2024年七年级数学下册专题5.1 平行线的判定【九大题型】（举一反三）（人教版）（原卷版+解析卷）

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专题5.1 平行线的判定【九大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc10140" 【题型1 对顶角的识别及其性质】  PAGEREF _Toc10140 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc28851" 【题型2 平行、垂直】  PAGEREF _Toc28851 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc31848" 【题型3 平行公理及其推论】  PAGEREF _Toc31848 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc13895" 【题型4 同位角相等，两直线平行】  PAGEREF _Toc13895 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc31716" 【题型5 内错角相等，两直线平行】  PAGEREF _Toc31716 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc29392" 【题型6 同旁内角互补，两直线平行】  PAGEREF _Toc29392 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc4721" 【题型7 平行线的判定方法的综合运用】  PAGEREF _Toc4721 \h 19 HYPERLINK \l "_Toc21323" 【题型8 角平分线与平行线的判定综合运用】  PAGEREF _Toc21323 \h 22 HYPERLINK \l "_Toc27319" 【题型9 平行线判定的实际应用】  PAGEREF _Toc27319 \h 26【题型1 对顶角的识别及其性质】【例1】（2022·内蒙古呼伦贝尔·七年级期中）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据对顶角的概念逐一判断即可．【详解】解：A、∠1与∠2的顶点不相同，故不是对顶角，此选项不符合题意；B、∠1与∠2的一边不是反向延长线，故不是对顶角，此选项不符合题意；C、∠1与∠2是对顶角，故此选项符合题意；D、∠1与∠2的一边不是反向延长线，故不是对顶角，此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查的是对顶角的判断，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角,解题关键是熟练掌握定义，正确判断．【变式1-1】（2022·广东·揭西县阳夏华侨中学七年级期末）已知：如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠EOC＝25∠COB．(1)图中的对顶角有　 　对，它们是　 　．(2)图中互补的角有　 　对，它们是　 　．(3)求∠EOD的度数．【答案】(1)两；∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD(2)八；∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC和∠EOD，∠EOC和∠EOB，∠AOE和∠EOD(3)140°【分析】（1）根据对顶角的定义，判断即可；（2）根据补角的定义进行判断即可；（3）根据OE平分∠AOC，得出∠EOC＝∠AOE，设∠BOC＝x，则∠EOC＝∠AOE＝25x，列出关于x的方程，解方程即可得出∠BOC的度数，再求出∠DOE的度数，即可得出结果．（1）解：图中的对顶角有：∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD．故答案为：两；∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD．（2）图中互补的角有：∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC和∠EOD，∵OE平分∠AOC，∴∠AOE=∠COE，∵∠AOE+∠BOE=180°，∴∠COE+∠BOE=180°，∴∠EOC和∠EOB互补，∵∠COE+∠EOD=180°，∴∠AOE+∠EOD=180°，∴∠AOE和∠EOD互补．故答案为：八；∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC和∠EOD，∠EOC和∠EOB，∠AOE和∠EOD．（3）∵OE平分∠AOC，∴∠EOC＝∠AOE，设∠BOC＝x，则∠EOC＝∠AOE＝25x，由平角定义得，25x+25x+x＝180°，解得：x＝100°∴∠EOC＝∠AOE＝12（180°﹣100°）＝40°，∴∠DOE＝100°+40°＝140°，答：∠EOD的度数为140°．【点睛】本题主要考查了对顶角的定义、补角的定义、角平分线的定义，熟练掌握相关定义，根据题意求出∠BOC的度数，是解题的关键．【变式1-2】（2021·山东·济南市钢城区实验学校期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠AOD，若∠AOD=50°.求∠EOF的度数.【答案】65°【分析】根据角平分线的定义可得∠FOD=∠AOF=12∠AOD=25°，根据垂线的性质可得∠EOD=90°，再进行解答即可．【详解】解：∵OF平分∠AOD，∠AOD=50°，∴∠FOD=∠AOF=12∠AOD=25°，∵OE⊥CD，∴∠EOD=90°，∴∠EOF=∠EOD-∠FOD=90°-25°=65°．【点睛】本题主要考查了垂线的性质和角平分线的定义，熟练掌握相关的性质是解答本题的关键．【变式1-3】（2022·辽宁·鞍山市第二中学七年级阶段练习）直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．(1)若∠AOC=76°，∠BOF=______度．(2)若∠BOF=36°，∠AOC的度数是多少？【答案】(1)33(2)∠AOC的度数是72°【分析】（1）根据对顶角、邻补角、角平分线的定义，求出∠EOF和∠EOB的度数，再根据角的和差即可得∠BOF的度数；（2）根据对顶角、邻补角、角平分线的定义，先用∠BOE的等式表示∠AOC，再根据角分线的定义，列出等式即可求得结果．（1）∵∠AOC=76°，∴∠BOD=∠AOC=76°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠DOE=38°，∵∠COE+∠DOE=180°，∴∠COE=180°-∠DOE=142°，∵OF平分∠COE，∴∠EOF=∠COF=71°，∵∠BOF+∠BOE=∠EOF，∴∠BOF=∠EOF-∠BOE =71°-38° =33°故答案为：33；（2）设∠AOC=x°，∴∠BOD=∠AOC=x°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠DOE=12x°，∵∠COE+∠DOE=180°，∴∠COE=180°-∠DOE=180°-12x°，∵OF平分∠COE，∴∠EOF=∠COF=12180°-12x°°，∵∠BOF+∠BOE=∠EOF，∠BOF=36° ∴36°+12x°=12180°-12x°°，∴x=72°．【点睛】本题考查了对顶角、邻补角、角平分线的定义，解题关键是观察图形分清楚哪两个角相等，哪些角相加得180度．【题型2 平行、垂直】【例2】（2022·福建·厦门双十中学海沧附属学校七年级期末）如图，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，AB＝4，BC＝3，则下列说法正确的是（　　）A．点A到直线l2的距离等于4B．点C到直线l1的距离等于4C．点C到AB的距离等于4D．点B到AC的距离等于3【答案】A【分析】根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，即可得到答案．【详解】解：点A到直线l2的距离为AB的长，等于4，故A正确；点C到直线l1的距离为AC的长，大于4，故B错误；点C到AB的距离为BC的长，等于3，故C错误； 同理，点B到AC的距离也不是3，故D错误，故选：A【点睛】本题考查点到直线的距离，掌握定义是解题的关键．【变式2-1】（2022·广西·钦州市第四中学七年级阶段练习）下列说法正确的是（       ）A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b∥c，则a∥cB．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥cC．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b⊥c，则a∥cD．在同一平面内，a，b，c是直线，且，a∥b,b∥c则a⊥c【答案】A【分析】根据平行线的性质分析判断即可．【详解】A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b∥c，则a∥c，故选项正确，符合题意．B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a//c，故选项错误，不符合题意．C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b⊥c，则a⊥c，故选项错误，不符合题意．D．在同一平面内，a，b，c是直线，且，a∥b,b∥c则a//c，故选项错误，不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，准确分析判断是解题的关键．【变式2-2】（2022·吉林·公主岭市陶家中学七年级阶段练习）如图，因为AB⊥l，BC⊥l，B为垂足，所以AB和BC重合，其理由是（    ）A．两点确定一条直线B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．垂直同一条直线的两条直线平行D．垂线段最短【答案】B【分析】利用“平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，逐一分析，排除错误答案即可．【详解】解：A.点A、C可以确定一条直线，但不可以确定三点B、A、C都在直线l的垂线上，故本选项错误；B.直线BA、BC都经过一个点B，且都垂直于直线l，故本选项正确；C.在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项错误；D.此题没涉及到线段的长度，故本选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了垂直的定义、两点确定一条直线、垂线段最短，熟练掌握和运用各定义和性质是解决本题的关键.【变式2-3】（2022·江苏·九年级）如图，点A、点B是直线l上两点，AB＝10，点M在直线l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若点P为直线l上一动点，连接MP，则线段MP的最小值是____．【答案】4.8【分析】根据垂线段最短可知：当MP⊥AB时，MP有最小值，利用三角形的面积可列式计算求解MP的最小值．【详解】解：当MP⊥AB时，MP有最小值，∵AB＝10，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，∴AB•MP＝AM•BM，即10MP＝6×8，解得MP＝4.8．故答案为：4.8．【点睛】本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到MP最小时的P点位置是解题的关键．【知识点 平行线的判定】1.平行公理及其推论①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. ②如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 2.平行线的判定方法 ①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）. ②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. （内错角相等，两直线平行. ③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行.） 【题型3 平行公理及其推论】【例3】（2022·江西上饶·七年级期中）同一平面内的四条直线若满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是（    ）A．a∥d B．b⊥d C．a⊥d D．b∥c【答案】C【分析】根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，可证a∥c，再结合c⊥d，可证a⊥d．【详解】解：∵a⊥b，b⊥c，∴a∥c，∵c⊥d，∴a⊥d，故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线及垂线的性质，解题的关键是掌握同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．【变式3-1】（2022·河南漯河·七年级期末）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是（   ）A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行【答案】B【分析】三条直线AB、a、b位于同一平面内，且直线a与直线b都垂直于AB，即可根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行的性质来判断出a∥b．【详解】∵直线AB、a、b位于同一平面内，且AB⊥a、AB⊥b∴a∥b（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）故答案为B．【点睛】本题考查了平行线判定的性质，根据已知题目反应出两条直线是同一平面内，且同时垂直于一条直线是本题的关键．【变式3-2】（2022·湖北武汉·七年级期中）下列命题：①内错角相等；②两个锐角的和是钝角；③ a ， b ， c 是同一平面内的三条直线，若a//b，b// c ，则a// c ；④ a ， b ， c 是同一平面内的三条直线，若a  b ， b  c ，则a  c ； 其中真命题的个数是（        ）A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4 个【答案】A【分析】根据平行线性质可判断①，根据两锐角的大小求和可判断②，根据平行公理推论可判断③，根据垂直定义得出∠1=∠2=90°，然后利用同位角相等，两直线平行的判定可判断④．【详解】解：①两直线平行，内错角相等，故①不正确；②两个锐角的和可以是锐角，直角，钝角，故②不正确；③ a ， b ， c 是同一平面内的三条直线，若a//b，b// c ，则a// c ，故③正确；④ a ， b ， c 是同一平面内的三条直线，如图∵a  b ， b  c ，∴∠1=90°，∠2=90°，∴∠1=∠2∴a ∥ c ，故④不正确；∴真命题只有1个．故选A．【点睛】本题考查平行线的性质与判定，两锐角和的大小，掌握平行线的性质与判定，锐角定义是解题关键．【变式3-3】（2022·四川·甘孜藏族自治州教育局七年级期末）如图， AB∥CD， 如果∠1=∠2， 那么EF与AB平行吗？ 说说你的理由． 解：因为∠1=∠2，所以____________∥___________．（          ）又因为AB∥CD，所以AB∥EF． （           ）【答案】CD∥EF；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线平行【分析】根据平行线的判定定理完成填空即可求解．【详解】解：因为∠1=∠2​，所以CD∥EF．（内错角相等，两直线平行）又因为AB∥CD​，所以AB∥EF​．（平行于同一直线的两条直线平行）【点睛】本题考查了平行线的判定，平行公理，掌握平行线的判定定理是解题的关键．【题型4 同位角相等，两直线平行】【例4】（2022·甘肃·陇南育才学校七年级期末）如图，AB⊥MN，垂足为B，CD⊥MN，垂足为D，∠1＝∠2．在下面括号中填上理由．因为AB⊥MN，CD⊥MN，所以∠ABM＝∠CDM＝90°．又因为∠1＝∠2( )，所以∠ABM-∠1＝∠CDM-∠2( )，即∠EBM＝∠FDM．所以EB∥FD( )【答案】     已知     等量减等量，差相等     同位角相等，两直线平行【分析】根据垂线的定义，得出∠ABM＝∠CDM＝90°，再根据角的等量关系，得出∠EBM＝∠FDM，然后再根据同位角相等，两直线平行，得出EB∥FD，最后根据解题过程的理由填写即可．【详解】因为AB⊥MN，CD⊥MN，所以∠ABM＝∠CDM＝90°．又因为∠1＝∠2（已知），所以∠ABM-∠1＝∠CDM-∠2（等量减等量，差相等），即∠EBM＝∠FDM．所以EB∥FD（同位角相等，两直线平行）．【点睛】本题考查了垂线的定义、平行线的判定，解本题的关键在熟练掌握平行线的判定定理．【变式4-1】（2022·湖北·蕲春县向桥乡白水中学七年级阶段练习）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是______．【答案】同位角相等，两直线平行【分析】作图时保持∠1=∠2，根据同位角相等，两直线平行即可画出已知直线的平行线．【详解】解：过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是：同位角相等，两直线平行．故答案为：同位角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，平行公理，解决本题的关键是掌握平行线的判定和性质．【变式4-2】（2022·山东泰安·七年级期末）如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3．请说明线段BE与DF的位置关系？为什么？【答案】BE∥DF，见解析【分析】由已知推出∠3+∠4=90°，利用∠1+∠2=90°，∠2=∠3，得到∠1=∠4，即可得到结论BE∥DF．【详解】解：BE∥DF，∵AB⊥BC， ∴∠ABC=90°，∴∠3+∠4=90°，∵∠1+∠2=90°，∠2=∠3，∴∠1=∠4，∴BE∥DF．【点睛】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理并熟练应用是解题的关键．【变式4-3】（2022·北京东城·七年级期末）如图，直线l与直线AB，CD分别交于点E，F，∠1是它的补角的3倍，∠1-∠2=90°．判断AB与CD的位置关系，并说明理由．【答案】AB∥CD；理由见解析【分析】先根据补角的定义求出∠1的度数，然后求出∠CFE和∠2的度数，最后根据平行线的判定进行解答即可．【详解】解：AB∥CD；理由如下：∵∠1是它的补角的3倍，∴设∠1=α，则∠1的补角为13α，∴α+13α=180°，解得：α=135°，∴∠1=135°，∴∠CFE=180°-∠1=45°，∵∠1-∠2=90°，∴∠2=∠1-90°=45°，∴∠2=∠CFE=45°，∴AB∥CD．【点睛】本题主要考查了补角的有关计算，平行线的判定，根据题意求出∠2=∠CFE=45°，是解题的关键．【题型5 内错角相等，两直线平行】【例5】（2022·山东·曲阜九巨龙学校七年级阶段练习）如图，点A在直线DE上，AB⊥AC于A，∠1与∠C互余，DE和BC平行吗？若平行，请说明理由．【答案】平行，理由见解析【分析】由垂直定义可得∠BAC=90°，根据平角定义得∠1+∠BAC+∠CAE=180°，即可得出∠1+∠CAE=90°，由∠1与∠C互余，根据余角的性质即可得出∠CAE=∠C，根据平行线的判定定理即可得出结论．【详解】解：平行， 理由如下：∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∵∠1+∠BAC+∠CAE=180°，∴∠1+∠CAE=90°，∵∠1与∠C互余，即∠1+∠C=90°，∴∠CAE=∠C，∴DE∥BC．【点睛】本题考查平行线的判定，余角的性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．【变式5-1】（2022·北京市房山区燕山教委八年级期中）如图，已知∠1=75°，∠2=35°，∠3=40°，求证：a∥b．【答案】见解析【分析】先根据三角形内角和性质，求得∠4=75°，再根据∠1=75°，即可得到∠1=∠4，进而判定a∥b．【详解】证明：如下图：∵∠4=∠3+∠2=75°，又∵∠1=75°，∴∠1=∠4，∴a∥b．【点睛】本题主要考查了平行线的判定以及三角形内角和性质，解题时注意：内错角相等，两直线平行．【变式5-2】（2022·福建·莆田第二十五中学八年级阶段练习）如图，CF是△ABC外角∠ACM的平分线，∠ACB=40°，∠A=70°，求证：AB∥CF.【答案】证明见解析【分析】由角平分线的定义及补角的定义可求得∠ACE的度数，即可得∠A＝∠ACE，进而可证明结论．【详解】证明：∵∠ACB＝40°，∴∠ACM＝180°-40°＝140°，∵CF是△ABC外角∠ACM的平分线，∴∠ACF＝12∠ACM＝70°，∵∠A=70°，∴∠A＝∠ACF＝70°，∴AB∥CF．【点睛】本题主要考查角平分线的定义、三角形外角的性质和平行线的判定，证得∠A＝∠ACF是解题的关键．【变式5-3】（2022·辽宁·阜新市第十中学七年级期中）如图，AB∥DE，∠1=∠ACB，∠CAB=12∠BAD，试说明AD∥BC．【答案】见解析【分析】根据平行线的性质得∠BAC=∠1，等量代换得∠ACB=∠BAC，根据∠CAB=12∠BAD可得∠ACB=∠DAC，即可得．【详解】证明：∵AB∥DE，∴∠BAC=∠1，∵∠1=∠ACB，∴∠ACB=∠BAC，∵∠CAB=12∠BAD，∴∠ACB=∠DAC，∴AD∥BC．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质．【题型6 同旁内角互补，两直线平行】【例6】（2022·河北衡水·七年级阶段练习）已知：∠A=∠C=120°，∠AEF=∠CEF=60°，求证：AB∥CD．【答案】见解析【分析】根据同旁内角互补，两直线平行，再根据平行于同一条直线的两条直线平行即可证明结论．【详解】证明：∵∠A=∠C=120°，∠AEF=∠CEF=60°，∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，∴AB∥EF，CD∥EF，∴AB∥CD．【点睛】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是掌握平行线的判定．【变式6-1】（2022·西藏昂仁县中学七年级期中）如图，∠CAD＝20°，∠B＝70°，AB⊥AC，求证：AD∥BC．【答案】见解析【分析】根据同旁内角互补，两直线平行证明即可．【详解】解：∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∵∠CAD＝20°，∠B＝70°，∴∠B+∠BAD=70°+90°+20°=180°，∴AD∥BC．【点睛】本题考查平行线的判定、垂直定义，熟练掌握平行线的判定方法是解答的关键．【变式6-2】（2022·甘肃·平凉市第七中学七年级期中）如图，∠1=30°,∠B=60°,AB⊥AC.(1) ∠DAB+∠B等于多少度？(2)AD与BC平行吗？请说明理由．【答案】(1)∠DAB+∠B=180°(2)AD∥BC；理由见解析【分析】（1）由已知可求得∠DAB=120°，从而可求得∠DAB+∠B=180°；（2）根据同旁内角互补两直线平行可得AD∥BC．（1）解：∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°．又∵∠1=30°，∴∠BAD=120°，∵∠B=60°，∴∠DAB+∠B=180°．（2）解：AD∥BC．理由如下：∵∠DAB+∠B=180°，∴AD∥BC．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握同旁内角互补，两直线平行．【变式6-3】（2022·北京市第五中学分校七年级期末）如图，已知点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，点M，G在AB上，GF交BD于点H，∠BMD+∠ABC＝180°，∠1＝∠2，求证：MD∥GF．下面是小颖同学的思考过程，请补全证明过程并在括号内填上证明依据．证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（①　　）．∴∠BDC＝∠EFC（等量代换）．∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．∴∠2＝∠CBD（ ②　　）．∵∠1＝∠2（已知）．∴∠1＝∠CBD（等量代换）．∴③　　（内错角相等，两直线平行）．∵∠BMD+∠ABC＝180°（已知），∴MD∥BC（④　　）．∴MD∥GF（⑤　　）．【答案】垂直的定义；两直线平行，同位角相等；GF∥BC；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行．【分析】根据垂直定义得出∠BDC＝∠EFC，根据平行线的判定推出BD∥EF，根据平行线的性质得出∠CBD＝∠2，求出∠CBD＝∠1，根据平行线的判定得出GF∥BC，GF∥MD即可．【详解】证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定义）．∴∠BDC＝∠EFC（等量代换）．∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．∴∠2＝∠CBD（两直线平行，同位角相等）．∵∠1＝∠2（已知）．∴∠1＝∠CBD（等量代换）．∴GF∥BC（内错角相等，两直线平行）．∵∠BMD+∠ABC＝180°（已知），∴MD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．∴MD∥GF（平行于同一直线的两直线平行）．故答案为：垂直的定义；两直线平行，同位角相等；GF∥BC；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．【题型7 平行线的判定方法的综合运用】【例7】（2022·广西贺州·七年级期末）如图，有下列条件：①∠1=∠2；②∠3+∠4=180°；③∠5+∠6=180°；④∠2=∠3．其中，能判断直线a∥b的有（　　　）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法即可得出结论．【详解】解：①由∠1＝∠2，可得a∥b；②由∠3＋∠4＝180°，可得a∥b；③由∠5＋∠6＝180°，∠3＋∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a∥b；④由∠2＝∠3，不能得到a∥b；故能判断直线a∥b的有3个，故选：B．【点睛】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解决问题的关键．【变式7-1】（2022·浙江台州·七年级期末）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行(   )A．∠1 B．∠3 C．∠4 D．∠5【答案】A【分析】因为∠2是直角，只要找出与∠2互为同位角、内错角、同旁内角的其他角，根据平行线的判定定理判定即可得到正确答案．【详解】因为∠2是直角，∠4和∠2是同位角，如果度量出∠4=90°，根据“同位角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，∠5和∠2是内错角，如果度量出∠5=90°，根据“内错角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，∠3和∠2是同旁内角，如果度量出∠3=90°， 根据“同旁内角互补，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，所以答案为：A．【点睛】本题考查两直线平行的判定定理，解决本题的关键是熟练的掌握平行线的判定定理．【变式7-2】（2022·山西临汾·七年级期末）在下列图形中，已知∠1=∠2，一定能推导出l1∥l2的是（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据邻补角的定义，对顶角相等和平行线的判定定理即可求解．【详解】解：A.如图， ∵∠1=∠2，∠1+∠3=180°，∴∠2+∠3=180°，∴不能推导出l1∥l2，不符合题意；B.如图， ∵∠1=∠2，∠1+∠3=180°，∴∠2+∠3=180°，∴不能推导出l1∥l2，不符合题意；C.如图， ∵∠1=∠2，∠1+∠3=180°，∴∠2+∠3=180°，∴不能推导出l1∥l2，不符合题意；D.如图， ∵∠1=∠2，∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴一定能推导出l1∥l2，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了平行线的判定，关键是熟悉同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行的知识点．【变式7-3】（2022·山东日照·七年级期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定DE∥BC的是（    ）A．∠1=∠2 B．∠3=∠4 C．∠5=∠C D．∠B+∠BDE=180°【答案】B【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可．【详解】因为∠1=∠2，所以DE∥BC，故A不符合题意；因为∠3=∠4，不能判断DE∥BC，故B符合题意；因为∠5=∠C，所以DE∥BC，故C不符合题意；因为∠B+∠BDE=180°，所以DE∥BC，故D不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．【题型8 角平分线与平行线的判定综合运用】【例8】（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADF+∠AFD=90°，点E、F分别在DC、AB上，且BE、DF分别平分∠ABC、∠ ADC，判断BE、DF是否平行，并说明理由．【答案】平行，理由见解析【分析】先根据角平分线的定义可得∠ABE=12∠ABC,∠ADF=12∠ADC，从而可得∠ADF+∠ABE=90°，再结合∠ADF+∠AFD=90°可得∠ABE=∠AFD，然后根据平行线的判定即可得．【详解】解：BE∥DF，理由如下：∵BE,DF分别平分∠ABC,∠ADC，∴∠ABE=12∠ABC,∠ADF=12∠ADC，∵∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ADF+∠ABE=12∠ADC+∠ABC=90°，又∵∠ADF+∠AFD=90°，∴∠ABE=∠AFD，∴BE∥DF．【点睛】本题考查了角平分线、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键．【变式8-1】（2022·江苏·扬州市邗江区实验学校七年级期末）将下列证明过程补充完整：已知：如图，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：AB∥CD．证明：∵CE平分∠ACD（已知），∴∠2＝∠　 　（ 　 　）．∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠　 　（ 　 　）．∴AB∥CD（ 　 　）．【答案】ECD；角平分线的性质；ECD；等量代换；内错角相等，两直线平行【分析】根据平行线的判定依据角平分线的性质即可解决问题．【详解】证明：∵CE平分∠ACD，∴∠2＝∠ECD（角平分线的性质），∵∠1＝∠2．（已知），∴∠1＝∠ECD（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等两直线平行）．故答案为：ECD；角平分线的定义；ECD；等量代换；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定和角平分线的性质，解题的关键是根据平行线的判定解答．【变式8-2】（2022·辽宁沈阳·七年级期末）按逻辑填写步骤和理由，将下面的证明过程补充完整如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．求证：BE∥CF．证明：∵∠1＝∠2（已知）∠ABF＝∠1（对顶角相等）∠BFG＝∠2（____________）∴∠ABF＝______（等量代换）∵BE平分∠ABF（已知）∴∠EBF=12______（____________）∵FC平分∠BFG（已知）∴∠CFB=12______（____________）∴∠EBF＝______∴BE∥CF（____________）【答案】对顶角相等；∠BFG；∠ABF；角平分线的定义；∠BFG；角平分线的定义；∠CFB；内错角相等，两直线平行；【分析】根据对顶角的定义，平行线的判定，角平分线的性质，结合上下文填空即可．【详解】证明：∵∠1＝∠2（已知）∠ABF＝∠1（对顶角相等）∠BFG＝∠2（对顶角相等）∴∠ABF＝∠BFG（等量代换）∵BE平分∠ABF（已知）∴∠EBF=12∠ABF（角平分线的定义）∵FC平分∠BFG（已知）∴∠CFB=12∠BFG（角平分线的定义）∴∠EBF＝∠CFB，∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行），故答案为：对顶角相等；∠BFG；∠ABF；角平分线的定义；∠BFG；角平分线的定义；∠CFB；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查对顶角的定义及性质，平行线的判定，角平分线的性质，能够熟练掌握平行线的判定是解决本题的关键．【变式8-3】（2022·内蒙古·扎赉特旗音德尔第三中学七年级期末）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD=180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC．请说明AE∥GF的理由．解：因为∠BAG+∠AGD=180°(已知)，∠AGC+∠AGD=180°(______)，所以∠BAG=∠AGC(______)．因为EA平分∠BAG，所以∠1=12∠BAG(______)．因为FG平分∠AGC，所以∠2=12______，得∠1=∠2(等量代换)，所以______(______)．【答案】平角的定义；同角的补角相等；角平分线的定义；∠AGC；AE∥GF；内错角相等，两直线平行【分析】由题意可求得∠BAG=∠AGC，再由角平分线的定义得∠1=12∠BAG，∠2=12∠AGC，从而得∠1=∠2，即可判定AE∥GF．【详解】解：∵∠BAG+∠AGD=180°（已知），∠AGC+∠AGD=180°（平角的定义），∴∠BAG=∠AGC（同角的补角相等）．∵EA平分∠BAG，∴∠1=12∠BAG（角平分线的定义）．∵FG平分∠AGC，∴∠2=12∠AGC，∴∠1=∠2（等量代换），∴ AE∥GF（内错角相等，两直线平行）．故答案为：平角的定义；同角的补角相等；角平分线的定义；∠AGC；AE∥GF；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查角平分线的定义，补角的性质和平行线的判定，解答的关键是熟练掌握平行线的判定定理并灵活运用．【题型9 平行线判定的实际应用】【例9】（2022·全国·七年级课时练习）如图，若将木条a绕点O旋转后使其与木条b平行，则旋转的最小角度为(　　)A．65° B．85° C．95° D．115°【答案】B【分析】根据同位角相等两直线平行可得当∠AOB=65°时，a∥b，进而算出答案．【详解】解：∵当∠AOB=65°时，a∥b∴旋转的最小角度为150°﹣65°=85°，故选：B【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等两直线平行．【变式9-1】（2022·河南·郑州外国语学校经开校区七年级阶段练习）如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（　　）A．如图1，展开后测得∠1=∠2 B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4C．如图3，测得∠1=∠2 D．在图4中，展开后测得∠1+∠2=180°【答案】C【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．【详解】A、 当∠1=∠2时，内错角相等，两直线平行，所以a∥b；B、由∠1=∠2且∠3=∠4可得∠1=∠2=∠3=∠4=90∘，所以a∥b；C、∠1=∠2不能判定a，b互相平行；D、∠1+∠2=180°时，同旁内角互补，两直线平行，所以a∥b．故选：C．【点睛】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．【变式9-2】（2022·全国·七年级）一辆汽车在广阔的草原上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，那么这两次拐弯的角度可能是（    ）A．第一次向右拐40°，第二次向右拐140°．B．第一次向右拐40°，第二次向左拐40°．C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°．D．第一次向右拐140°，第二次向左拐40°．【答案】B【分析】画出图形，根据平行线的判定分别判断即可得出．【详解】A.如图，由内错角相等可知，第二次拐弯后与原来平行，但方向相反，故不符合题意；B.如图，由同位角相等可知，第二次拐弯后与原来平行，且方向相同，故符合题意；C.如图，由内错角不相等可知，第二次拐弯后与原来不平行，故不符合题意；D.如图，由同位角不相等可知，第二次拐弯后与原来不平行，故不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的判定，正确画出图形，熟记判定定理是解题的关键．【变式9-3】（2022·江苏·南京外国语学校七年级期中）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，∠1=70°,∠2=100°，现将木棒a、b同时顺时针旋转一周，速度分别为18度/秒和3度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则___________秒后木棒a，b平行．【答案】2或14或50或110【分析】设t秒后木棒a，b平行，分四种情况讨论：当073时，即可求解．【详解】解：设t秒后木棒a，b平行，根据题意得：当020时，木棒a停止运动，当20703时，3t-70=180-100或3t-70-180=180-100，解得：t=50或t=110；综上所述，2或14或50或110秒后木棒a，b平行．故答案为：2或14或50或110【点睛】本题主要考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，明确题意，利用分类讨论思想解答是解题的关键．