数学人教版18.2.1 矩形习题

专题18.4  矩形的性质与判定【九大题型】

【人教版】

【题型1  由矩形的性质求线段的长度】

【题型2  由矩形的性质求角的度数】

【题型3  由矩形的性质求面积】

【题型4  矩形的性质与坐标轴的综合运用】

【题型5  矩形判定的条件】

【题型6  证明四边形是矩形】

【题型7  矩形中多结论问题】

【题型8  矩形的判定与性质综合】

【题型9 直角三角形斜边的中线】

【知识点1  矩形的定义】

有一个角是直角的平行四边形是矩形．

【知识点2  矩形的性质】

①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．

【题型1  由矩形的性质求线段的长度】

【例1】（2022春•新泰市期末）如图，在矩形ABCD中，，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，垂足为点E，CE＝OE，则DE的长为（　　）

A．4 B． C． D．2

【变式1-1】（2022春•开州区期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BC于点F，连接AF，若BD＝2，DF＝2，则AF的长为（　　）

A． B．2 C． D．3

【变式1-2】（2022•碑林区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，O是BD的中点，E为AD边上一点，且有AE＝OB＝2．连接OE，若∠AEO＝75°，则DE的长为（　　）

A． B． C．2 D．22

【变式1-3】（2022•南岗区期末）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且CF＝2DF＝2，连接BE，EF，BF，且BF平分∠EBC，∠EFB＝45°，连接CE交BF于点G，则线段EG的长为　 　．

【题型2  由矩形的性质求角的度数】

【例2】（2022春•溧水区期中）如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝110°，则∠CDE大小是（　　）

A．55° B．40° C．35° D．20°

【变式2-1】（2022•武昌区期末）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，如果量得∠EDF＝22°，则∠FDB的大小是（　　）

A．22° B．34° C．24° D．68°

【变式2-2】（2022春•江夏区期中）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点M在边DC上，若AM平分∠DMB，则∠AMD的大小是（　　）

A．45° B．60° C．75° D．30°

【变式2-3】（2022春•莫旗期末）如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则平行四边形ABCD的最大内角的大小是 　 　．

【题型3  由矩形的性质求面积】

【例3】（2022春•浦东新区期末）我们把两条对角线所成两个角的大小之比是1：2的矩形叫做“和谐矩形”，如果一个“和谐矩形”的对角线长为10cm，则矩形的面积为　 　cm2．

【变式3-1】（2022•成都）如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1　　S2；（填“＞”或“＜”或“＝”）

【变式3-2】（2022春•成都期末）如图，点E是矩形ABCD边AD上一动点，连接BE，以BE边作矩形BEFG，使得FG始终经过点C．若矩形ABCD的面积为s1，矩形BEFG的面积为s2，则s1与s2的大小关系是（　　）

A．s1＜s2 B．s1＝s2 C．s1＞s2 D．不确定

【变式3-3】（2022春•九龙坡区校级期中）已知：矩形ABCD中，延长BC至E，使BE＝BD，F为DE的中点，连接AF、CF．

（1）求证：CF⊥AF；

（2）若AB＝10cm，BC＝16cm，求△ADF的面积．

【题型4  矩形的性质与坐标轴的综合运用】

【例4】（2022春•潮南区期中）如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　）

A．3 B． C． D．

【变式4-1】（2022春•任城区期末）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（　　）

A．（3，1）或（3，3） B．（3，）或（3，3） 

C．（3，）或（3，1） D．（3，）或（3，1）或（3，3）

【变式4-2】（2022•西平县模拟）已知在矩形ABCD中，AB＝4，BC，O为BC上一点，BO，如图所示，以BC所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段OC上的一点．

（1）若点M的坐标为（1，0），如图1，以OM为一边作等腰△OMP，使点P在矩形ABCD的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标；

（2）若将（1）中的点M的坐标改为（4，0），其他条件不变，如图2，那么符合条件的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点P的坐标．

【变式4-3】（2022春•浦江县期中）如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→C→B→A→O的路线移动（移动一周）．

（1）写出点B的坐标；

（2）当点P移动了4秒时，求出点P的坐标；

（3）在移动过程中，当△OBP的面积是10时，直接写出点P的坐标．

【知识点3  矩形的判定方法】

①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）.

【题型5  矩形判定的条件】

【例5】（2022春•夏邑县期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　）

A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE

【变式5-1】（2022春•江油市期末）在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）

A．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90° 

B．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD 

C．∠BAD＝∠BCD，∠ABC+∠BCD＝180°，AC⊥BD 

D．∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD

【变式5-2】（2022春•仙居县期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　）

A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥DC

【变式5-3】（2022•西城区一模）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG＝EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 　    　．（写出一个即可）

【题型6  证明四边形是矩形】

【例6】（2022春•南谯区期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E，F是线段AC上两动点，同时分别从A，C两点出发以1cm/s的速度向点C，A运动．

（1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）若BD＝8cm，AC＝14cm，当运动时间t为多少秒时，四边形DEBF是矩形？

【变式6-1】（2022春•海陵区期末）如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN，交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．给出下列信息：①MN∥BC；②OE＝OC；③OF＝OC．

（1）请在上述3条信息中选择其中一条作为条件，证明：OE＝OF；

（2）在（1）的条件下，连接AE、AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．

【变式6-2】（2022春•津南区期末）已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O（AC＞BD），点E，F分别是OA，OC上的动点．

（Ⅰ）如图①，若AE＝CF，求证：四边形EBFD是平行四边形；

（Ⅱ）如图②，若OE＝OB，OF＝OD，求证：四边形EBFD是矩形．

【变式6-3】（2022春•洪泽区期末）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10．

（1）若G、H分别是AD、BC的中点，则下列关于四边形EGFH（E、F相遇时除外）的判断：①一定是平行四边形；②一定是矩形；③一定是菱形，正确的是 　　；（直接填序号，不用说理）

（2）在（1）的条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值．

【题型7  矩形中多结论问题】

【例7】（2022•绥化一模）如图，在一张矩形纸片ABCD中AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的点H处，点D落在点G处，连接CE，CH．有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②CE平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF＝5．以上结论中，其中正确结论的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【变式7-1】（2022春•南充期末）如图，矩形ABCD中，M，N分别是边AB，CD的中点，BP⊥AN于P，CP的延长线交AD于Q．下列结论：①PM＝CN；②PM⊥CQ；③PQ＝AQ；④DQ＜2PN．其中结论正确的有（　　）

A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

【变式7-2】（2022春•泉州期末）如图，点P是矩形ABCD内一点，连结PA、PB、PC、PD，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1、S2、S3、S4，以下四个判断：

①当∠PAB＝∠PDA时，B、P、D三点共线

②存在唯一一点P，使PA＝PB＝PC＝PD

③不存在到矩形ABCD四条边距离都相等的点P

④若S1＝S2，则S3＝S4

其中正确的是 　　．（写出所有正确结论的序号）

【变式7-3】（2022春•兴文县期中）如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：①DN＝BM；②EM∥FN；③DF＝NF；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．其中正确的结论是 　   　．

【题型8  矩形的判定与性质综合】

【例8】（2022春•海淀区期末）如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝DC，DE平分∠ADC交AC于点E，DF平分∠BDC交BC于点F，∠DFC＝90°．

（1）求证：四边形CEDF是矩形；

（2）若∠B＝30°，AD＝2，连接BE，求BE的长．

【变式8-1】（2022•息烽县二模）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥AC，且，连接EC、ED．

（1）求证：四边形BECO是矩形；

（2）若AC＝2，∠ABC＝60°，求DE的长．

【变式8-2】（2022•开福区校级二模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AF⊥CD，垂足为F，延长DC到点E，使CE＝DF，连接BE．

（1）求证：四边形ABEF是矩形；

（2）若AB＝5，CF＝2，AC⊥BD，连接OE，求OE的长．

【变式8-3】（2022•崇左）如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．

（1）求证：四边形EFGH是矩形；

（2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．

【知识点4  直角三角形斜边中线】

在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．

【题型9 直角三角形斜边的中线】

【例9】（2022•青县二模）如图，直角△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝78°，过C作CF∥AB，连接AF与BC相交于G，若GF＝2AC，则∠BAG的大小是　　度．

【变式9-1】（2022春•河南期末）如图，在△ABC中，点D在边AC上，DB＝BC，E是CD的中点，F是AB的中点．

（1）直接写出AB与EF的数量关系：　   　；

（2）若AD＝3，BD＝2，∠C＝60°，求EF的长．

【变式9-2】（2022•浦东新区期末）如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．

（1）求证：MN⊥DE．

（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．

（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．

【变式9-3】（2022秋•启东市校级月考）引理：如图1所示已知Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，则CD＝AD＝DBAB

应用格式为：∵CD是斜边AB上的中线，∴CD＝AD＝DBAB

如图2所示已知，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，若E在直线AC上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点．G为EF的中点，延长CG交AB直线于点H．

（1）若E在边AC上．①试说明DE＝DF；②试说明CG＝GH；（本题需要用引理）

（2）若AE＝3，CH＝5．求边AC的长．