2024年八年级数学下册专题18.6 三角形的中位线【九大题型】（举一反三）（人教版）（原卷版+解析卷）

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专题18.6 三角形的中位线【九大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc24805" 【题型1 利用三角形的中位线求角度】  PAGEREF _Toc24805 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc10491" 【题型2 利用三角形的中位线求线段长度】  PAGEREF _Toc10491 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc7415" 【题型3 利用三角形的中位线求周长】  PAGEREF _Toc7415 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc22262" 【题型4 利用三角形的中位线求面积】  PAGEREF _Toc22262 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc14095" 【题型5 利用三角形的中位线求最值】  PAGEREF _Toc14095 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc15537" 【题型6 与三角形中位线有关的规律探究】  PAGEREF _Toc15537 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc2420" 【题型7 与三角形中位线有关的格点作图】  PAGEREF _Toc2420 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc23523" 【题型8 三角形中位线的实际应用】  PAGEREF _Toc23523 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc1380" 【题型9 与三角形中位线有关的证明】  PAGEREF _Toc1380 \h 11【知识点 三角形的中位线】定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。【题型1 利用三角形的中位线求角度】【例1】（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F、G分别是AB,CD,AC的中点，若∠DAC=17°，∠ACB=91°，则∠FEG等于（    ）A．36° B．72° C．74° D．37°【变式1-1】（2022秋·福建泉州·九年级晋江市季延中学校考期末）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=32°．现将△ADE沿DE折叠，点A落在三角形所在平面内的点为A'，则∠BDA'的度数为（　　　）A．58° B．116° C．122° D．148°【变式1-2】（2022春·北京·八年级人大附中校考期中）如图，四边形ABCD的对角线AC平分∠BAD,∠ABC=90°,∠ACB=28°，且CD=AC，点O，E分别是AC，AD的中点，则∠BOE的度数为_____________．【变式1-3】（2022春·山西太原·八年级统考期末）如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE并延长至F．使EF＝DE，连接CF．若∠B＝45°，则∠F的度数为 _____．【题型2 利用三角形的中位线求线段长度】【例2】（2022春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点B作BG⊥AD于G，交AC于F，连接EG，则线段EG的长为（    ）A．12 B．1 C．32 D．2【变式2-1】（2022秋·河南南阳·九年级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF，若AE=BE，OE=3，OA=4，则线段OF的长为（    ）A．5 B．25 C．33 D．6【变式2-2】（2022秋·河南新乡·九年级校考期末）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点AE⊥BE，AB=5，AC=3，则DE的长为（    ）A．1 B．32 C．2 D．52【变式2-3】（2022秋·安徽宣城·八年级校考期中）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（　　）A．32 B．52 C．3 D．4【题型3 利用三角形的中位线求周长】【例3】（2022春·河北唐山·八年级统考期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E，F分别为AC，BC的中点．AB＝10，BC=8，DE＝4.5，则△DEF的周长是（    ）A．14.5 B．12.5 C．9.5 D．13.5【变式3-1】（2022春·浙江杭州·八年级杭州英特外国语学校校考期中）如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为10cm，连接矩形各边中点E、F、G、H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为（   ）cm．A．10 B．20 C．30 D．40【变式3-2】（2022春·河南信阳·八年级统考期末）如图，点D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=11，BD=8，CD=6，点E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是（　　　）．A．14 B．18 C．21 D．24【变式3-3】（2022春·重庆·八年级重庆南开中学校考期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC边上一点，连接DE，F为DE的中点，连接OF，CF，若△BED的周长为10，则△OCF的周长为（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【题型4 利用三角形的中位线求面积】【例4】（2022春·山东德州·八年级校考期末）如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是________【变式4-1】（2022春·广东深圳·八年级统考期末）如图，EF是△ABC的中位线，点O是EF上一点，且满足OE=2OF，则△ABC 的面积与△AOC的面积之比为（    ） A．2:1 B．3:2 C．5:3 D．3:1【变式4-2】（2022春·河北石家庄·八年级统考期末）如图，在给定的△ABC中，动点D从点B出发沿BC方向向终点C运动，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，O是EF的中点，在整个运动过程中，△OBC的面积的大小变化情况是（　　）A．不变 B．一直增大C．先增大后减小 D．先减小后增大【变式4-3】（2022春·江苏苏州·八年级校考期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是BC边上的一个动点，连接DE，EF，FD．若△ABC的面积为18 cm2，则△DEF的面积是__cm2 【题型5 利用三角形的中位线求最值】【例5】（2022秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，BC=23，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE和EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值为（    ）A．3 B．62 C．63 D．1【变式5-1】（2023秋·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考期末）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为平面直角坐标系内一点，BC=1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最小值为（    ）A．22-1 B．22+1 C．2+12 D．2-12【变式5-2】（2023秋·陕西西安·九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是___________．【变式5-3】（2022春·甘肃兰州·八年级校考期末）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是（　　）A．5 B．53 C．52 D．不能确定【题型6 与三角形中位线有关的规律探究】【例6】（2022春·辽宁丹东·八年级校考期末）如下图，在边长为a的等边△ABC中，分别取△ABC三边的中点A1，B1，C1，得△A1B1C1；再分别取△A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，得△A2B2C2；这样依次下去，经过第2022次操作后得△A2022B2022C2022，则△A2022B2022C2022的面积为__________．【变式6-1】（2022秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADC沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去，经过第4次操作后得到的折痕D3E3到BC的距离记为h4，若h1=1，则h4的值是（    ）A．3116 B．174 C．158 D．18【变式6-2】（2022秋·山东济南·九年级统考期中）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，分别取AC、BC边的中点D、E，连接DE，作EF∥AC得到四边形EDAF，它的周长记作C1；分别取EF，BE的中点D1，E1，连接D1E1，作E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2，…，照此规律作下去，则C2022等于___________．【变式6-3】（2022秋·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在△A1A2A3中，∠A1A3A2=90°，∠A2=30°，A1A3=1．A4、A5分别是A1A2、A2A3的中点，连接A3A4、A4A5；A6、A7分别是A3A4、A4A5的中点，连接A5A6、A6A7；……按此规律进行下去，则△A2021A2022A2023中最短边的长度为_______．【题型7 与三角形中位线有关的格点作图】【例7】（2022春·浙江杭州·九年级期末）如图，在6×6的方格纸中，线段AB的两个端点分别落在格点上，请按要求画图：（1）在图1中画一个格点四边形APBQ，且AB与PQ垂直．（2）在图2中画一个以AB为中位线的格点△DEF．【变式7-1】（2022秋·山西晋城·九年级统考期末）请在如图所示的正方形和等边三角形网格内，仅用无刻度的直尺完成下列作图，过点P向线段AB引平行线．【变式7-2】（2022·浙江温州·校考二模）如图，在所给的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，四边形ABCD是平行四边形，连结AC（点A，B，C，D均在格点上），请按要求完成下列作图任务．要求：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹．（1）在图1中作△ABC的中位线EF，且AC=2EF；（2）在图2中取边AD上点G，以AG，AC为邻边作▱GACH，且▱GACH的面积等于△ABC的面积． 【变式7-3】（2022·四川乐山·三模）如图，在4×4的正方形网格图中，点A、B均在格点上，请按要求完成下列解答：（注：作图仅能使用无刻度的直尺，且要求保留作图痕迹．请你借助网格图完成第（2）、（3）、（4）小题的作图）．(1)直接写出线段AB的长为；(2)在网格图中找一个格点C，连接BC，使BC⊥AB；(3)在网格图中，用正确的方法画出线段AB的中点D；(4)连接AC并在线段AC上找一点E，连接DE，使DE∥BC．【题型8 三角形中位线的实际应用】【例8】（2022春·湖北·八年级校考期中）如图，某花木场有一块如四边形ABCD形状的空地，其中AD//BC,∠B=∠BCD，其各边中点分别是E、F、G、H，测得对角线AC=10m，现想利用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆的总长度是（    ）A．40m B．30m C．20m D．10m【变式8-1】（2022春·广东惠州·八年级校联考期末）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC．分别取AC，BC的中点D，E，测得D，E两点间的距离为20m，则A，B两点间的距离为______m．【变式8-2】（2022春·重庆南岸·八年级统考期末）某地为了更好地保护红军历史博物馆，经过精心的筹备规划，决定把原来博物馆的平面图扩大．如图，已知原来博物馆的平面图是▱ABCD，规划后博物馆的平面图是四边形EFGH，其中点A，B，C，D分别是边EF,FG,GH,HE的中点．如果原来博物馆的平面图▱ABCD的面积为300m2，则规划后博物馆的平面图EFGH占地面积为________m2．【变式8-3】（2022秋·陕西商洛·八年级统考期末）如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法．她把管道l看成一条直线（图2），问题就转化为：要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小，她的做法是这样的：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′交直线l于点P，则点P即为所求．请你参照小华的做法解决 下列问题，如图（3），在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC＝6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小．(1)在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）；(2)求△PDE周长的最小值．【题型9 与三角形中位线有关的证明】【例9】（2022秋·山东青岛·九年级校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2BC，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点．求证：(1)BE⊥AC；(2)连接AF，求证：四边形AGEF是菱形．【变式9-1】（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明．【结论应用】（1）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段AD的延长线交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F．求证：∠AEN=∠F．（2）若（1）中的∠A+∠ABC=122°，则∠F的大小为　 　．【变式9-2】（2022秋·安徽合肥·九年级校联考期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．(1)如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；(2)当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．【变式9-3】（2022春·吉林松原·八年级校考期末）阅读材料：如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点M是AB边上的一点，过点M分别作ME∥BD，MF∥AC交直线AC，BD于点E，F，显然四边形OEMF是平行四边形．(1)当对角线AC，BD满足______时，四边形OEMF是矩形．(2)如图2，若四边形ABCD是矩形，且M是AB的中点，判断四边形OEMF是什么特殊的平行四边形，并写出证明过程．(3)如图3，在四边形ABCD为矩形的条件下，若点M是边AB延长线上的一点，此时OA，ME，MF三条线段之间存在怎样的数量关系？并说明理由．