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2023学年二轮复习解答题专题二十：新函数图象与性质的探究应用
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这是一份2023学年二轮复习解答题专题二十：新函数图象与性质的探究应用，文件包含2023年二轮复习解答题专题二十新函数图象与性质探究应用原卷版docx、2023年二轮复习解答题专题二十新函数图象与性质探究应用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共82页， 欢迎下载使用。
2023年二轮复习解答题专题二十：
新函数图象与性质的探究应用
方法点睛
这类考题主要通过类比已掌握的函数学习思路与经验，探究未知函数的图象和性质.
函数学习的思路：实际问题 建立函数模型 函数概念（解析式）
画函数图象 探究图象性质 实际应用
涉及考点：
1.函数解析式，必须关注自变量的取值范围.
2.考查代入求值（代入横坐标求纵坐标、代入纵坐标求横坐标、代入点坐标求待定系数）.
3.在平面直角坐标系内描点，并会用“光滑的曲线”画函数图象（已描点只需画图、已描部分点补全后画图、描点并画图）.
4.探究函数性质（主要关注“增减性、最值、对称性”等方面）.
5.能数形结合探究函数、方程和不等式之间的关系（求方程的解、不等式解集或求字母的取值范围）.
典例分析
题型一 新函数图象与性质的探究
例1：（2022荆州中考）小华同学学习函数知识后，对函数通过列表、描点、连线，画出了如图1所示的图象．
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
1
2
4
1
0
－4
－2
－1
…
请根据图象解答：
（1）【观察发现】①写出函数的两条性质：______；______；②若函数图象上的两点，满足，则一定成立吗？______．（填“一定”或“不一定”）
（2）【延伸探究】如图2，将过，两点的直线向下平移n个单位长度后，得到直线l与函数的图象交于点P，连接PA，PB．
①求当n＝3时，直线l的解析式和△PAB的面积；
②直接用含n的代数式表示△PAB的面积．
题型二 结合实际问题的函数图象与性质探究
例2 （2022河南邓州二模）给定一个函数：，为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，进行如下探索：
（1）图象初探
①列表如下
x
……
1
2
3
4
……
y
……
m
3
n
……
请直接写出m，n的值；
②请在如下的平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．
（2）性质再探
请结合函数的图象，写出当__________，y有最小值为__________；
（3）学以致用
某农户要建进一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为3千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．
设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元，可得到y与x的函数关系式为：．根据以上信息，请回答以下问题：
①水池总造价的最低费用为_____________千元；
②若该农户预算不超过5.5千元，请直接写出x的值应控制在什么范围？________________
类型三 利用新函数图象与性质解决平面几何问题
例3 （2022兰州中考）如图，在中，，，，M为AB边上一动点，，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（），B，N两点间的距离为ycm（当点M和B点重合时，B，N两点间的距离为0）．
小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整．
（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值：
x/cm
0
0.5
1
1.5
1.8
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
y/cm
4
3.96
3.79
3.47
a
2.99
2.40
1.79
1.23
0.74
0.33
0
请你通过计算，补全表格：______；
（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数y关于x的图像；
（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：______．
（4）解决问题：当时，AM的长度大约是______cm．（结果保留两位小数）
专题过关
1. （2022嘉兴中考） 6月13日，某港口的潮水高度y（）和时间x（h）的部分数据及函数图象如下：
x（h）
…
11
12
13
14
15
16
17
18
…
y（）
…
189
137
103
80
101
133
202
260
…
（数据来自某海洋研究所）
（1）数学活动：
①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象．
②观察函数图象，当时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？
（2）数学思考：
请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．
（3）数学应用：
根据研究，当潮水高度超过260时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？
2.（2022河南上蔡二模） 在学完二次函数的图象与性质后，某数学兴趣小组对函数的图象与性质进行了探究，下面是该兴趣小组的探究过程，请补充完整：
（1）列表
x
…
0
0.25
0.5
0.75
1
2
3
…
y
…
0
a
0
…
表格中a的值为______．
（2）描点，连线，根据以上信息将函数图象补充完整．
（3）观察函数图象，请写出此函数的两条性质：
①______；
②______．
（4）已知关于x的方程
①若方程有两个相等的实数根，则m的值为______；
②若方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为______．
3. （2022驻马店六校联考二模）小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其研究过程如下：
（1）绘制函数图象
①列表：下表是与的几组对应值，其中______；
…
0
1
2
…
…
3
2
…
②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．
（2）探究函数性质
判断下列说法是否正确（正确的填“√”，错误的填“×”）．
①函数值随的增大而减小：______
②函数图象关于原点对称：______
③函数图象与直线没有交点．______
3. （2022河南商城一模）小明根据学习函数的经验，对函数y＝|x2﹣2x|﹣2的图象与性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
6
m
﹣2
﹣1
﹣2
n
6
…
（1）在给定的平面直角坐标系中；画出这个函数的图象，
①列表，其中m＝ ，n＝ ．
②描点：请根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点：
③连线：画出该函数的图象．
（2）写出该函数的两条性质： ．
（3）进一步探究函数图象，解决下列问题：
①若平行于x轴的一条直线y＝k与函数y＝|x2﹣2x|﹣2的图象有两个交点，则k的取值范围是 ；
②在网格中画出y＝x﹣2的图象，直接写出方程|x2﹣2x|﹣2＝x﹣2的解为 ．
4. （2022河南新安一模）为解方程，小舟根据学习函数的经验对其进行了探究，下面是其探究的过程，请补充完整：
（1）先研究函数，列表如下：
x
-2
-1
0
1
2
y
0
0
m
0
表格中，m的值为______．
（2）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了函数图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数图象．
（3）观察图象，当时，满足条件的x的取值范围是______．
（4）在第（2）间的平面直角坐标系中画出直线．根据图象直接写出方程的近似解（结果保留一位小数）．
5.（2022濮阳二模） 研究函数图象性质，需要“列表、描点、用平滑的线依次连接各点“画出函数图象，这个方法叫作描点法．为研究函数图象性质我们也可以利用它们的数学关系去理性分析，对函数的图象作合情推理，然后利用描点法画出图象进行验证．
（1）在研究函数的图象前，老师预先给出了下面四个图象．请你利用函数关系，分析下列图象中可能是函数图象的是（ ）
（2）结合分析的函数图象，写出函数图象的二条性质；
①性质一： ；
②性质二： ．
（3）若与函数图象的两个分支都有交点，直接写出b的取值范围．
6. （2022平顶山一模）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了（x>0）和的图象，两个函数图象交于A（x1，y2），B（x2，y2）两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点 O（如图1）．在点P移动的过程中，发现PO 的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究 PO 的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题∶
（1）设点P的横坐标为x，PQ的长度为y，则y与x之间的函数关系式为______（x1
①列表∶
x
1
2
3
4
y
0
m
3
n
0
表中 m＝______，n＝______；
②描点∶根据上表中的数据，在图2中描出各点，
③连线∶请在图2中画出该函数的图象．观察函数图象，当x＝______时，y的最大值为______；
（3）应用∶已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长 W与n存在函数关系，求 m取最大值时矩形的对角线长．
7.（2022南阳卧龙二模） 在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．下面我们对函数的图象与性质进行探究，下表是该函数y与自变量x的几组对应值（y取近似值）：
x
…
0
1
2
3
…
y
…
1.06
1.13
1.2
1.24
1.2
0.92
0
…
请解答下列问题：
（1）求该函数的解析式；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象；
（3）写出该函数的一条性质______．
8.（2022洛阳伊川一模） 某数学兴趣小组的同学在学过函数的知识之后，对函数的图象与性质进行了探究，请补充完整以下探索过程：
（1）列表：
…
0
1
2
…
…
2
0
…
表中______；______．
（2）根据上表中的数据，在平面直角坐标系中补全该函数图象，并写出该函数的一条性质．
（3）若函数的图象上有，，三个点，且，则，，之间的大小关系为______．（用“＜”连接）
（4）若方程至少有两个不同的实数根，请根据函数图象，直接写出的取值范围．
9. （2022焦作一模）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是__________；
（2）下表是x与y的几组对应值．
x
…
1
1.2
2
3
4
5
6
…
y
…
1
1.2
m
2
3
4
6
6
5
3
2
1.5
1.2
1
…
求m的值；
（3）根据上表的数据将该函数图象补充完整并写出两条函数的性质；
（4）已知函数的图象如图所示，请直接写出不等式的解集．
10. （2022河南固始一模）九（1）班数学兴趣小组的同学参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质，他们的探究过程如下，请你补充完整．
（1）列表：
…
0
1
2
3
4
5
6
7
…
…
0
0
5
1
…
表中______，______．
（2）描点、连线：
如图，在平面直角坐标系中，根据上表中数据以自变量的值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出了部分对应点，请你描出剩余的点，并画出该函数的图象．
（3）探究性质，解决问题：
①试写出该函数的一条性质：______；
②当时，函数的自变量的取值范围是______；
③若直线与函数的图象有三个不同的交点，请直接写出的取值范围．
11. （2022河南汝州一模）有这样一个问题：探究函数的图象与性质，通过列表、描点、连线，画出函数的部分图象如图所示，探究过程如下：
（1）函数的自变量的取值范围是 ．
（2）对于函数，与的几组对应值如表：
…
﹣1
﹣0.5
0
0.5
1.5
2
2.5
3
…
…
0.5
1
2
…
在同一直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，并补全函数的图象（画出方格内部分函数图象即可）．其中，_______；
（3）观察图象，写出函数的一条性质：_____．
（4）结合图象填空：当关于的方程有两不相等的实数根时，实数的取值范围是_____；当关于的方程无实数根时，实数的取值范围是 ．
12. （2022人大附中一模）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小亮根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补充完整：
（1）函数中自变量x的取值范围是 ；
（2）表格是y与x的几组对应值．
x
…
0
2
3
4
5
…
y
…
m
…
直接写出m的值 ；
（3）在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）根据画出的函数图象，发现下列特征：
①该函数的图象与直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线 越来越靠近而永不相交．
②请再写出此函数的一条性质： ．
（5）已知不等式的解集为或，则的值为 ．
13. （2022北京海淀一模）数学学习小组的同学共同探究体积为330mL圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案．，他们想探究容器表面积与底面半径的关系．
具体研究过程如下，请补充完整：
（1）建立模型：设该容器的表面积为S，底面半径为cm，高为cm，则
， ①
， ②
由①式得，代入②式得
． ③
可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是．
（2）探究函数：
根据函数解析式③，按照下表中自变量x的值计算（精确到个位），得到了S与x的几组对应值：
…
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
…
…
666
454
355
303
277
266
266
274
289
310
336
…
在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）解决问题：根据图表回答，
①半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积______．（填“大”或“小”）；
②若容器的表面积为300，容器底面半径约为______cm（精确到0.1）．
14.（2021重庆中考B卷）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
6
5
4
a
2
1
b
7
…
（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值：
m＝ ，a＝ ，b＝ ；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质： ；
（3）已知函数y＝的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x+|﹣2x+6|+m＞的解集．
15.. （2021重庆中考A卷）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象；
x
…
－5
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
5
…
…
－
－
－
0
4
0
…
（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质；
（3）已知函数的图象如图所示．根据函数图象，直接写出不等式的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
16．（2021自贡中考）（10分）函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数y＝﹣的图象，并探究其性质．
列表如下：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
a
0
b
﹣2
﹣
﹣
…
（1）直接写出表中a、b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）观察函数y＝﹣的图象，判断下列关于该函数性质的命题：
①当﹣2≤x≤2时，函数图象关于直线y＝x对称；
②x＝2时，函数有最小值，最小值为﹣2；
③﹣1＜x＜1时，函数y的值随x的增大而减小．
其中正确的是 ．（请写出所有正确命题的番号）
（3）结合图象，请直接写出不等式＞x的解集 ．
17．（2021枣庄中考）（8分）小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数y＝（x≠0）的图象与性质进行探究．
因为y＝＝1﹣，即y＝﹣+1，所以可以对比函数y＝﹣来探究．
列表：（1）下表列出y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m＝ ，n＝ ；
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
1
2
3
4
…
y＝﹣
…
1
2
4
﹣4
﹣2
﹣1
﹣
﹣
…
y＝
…
2
3
m
﹣3
﹣1
0
n
…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y＝相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：
（2）请把y轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来；
（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x＜0时，y随x的增大而 ；（填“增大”或“减小”）
②函数y＝的图象是由y＝﹣的图象向 平移 个单位而得到．
③函数图象关于点 中心对称．（填点的坐标）
18．（2021临沂中考）（9分）已知函数y＝
（1）画出函数图象；
列表：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
﹣1
﹣3
0
3
1
.…
描点，连线得到函数图象：
（2）该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值，若没有，简述理由；
（3）设（x1，y1），（x2，y2）是函数图象上的点，若x1+x2＝0，证明：y1+y2＝0．
19．(2021襄阳中考)（7分）小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质．其研究过程如下：
（1）绘制函数图象
①列表：如表是x与y的几组对应值，其中m＝ ；
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣
﹣
﹣
﹣
0
1
2
…
y
…
﹣
﹣
﹣1
﹣2
﹣3
3
2
m
…
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（0，m）；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．
（2）探究函数性质
判断下列说法是否正确（正确的填“√”，错误的填“×”）
①函数值y随x的增大而减小： ．
②函数图象关于原点对称： ．
③函数图象与直线x＝﹣1没有交点： ．
20．（2021荆州中考）（8分）小爱同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x|﹣1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
（1）观察探究：
①写出该函数的一条性质： ；
②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为： ；
③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四个实数根，则a的取值范围是 ．
（2）延伸思考：
将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的图象？写出平移过程，并直接写出当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围．
21. （2022北京房山二模）如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（不与点A，B重合），AB＝6cm，过点C作CD⊥AB于点D，E是CD的中点，连接AE并延长交于点F，连接FD．小腾根据学习函数的经验，对线段AC，CD，FD的长度之间的关系进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）对于点C在上不同位置，画图、测量，得到了线段AC，CD，FD的长度的几组值，如表：
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
AC/cm
01
0.5
1.0
1.9
2.6
3.2
4.2
4.9
CD/cm
0.1
0.5
1.0
1.8
2.2
2.5
2.3
1.0
FD/cm
0.2
1.0
1.8
2.8
3.0
2.7
1.8
0.5
在AC，CD，FD的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解答问题：当CD＞DF时，AC的长度的取值范围是 ．
2023年二轮复习解答题专题二十：
新函数图象与性质的探究应用
方法点睛
这类考题主要通过类比已掌握的函数学习思路与经验，探究未知函数的图象和性质.
函数学习的思路：实际问题 建立函数模型 函数概念（解析式）
画函数图象 探究图象性质 实际应用
涉及考点：
1.函数解析式，必须关注自变量的取值范围.
2.考查代入求值（代入横坐标求纵坐标、代入纵坐标求横坐标、代入点坐标求待定系数）.
3.在平面直角坐标系内描点，并会用“光滑的曲线”画函数图象（已描点只需画图、已描部分点补全后画图、描点并画图）.
4.探究函数性质（主要关注“增减性、最值、对称性”等方面）.
5.能数形结合探究函数、方程和不等式之间的关系（求方程的解、不等式解集或求字母的取值范围）.
典例分析
题型一 新函数图象与性质的探究
例1：（2022荆州中考）小华同学学习函数知识后，对函数通过列表、描点、连线，画出了如图1所示的图象．
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
1
2
4
1
0
－4
－2
－1
…
请根据图象解答：
（1）【观察发现】①写出函数的两条性质：______；______；②若函数图象上的两点，满足，则一定成立吗？______．（填“一定”或“不一定”）
（2）【延伸探究】如图2，将过，两点的直线向下平移n个单位长度后，得到直线l与函数的图象交于点P，连接PA，PB．
①求当n＝3时，直线l的解析式和△PAB的面积；
②直接用含n的代数式表示△PAB的面积．
题型二 结合实际问题的函数图象与性质探究
例2 （2022河南邓州二模）给定一个函数：，为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，进行如下探索：
（1）图象初探
①列表如下
x
……
1
2
3
4
……
y
……
m
3
n
……
请直接写出m，n的值；
②请在如下的平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．
（2）性质再探
请结合函数的图象，写出当__________，y有最小值为__________；
（3）学以致用
某农户要建进一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为3千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．
设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元，可得到y与x的函数关系式为：．根据以上信息，请回答以下问题：
①水池总造价的最低费用为_____________千元；
②若该农户预算不超过5.5千元，请直接写出x的值应控制在什么范围？________________
类型三 利用新函数图象与性质解决平面几何问题
例3 （2022兰州中考）如图，在中，，，，M为AB边上一动点，，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（），B，N两点间的距离为ycm（当点M和B点重合时，B，N两点间的距离为0）．
小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整．
（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值：
x/cm
0
0.5
1
1.5
1.8
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
y/cm
4
3.96
3.79
3.47
a
2.99
2.40
1.79
1.23
0.74
0.33
0
请你通过计算，补全表格：______；
（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数y关于x的图像；
（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：______．
（4）解决问题：当时，AM的长度大约是______cm．（结果保留两位小数）
专题过关
1. （2022嘉兴中考） 6月13日，某港口的潮水高度y（）和时间x（h）的部分数据及函数图象如下：
x（h）
…
11
12
13
14
15
16
17
18
…
y（）
…
189
137
103
80
101
133
202
260
…
（数据来自某海洋研究所）
（1）数学活动：
①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象．
②观察函数图象，当时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？
（2）数学思考：
请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．
（3）数学应用：
根据研究，当潮水高度超过260时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？
2.（2022河南上蔡二模） 在学完二次函数的图象与性质后，某数学兴趣小组对函数的图象与性质进行了探究，下面是该兴趣小组的探究过程，请补充完整：
（1）列表
x
…
0
0.25
0.5
0.75
1
2
3
…
y
…
0
a
0
…
表格中a的值为______．
（2）描点，连线，根据以上信息将函数图象补充完整．
（3）观察函数图象，请写出此函数的两条性质：
①______；
②______．
（4）已知关于x的方程
①若方程有两个相等的实数根，则m的值为______；
②若方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为______．
3. （2022驻马店六校联考二模）小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其研究过程如下：
（1）绘制函数图象
①列表：下表是与的几组对应值，其中______；
…
0
1
2
…
…
3
2
…
②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．
（2）探究函数性质
判断下列说法是否正确（正确的填“√”，错误的填“×”）．
①函数值随的增大而减小：______
②函数图象关于原点对称：______
③函数图象与直线没有交点．______
3. （2022河南商城一模）小明根据学习函数的经验，对函数y＝|x2﹣2x|﹣2的图象与性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
6
m
﹣2
﹣1
﹣2
n
6
…
（1）在给定的平面直角坐标系中；画出这个函数的图象，
①列表，其中m＝ ，n＝ ．
②描点：请根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点：
③连线：画出该函数的图象．
（2）写出该函数的两条性质： ．
（3）进一步探究函数图象，解决下列问题：
①若平行于x轴的一条直线y＝k与函数y＝|x2﹣2x|﹣2的图象有两个交点，则k的取值范围是 ；
②在网格中画出y＝x﹣2的图象，直接写出方程|x2﹣2x|﹣2＝x﹣2的解为 ．
4. （2022河南新安一模）为解方程，小舟根据学习函数的经验对其进行了探究，下面是其探究的过程，请补充完整：
（1）先研究函数，列表如下：
x
-2
-1
0
1
2
y
0
0
m
0
表格中，m的值为______．
（2）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了函数图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数图象．
（3）观察图象，当时，满足条件的x的取值范围是______．
（4）在第（2）间的平面直角坐标系中画出直线．根据图象直接写出方程的近似解（结果保留一位小数）．
5.（2022濮阳二模） 研究函数图象性质，需要“列表、描点、用平滑的线依次连接各点“画出函数图象，这个方法叫作描点法．为研究函数图象性质我们也可以利用它们的数学关系去理性分析，对函数的图象作合情推理，然后利用描点法画出图象进行验证．
（1）在研究函数的图象前，老师预先给出了下面四个图象．请你利用函数关系，分析下列图象中可能是函数图象的是（ ）
（2）结合分析的函数图象，写出函数图象的二条性质；
①性质一： ；
②性质二： ．
（3）若与函数图象的两个分支都有交点，直接写出b的取值范围．
6. （2022平顶山一模）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了（x>0）和的图象，两个函数图象交于A（x1，y2），B（x2，y2）两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点 O（如图1）．在点P移动的过程中，发现PO 的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究 PO 的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题∶
（1）设点P的横坐标为x，PQ的长度为y，则y与x之间的函数关系式为______（x1
①列表∶
x
1
2
3
4
y
0
m
3
n
0
表中 m＝______，n＝______；
②描点∶根据上表中的数据，在图2中描出各点，
③连线∶请在图2中画出该函数的图象．观察函数图象，当x＝______时，y的最大值为______；
（3）应用∶已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长 W与n存在函数关系，求 m取最大值时矩形的对角线长．
7.（2022南阳卧龙二模） 在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．下面我们对函数的图象与性质进行探究，下表是该函数y与自变量x的几组对应值（y取近似值）：
x
…
0
1
2
3
…
y
…
1.06
1.13
1.2
1.24
1.2
0.92
0
…
请解答下列问题：
（1）求该函数的解析式；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象；
（3）写出该函数的一条性质______．
8.（2022洛阳伊川一模） 某数学兴趣小组的同学在学过函数的知识之后，对函数的图象与性质进行了探究，请补充完整以下探索过程：
（1）列表：
…
0
1
2
…
…
2
0
…
表中______；______．
（2）根据上表中的数据，在平面直角坐标系中补全该函数图象，并写出该函数的一条性质．
（3）若函数的图象上有，，三个点，且，则，，之间的大小关系为______．（用“＜”连接）
（4）若方程至少有两个不同的实数根，请根据函数图象，直接写出的取值范围．
9. （2022焦作一模）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是__________；
（2）下表是x与y的几组对应值．
x
…
1
1.2
2
3
4
5
6
…
y
…
1
1.2
m
2
3
4
6
6
5
3
2
1.5
1.2
1
…
求m的值；
（3）根据上表的数据将该函数图象补充完整并写出两条函数的性质；
（4）已知函数的图象如图所示，请直接写出不等式的解集．
10. （2022河南固始一模）九（1）班数学兴趣小组的同学参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质，他们的探究过程如下，请你补充完整．
（1）列表：
…
0
1
2
3
4
5
6
7
…
…
0
0
5
1
…
表中______，______．
（2）描点、连线：
如图，在平面直角坐标系中，根据上表中数据以自变量的值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出了部分对应点，请你描出剩余的点，并画出该函数的图象．
（3）探究性质，解决问题：
①试写出该函数的一条性质：______；
②当时，函数的自变量的取值范围是______；
③若直线与函数的图象有三个不同的交点，请直接写出的取值范围．
11. （2022河南汝州一模）有这样一个问题：探究函数的图象与性质，通过列表、描点、连线，画出函数的部分图象如图所示，探究过程如下：
（1）函数的自变量的取值范围是 ．
（2）对于函数，与的几组对应值如表：
…
﹣1
﹣0.5
0
0.5
1.5
2
2.5
3
…
…
0.5
1
2
…
在同一直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，并补全函数的图象（画出方格内部分函数图象即可）．其中，_______；
（3）观察图象，写出函数的一条性质：_____．
（4）结合图象填空：当关于的方程有两不相等的实数根时，实数的取值范围是_____；当关于的方程无实数根时，实数的取值范围是 ．
12. （2022人大附中一模）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小亮根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补充完整：
（1）函数中自变量x的取值范围是 ；
（2）表格是y与x的几组对应值．
x
…
0
2
3
4
5
…
y
…
m
…
直接写出m的值 ；
（3）在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）根据画出的函数图象，发现下列特征：
①该函数的图象与直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线 越来越靠近而永不相交．
②请再写出此函数的一条性质： ．
（5）已知不等式的解集为或，则的值为 ．
13. （2022北京海淀一模）数学学习小组的同学共同探究体积为330mL圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案．，他们想探究容器表面积与底面半径的关系．
具体研究过程如下，请补充完整：
（1）建立模型：设该容器的表面积为S，底面半径为cm，高为cm，则
， ①
， ②
由①式得，代入②式得
． ③
可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是．
（2）探究函数：
根据函数解析式③，按照下表中自变量x的值计算（精确到个位），得到了S与x的几组对应值：
…
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
…
…
666
454
355
303
277
266
266
274
289
310
336
…
在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）解决问题：根据图表回答，
①半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积______．（填“大”或“小”）；
②若容器的表面积为300，容器底面半径约为______cm（精确到0.1）．
14.（2021重庆中考B卷）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
6
5
4
a
2
1
b
7
…
（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值：
m＝ ，a＝ ，b＝ ；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质： ；
（3）已知函数y＝的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x+|﹣2x+6|+m＞的解集．
15.. （2021重庆中考A卷）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象；
x
…
－5
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
5
…
…
－
－
－
0
4
0
…
（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质；
（3）已知函数的图象如图所示．根据函数图象，直接写出不等式的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
16．（2021自贡中考）（10分）函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数y＝﹣的图象，并探究其性质．
列表如下：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
a
0
b
﹣2
﹣
﹣
…
（1）直接写出表中a、b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）观察函数y＝﹣的图象，判断下列关于该函数性质的命题：
①当﹣2≤x≤2时，函数图象关于直线y＝x对称；
②x＝2时，函数有最小值，最小值为﹣2；
③﹣1＜x＜1时，函数y的值随x的增大而减小．
其中正确的是 ．（请写出所有正确命题的番号）
（3）结合图象，请直接写出不等式＞x的解集 ．
17．（2021枣庄中考）（8分）小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数y＝（x≠0）的图象与性质进行探究．
因为y＝＝1﹣，即y＝﹣+1，所以可以对比函数y＝﹣来探究．
列表：（1）下表列出y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m＝ ，n＝ ；
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
1
2
3
4
…
y＝﹣
…
1
2
4
﹣4
﹣2
﹣1
﹣
﹣
…
y＝
…
2
3
m
﹣3
﹣1
0
n
…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y＝相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：
（2）请把y轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来；
（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x＜0时，y随x的增大而 ；（填“增大”或“减小”）
②函数y＝的图象是由y＝﹣的图象向 平移 个单位而得到．
③函数图象关于点 中心对称．（填点的坐标）
18．（2021临沂中考）（9分）已知函数y＝
（1）画出函数图象；
列表：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
﹣1
﹣3
0
3
1
.…
描点，连线得到函数图象：
（2）该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值，若没有，简述理由；
（3）设（x1，y1），（x2，y2）是函数图象上的点，若x1+x2＝0，证明：y1+y2＝0．
19．(2021襄阳中考)（7分）小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质．其研究过程如下：
（1）绘制函数图象
①列表：如表是x与y的几组对应值，其中m＝ ；
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣
﹣
﹣
﹣
0
1
2
…
y
…
﹣
﹣
﹣1
﹣2
﹣3
3
2
m
…
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（0，m）；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．
（2）探究函数性质
判断下列说法是否正确（正确的填“√”，错误的填“×”）
①函数值y随x的增大而减小： ．
②函数图象关于原点对称： ．
③函数图象与直线x＝﹣1没有交点： ．
20．（2021荆州中考）（8分）小爱同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x|﹣1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
（1）观察探究：
①写出该函数的一条性质： ；
②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为： ；
③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四个实数根，则a的取值范围是 ．
（2）延伸思考：
将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的图象？写出平移过程，并直接写出当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围．
21. （2022北京房山二模）如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（不与点A，B重合），AB＝6cm，过点C作CD⊥AB于点D，E是CD的中点，连接AE并延长交于点F，连接FD．小腾根据学习函数的经验，对线段AC，CD，FD的长度之间的关系进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）对于点C在上不同位置，画图、测量，得到了线段AC，CD，FD的长度的几组值，如表：
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
AC/cm
01
0.5
1.0
1.9
2.6
3.2
4.2
4.9
CD/cm
0.1
0.5
1.0
1.8
2.2
2.5
2.3
1.0
FD/cm
0.2
1.0
1.8
2.8
3.0
2.7
1.8
0.5
在AC，CD，FD的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解答问题：当CD＞DF时，AC的长度的取值范围是 ．
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