九年级数学下册专题27.7 相似三角形的证明与计算专项训练（60道）（举一反三）（人教版）（原卷版+解析卷）

这是一份九年级数学下册专题27.7 相似三角形的证明与计算专项训练（60道）（举一反三）（人教版）（原卷版+解析卷），文件包含九年级数学下册专题277相似三角形的证明与计算专项训练60道举一反三人教版原卷版docx、九年级数学下册专题277相似三角形的证明与计算专项训练60道举一反三人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共96页， 欢迎下载使用。
专题27.7 相似三角形的证明与计算专项训练（60道）
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共60题，针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对相似三角形的证明与计算的理解！
一．解答题（共30小题）
1．（2022·辽宁·大连市第三十四中学九年级阶段练习）如图，在ΔABC中，点D在AB边上，∠ABC=∠ACD.

（1）求证：ΔABC∽ΔACD；
（2）若AD=4,AB=9求AC的长.
2．（2022·广西贺州·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，求FC的长．

3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．
求证：△ACD∽△ABC．

4．（2022·上海·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，BC=8，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=EF=FD，AE的延长线交BC于点G，GF的延长线交AD于点H．
（1）求HD的长；
（2）设△BEG的面积为a，求四边形AEFH的面积．（用含a的代数式表示）

5．（2022·湖南省岳阳开发区长岭中学九年级阶段练习）已知：如图，∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB．

6．（2022·全国·九年级专题练习）已知，如图，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D为BC边上一点，BD＝2．求证：△ABD∽△CBA．

7．（2022·全国·九年级专题练习）如图，∠1=∠2，ABAE=ACAD，求证：∠C=∠D．

8．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，将∠MPN绕点P从PB处开始顺时针方向旋转，PM交边AB于点E，PN交边AD于点F，当PE旋转至PA处时，∠MPN的旋转随即停止.
（1）如图2，在旋转中发现当PM经过点A时，PN也经过点D，求证：△ABP ∽△PCD
（2）如图3，在旋转过程中，PEPF的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由
（3）设AE=m，连结EF，则在旋转过程中，当m为何值时，△BPE与△PEF相似.

9．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=30°，求证：△ABD∽△DCE．

10．（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC，AD=DE，连接BD，CE，求CEBD的值．

11．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE=∠B．

(1)证明：ΔADB∼ΔAED；
(2)若AE=3，AD=5，求AB的长．
12．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC与△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2；
（1）证明：△ABC∽△ADE．
（2）请你再添加一个条件，使△ABC≌△ADE．你补充的条件为：　 　．

13．（2022·全国·九年级单元测试）如图，BD、CE是△ABC的高．

（1）求证：△ACE∽△ABD；
（2）若BD＝8，AD＝6，DE＝5，求BC的长．
14．（2022·全国·九年级课时练习）如图，AB//EF//CD，E为AD与BC的交点，F在BD上，求证：1AB+1CD=1EF．

15．（2022·全国·九年级课时练习）（1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形ABCD上，使直角顶点与D重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．则DP DQ（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）将（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他条件不变．
①如图2，若PQ＝5，求AP长．
②如图3，若BD平分∠PDQ．则DP的长为 ．

16．（2022·全国·九年级专题练习）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：
如图1，∠BAD=∠ACB=∠AED=90°，由∠1+∠2+∠BAD=180°，∠2+∠D+∠AED=180°，可得∠1=∠D ；又因为ACB=∠AED=90°，可得△ABC∽△DAE，进而得到BCAC=______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型．
应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且∠APD=∠B．
①求证：△ABP∽△PCD；
②当点P为BC中点时，求CD的长；
拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当△APD为等腰三角形时，请直接写出BP的长．

17．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°．求证：△ADC∽△DEB．

18．（2022·全国·九年级专题练习）如图，平行四边形ABCD中，点E是BC上一线，连接AE，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．求证：△ADF∽△DEC；

19．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，DC与BE相交于点O，且DO=2，BO=DC=6，OE=3．求证：△DOE∽△COB．

20．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B，且DM交AC于点F，ME交BC于点G.写出图中的所有相似三角形，并选择一对加以证明．

21．（2022·全国·九年级专题练习）如图，D、E、F分别是△ABC的三边BC,CA,AB的中点．求证：△DEF∽△ABC．

22．（2022·福建·厦门市第五中学八年级期中）定义：若一个三角形最长边是最短边的2倍，我们把这样的三角形叫做“和谐三角形”．在△ABC中，点F在边AC上，D是边BC上的一点，AB＝BD，点A，D关于直线l对称，且直线l经过点F．
（1）如图1，求作点F；（用直尺和圆规作图保留作图痕迹，不写作法）
（2）如图2，△ABC是“和谐三角形”，三边长BC，AC，AB分别a，b，c，且满足下列两个条件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．
①求a，b之间的等量关系；
②若AE是△ABD的中线．求证：△ACE是“和谐三角形”．

23．（2022·全国·九年级专题练习）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G．
（1）求证：DF•AB=BC•DG；
（2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG．

24．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E、H分别在边AB、AC上．

（1）求BC边上的高；
（2）求正方形EFGH的边长．
25．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，E是CD上的一点，F是BC的延长线上的一点，且CE=CF，BE的延长线交DF于点G，求证：△BGF∽△DCF．

26．（2022·全国·九年级课时练习）如图，F为四边形ABCD边CD上一点，连接AF并延长交BC延长线于点E，已知∠D=∠DCE．
（1）求证：△ADF∽△ECF；
（2）若ABCD为平行四边形，AB=6，EF=2AF，求FD的长度．

27．（2022·安徽安庆·九年级阶段练习）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．
（1）如图①，当CEEB=13时，求S△CEFS△CDF的值；
（2）如图②，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=12BG．
     
28．（2022·上海市徐汇中学九年级期中）如图，已知△ABC中，AB=AC，点E、F在边BC上，满足∠EAF=∠C
求证：（1）BF⋅CE=AB2 （2）AE2AF2=CEBF．

29．（2022·山东泰安·中考真题）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC=∠CDE=90°，连接BD，AB=BD，点F是线段CE上一点．

探究发现：
（1）当点F为线段CE的中点时，连接DF（如图（2），小明经过探究，得到结论：BD⊥DF．你认为此结论是否成立？_________．（填“是”或“否”）
拓展延伸：
（2）将（1）中的条件与结论互换，即：若BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
问题解决：
（3）若AB=6,CE=9，求AD的长．
30．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E为AC的中点，AD⊥BC于点D，ED延长后交AB的延长线于点F，求证：△AEF∽△ABC．

31．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．点M，N分别是BD，CE的中点，连接AM，AN，MN．
（1）求证：△CAE≌△BAD；
（2）求证：△AMN∽△ABC；
（3）若AC＝6，AE＝4，∠EAC＝60°，求AN的长．

32．（2022·全国·九年级课时练习）在①DP⋅PB=CP⋅PA，②∠BAP=∠CDP，③DP⋅AB=CD⋅PB这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明．
问题：如图，四边形ABCD的两条对角线交于P点，若 （填序号）
求证：△ABP∼△DCP．

33．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，且AB是AD，BC的比例中项，求证：BD⊥AC．

34．（2022·甘肃兰州·中考真题）如图，在△ABC中，过点C作CD//AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF
(1)求证：四边形AFCD是平行四边形．
(2)若GB=3，BC=6，BF=32，求AB的长．

35．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，E是边BC的中点，DF⊥AE于点F．

(1)求证：AFBE=ADAE．
(2)已知AB=8,BC=12，求AF的长．
36．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点M是AD的中点，连接MC交BD于点N，ON＝1．

(1)求证：△DMN∽△BCN；
(2)求BD的长；
(3)若△DCN的面积为2，直接写出四边形ABNM的面积．
37．（2022·全国·九年级课时练习）在菱形ABCD中，∠ABC=120°，点E、F分别是边AB、AD上两点，满足AE=DF，BF与DE相交于点G．
（1）如图1，连接BD．求证：△DAE≌△BDF；
（2）如图2，连接CG．
①求证：BG+DG=CG；
②若FG=m，GC=n，求线段DG的长（用含m、n的代数式表示）．

38．（2022·全国·九年级课时练习）将一副三角尺如图1放置，其中AD为Rt△ABC中BC边上的高，DE，DF分别交AB，AC于点M和N．

(1)求证：△AMD∽△CND；
(2)如图2，将Rt△DEF绕点D旋转，此时EF∥BC，且E，A，F共线，判断AEAD＝AMAN是否成立，并给出证明．
39．（2022·全国·九年级课时练习）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．
（1）证明：∠BDC=∠PDC；
（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．

40．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点，
（1）若BK＝73KC，求CDAB的值；
（2）联结BE，若BE平分∠ABC，则当AE＝12AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的数量关系？请写出你的结论并予以证明；
（3）试探究：当BE平分∠ABC，且AE＝1nAD（n＞2）时，线段AB、BC，CD三者之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不必证明．

41．（2022·山东济宁·中考真题）如图,在△ABC中,AB=AC，点P在BC上．
(1)求作:△PCD,使点D在AC上，且△PCD∽△ABP；(要求:尺规作图，保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,若∠APC=2∠ABC，求证:PD//AB．

42．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD=3，AB=5，求AFAG的值．

43．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）设AFFC=12，
①若BC＝12，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．

44．（2022·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，过点B作BF⊥DE于F点，交AC于H点，交CD于G点．

(1)求证：△BGC∽△DGF；
(2)求证：GD⋅AB=DF⋅BG；
(3)若点G是DC中点，求GFCE的值．
45．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝5 cm，点D在BC上，且CD＝3 cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25 cm/s的速度沿BC向终点C运动，过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ，设动点运动时间为t s（t＞0）．

(1)CP＝________，CQ＝________．（用含t的代数式表示）
(2)连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行，为什么？
46．（2022·河南洛阳·九年级期中）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，BD=13BC 将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为α，连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF．
   
(1)如图 1，当α＝180°时，请直接写出线段AF与线段BE的数量关系；
(2)当0°＜α＜180°时，
①如图2，（1）中线段AF与线段BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，当B，E，F三点共线时，连接AE，判断四边形AECF的形状，并说明理由．
47．（2022·全国·九年级课时练习）如图所示，在正方形ABCD中，E是BC上的点连接AE.作BF⊥AE垂足为H，交CD于F作CG//AE，交BF于G.

求证：(1)CG=BH；
(2)FC2=BF⋅GF．
48．（2022·山东淄博·八年级期末）如图1，已知矩形ABCD对角线AC和BD相交于点O，点E是边AB上一点，CE与BD相交于点F，连结OE．

(1)若点E为AB的中点，求OFFB的值．
(2)如图2，若点F为OB中点，求证：AE＝2BE．
(3)如图2，若OE⊥AC，BE＝1，且OF＝k·BF，请用k的代数式表示AC2．
49．（2022·全国·九年级课时练习）【操作发现】
如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MN．
∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN＝MN．
【实践探究】
（1）在图①条件下，若CN＝3，CM＝4，则正方形ABCD的边长是 　．
（2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展】
（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝1，求DM的长．
               
50．（2022·全国·九年级课时练习）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上动点(不与B,C重合)．连接AE,过点E作EF⊥AE,交DC于点F．

(1)求证：△ABE∼△ECF；
(2)连接AF，试探究当点E在BC什么位置时，∠BAE=∠EAF，请证明你的结论．
51．（2022·全国·九年级课时练习）综合与实践
问题情境：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为斜边AB上的动点（不与点A，B重合）．

(1)操作发现：如图①，当AC=BC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，BE．
①∠CBE的度数为______；
②探究发现AD和BE有什么数量关系，请写出你的探究过程；
(2)探究证明：如图2，当BC=2AC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°后并延长为原来的两倍，记为线段CE．
①在点D的运动过程中，请判断AD与BE有什么数量关系？并证明；
②若AC=2，在点D的运动过程中，当△CBE的形状为等腰三角形时，直接写出此时△CBE的面积．
52．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的中线，EF垂直平分CD，分别交AC，BC于E，F，连接DE，DF．

(1)求证：△OCE∽△OFD．
(2)当AE=7，BF=24时，求线段EF的长．
53．（2022·河南驻马店·九年级期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝22，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝DE＝12AB，连接DE．将△ADE绕点A顺时针方向旋转，记旋转角为θ．

（1）[问题发现]
①当θ＝0°时，BECD＝　　； ②当θ＝180°时，BECD＝　　；
（2）[拓展研究]
试判断：当0°≤θ＜360°时，BECD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
（3）[问题解决]
在旋转过程中，BE的最大值为　　．
54．（2022·福建泉州·九年级期中）如图1，设D为锐角△ABC内一点，∠ADB=∠ACB+90°．
（1）求证：∠CAD+∠CBD=90°；
（2）如图2，过点B作BE⊥BD，BE=BD，连接EC，若AC•BD=AD•BC，
①求证：△ACD∽△BCE；
②求AB⋅CDAC⋅BD的值．

55．（2022·全国·九年级专题练习）所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中较长部分对于全部之比，等于较短部分对于该部分之比，其比值是5-12．

(1)如图①，在△ABC中，∠A＝36°，AB=AC，∠ACB的平分线CD交腰AB于点D．请你根据所学知识证明：点D为腰AB的黄金分割点：
(2)如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB上的高，AD>BD，AB=5+1，若点D是AB的黄金分割点，求BC的长，
56．（2022·山东·淄博市临淄区教学研究室八年级期末）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．

（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD，如图（1），证明四边形AGFP是菱形；
（2）若PE⊥EC，如图（2），求证：AE⋅AB=DE⋅AP．
57．（2022·湖南衡阳·九年级期末）如图，在ΔABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE=BD．

（1）求证：ΔABE∽ΔACD；
（2）若BD=1，CD=2，求AEAD的值．
58．（2022·全国·九年级专题练习）[教材呈现]下面是华师大九年级上最数学教材第76页的部分内容．
如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB=3，AD=2，CE=1，证明△AFD∽△DCE，并计算点A到直线DE的距离（结果保留根号）．

结合图①，完成解答过程．
　
[拓展]
（1）在图①的基础上，延长线段AF交边CD于点G，如图②，则FG的长为 ；
（2）如图③，E、F是矩形ABCD的边AB、CD上的点，连接EF，将矩形ABCD沿EF翻折，使点D的对称点D'与点B重合，点A的对称点为点A'．若AB=4，AD=3，则EF的长为 　．
59．（2022·江苏苏州·九年级专题练习）( 定义：长宽比为n ∶1（n为正整数）的矩形称为n矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个2矩形，如图a所示．
操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH．
操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF，BE上，折痕为CD．则四边形ABCD为2矩形．

(1)证明：四边形ABCD为2矩形；
(2)点M是边AB上一动点．
①如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OM⊥ON，连接MN．求ON：OM的值；
②若AM＝AD，点N在边BC上，当△DMN的周长最小时，求NB：CN的值；
③连接CM，作BR⊥CM，垂足为R．若AB＝22，则DR的最小值＝
60．（2022·四川广元·二模）（1）如图1，正方形ABCD与调研直角△AEF有公共顶点A，∠EAF＝90°，连接BE、DF，将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的角为β，则BEDF＝________；β＝________；
（2）如图2，矩形ABCD与Rt△AEF有公共顶点A，∠EAF＝90°，且AD＝2AB，AF＝2AE，连接BE、DF，将Rt△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的角为β，请求出BEDF的值及β的度数，并结合图2进行说明；
（3）若平行四边形ABCD与△AEF有公共项点A，且∠BAD＝∠EAF＝α(0°＜α＜180°)，AD＝kAB， AF＝kAE(k≠0)，将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的锐角的度数为β，则：
①BEDF＝________；
②请直接写出α和β之间的关系式．