
因此，的周长最小值是．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法、利用轴对称求最短路径的方法及勾股定理的应用是解题关键．
25. （2022周口扶沟一模）如图，正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，在中，，，点坐标为．

（1）求的值；
（2）求所在直线的解析式．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用正比例函数求解的坐标，再代入反比例函数的解析式求解即可得到答案；
（2）如图，过作于 过作于 证明利用全等三角形的性质求解的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可．
【详解】解：（1）

在上，
则
把代入中，则
（2）如图，过作于 过作于









设为

解得：
所以为
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，一次函数与反比例函数的基本性质，利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，熟练应用以上知识是解题的关键．
26. （2022信阳一模）如图，直线y=-2x+b与x轴、y轴分别相交于点 A，B，以线段 AB为边在第一象限作正方形ABCD，已知AB=2
（1）求直线 AB的解析式；
（2）求点D的坐标，并判断点D是否在双曲线y=，说明理由.

【答案】（1）y=-2x+4
（2）点D的坐标为(6,2)，在，理由见解析
【解析】
【分析】(1)根据勾股定理可求得b的值，据此即可求得；
(2)过点D作DE⊥x轴于点E，易证△OAB≌△EDA，利用全等三角形的性质可求出点D的坐标．
【小问1详解】
解：当x=0时，y=b，
∴点B的坐标为(0,b)，
当y=0时，，
∴点A的坐标为，
∴OB=b，，
，
∴，
解得b=4或b=-4(舍去)
直线 AB的解析式为y=-2x+4；
【小问2详解】
解：不在；
理由如下：
∵b=4，
∴点B的坐标为(0,4)，点A的坐标为，
∴OB=2，，
过点D作DE⊥x轴于点E，如图所示．

∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠EAD=90°，
∴∠OBA=∠EAD，
在△OAB和△EDA中，
，
∴△OAB≌△EDA(AAS)，
∴AE=BO=4，DE=AO=2，
∴OE=OA+AE=2+4=6，
∴点D的坐标为(6,2)，
∵当x=6时，，
∴点D在双曲线y=的图象上．
【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是采用数形结合的思想解决问题．
27. （2022雅安中考） 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶点A的坐标为（m，2），点B在x轴上，将△ABO向右平移得到△DEF，使点D恰好在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．


（1）求m的值和点D的坐标；
（2）求DF所在直线的表达式；
（3）若该反比例函数图象与直线DF的另一交点为点G，求S△EFG．
【答案】（1）
（2）直线的解析式为：
（3）
【解析】
【分析】（1）如图，过作于 利用等腰直角三角形的性质可得从而可得m的值，再由平移的性质可得D的纵坐标，利用反比例函数的性质可得D的坐标；
（2）由 可得等腰直角三角形向右平移了6个单位，则 再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（3）先联立两个函数解析式求解G的坐标，再利用三角形的面积公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：如图，过作于


为等腰直角三角形，

即
由平移的性质可得：
即
【小问2详解】
由
等腰直角三角形向右平移了6个单位，

设为
解得：
∴直线的解析式为：
【小问3详解】
如图，延长FD交反比例函数于G，连结
，
解得： 经检验符合题意；





【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，坐标与图形，反比例函数的图象与性质，函数的交点坐标问题，一元二次方程的解法，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练是求解G的坐标是解本题的关键．
28. （2022盘锦中考）如图，平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A在y轴正半轴上，点B的坐标是，反比例函数的图象经过点C．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）点D在边上，且，过点D作轴，交反比例函数图象于点E，求点E的坐标．
【答案】（1）；
（2）（，）；
【解析】
【分析】（1）过点B作BF⊥y轴，垂足为F，设点A为（0，m），根据菱形的性质和勾股定理求出，然后求出点C的坐标，即可求出解析式；
（2）作DG⊥x轴，CH⊥x轴，垂足分别为G、H，先证明△ODG∽△OCH，求出，，然后得到点D的纵坐标，再求出点E的坐标即可．
【小问1详解】
解：根据题意，过点B作BF⊥y轴，垂足为F，如图：

∵四边形是菱形，
设点A为（0，m），
∴，
∵点B为，

∴，，
在直角△ABF中，由勾股定理，则
，即，
解得：，
∴，
∴点C的坐标为，
把点C代入，得，
∴反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：作DG⊥x轴，CH⊥x轴，垂足分别为G、H，如图，

∵，
∴，
∵DG∥CH，
∴△ODG∽△OCH，
∴，
∵点C的坐标为，
∴，，
∴，
∴，，
∴点D的纵坐标为，
∵轴，
∴点E的纵坐标为，
∴，解得，
∴点E的坐标为（，）；
【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出辅助线，从而进行解题．
29．（2022天门中考）（7分）如图，OA＝OB，∠AOB＝90°，点A，B分别在函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象上，且点A的坐标为（1，4）．
（1）求k1，k2的值；
（2）若点C，D分别在函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得△COD≌△AOB．若存在，请直接写出点C，D的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）作辅助线，构建三角形全等，证明△AGO≌△OHB（AAS），可解答；
（2）根据△COD≌△AOB和反比例函数的对称性可得：B与C关于x轴对称，A与D关于x轴对称，可得结论．
【解答】解：（1）如图1，过点A作AG⊥y轴于G，过点B作BH⊥y轴于H，

∵A（1，4），
∴k1＝1×4＝4，AG＝1，OG＝4，
∵∠AOB＝∠AOG+∠BOH＝∠BOH+∠OBH＝90°，
∴∠AOG＝∠OBH，
∵OA＝OB，∠AGO＝∠BHO＝90°，
∴△AGO≌△OHB（AAS），
∴OH＝AG＝1，BH＝OG＝4，
∴B（4，﹣1），
∴k2＝4×（﹣1）＝﹣4；
（2）如图2，∵△COD≌△AOB，

∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴B与C关于x轴对称，A与D关于x轴对称，
∴C（4，1），D（1，﹣4）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，反比例函数的对称的性质，熟练掌握反比例函数是轴对称图形是解本题的关键．
30. （2022恩施中考） 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知∠ACB=90°，A(0，2)，C(6，2)．D为等腰直角三角形ABC的边BC上一点，且S△ABC=3S△ADC．反比例函数y1=(k≠0)的图象经过点D．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）若AB所在直线解析式为，当时，求x取值范围．
【答案】（1）反比例函数的解析式为y1=；
（2）当时，0