2023学年二轮复习解答题专题二十一：二次函数范围问题——给定范围

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2023年二轮复习解答题专题二十一：
二次函数范围问题——给定范围
方法点睛
在给定范围内求二次函数最值的方法
当m≤x≤n时,求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的最大值和最小值：
（1） 若m＜n＜ －b/2a ,当a＞0时,在x＝m处取最大值,在x＝n处取最小值,即离对称轴远的点取最大值,近的点取最小值；当a＜0时,在x＝n处取最大值,在x＝m处取最小值,即离对称轴近的点取最大值,远的点取最小值；
（2）若m＜ －b/2a ＜n,当a＞0时,在对称轴处取最小值,在x＝m（n）处取最大值,即在离对称轴远的点取最大值；当a＜0时,在对称轴处取最大值,则在x＝m（n）处取最小值,即在离对称轴远的点取最小值；
（3）若 －b/2a ＜m＜n,当a＞0时,在x＝n处取最大值,在x＝m处取最小值,即在离对称轴近的点取最小值,远的点取最大值；当a＜0时,在x＝m处取最大值,在x＝n处取最小值,即在离对称轴远的点取最小值,近的点取最大值.
典例分析
例1：．（2020河南中考）（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；
（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围．

【解答】（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+c与y轴正半轴分别交于点B，
∴点B（0，c），
∵OA＝OB＝c，
∴点A（c，0），
∴0＝﹣c2+2c+c，
∴c＝3或0（舍去），
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点G的坐标为（1，4）；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴为直线x＝1，
∵点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，
∴点M的横坐标为﹣2或4，点N的横坐标为6，
∴点M坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），点N坐标为（6，﹣21），
∵点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，
∴﹣21≤yQ≤4或﹣21≤yQ≤﹣5．

专题过关
1.（2022丽水中考）如图，已知点在二次函数的图象上，且．


（1）若二次函数的图象经过点．
①求这个二次函数的表达式；
②若，求顶点到的距离；
（2）当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．
【答案】（1）①；②
（2）
【解析】
【分析】(1)①将点代入中即可求出二次函数表达式；
②当时，此时为平行x轴的直线，将代入二次函数解析式中求出，再由求出直线为，最后根据二次函数顶点坐标即可求解；
(2)先求出二次函数的最小值在对称轴时取得为-1，然后根据和两种情况考虑自变量离对称轴的远近来确定二次函数的最大值即可求解．
【小问1详解】
解：①将点代入中，
∴，
解出，
∴二次函数的表达式为：；
②当时，此时为平行x轴的直线，
将代入二次函数中得到：，
将代入二次函数中得到：，
∵，
∴=，
整理得到：，
又∵，代入上式得到：，
解出，
∴，即直线为：，
又二次函数的顶点坐标为(2，-1)，
∴顶点(2,-1)到的距离为．
【小问2详解】
解：二次函数的对称轴为直线，
当，点M、N在对称轴的异侧，
∴二次函数的最小值为当时取得，此时最小值为，
接下来分类讨论：
情况一：当，即时，结合已知条件，解出，
此时二次函数的最大值为时取得，且最大值为，
∵二次函数的最大值与最小值的差为1，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴此时a的取值范围为；
情况二：当，即时，结合已知条件，解出，
此时二次函数的最大值为时取得，且最大值为，
∵二次函数的最大值与最小值的差为1，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴此时a的取值范围为；
综上所述，a的取值范围为．
【点睛】本题考察了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像与性质及二次函数的最值等问题：当开口向上(向下)时，自变量的取值离对称轴越远，其对应的函数值就越大(越小) ．
2. （2022北京中考） 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为
（1）当时，求抛物线与y轴交点的坐标及的值；
（2）点在抛物线上，若求的取值范围及的取值范围．
【答案】（1）（0，2）；2
（2）的取值范围为，的取值范围为
【解析】
【分析】（1）当x=0时，y=2，可得抛物线与y轴交点坐标；再根据题意可得点关于对称轴为对称，可得t的值，即可求解；
（2）抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），根据抛物线的图象和性质可得当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时；当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，即可求解．
【小问1详解】
解：当时，，
∴当x=0时，y=2，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）；
∵，
∴点关于对称轴为对称，
∴；
【小问2详解】
解：当x=0时，y=c，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c），
∴抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），
∵，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
当点，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时， ，
∵1＜3，
∴2t＞3，即（不合题意，舍去），
当点在对称轴左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，，
此时点到对称轴距离大于点到对称轴的距离，
∴，解得：，
∵1＜3，
∴2t＞3，即，
∴，
∵，，对称轴为，
∴，
∴，解得：，
∴的取值范围为，的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．

3. （2022河南西华一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点．


（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）P为抛物线上一点（不与点C重合），
设点P的横坐标为m．
①点P到对称轴的距离小于1时，直接写出点P的纵坐标的取值范围；
②点P在抛物线上运动，若点P与点C的纵坐标之差为4时，求点P的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为，抛物线的对称轴为
（2）①点P的纵坐标；②点或点
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的性质计算得，结合抛物线图像的性质分析，即可得到答案；
（2）①根据题意列一元一次不等式并求解，得m取值范围，再结合二次函数图像的对称性分析，即可得到答案；
②根据坐标和二次函数图像的性质，得点P纵坐标，结合二次函数解析式，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案．
【小问1详解】
∵抛物线与y轴交于点
∴
∴
∴的对称轴为：；
【小问2详解】
①∵抛物线的对称轴为
点P到对称轴的距离小于1时，得：
∴
∵
∴抛物线开口向下
当时，二次函数取最大值，即
∵抛物线的对称轴为
∴和时，二次函数值相等，即二次函数值均为3
∴点P到对称轴的距离小于1时，点P的纵坐标；
②∵点P与点C的纵坐标之差为4，点
∴点P纵坐标为或
根据（2）①得：二次函数最大值
∴点P纵坐标为
∴
∴
∴
∴
∴或
∴或
∴点或点．
【点睛】本题考查了坐标、二次函数、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一元二次方程的性质，从而完成求解．
4. （2022濮阳二模）如图，已知对称轴为直线的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中．

（1）①求点C的坐标及抛物线的表达式；
②请你根据图象分析回答，一元二次方程有一正根和一负根时，c的取值范围是 ．
（2）当时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）①，；②
（2）或
【解析】
【分析】（1）①由抛物线解析式得出c=3，C（0，3），把对称轴和A点的坐标代入抛物线解析式得出方程组，待定系数法求解析式即可求解；
②由C（0，3），根据函数图像可知，一元二次方程有一正根和一负根时，即与的交点位于轴两侧，结合函数图像即可求解；
（2）根据题意，先求得顶点坐标，求得最大值与最小值的差不变时的自变量取值范围即可求得的范围，结合函数图象即可求解．
【小问1详解】
①∵对称轴为直线x=-1，
，
∵抛物线y=ax2+bx+3与y轴交于C点，
∴c=3，C（0，3），
∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A点，A点坐标为（1，0），
∴a+b+c=0，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；
②由C（0，3），依题意，一元二次方程有一正根和一负根时，即与的交点位于轴两侧，
所以，根据图象分析可知，一元二次方程有一正根和一负根时，c的取值范围是；
【小问2详解】
当时，
∵对称轴为x=-1，
且抛物线经过A（1，0），
∴B（-3，0）；
，
顶点坐标为，
①当时，最大值为，最小值为，
最大值与最小值的差不是一个定值，不符合题意，
②当m=1时，最大值与最小值都为0，符合题意，
③当时，最大值为,
最小值为，此时最大值与最小值的差是一个定值，
综上所述，当时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，则或．

【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，数形结合是解题的关键．
5. （2022平顶山一模）如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A 在点B左侧）．与y轴相交于点C，已知AB＝4．

（1）点A，B的坐标分别为______，______；
（2）c值为______，抛物线的顶点坐标为______；
（3）设点P是y轴右侧抛物线上一动点，过点P作 PM//x轴交直线 BC于点M，当 PM≥2时，求点P的横坐标的取值范围
【答案】（1），；
（2）－3，；
（3），或
【解析】
【分析】（1）根据解析式求得对称轴，根据AB＝4．即可求得点A，B的坐标，
（2）将点代入求解即可求得的值，进而化为顶点式即可求得顶点坐标，
（3）求得直线BC的解析为，设点P的坐标为，则点M的坐标为．分①当点P在第四象限时，②当点P在第一象限时，分别求得当时，的值，进而可得当时，P的横坐标的取值范围
【小问1详解】
解：抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A 在点B左侧），AB＝4．
对称轴为
∴xA =1-2=-1，xB=1+2=3,
∴
故答案为：，；
【小问2详解】
将点代入得
，
抛物线解析式为
顶点坐标为
故答案为：－3，；
【小问3详解】
设直线BC的解析式为，
把，两点坐标代入，
则有，
解得，，
即直线BC的解析为
又抛物线的解析式为，
设点P的坐标为，由轴可得点M的坐标为．
①当点P在第四象限时，令，有，
即，
解得：，，
故当时，有．
②当点P在第一象限时，令，有，
即，
解得：，（不合题意，舍去），
故当时，有．
综上可得，满足题意的点P的横坐标的取值范围是或．

【点睛】本题考查了二次函数的综合，待定系数法求解析式，化为顶点式，掌握二次函数图象的性质，分类讨论是解题的关键．
6.（2022南阳宛城一模） 已知抛物线（m为常数）．
（1）当时，设点，），Q（4，）在该抛物线上，若，直接写出的取值范围；
（2）若点A（1，）、B（4，）在该抛物线上，且，求m的取值范围；
（3）当时，y的最小值为3，求m的值．
【答案】（1）或
（2）
（3）－1或5
【解析】
【分析】（1）将m=3代入可得函数关系式为，此时可得函数开口向上，与x轴的两个交点分别为（2，0）（4，0），若即，结合图象可得此时的取值范围；
（2）将点A和点B的坐标代入函数关系式，得到，，根据题意得：，解不等式即可；
（3）由题意：，可得抛物线的对称轴为直线，函数的最小值为-1，根据对称轴在直线x=1左侧，在直线x=1与直线x=3之间和在直线x=3右侧分情况讨论即可．
【小问1详解】
解：将m=3代入可得函数关系式为，
此时可得函数开口向上，与x轴的两个交点分别为（2，0）（4，0），
若即，结合图象可得当时或；
【小问2详解】
解：∵点A（1，）、B（4，）在抛物线上，
∴，，
又∵，∴，
解得：；
【小问3详解】
解：由题意：
可得抛物线的对称轴为直线，函数的最小值为-1，
当时，y随x增大而增大，故当时，y有最小值3．
∴，解得（舍去），；
当时，对称轴为直线，函数的最小值为-1，不合题意舍去；
当时，y随x增大而减小，故当时，y有最小值3，
∴，解得（舍去），；
综上所述，m的值为－1或5．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是注意数形结合和分类讨论．
7. （2022信阳二模）如图，已知二次函数在平面直角坐标系中的图象经过点A(4，0)和点，直线AB的解析式为．


（1）求m、n的值及二次函数的解析式；
（2）善于动脑筋的小武同学拿出一把平时用的矩形直尺，他使直尺有刻度的一边与直线AB重合后惊奇地发现，与之相对的另一边正好经过该抛物线与x轴的另一个交点C；
①求小武同学的直尺的宽度；
②若点Q恰好为抛物线上被直尺遮住的图象上的动点，假设直尺经过点C的一边与抛物线的另一个交点为点D，若点Q的纵坐标为，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）m=-2，n=，二次函数解析式为：；
（2）的取值范围是：．
【解析】
【分析】（1）将点A（4，0）代入确定一次函数解析式，将点B代入一次函数解析式确定点B的坐标，将点A、B代入二次函数解析式即可确定二次函数解析式；
（2）①设直线CD与y轴相交于点E，过点E作EF⊥CD，交直线AB于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，根据题意确定点C的坐标，由平行及待定系数法分别确定CD、EF的解析式，由勾股定理即可得出直尺的宽度；
②联立一次函数及二次函数确定点D的坐标，然后结合图象即可得出结果．
【小问1详解】
解：将点A（4，0）代入得，
，
解得：m=-2，
∴一次函数解析式为：，
把点B（）代入一次函数解析式可得，
，
解得：n=，
∴B（），
将点A、B代入中，可得，
，
解得：，
∴；
【小问2详解】
解：①如图所示：设直线CD与y轴相交于点E，过点E作EF⊥CD，交直线AB于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，


∵，
∴当y=0时，，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴C(-1,0)，
∵CD∥AB，
∴设直线CD的解析式为，将点C代入可得，
，
解得：，
∴直线CD的解析式为，
当x=0时，y=，
∴E(0,)，
∵EF⊥CD，
∴设直线EF的解析式为，
将点E代入可得：，
∴直线EF的解析式为，
联立得：，
解得：，
∴F(1, )，
∵FG⊥y轴，
∴G(0,)，∠EGF=90°，
∴EG=2，FG=1，
∴，
∴小武同学的直尺宽度为；
②联立两个函数为：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴D()，
∵点Q恰好为抛物线上被直尺遮住的图象上的动点，在点C与点D的纵坐标之间，
∴的取值范围是：．
【点睛】题目主要考查二次函数与一次函数综合问题，包括利用待定系数法确定函数解析式、函数交点问题、勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
8.（2022新乡牧野三模） 已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（3，2），且过点（0，11）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移m（m＞0）个单位长度后得到新抛物线．
①若新抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且OB＝3OA，求m的值；
②若P（x1，y1），Q（x2，y2）是新抛物线上的两点，当n≤x1≤n+1，x2≥4时，均有y1≤y2，求n的取值范围．
【答案】（1）y＝（x﹣3）2+2；（2）①或6；②
【解析】
【分析】（1）设抛物线解析式为顶点式y＝a（x﹣3）2+2，把点（0，11）代入求值即可；
（2）①利用抛物线解析式求得点A、B的坐标，根据抛物线的对称性质和方程思想求得m的值即可；
②根据抛物线对称性质知：当x＝4和x＝﹣2时，函数值相等．结合图象，得n≥﹣2且n+1≤4．解该不等式组得到：﹣2≤n≤3．
【详解】解：（1）∵顶点为（3，2），
∴y＝ax2+bx+c＝y＝a（x﹣3）2+2（a≠0）．
又∵抛物线过点（0，11），
∴a（0﹣3）2+2＝11，
∴a＝1．
∴y＝（x﹣3）2+2；
（2）由平移的性质知，平移后的抛物线的表达式为y＝（x﹣3+2）2+2﹣m＝x2﹣2x+3﹣m，
①分情况讨论：
若点A，B均在x轴正半轴上，设A（x，0），则B（3x，0），
由对称性可知：（x+3x）＝1，解得x＝，
故点A坐标为（，0），
将点A的坐标代入y＝x2﹣2x+3﹣m得：0＝﹣1+3﹣m，
解得m＝
若点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，设A（x，0），则B（﹣3x，0），
由对称性可知：（x﹣3x）＝1，
解得x＝﹣1，
故点A的坐标为（﹣1，0），
同理可得m＝6，
综上：m＝或m＝6；
②∵新抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＝4和x＝﹣2时，函数值相等．
又∵当n≤x1≤n+1，x2≥4时，均有y1≤y2，

∴结合图象，得，
∴﹣2≤n≤3．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
9. （2022南阳内乡一模）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．

（1）求抛物线的解析式及对称轴．
（2）在抛物线上任取一点M，过点M作MN//x轴，且四边形ABMN为平行四边形，在线段MN上任取一点P，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，记点Q的纵坐标为yQ．当点M到抛物线对称轴的距离不超过1个单位长度时，求yQ的取值范围．
【24题答案】
【答案】（1）抛物线的解析式为；抛物线的对称轴为x=1
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据点C为抛物线y=ax2+bx+3与y轴的交点，得出点C的坐标及OC的长，再根据OB=OC=3OA，得出点A和点B的坐标，然后用待定系数法求解即可求得解析式，最后根据x=-求得对称轴．
（2）作平行四边形ABMN，由平行四边形的性质可得MN=AB=4；由点M到抛物线对称轴的距离不超过1个单位长度，得出xM的取值范围，从而可得xN的范围；根据点P在线段MN上，PQ⊥MN，xP和xQ的范围，结合点Q在抛物线y=-x2+2x+3上，可得点Q的纵坐标yQ的取值范围．
【小问1详解】
∵点C为抛物线y=ax2+bx+3与y轴的交点，
∴C（0，3），
∴OC=3，
又∵OB=OC=3OA，
∴OB=3，OA=1，
∴A（-1，0），B（3，0），
将点A，B的坐标代入抛物线y=ax2+bx+3中，
得 ，解得
∴抛物线的解析式为
∴抛物线的对称轴为直线x1．
【小问2详解】
作平行四边形ABMN，如图所示：

∴MN=AB=4，点N在点M左侧，
又∵点M到抛物线对称轴的距离不超过1个单位长度，抛物线的对称轴为直线x=1，
∴0≤xM≤2，
∴-4≤xN≤-2，
又∵点P在线段MN上，PQ⊥MN，
∴-4≤xP≤2，xP=xQ，
∴-4≤xQ≤2，
又∵点Q抛物线y=-x2+2x+3= 上，
∴当xQ=1时，yQ取最大值4；当xQ=-4时，yQ取最小值-21；
∴-21≤yQ≤4．
【点睛】本题考查了抛物线与纵坐标的交点坐标、待定系数法求函数的解析式、平行四边形的性质、二次函数的图象与性质等知识点，数形结合、熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
10. （2022南阳方城二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（–3，5），B（0，5）．抛物线y=-x2+bx+c交x轴于C（1，0），D（-3，0）两点，交y轴于点E．

（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）当-4≤x≤0时，求y的最大值与最小值的积；
（3）连接AB，若二次函数y=-x2+bx+c图象向上平移m(m>0)个单位时，与线段AB有一个公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
【答案】（1），
（2）
（3），或
【解析】
【分析】（1）通过待定系数法求出函数解析式，将解析式化为顶点式求解．
（2）根据抛物线开口方向及顶点坐标，结合的取值范围求解．
（3）结合图象，分别求出抛物线顶点在上，经过点，时的值，进而求解．
【小问1详解】
解：将，代入
得，
解得，
，
抛物线顶点坐标为．
【小问2详解】
解：抛物线开口向下，顶点坐标为，
函数最大值为，对称轴为直线，
，
时，为函数最小值，
当时，的最大值与最小值的积为．
【小问3详解】
解：二次函数的图象向上平移个单位后解析式为，
抛物线顶点坐标为，
当顶点落在线段上时，，
解得，

当抛物线向上移动，经过点时，，
解得，

当抛物线经过点时，，
解得，

当，或时，函数图象与线段有一个公共点．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象的平移规律．
11. （2022河南兰考二模）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且．


（1）求抛物线的解析式及对称轴．
（2）在抛物线上任取一点E，过点E作轴，且四边形ABEF为平行四边形，在线段EF上任取一点P，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，记点Q的纵坐标为．当点E到抛物线对称轴的距离不超过个单位长度时，求的取值范围．
【答案】（1）抛物线的解析式为，对称轴x
（2）的取值范围：-12≤yQ≤
【解析】
【分析】（1）先根据点C为抛物线y=ax2+bx+3与y轴的交点，得出点C的坐标及OC的长，再根据2OB=2OC=3OA，得出点A和点B的坐标，然后用待定系数法求解即可求得解析式，最后根据x=-求对称轴即可．
（2）作平行四边形ABEF，由平行四边形的性质可得EF=AB=5；由点E到抛物线对称轴的距离不超过个单位长度，得出xE的取值范围，从而可得xF的范围；根据点P在线段EF上，PQ⊥EF，得出xP和xQ的范围，结合点Q在抛物线上，根据二次函数的性质可得点Q的纵坐标yQ的取值范围．
【小问1详解】
解：∵点C为抛物线y=ax2+bx+3与y轴的交点，
∴C（0，3），
∴OC=3，
又∵2OB=2OC=3OA，
∴OB=3，OA=2，
∴A（-2，0），B（3，0），
将点A，B的坐标代入抛物线y=ax2+bx+3中，
得 ，解得，
∴抛物线的解析式为 ，
∴抛物线的对称轴为直线x．
【小问2详解】
作平行四边形ABEF，如图所示：


∴EF=AB=5，点F在点E的左侧，
又∵点E到抛物线对称轴的距离不超过个单位长度，且抛物线的对称轴为直线x=，
∴0≤xE≤1，
∴-5≤xF≤-4，
又∵点P在线段EF上，PQ⊥EF，
∴-5≤xP≤1，xP=xQ，
∴-5≤xQ≤1，
又∵点Q在抛物线 上，
∴当xQ=时，yQ取最大值，
当xQ=-5时，yQ取最小值-12，
∴-12≤yQ≤．
【点睛】本题考查了抛物线与纵坐标的交点坐标、待定系数法求函数的解析式、平行四边形的性质、二次函数的图象与性质等知识点，数形结合、熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
12. （2022焦作一模）如图，二次函数经过点，与x轴的负半轴，y轴正半轴交于点B，C，点G为抛物线的顶点．

（1）求b的值和点G的坐标；
（2）当时，求函数的最大值和最小值；
（3）当时，函数的最大值为m，最小值为n，若，求t的值．
【答案】（1），点G的坐标为
（2）函数的最大值为4，最小值为0
（3）t的值为0或1
【解析】
【分析】（1）代入A点坐标后求出解析式即可；
（2）根据顶点及二次函数增减性判断求值即可；
（3）根据对称轴是否在范围内分类讨论，结合二次函数增减性判断计算即可．
【小问1详解】
把代入 得：；

∴点G的坐标为
【小问2详解】
∵，
∴抛物线开口向下．
∵顶点G的坐标为，
当时，函数的最大值为4．
当，y随x的增大而增大
∴当时，y的最小值为0．
当，y随x的增大而减小
∴当，y的最小值为3
∴当时，函数的最大值为4，最小值为0．
【小问3详解】
①当时，，y随x的增大而增大
在时，
在时，
∴
∴
解得：（舍去）
②当时，顶点的横坐标在取值范围内，所以m的值为4，
（ⅰ）当时，在时，，
∴ ，
∴，
解得：（舍去）；
（ⅱ）当时，在时，，
∴ ∴，
解得：（舍去）．
③当时，y随x的增大而减小，
在时，，
在时，，
∴ ，
∴，
解得：．
综上所述：t值为0或1．
【点睛】本题考查二次函数的性质，重点是带取值范围的二次函数的最值，一般情况下顶点出取最值，有取值范围时需要根据对称轴是否在范围内分类讨论，解题的关键是熟记二次函数的增减性．
13. （2022河南济源一模）已知抛物线．


（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）如图，当时，抛物线与轴的负半轴、轴分别交于点A、点．
①将抛物线向右平移，使点A与原点重合．求平移后的抛物线的解析式；
②点为抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线，若点在由点向顶点运动的过程中，直线与抛物线、共有4个交点，请直接写出点的纵坐标的取值范围．
【答案】（1）(1，4)
（2）①；②或
【解析】
【分析】（1）将抛物线一般式改为顶点式即可解答；
（2）①根据，即得出A(-1，0)．由题意可知将抛物线向右平移1个单位，点A与原点重合，故抛物线的解析式为；②根据，得出B(0，3)，再求出两个抛物线的交点坐标结合图象即可得出点的纵坐标的取值范围．
【小问1详解】
解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为(1，4)；
【小问2详解】
①当时，该抛物线解析式为，
令，则，
解得：，
∴A(-1，0)．
当点A与原点重合，即将抛物线向右平移1个单位，
∴抛物线的解析式为；
②对于，令x=0，则，
∴B(0，3)．
如图，


联立，
解得：，
∴C(，)．
∴当P点纵坐标位于B点纵坐标与C点纵坐标和C点纵坐标与抛物线顶点纵坐标之间时，直线l与抛物线、共有4个交点，
∴当或时，直线l与抛物线、共有4个交点．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，二次函数的平移以及两抛物线的交点坐标．（1）将一般式改为顶点式是关键；（2）根据题意找出二次函数图象平移的方式是关键；（3）利用数形结合的思想是关键．
14.（2022北京人大附中一模） 在平面直角坐标系xOy中，，为抛物线上两点，其中．
（1）求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）若，点M，N在抛物线上运动，当时，求a的值；
（3）记抛物线在M，N两点之间的部分为图象G（包含M，N两点），若图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为1，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）（0，0），（－1，0）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）令，解得，，即可得到答案；
（2）把，分别代入抛物线，求出、与a的关系式，然后代入，即可求得答案；
（3）①当点M、N在对称轴同侧时，当点M、N均为对称轴的右侧时，即，则，进而求解；当点M、N均在对称轴左侧时，同理可解；②当点M、N在对称轴两侧时，同理可解．
【小问1详解】
解：令，
解得：，，
∴抛物线与x轴的交点坐标为：（0，0），（－1，0）；
【小问2详解】
解：当时，
把，分别代入抛物线，
得：，，
∴，
当时，得：，
解得：或；
【小问3详解】
解：由抛物线解析式可知，顶点坐标为，
①当点M、N在对称轴同侧时，当点M、N均为对称轴的右侧时，即，
则，
∴，
解得：，
当点M、N均在对称轴左侧时，
同理可得：，
∴；
②当点M、N在对称轴两侧时，则最小值为，最大值为或，
当最大值为时，则，
即：，
解得：，
则与点M关于抛物线对称轴对称点的横坐标为，
故点N的横坐标在和之间，
即：，
解得：，
当最大值为时，
同理可得：，
所以．
综上所述，若图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为1，t的取值范围是：．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图像和性质、解不等式等，解题的关键是掌握二次函数的图像的点的坐标特征和运用分类讨论思想、避免遗漏．
15. （2022北京海淀一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．
（1）求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；
（2）一次函数的图象经过点A，点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上．若，求m的取值范围．
【答案】（1），（1，-1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）把点代入，即可求解；
（2）先求出一次函数的解析式为，再根据题意列出不等式，即可求解．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图象经过点．
∴，解得：a=1，
∴该二次函数的解析式为，
∵，
∴图象顶点的坐标为（1，-1）；
【小问2详解】
解：∵一次函数的图象经过点A，
∴，解得：b=5，
∴一次函数的解析式为，
∵点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上．
∴，，
∵，
∴，即，
解得：．
【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键．
16. （2022北京海淀二模）在平面直角坐标系xOy中，点（m – 2, y1），（m, y2），（2- m, y3）在抛物线y = x2－2ax + 1上，其中m≠1且m≠2．
（1）直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）；
（2）当m = 0时，若y1= y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；
（3）若存在大于1的实数m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）a的取值范围是
【解析】
分析】（1）直接根据对称轴公式求即可；
（2）当时，这三个点分别为（，），（0，），（2，），再结合y1= y3，即可求出函数解析式，判断即可；
（3）将（m – 2, y1），（m, y2），（2- m, y3）代入y = x2－2ax + 1中，再解不等式即可；
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
当时，
这三个点分别为（，），（0，），（2，），
∵ ，
∴ （，）与（2，）关于对称轴对称，
∴ 抛物线的对称轴为，
即．
∴函数解析式为
∴ （0，）为抛物线的顶点．
∵ 抛物线的开口向上，
∴ 当时，为函数的最小值．
∴ ．
【小问3详解】
将，和分别代入，得：
，
，
．
则有：，
，
于是成立，即为和同时成立，
也即为和同时成立．
① 当时，，
故，不存在大于1的实数m；
② 当时，，
要使，则，也不存在大于1的实数m；
③ 当时，，不符合题意；
④ 时，
只需取满足的m即可满足前述两个不等式同时成立，
即成立．
综上所述，a的取值范围是．
【点睛】本题考查二次函数的性质，熟悉二次函数的性质是解题的关键，（3）需要注意分类讨论．
17. （2022北京丰台一模）在平面直角坐标系xOy中，点M（2，m），N（4，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．
（1）若m＝n，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点P（﹣1，P）在该抛物线上，设该抛物线的对称轴为x＝t．若mn＜0，且m＜p＜n，求t的取值范围．
【答案】（1）x=3 （2）
【解析】
【分析】（1）根据函数值相同的两个点关于对称轴对称求解即可；
（2）根据题意列出相应不等式，然后将不等式化简为对称轴的形式得出相应不等式解集，根据不等式解集的确定方法求解即可．
【小问1详解】
解：当m=n时，
对称轴为；
【小问2详解】
解：根据题意可得：
m=4a+2b，n=16a+4b，p=a-b，
∵m