2023学年二轮复习解答题专题四十八：与解题方法有关的阅读理解

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2023学年二轮复习解答题专题四十八：
与解题方法有关的阅读理解
典例分析
例. （2022吉林中考）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【作业】如图①，直线，与的面积相等吗？为什么？

解：相等．理由如下：
设与之间的距离为，则，．
∴．
【探究】
（1）如图②，当点在，之间时，设点，到直线的距离分别为，，则．

证明：∵


（2）如图③，当点在，之间时，连接并延长交于点，则．

证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，
∴ ．
∴ ．
∴．
由【探究】（1）可知 ，
∴．
（3）如图④，当点在下方时，连接交于点．若点，，所对应的刻度值分别为5，1.5，0，的值为 ．

专题过关
1. （2022北京中考）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，
已知：如图，,
求证：
方法一
证明：如图，过点A作

方法二
证明：如图，过点C作

2. （2022嘉兴中考）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．
小惠：
证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，
∴AC垂直平分BD．
∴AB＝AD，CB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
小洁：
这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．

若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．



3. （2022乐山中考） 华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．
2．如图，在正方形ABCD中，．求证：．
证明：设CE与DF交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．

某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究
（1）【问题探究】如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且．试猜想的值，并证明你的猜想．

（2）【知识迁移】如图，在矩形ABCD中，，，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且．则______．

（3）【拓展应用】如图，在四边形ABCD中，，，，点E、F分别在线段AB、AD上，且．求的值．

4. （2022黄冈中考） 问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证＝．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝．

（1）尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明＝；
（2）应用拓展：如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．
①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；
②若BC＝m，∠AED＝，求DE的长（用含m，的式子表示）．
5. （2022西宁中考）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
（1）请用分组分解法将因式分解；
【挑战】
（2）请用分组分解法将因式分解；
【应用】
（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值．

6. （2022盐城中考）【发现问题】
小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．
【提出问题】
小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．

【分析问题】
小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为______．
【解决问题】
请帮助小明验证他的猜想是否成立．
【深度思考】
小明继续思考：设点P(0,m)，m为正整数，以OP为直径画⊙M，是否存在所描的点在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
7. （2022苏州中学三模）阅读下面材料：
在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：
尺规作图：如图，过圆外一点作圆的切线.
已知：P为⊙O外一点.
求作：经过点P的⊙O的切线.

小敏的作法如下：如图，
(1)连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C.
(2)以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点.
(3)作直线PA，PB.
所以直线PA，PB就是所求作的切线.
老师认为小敏的作法正确.

请回答：
(1)连接OA，OB后，可证∠OAP＝∠OBP＝90°，其依据是_________.
(2)如果⊙O的半径等于3，点P到切点的距离为4，求点A与点B之间的距离.
8. （2022周口扶沟二模）在学完菱形的性质和判定后，某数学兴趣小组尝试利用手边的数学工具——三角板和圆规作出一个菱形，且菱形的其中一个内角为60°．下面是他们探究过程中的部分讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．


任务：
（1）甲同学的作法中，判定四边形ACDE为菱形的依据是________________________.
（2）你认为乙同学作图得出的四边形AOCD是有一个内角为60°的菱形吗？请判断并说明理由．
（3）如图3，丙同学模仿甲同学的方法，用含45°角的直角三角板作出了其中一个内角为45°的菱形ABMN，已知点P是线段MC上的一个动点，AB＝10，当∠PAB＝15°时，请直接写出点P到直线MN的距离．


9. （2022周口川汇区一模）下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务．
题目背景：在中，，，点在上．

（1）作图探讨：在外侧，以为边作；
小明：如图1，分别以，为圆心，以，为半径画弧交于点，连接，．则即为所求作的三角形．
小军：如图2，分别过，作，的垂线，两条垂线相交于点，则即为所求作的三角形．
选择填空：小明得出的依据是 　 　，小军得出的依据是 　 　；（填序号）
①
②
③
④
（2）测量发现：如图3，在（1）中的条件下，连接．兴趣小组用几何画板测量发现和的面积相等．为了证明这个发现，尝试延长线段至点，使，连接．请你完成证明过程．
（3）迁移应用：如图4，已知，，点在上，，，若在射线上存在点，使，请直接写出相应的的长．
10.（2022河南虞城二模） 动点问题一直是初中几何的一个难点，为培养学生的思维，刘老师采用了观察、发现、推测、验证、拓展的过程，让学生经历问题的发现、分析和解决的过程，逐步培养思维的形成．以下是刘老师对一道动点题的课堂实录，请仔细分析：
问题情境：如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，过点B作，点P为斜边AB上一个动点，连接CP，过点P作PQ⊥CP交BD于点Q，过点P作交AC于点M，交BD于点N．
刘老师：在这个问题情境中，你能初步得到哪些结论？并说明理由．
小明：我发现△PNB也是一个等腰直角三角形；
理由：∵BC⊥BD，∴∠CBD＝90°．
∵，∴∠MNB＝90°．
∵等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，∠A＝∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝∠BPN＝45°，∴BN＝PN，…………………………………………………………………①
∴△PNB为等腰直角三角形．
小红：我发现四边形MNBC是矩形；
理由：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC．
∵BD⊥BC，∴．
∵，∴四边形MNBC为平行四边形．…………………………………………………………②
∵∠ACB＝90°，∴平行四边形MNBC为矩形．…………………………………………………………③
小亮：我发现△CMP≌△PNQ；
…
刘老师：同学们的发现都很好，那么我们能不能按照这样的发现思路解决以下任务呢？

任务：
（1）课堂实录中①的依据是______；②的依据是______；③的依据是______．
（2）小亮的发现是否正确？若正确，请证明；若不正确，请说明理由．
（3）拓展研究：若AC＝BC＝1，当△PBQ是等腰三角形时，直接写出PC的长．
11.（2022河南永城一模） 阅读材料
如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．


（1）类比迁移
如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE＝EF，求证：AC＝BF．
小明发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图2，延长AD至点M，使MD＝FD，连接MC，……
请根据小明的思路完成证明过程．
（2）方法运用
如图3，在等边△ABC中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE．F是线段BE的中点，连接DF，CF．
①请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明；
②若AB＝4，CFCD请直接写出CF的长．
12.（2022河南桐柏一模） 习过相似三角形后，刘老师布置了一道思考题．
问题情境：如图1，等腰三角形ABC中，，CD为AB边上的中线，M为CD上一个动点，于点E，连接CE，若点N为AC上一个动点，连接EN，当，时，求EN的最小值．
小明在分析这道题时，发现思路不明显，他采用从特殊到一般的方法进行探究，以下是他的探究过程，请仔细阅读，并完成下列任务．


原题中动点较多，小明准备先从动点的条件入手分析：
分析一：如图2，等腰三角形ABC中，，CD为AB边上的中线，
若，点M为CD的中点，于点E，连接CE，
点N为AC上一个动点，连接EN，探究EN是否存在最小值；
过程：连接AE，∵CD垂直平分AB，，M是CD的中点，
∴，，∴是等腰直角三角形，
∵，∴，∴，
∵，∴≌，
∴，∴，
∴，∴，
∴是等腰直角三角形，∴当时有最小值；
分析二：如图3，等腰三角形ABC中，，CD为AB边上的中线，
若，且M，N分别为CD、CA的中点，于点E，
连接CE，EN，求证：．
任务：
（1）小明在分析一中判断EN的最小值时运用了______原理；（填序号）
①两点之间线段最短；②垂线段最短；③平行线间距离；④点到圆的距离．
（2）请完成分析二的证明；
（3）请直接写出问题情境中EN的最小值．
13. （2022河南天一大联考）定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图1，AC为⊙O的切线，点A为切点，AB为⊙O内一条弦，∠CAB即为弦切角，

（1）古希腊数学家欧几里得的《几何原本》是一部不朽的数学巨著，全书共13卷，以第1卷的23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题及证明．第三卷中命题32一弦切角定理的内容是：“弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数．”
如下给出了弦切角定理不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图2，AC为⊙O的切线，点A为切点，AB为⊙O内一条弦，点D在⊙O上，连接OA，OB，BD，AD．
求证：______．
证明：
（2）如图3，AB为⊙O切线，A为切点，点C是⊙O上一动点，过点C作CD⊥AB于点D，CD交⊙O于E，连接OE，OC，AE．若AD＝10，AE＝2，求弦CE的长．
14. （2022河南实验中学一模）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．

【问题发现】例如：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，如图2所示，则C，D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则（1）．
【初步运用】
（1）如图3，已知线段和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法，保留作图痕迹，你作图过程中用到哪些数学原理？请写出一条．
【问题拓展】
（2）如图4，已知矩形，，，M为边上的点．若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为_________．
15. （2022河南虞城二模）思考题：如图，正方形中，点P为上一个动点，点B关于的对称点为点M，的延长线交的延长线于点Q，点E为的中点，连接，过点D作交的延长线于点F，连接，求证：≌．

在分析过程中，小明找不到解题思路，便和同学们一起讨论，以下是讨论过程：
小红：可以得出；理由：连接，点M和点B关于对称，∴，又∵，∴，∵点E为的中点，∴；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．①
①小亮：是等腰直角三角形；
理由：由小红的结论得，∴，，
∴；
∵，∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②
②∴是等腰直角三角形；
小明：我好像知道该怎么解决问题了．
请仔细阅读讨论过程，完成下述任务．
任务：
（1）小红的讨论中①的依据是_______________，
小亮的讨论中②的依据是_______________；
（2）请帮小明证明≌；
拓展研究：
（3）若，连接，直接写出的最小值．
16.（2022商丘二模） 下图是小明复习全等三角形时遇到的一个问题并引发的思考，请帮助小明完成以下学习任务．
如图，OC平分，点P在OC上，M、N分别是OA、OB上点，，求证：．
小明的思考：要证明，只需证明即可．
证法：如图1，∵OC平分，∴，
又∵，，∴，
∴；
请仔细阅读并完成以下任务：

（1）小明得出的依据是______（填序号）．
①SSS ②SAS ③AAS ④ASA ⑤HL
（2）如图②，在四边形ABCD中，，的平分线和的平分线交于CD边上点P，求证：．
（3）在（2）的条件下，如图③，若，，当有一个内角是45°时，的面积是______．
17. （2022三门峡一模）数学老师在给同学们讲完下面例题后，告诉同学们，知道平行线、角平分线和等腰三角形中的任意两个条件，可证明第三个条件成立．
如图，已知，BD平分∠ABC，可证：．




受此启发，丽丽想到了另一种用尺规作角平分线的方法．
（1）请你帮她完善下面作图步骤：
已知：如图，．
求作：的平分线OP．
作法：①在OA上任取一点C；
②在内作，使；
③在CD上截取______；
④作射线OP，射线OP即为所求．


（2）补全上面作图．（保留作图痕迹）
（3）为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．下面给出了不完整的“已知”，请结合（2）的图形将已知补充完整，并写出证明过程．
已知：如图，C是边OA上任意一点，，P是CD上的点，且___=______，作射线OP．求证：OP平分．
18. （2022三门峡二模）阅读材料，并完成相应任务．
问题背景：在《阿基米德全集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的关于圆的一些问题，其中有这样一个问题：如图1，AB和BC是的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即．

（1）如图2，牛牛同学尝试运用“截长法”说明“”，于是他在CD上截取，连接MA，MB，ME，MC．请根据牛牛的思路完成证明过程；
（2）如图3，在中，，，若，则AE的长度为_______．
19.（2022濮阳二模） 下面是某数学兴趣小组对一个数学问题作的探究活动：
问题：
如图1，已知， ，点A在边上，点P是边上一动点，以线段为斜边作，，（C和O在的两侧），连接，将线段绕C逆时针旋转至，连接．

（1）如图1，小明同学得出，他的判断理由是（ ）
A． B． C． D．
（2）如图2，小颖同学作于D，她认为与存在某种数量关系，那么与是否有数量关系？如果有数量关系，请你写出与的数量关系并说明理由；
（3）如图1，小华说，当，当是直角三角形时，可求出的值，请你直接写出的值．
20. （2022开封一模）阅读理解：
如图（1），△ABC中，以B为圆心，以适当长为半径画弧，与BC和BA分别交于点X，Y再分别以点X，Y为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，作射线BD与AC交干点E，过点E作交AB于．
观察思考：
依据上述操作可，
①∠ABE与∠CBE的大小关系为_____________；
②BF与EF的数关系为_____________．
拓展延伸：
如图（2）在△ABC中，∠ABC的平分线与三角形外角∠ACG的平分线交于点D，过D作分别交AC，AB于点E，F，请判断EF与BF，CE之间的数量关系，并说明理由．
问题解决：
如图（3），在中，，，连接BD，将△ABD沿BD折叠，使点A落在直线DC上方的处，当△DC是直角三角形时，请直接写出线段AB的长度．

21. （2022焦作一模）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一条线段的垂直平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应任务．
小晃：如图1，（1）分别以A，B为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P；（2）分别作的平分线，交点为E；（3）作直线．直线即为线段的垂直平分线．
简述作图理由：
由作图可知，，所以点P在线段的垂直平分线上，，因为分别是的平分线，所以，所以，所以点E在线段的垂直平分线上，所以是线段的垂直平分线．
小航：我认为小晃的作图方法很有创意，但是可以改进如下，如图2，（1）分别以A，B为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P；（2）分别在线段上截取；（3）连接，交点为E；（4）作直线．直线即为线段的垂直平分线．
……



任务：
（1）小晃得出点P在线段的垂直平分线上的依据是__________；
（2）小航作图得到的直线是线段的垂直平分线吗？请判断并说明理由；
（3）如图3，已知，点C，D分别为射线上的动点，且，连接，交点为E，当时，请直接写出线段的长．
22.（2022河南邓州一模） 阅读下列材料，并完成相应的任务．
尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题，在初中阶段，我们学习过五种基本尺规作图，并且运用基本尺规作图方法，结合图形性质可以作出更多的数学图形．
如图①，在中，，小明用尺规作底边BC的垂直平分线的过程如下：
①以点A为圆心，小于AB长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点P；
③作射线AP，则AP垂直平分BC．

（1）根据小明的作图方法，如图①，他得出“AP垂直平分BC”的依据是______；

（2）如图②，已知在四边形ABCD中，，，求作对角线BD的垂直平分线，小明只用无刻度直尺作直线AC，就得到对角线BD的垂直平分线，请你帮助小明说明理由．

（3）请仅用无刻度的直尺完成下列作图（要求：不写作法及证明，仅保留画图痕迹）
①如图③，与是全等的两个等边三角形，且点B，C，D在一条直线上，请作出边AC的中点F；

②如图④，的四个顶点均在格点上，请作出对角线BD的一个三等分点E．
V
（4）如图⑤Rt中，，，，DE垂直平分AB，交边AB，AC于点D，E，将绕点A自由旋转，在旋转过程中，点D、E的对应点分别记为、，当点为线段的三等分点时，请直接写出BE的长．

23. （2022北京密云二模）阅读材料并解决问题：

已知：在中，．
求作：AB边上的高线CF．
作法：
①以点C为圆心，BC的长为半径作弧，交AB边于点D，连接CD；
②分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在BD下方相交于点E；
③作射线CE交BD于点F．
所以线段CF即为的AB边的高线．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接BE和DE．
在和中

∴
∴
∴CE平分
∴______⊥______，
即CF为的AB边的高线（______）．（填写推理的依据）
24. （2022嘉兴中考）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．
（1）尝试：
①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3时，352＝1225＝ ；
……
（2）归纳：与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由．
（3）运用：若与100a的差为2525，求a的值．
25. （2022凉山中考） 阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求值．
26. （2022株洲中考） 阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式时，关于的一元二次方程的两个根、有如下关系：，”．此关系通常被称为“韦达定理”．已知二次函数．

（1）若，，且该二次函数的图象过点，求的值；
（2）如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图象与轴相交于不同的两点、，其中、，且该二次函数的图象的顶点在矩形的边上，其对称轴与轴、分别交于点、，与轴相交于点，且满足．
①求关于的一元二次方程的根的判别式的值；
②若，令，求的最小值．
27. （2022永州中考） 已知关于的函数．
（1）若，函数的图象经过点和点，求该函数的表达式和最小值；
（2）若，，时，函数的图象与轴有交点，求的取值范围．
（3）阅读下面材料：
设，函数图象与轴有两个不同的交点，，若，两点均在原点左侧，探究系数，，应满足的条件，根据函数图像，思考以下三个方面：
①因为函数的图象与轴有两个不同的交点，所以；
②因为，两点在原点左侧，所以对应图象上的点在轴上方，即；
③上述两个条件还不能确保，两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需．
综上所述，系数，，应满足的条件可归纳为：
请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：
若函数的图象在直线的右侧与轴有且只有一个交点，求的取值范围．
28. （2022山西中考）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我们知道，一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况
下面根据抛物线的顶点坐标（，）和一元二次方程根的判别式，分别分和两种情况进行分析：
（1）时，抛物线开口向上．
①当时，有．∵，∴顶点纵坐标．
∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）．
②当时，有．∵，∴顶点纵坐标．
∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）．
∴一元二次方程有两个相等的实数根．
③当时，
……
（2）时，抛物线开口向下．
……

任务：
（1）上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）；
A．数形结合
B．统计思想
C．分类讨论．
D．转化思想
（2）请参照小论文中当时①②的分析过程，写出③中当时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；
（3）实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为
29.（2022河南上蔡三模） 先化简，再求值：，其中．
下面是小宇同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：原式第一步
第二步
第三步
．第四步
（1）任务一：填空：
①以上化简步骤中，第__________步是约分得到的，约分的依据是__________；
②第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是__________．
（2）任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果，并代入求值．
30. （2022开封一模）（2）下面是某同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：去分母，得： 第一步
去括号，得： 第二步
移项，得： 第三步
合并同类项，得： 第四步
系数化为1，得： 第五步
任务一：填空：①以上解题过程中，第一步是依据____________进行变形的．
②第____________步开始出现错，这一步错误的原因是____________．
任务二：请直接写出该不等式的正确解集：____________．
任务三：根据平时的学习经验，就解不等式时需要注意的事项提出一条合理化建议．
31. （2022许昌一模）下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：．
解：①，得③，第一步，
②③，得，第二步，
．第三步，
将代入①，得．第四步，
所以，原方程组的解为．第五步．
填空：
（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做______．
、代入消元法
、加减消元法
（2）第______步开始出现错误，具体错误是______；
（3）直接写出该方程组的正确解：______．
32.（2022山西百校联考） 阅读下面材料，解答提出的问题．
德国著名数学家高斯在上小学时就已求出计算公式，其推导方法如下：
设，①
则．②
由①+②，得，
所以，．
即．

（1）请利用上述公式计算______．
（2）类比上述方法并证明：．
（3）若（其中为正整数），直接写出的值．
33.（2022合肥四十五中三模） 先阅读、观察、理解，再解答后面的问题：
第1个等式：

第2个等式：


第3个等式：


（1）依此规律，猜想：________（直接写出最后结果）；
（2）依据上述规律计算：．
34. （2022合肥六四中三模）观察以下等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
第5个等式：
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：_______________；
（2）写出你猜想的第n个等式：___________________（用含n的等式表示），并证明．
35. （2022山西侯马二模）（2）下面是小明同学对多项式进行分解因式的过程，请仔细阅读并完成相应的任务．

任务：
①在上述过程中，第一步所依据的数学公式用字母表示为______；
②第四步分解因式的方法是提公因式法，其依据的运算律为______；
③第______步出现错误，错误的原因是______；
④分解因式正确的结果为______．
36. （2022大同二模）
（2）下面是小明同学进行因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务．
因式分解：
解：原式 第一步
第二步
第三步
任务一：填空：①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是___________公式；
②第三步进行因式分解用到的方法是___________法．
任务二：同桌互查时，小明的同桌指出小明因式分解的结果是错误的，具体错误是______________________．
任务三：小组交流的过程中，大家发现这个题可以先用公式法进行因式分解，再继续完成，请你写出正确的解答过程．