初中数学北师大版九年级下册2 30°、45°、60°角的三角函数值精练

这是一份初中数学北师大版九年级下册2 30°、45°、60°角的三角函数值精练，共32页。
一、选择题（每题3分，共30分）
1．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=23，∠C=120°，则点B′的坐标为（ ）
A．（3，3）B．（3，-3）C．（6，6）D．（6，-6）
2．由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（ ）
A．13B．12C．33D．32
3．在矩形ABCD中有一个菱形BEDF（点E，F分别在线段AB、CD上），记它们的面积分别为S矩形ABCD和S菱形BEDF，若S矩形ABCD：S菱形BEDF＝（2+3）：2，则tan∠EDF＝（ ）
A．3B．23C．33D．32
4．如图，在▱OABC中，边OC在x轴上，点A（1，3），点C（3，0）.按以下步骤作图：分别以点B，C为圆心，大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；作直线EF，交AB于点H；连接OH，则OH的长为（ ）
A．5B．7C．22D．23
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，D是边AB上一点，连结CD，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，连结BE.若四边形BCDE是平行四边形，则BC的长为（ ）
A．3B．3C．2 3D．3 2
6．如图，在平面直角坐标系中， RtΔABO 的顶点B在x轴的正半轴上， ∠ABO=90° ，点A的坐标为 (1，3) ，将 △ABO 绕点О逆时针旋转，使点B的对应点 B′ 落在边OA上，则 A′ 的坐标为（ ）
A．(−1，3)B．(−3，1)C．(−33，1)D．(−1，33)
7．如图，矩形OABC的顶点O（ 0，0），B（－2，2 3 ），若矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转60°，则第145秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（ ）
A．（－1， 3 ）B．（－1，－3）
C．（－2，0 ）D．（1，－3）
8．如图，在平行四边形OABC中，边OC在x轴上，点A（1，3），点C（3，0）．按以下步骤作图：分别以点B，C为圆心，大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；作直线EF，交AB于点H；连接OH，则OH的长为（ ）
A．5B．7C．22D．22
9．如图，在平行四边形ABCD和平行四边形BEFG中，AB=AD，BG=BE，点A， B， E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC，若∠ABC=∠BEF=60°，则 PGPC =（ ）
A．2B．3C．22D．33
10．如图，正△AOB的边长为5，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y＝ kx （x＞0）的图象分别交边AO，AB于点C，D，若OC＝2BD，则实数k的值为（ ）
A．4 3B．923C．2543D．8 3
二、填空题（每题3分，共15分）
11．在△ABC中，AB = AC= 5，tanB = 43 . 若⊙O的半径为 10 ，且⊙O经过点B与C，那么线段OA的长等于 .
12．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A0）的图象上，点B在反比例函数y= kx （k0） 的图象于另一点C，连结OC。若点C为AB的中点，tan∠OCA= 3 ，则k的值为 。
15．已知 tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ ， tan2α=2tanα1−tan2α （其中 α 和 β 都表示角度），比如求 tan105° ，可利用公式得 tan105°=tan(60°+45°)=3+11−3=−3−2 ，又如求 tan120° ，可利用公式得 tan120°=tan(2×60°)=2×31−(3)2=−3 ，请你结合材料，若 tan(120°+λ)=−33 （ λ 为锐角），则 λ 的度数是 ．
三、解答题（共7题，共55分）
16．
（1）在计算−22−(−1)10+|−6|+333tan30°−364×(−2)−2+(−2)0时，小亮的计算过程如下：
解：−22−(−1)10+|−6|+333tan30°−364×(−2)−2+(−2)0
=4−(−1)−6+273×3−4×22+0
=4+1−6+273−16
=−2
小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：
①−22=4；②(−1)10=−1；③|−6|=−6；
请写出正确的计算过程．
（2）先化简，再求值：(2x−3−1x)⋅x2−3xx2+6x+9，其中x是方程x2−2x−3=0的根．
17．已知，矩形ABCD中，点F在CD上，连接BF交AC于点E．
（1）若AC⊥BF于点E，如图1．
①证明：△ACD∽△CBE；
②若DF=23AB，求∠BAC的度数；
（2）若BCAB=23，点F是CD的中点，连接AF，如图2，求sin∠CAF的值．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知 A(2,0) ，点P为线段 AB 外一动点，且 PA=OA ．点B为x轴上一点，现在以B为中心，将 PB 顺时针旋转 60° 至 BM ，连接 PM ．
（1）求证： △PBM 为等边三角形；
（2）当 PA⊥x 轴， B(2+23,0) 时，求 AM 的长；
（3）当点B的坐标为 (5,0) 时，求线段 AM 的最大值（直接写出结果即可）．
19．
（1）课本再现
如图1，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=90°，∠C′=90°，ABA′B′=ACA′C′，
求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．我们在数学课上探索这一结论时进行了分析：要证Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，可设法证BCB′C′=ABA′B′=ACA′C′，若设ABA′B′=ACA′C′=k，则只需证BCB′C′=k．
请你根据以上分析，完成证明．
（2）知识应用
如图2，在四边形PMQN中，∠M=∠PQN=90°，PQ2=PM·PN，MQNQ=32，求∠N的度数．
20．已知点E在△ABC内，∠ABC＝∠EBD＝α，∠ACB＝∠EDB＝60°，∠AEB＝150°，∠BEC＝90°.
（1）当α＝60°时（如图1），
①判断△ABC的形状，并说明理由；
②求证：BD＝ 3 AE；
（2）当α＝90°时（如图2），求 BDAE 的值.
21．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，E是AB边上一点，D是AC边上一点，且点D不与A、C重合，ED⊥AC.
（1）当sinB＝ 12 时，
①求证：BE＝2CD；
②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时（45°＜∠CAD＜90°）.BE＝2CD是否成立？若成立，请给出证明；若不成立.请说明理由.
（2）当sinB＝ 22 时，将△ADE绕点A旋转到∠DEB＝90°，若AC＝10，AD＝2 5 ，求线段CD的长.
22．某校组织数学兴趣探究活动，爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.如图1、图2、图3中， AF 、 BE 是 △ABC 的中线， AF⊥BE 于点 P ，像 △ABC 这样的三角形均称为“中垂三角形”.
（1）（特例探究）
如图1，当 ∠PAB=45° ， AB=62 时， AC= ， BC= ；
如图2，当 sin∠PAB=12 ， AB=4 时， AC= ， BC= ；
（2）（归纳证明）
请你观察（1）中的计算结果，猜想 AB2 、 BC2 、 AC2 三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论；
（3）（拓展证明）
如图4，在 △ABC 中， AB=43 ， BC=25 ， D 、 E 、 F 分别是边 AB 、 AC BC 的中点，连结 DE 并延长至 G ，使得 GE=DE ，连结 BG ，当 BG⊥AC 于点 M 时，求 GF 的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】菱形的性质；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：过点B作BE⊥OA于E，过点B′作B′F⊥OA于F，
∴∠BE0=∠B′FO=90°，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA∥BC，∠AOB=12∠AOC，
∴∠AOC+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠AOC=60°，
∴∠AOB=30°，
∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，
∴∠BOB′=75°，OB′=OB=23，
∴∠B′OF=45°，
在Rt△B′OF中，
OF=OB′•cs45°=23×22=6，
∴B′F=6，
∴点B′的坐标为：（6，-6）．
故答案为：D．
【分析】首先根据菱形的性质，即可求得∠AOB的度数，又由将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，可求得∠B′OA的度数，然后在Rt△B′OF中，利用三角函数即可求得OF与B′F的长，则可得点B′的坐标．
2．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：连接AD，如图：
∵网格是有一个角60°为菱形，
∴△AOD、△BCE、△BCD、△ACD都是等边三角形，
∴AD= BD= BC= AC，
∴四边形ADBC为菱形，且∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠ABC=30°，
∴tan∠ABC= tan30°=33.
故答案为：C.
【分析】连接AD，易得△AOD、△BCE、△BCD、△ACD都是等边三角形，则AD= BD= BC= AC，推出四边形ADBC为菱形，且∠DBC=60°，则∠ABD=∠ABC=30°，然后根据特殊角的三角函数值进行解答.
3．【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵S矩形ABCD：S菱形BFDE=AB⋅BCBE⋅BC=ABBE=2+32，
∴AE+BEBE=2+32，
∴AEBE=32，
∵四边形BEDF是菱形，
∴DE∥BF，DE=BE，
∴∠BFC=∠EDF，
∵sin∠ADE=AEDE=AEBE=32，
∴∠ADE=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠EDF=90°−60°=30°，
∴tan∠EDF=33.
故答案为：C.
【分析】由S矩形ABCD：S菱形BFDE=AB⋅BCBE⋅BC=ABBE=2+32，可得AEBE=32，由sin∠ADE=AEDE=AEBE=32，可得∠ADE=60°，从而得出∠EDF=30°，根据特殊角三角函数值即可求解.
4．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；特殊角的三角函数值；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：连接HC，OH，过A点作AM⊥x轴于M，如图，
∵点A（1， 3），点C（3，0）
∴OM＝1，AM＝ 3，OC＝3，
∴OA＝ OM2+AM2= 12+(3)2＝2，
∵tan∠AOM＝ AMOM= 31＝ 3，
∴∠AOM＝60°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B＝∠AOM＝60°，BC＝OA＝2，
由作法得EF垂直平分BC，
∴HC＝HB，
∴△HBC为等边三角形，
∴BH＝2，
∴AH＝1，
∴H点的坐标为（2， 3），
∴OH＝ 22+(3)2＝ 7.
故答案为：B.
【分析】连接HC，OH，过A点作AM⊥x轴于M，如图，由A、B坐标可得OM＝1，AM＝ 3，OC＝3，利用勾股定理求出OA=2，根据∠AOM正切函数值，可求出∠AOM＝60°，由平行四边形的性质可得∠B＝∠AOM＝60°，BC＝OA＝2，再证△HBC为等边三角形，可得BH=BC＝2，从而求出AH＝1，即得H点的坐标为（2， 3），利用勾股定理求出OH即可.
5．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】如图：设 BD，EC 相交于点 F
由翻折可知： ∠A=∠DEC ， CE=CA
∵ ∠ACB＝90°
∴ ∠A+∠ABC=90°
∵ 四边形BCDE是平行四边形
∴ CF=EF ， DE//BC
∴∠EDB=∠ABC
∴∠DEC+∠EDB=∠A+∠ABC=90°
∴∠AFC=90°
在 Rt△ACF 中
∵ AC＝CE ， CF=12CE
∴CFAC=sin∠A=12=sin30°
∴∠A=30°
∵BCAC=tan∠A=tan30°=33
∵ AC＝3
BC=3
故答案为：A.
【分析】设 BD，EC 相交于点 F，先求出∠AFC=90°，利用锐角三角函数可求出∠A=30°，由BCAC=tan∠A=tan30°=33，即可求出BC.
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值；旋转的性质
【解析】【解答】解：过 A′ 点作x轴垂线，垂足为C，
∵ A的坐标为 (1，3) ，即 OB=1，AB=3 ，
∴OA=OA′=OB2+AB2=12+(3)2=2 ，
则 tan∠A=OBAB=33 ，
∴∠A=30° ，则 ∠AOB=∠A′OA=60° ，
∴∠A′OC=180°−∠AOB−∠A′OA=60° ，
∴OC=A′O·cs∠A′OC=2×cs60°=1 ，
A′C=A′Osin∠A′OC=2×sin60°=3 ，
∴A′ 的坐标为(-1， 3 )，
故答案为：A.
【分析】过A'点作x轴垂线，垂足为C，根据旋转的性质和勾股定理求出OA=OA′=2，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值求出∠A=30°，故∠A′OC=60°，再根据锐角三角函数的定义求出OC=1，A′C=3，即可求出点A′的坐标.
7．【答案】C
【知识点】矩形的判定；特殊角的三角函数值；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵矩形OABC的顶点O（0，0），B（-2，2 3 ），
∴D（-1， 3 ），
过D作DE⊥x轴于点E，则OE=1，DE= 3 ，
∴OD=OE2+DE2=2 ，
∴tan∠DOE= DEOE=3 ，
∴∠DOE=60°，
∵60°×145÷360°=24 16 ，
∵16 ×360°＝60°，
又∵旋转24周时，D点刚好回到起始位置，
∴第145秒时，矩形绕点O逆时针旋转24 16 周，此时D点在x轴负半轴上，
∴此时D点的坐标为（-2，0），
故答案为：C.
【分析】由矩形的性质可知点D的坐标，过D作DE⊥x轴于点E，则OE=1，DE= 3 ，利用勾股定理可得OD，以及特殊三角函数值得出∠DOE=60°，通过计算得出得出 第145秒时 旋转24周，D点刚好回到起始位置，即可得出点D的坐标.
8．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：延长BA交y轴于点M，则AM⊥y轴，如图所示：
∵点A（1，3），
∴AM=1，OM=3，
∵在Rt△AMO中，tan∠AOM=AMOM=13=33，
AO=BC=AM2+OM2=12+(3)2=2，
∴∠AOM=30°，
∴∠AOC=∠B=60°，
∵EF为BC的垂直平分线，BC=2，
∴BN=1，∠BHN=30°，
∴HB=2BN=2，
∵点C(3，0)，
∴OC=AB=3，
∴AH=AB−BH=1，
∴MH=MA+AH=2，
∴在Rt△HMO中，OH=MH2+OM2=22+(3)2=7，
故答案为：B．
【分析】延长BA交y轴于点M，则AM⊥y轴，利用特殊角的三角函数和平行四边形的性质求出∠B，进而求BH，根据B点、C点坐标和平行四边形对边长度相等可知H点坐标，最后用勾股定理求OH
9．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：延长GP交DC于点H，
∵AB=AD，BG=BE，
∴平行四边形ABCD和平行四边形BEFG都是菱形，
∵P是线段DF的中点，
∴FP=DP，
由题意可知DC∥GF，
∴∠GFP=∠HDP，
∵∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GP=HP，GF=HD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，
∴CG=CH
∴△CHG是等腰三角形，
∴PG⊥PC，(三线合一)
又∵∠ABC=∠BEF=60°，
∴∠GCP=60°，
∴PGPC = 3 .
故答案为：B.
【分析】延长GP交DC于点H，首先根据菱形的判断方法判断出平行四边形ABCD和平行四边形BEFG都是菱形，再根据菱形的性质及全等三角形的判定方法判断出△GFP≌△HDP，根据全等三角形的性质得出GP=HP，GF=HD，进而判断出△CHG是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得出PG⊥PC，最后根据锐角三角函数的定义及特殊锐角三角函数值即可得出答案.
10．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵等边三角形AOB的边长为5，边OB在x轴的正半轴上，点A在第一象限，
∴B（5，0），
∴OB＝5，
作CE⊥OB于E，DF⊥OB于F，
∴CE∥DF，
∴∠OEC＝∠BFD＝90°，
∵△AOB是正三角形，
∴∠AOB＝∠ABO＝60°，
∴△COE∽△DBF，
∴OEBF=CEDF=OCBD ，
设C（a，b），
∴OE＝a，CE＝b，
∵OC＝2BD，
∴aBF=bDF=2 ，
∴BF＝ 12 a，DF＝ 12 b，
∴OF＝OB﹣BF＝5﹣ 12 b，
∴D（5﹣ 12 b， 12 b），
∵反比例函数y＝ kx （x＞0）的图象分别交边AO，AB于点C，D，
∴k＝ab＝（5﹣ 12 b）• 12 b，解得a＝2，
∴OE＝2，
在Rt△COE中，∠AOB＝60°，
∴CE＝OE•tan60°＝2 3 ，
∴C（2，2 3 ），
∴k＝2×2 3 ＝4 3 。
故答案为：A。
【分析】根据等边三角形的性质得出OB＝5，作CE⊥OB于E，DF⊥OB于F，很容易判断出△COE∽△DBF，根据相似三角形对应边成比例得出OEBF=CEDF=OCBD，设C（a，b），故OE＝a，CE＝b，根据比例式用含a,b的式子表示出BF,CF，进而表示出OF，表示出带你D的坐标，根据反比例函数图象上的点的横坐标与纵坐标的乘积等于常数k，列出方程求解算出a的值，进而在Rt△COE中，根据正切函数的定义，由CE＝OE•tan60°表示出CE，求出点C的坐标，从而即可求出k的值。
11．【答案】3或5
【知识点】等腰三角形的性质；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：分两种情况考虑：
（i）如图1所示，
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴AO垂直平分BC，
∴OA⊥BC，D为BC的中点，
在Rt△ABD中，AB＝5，tan∠ABC＝ 43 ＝ ADBD ，
设AD＝4x，BD＝3x，由勾股定理得：（3x）2＋（4x）2＝52，
解得x＝1，
∴BD＝3，AD＝4，
在Rt△BDO中，OD＝ (10)2−32=1 ，BD＝3，
则AO＝AD＋OD＝4＋1＝5；
（ii）如图2所示，AO＝AD−OD＝4−1＝3；
综合上述，OA的长为3或5．
故答案为：3或5．
【分析】根据题意可得△ABC为等腰三角形，且∠A为顶角，根据tanB的值可以得出BC=8，经过B、C两点的圆的圆心在BC的中垂线上，然后根据圆心在三角形内和三角形外两种情况进行分类讨论．
12．【答案】33
【知识点】翻折变换（折叠问题）；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，CM是斜边AB的中线，
∴CM=AM=BM，
∴∠A =∠ACM，
由折叠的性质可得∠A=∠D，∠MCD=∠MCA，AM=DM，
∴MC=MD，∠A=∠ACM=∠MCE，
∵AB⊥CD，
∴∠CMB=∠DMB，∠CEB=∠MED=90°，
∵∠B+∠A=90°，∠B+∠ECB=90°，
∴∠A=∠ECB，
∴∠A=∠ACM=∠MCE=∠ECB，
∴∠A=12∠ACB=30°，
∴tanA=tan30°=33.
故答案为：33.
【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CM=AM=BM，则∠A=∠ACM，由折叠的性质可知，折叠前后的两个三角形全等，则∠A=∠D，∠MCD=∠MCA，于是∠MCD=∠D，从而可得∠A=30°，根据特殊角的三角函数值可得tanA=tan 30°=33.
13．【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，作点N关于CD的对称点E，连接ME，交CD于点P，此时MP+PN有最小值，过点M作MF⊥BC于F，
∴NC＝CE，PN＝PE，
∵∠A＝∠B＝∠MFB＝90°，
∴四边形ABFM是矩形，
∴AB＝MF＝2，AM＝BF，
∵AM＝CN，
∴BF＝AM＝CN＝CE，
∴BC＝EF＝ 23 ，
∵tan∠E=MFEF=223=33
∴∠E＝30°，
∵PN＝PE，
∴∠E＝∠PNE＝30°，
∴∠MPN＝60°，
∴tan∠MPN＝3.
故答案为：3.
【分析】作点N关于CD的对称点E，连接ME，交CD于点P，此时MP+PN有最小值，过点M作MF⊥BC于F，则四边形ABFM是矩形，得到AB＝MF＝2，AM＝BF，结合AM＝CN可得BF＝AM＝CN＝CE，利用三角函数的概念以及特殊角的三角函数值可得∠E＝30°，根据等腰三角形的性质可得∠E＝∠PNE＝30°，利用外角的性质可得∠MPN＝60°，然后根据特殊角的三角函数值进行解答.
14．【答案】-3
【知识点】相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值；反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形的性质
【解析】【解答】∵tan∠OCA= 3 ，∴∠OCA=60°，
∵OA⊥OB ，点C为AB的中点 ，∴OA=AC=BC，
∴△AOC是等边三角形，∴∠OAC=60°，∴tan∠OAB=tan60°=OBOA=3，
过点A、B分别作AD⊥x轴，BE⊥x轴，
∴∠ADO=∠BEO=90°，
∵∠BOE+∠AOD=90°，∠BOE+∠EBO=90°，∴∠AOD=∠EBO，
∴△BEO∽△ODA，∴OBOA=OEAD=BEOD=3，
∵点A在反比例函数y= 1x （x>0）的图象上，可设点A(a，1a)，即得AD=1a，OD=a,
∴OE=3a,BE=3a，∴B（-3a，3a），
∵点B在反比例函数y= kx 上，∴k=-3a×3a=-3.
故答案为：-3.
【分析】由tan∠OCA= 3 ，可得∠OCA=60°，根据直角三角形的性质可得OA=AC=BC，即得∠OAC=∠OCA=60°，从而可得OBOA=3.过点A、B分别作AD⊥x轴，BE⊥x轴，根据两角对应相等可证△BEO∽△ODA，可得OBOA=OEAD=BEOD=3，设点A(a，1a)，即得AD=1a，OD=a,从而可得OE=3a,BE=3a，即得B（-3a，3a），将点B代入y= kx中，即可求出k值.
15．【答案】30°
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】设 tanλ=x 由题意得： tan(120°+λ)=tan120°+tanλ1−tan120°⋅tanλ
∵tan120°=−3,tanλ=x,tan(120°+λ)=−33
∴−3+x1+3x=−33
解得 x=33
经检验， x=33 是分式方程的根
即 tanλ=33
∵λ 为锐角
∴λ=30°
故答案为： 30° ．
【分析】设 tanλ=x ，先根据公式可得到一个关于x的分式方程，解方程可求出x的值，再根据特殊角的正切函数值即可得出答案．
16．【答案】（1）解：其他错误，有：④tan30°=33；⑤（-2）-2=14，⑥（-2）0=1，
正确的计算过程：
解：−22−(−1)10+|−6|+333tan30°−364×(−2)−2+(−2)0
=−4−1+6+273×33−4×14+1
=−4−1+6+271−1+1
=28；
（2）解：(2x−3−1x)⋅x2−3xx2+6x+9
=2x−x+3x(x−3)⋅x(x−3)(x+3)2
=x+3x(x−3)⋅x(x−3)(x+3)2
=1x+3，
∵x2-2x-3=0，
∴（x-3）（x+1）=0，
x-3=0或x+1=0，
∴x1=3，x2=-1，
∵x=3分式没有意义，
∴x的值为-1，
当x=-1时，原式=1−1+3=12．
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的定义、零指数幂性质解答即可；
（2）根据分式的运算法则，一元二次方程的解法解答即可。
17．【答案】（1）解：①证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC， ∠D=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
∵AC⊥BF，
∴∠BEC=∠CDA=90°，
∴△ACD∽△CBE；
②解：∵四边形ABCD为矩形，
∴CD∥AB， CD=AB，
∴△FEC∽△BEA，
∴CEEA=CFAB，
∵DF=23AB，
∴CFAB=13，
∴CEEA=13，
设CE=a，则EA=3a，
∵∠ABC=90°，AC⊥BF，
∴△AEB∽△BEC
∴BEAE=ECBE
∴BE2=AE⋅EC=3a2，
∴BE=3a，
则tan∠BAC=BEAE=33，
∴∠BAC=30°；
（2）解：过点F作FH⊥AC于H，
设BC=2a，则AB=CD=3a，
由勾股定理得： AC=BC2+CD2=13a，
∵点F是CD的中点，
∴DF=32a，
则AF=AD2+DF2=52a，
∵S△AFC=12AC⋅FH=12CF⋅AD，
∴12×13a⋅FH=12×32×a×2a，
解得： FH=31313a，
则sin∠CAF=FHAF=31313a52a=61365
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）①根据两角对应相等的两个三角形相似可证；② 证明△FEC∽△BEA，利用相似三角形的性质可得CEEA=13， 设CE=a，则EA=3a，证△AEB∽△BEC，利用相似三角形的性质可求出BE=3a， 根据tan∠BAC=BEAE=33即可求解；
（2）过点F作FH⊥AC于H，设BC=2a，则AB=CD=3a，即得DF=32a 由勾股定理求出AC=13a，AF=52a，根据S△AFC=12AC⋅FH=12CF⋅AD可求出FH=31313a，由sin∠CAF =FHAF即可求解.
18．【答案】（1）证明：∵线段 PB 绕B点顺时针旋转 60° 得到线段 BM ，
∴PB=BM ，且 ∠PBM=60° ，
∴△PBM 为等边三角形．
（2）解：∵A(2,0) ， PA=OA ，
∴PA=2，
∵PA⊥x 轴， B(2+23,0)
∴∠PAB=90°，AB= 23 ，
∴PB=PA2+AB2=22+(23)2=4 ， tan∠ABP=PAAB=223=33 ，
∴∠PBA=30° ，
∵△PBM 是等边三角形，
∴∠PBM=60° ， PB=BM=4
∴∠ABM=∠APB+∠PBM=30°+60°=90° ，
∴AM=AB2+BM2=27 ．
（3）5
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定与性质；勾股定理；特殊角的三角函数值；旋转的性质
【解析】【解答】解：（3）如图，当点P在第一象限时，将△APM绕点P顺时针旋转60°到△DPB，连接AD，
则△DPB≌△APM，
∴AM=BD，∠DPA=60°，PA=PD，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=PA=2，
由BD≤AD+AB知，当点D在BA的延长线上时BD最长，
∵B（5，0）,A（2，0），
∴AB=3，
∴BD≤AD+AB=2+3=5，
即AM的最大值为5；
当点P在第四象限时，同理可得AM的最大值为5，
综上，AM的最大值为5．
【分析】（1） 根据旋转的性质得出PB=BM，且∠PBM=60° ，据此即证△PBM为等边三角形；
（2）由A坐标得出PA=2，由B坐标得出AB= 23 ，利用勾股定理求出PB=4，利用特殊角三角函数值求出∠PBA=30°，根据等边三角形的性质得出∠PBM=60°，PB=BM=4 ，从而得出∠ABM=90°，利用勾股定理即可求出AM的长；
（3）当点P在第一象限时，将△APM绕点P顺时针旋转60°到△DPB，连接AD，证得△APD是等边三角形，可得AD=PA=2，由BD≤AD+AB知，当点D在BA的延长线上时BD最长，利用A、B的坐标求出AB的长，BD=AD+AB即得最大值；当点P在第四象限时，同理求解即可.
19．【答案】（1）解：设ABA′B′=ACA′C′=k，则AB=kA′B′，AC=kA′C′，
在Rt△ABC，由勾股定理，得
BC=AB2−AC2=kA′B′2−A′C′2，
在Rt△A′B′C′，由勾股定理，得
B′C′=A′B′2−A′C′2，
∴BCB′C′=kA′B′2−A′C′2A′B′2−A′C′2=k，
∴BCB′C′=ABA′B′=ACA′C′，
∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′；
（2）解：∵PQ2=PM·PN
∴PQPN=PMPQ
∵∠M=∠PQN=90°
∴由（1）知：Rt△PMQ∽Rt△PQN
∴MQNQ=PQPN=32
在Rt△PQN中，sinN=PQPN=32，
∴∠N=60°．
【知识点】相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）设ABA′B′=ACA′C′=k，则AB=kA′B′，AC=kA′C′，利用勾股定理求出B′C′=A′B′2−A′C′2，再求出BCB′C′=ABA′B′=ACA′C′，可得Rt△ABC∽Rt△A′B′C′；
（2）先证出Rt△PMQ∽Rt△PQN，可得MQNQ=PQPN=32，再结合sinN=PQPN=32，可得∠N=60°。
20．【答案】（1）解：①判断：△ABC是等边三角形.
理由：∵∠ABC=∠ACB=60°
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=60°=∠ABC=∠ACB
∴△ABC是等边三角形
②证明：同理△EBD也是等边三角形
连接DC，
则AB=BC，BE=BD，∠ABE=60°-∠EBC=∠CBD
∴△ABE≌△CBD
∴AE=CD，∠AEB=∠CDB=150°
∴∠EDC=150°-∠BDE=90°∠CED=∠BEC-∠BED=90°-60°=30°
在Rt△EDC中， CDED=tan30°=33 ，
∴AEBD=33 ,即BD= 3 AE.
（2）解：连接DC，
∵∠ABC=∠EBD=90°，∠ACB=∠EDB=60°
∴△ABC∽△EBD
∴ABEB=BCBD ，即 ABBC=EBBD
又∵∠ABE=90°-∠EBC=∠CBD
∴△ABE∽△CBD，∠AEB=∠CDB=150°， AECD=EBBD
∴∠EDC=150°-∠BDE=90°∠CED=∠BEC-∠BED=90°-（90°-∠BDE）=60°
设BD=x在Rt△EBD中DE=2x，BE= 3x
在Rt△EDC中CD=DE×tan60°=2 3x
∴AE=CD·BEBD=23x·3xx=6x=6BD ，
即 BDAE=16 .
【知识点】等边三角形的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】(1)①由三角形ABC中有两个60°而求得它为等边三角形；②由△EBD也是等边三角形，连接DC，证得△ABE≌△CBD，在直角三角形中很容易证得结论；
（2）连接DC，证得△ABC∽△EBD，设BD=x在Rt△EBD中DE=2x，由相似比即得到比值.
21．【答案】（1）解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝ 12 ，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
①如图1，作EH⊥BC于点H，
∵ED⊥AC
∴∠ADE＝∠C＝90°，
∴四边形CDEH是矩形，即EH＝CD，
∴在Rt△BEH中，∠B＝30°，
∴BE＝2EH
∴BE＝2CD；
②BE＝2CD成立，
理由：∵△ABC和△ADE都是直角三角形，
∴∠BAC＝∠EAD＝60°，
∴∠CAD＝∠BAE，
又∵ACAB=12 ， ADAE=12 ，
∴ACAB=ADAE ，
∴△ACD∽△ABE，
∴BECD=ABAC ，
又∵Rt△ABC中， ABAC ＝2，
∴BECD ＝2，
即BE＝2CD
（2）解：∵sinB＝ 22 ，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝45°，
∵ED⊥AD，
∴∠AED＝∠BAC＝45°，
∴AD＝DE，AC＝BC，
将△ADE绕点A旋转∠DEB＝90°，分两种情况：
②如图3所示，过A作AF⊥BE于F，则∠F＝90°，
当∠DEB＝90°时，∠ADE＝∠DEF＝90°，
又∵AD＝DE，
∴四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF＝EF＝2 5 ，
∵AC＝10＝BC，
根据勾股定理得，AB＝10 2 ，
在Rt△ABF中，BF＝ AB2−AF2 ＝6 5 ，
∴BE＝BF﹣EF＝4 5 ，
又∵△ABC和△ADE都是直角三角形，
且∠BAC＝∠EAD＝45°，
∴∠CAD＝∠BAE，
∵ACAB=22 ， ADAE=22 ，
∴ACAB=ADAE ，
∴△ACD∽△ABE，
∴BECD=ABAC ＝ 2 ，即 45CD ＝ 2 ，
∴CD＝2 10 ；
③如图4所示，过A作AF⊥BE于F，则∠AFE＝∠AFB＝90°，
当∠DEB＝90°，∠DEB＝∠ADE＝90°，
又∵AD＝ED，
∴四边形ADEF是正方形，
∴AD＝EF＝AF＝2 5 ，
又∵AC＝10＝BC，
∴AB＝10 2 ，
在Rt△ABF中，BF＝ AB2−AF2 ＝6 5 ，
∴BE＝BF+EF＝8 5 ，
又∵△ACD∽△ABE，
∴BECD=ABAC ＝ 2 ，即 85CD ＝ 2 ，
∴CD＝4 10 ，
综上所述，线段CD的长为2 10 或4 10 .
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值；旋转的性质
【解析】【分析】（1）利用特殊角三角形函数值，可得∠B＝30°，从而求出∠A＝60°，①如图1，作EH⊥BC于点H， 可证四边形CDEH是矩形，可得EH＝CD，利用含30°角直角三角形的性质可得BE＝2EH ，从而求出BE＝2CD；②BE＝2CD成立，理由，根据两边成比例且夹角相等可证△ACD∽△ABE，可得BECD=ABAC， 由于Rt△ABC中， ABAC ＝2 ，可得BECD ＝2，即证结论；
（2）根据特殊三角函数值可得∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝45°，从而求出AD＝DE，AC＝BC.将△ADE绕点A旋转到∠DEB＝90°，分两种情况，①如图3所示②如图4所示 ，分别解答即可.
22．【答案】（1）65；65；213；27
（2）解： AC2+BC2=5AB2 ,理由如下：
设 PF=x ， PE=y ，则 AP=2x ， BP=2y
∵AF⊥BE
∴AB2=AP2+BP2=(2x)2+(2y)2=4x2+4y2
AE2=AP2+EP2=(2x)2+y2=4x2+y2
FB2=FP2+BP2=x2+(2y)2=x2+4y2
∴AC2=(2AE)2=4AE2=16x2+4y2 ，
BC2=(2BF)2=4BF2=4x2+16y2
∴AC2+BC2=20x2+20y2=5AB2
即 AC2+BC2=5AB2
（3）解：连结 CG ， EF 过点 F 作 FN∥BG 交 CG 于点 N ，交 MC 于点 Q ，
∵FN∥BG ， BG⊥AC
∴FN⊥AC
∵F 是 BC 的中点
∴N 是 CG 的中点
∵D ， E 是 AB ， AC 的中点
∴DE=FC ， DE∥FC
∵ED=EG
∴EG=FC ， EG∥FC
∴四边形 EFCG 是平行四边形
∴Q 是 FG 的中点
∴△FCG 是中垂三角形
∵AB=43 ， BC=25 ，
∴CG=BD=23 ， FC=5
有（2）中结论可知： 5FC2=CG2+FG2
∴GF=13
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；平行线分线段成比例；特殊角的三角函数值；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解:如图，连接EF
∵∠PAB=45° ， AB=62 ， AF⊥BE
∴AP=BP=6
∵AF 、 BE 是 △ABC 的中线， P 是交点
∴EF=12AB,EF//AB
∴EFAB=PEPB=PFPA=12
∴PE=PF=3
∵AF⊥BE
∴由勾股定理可得： AE=BF=35
∴AC=BC=65
如图连接EF
∵sin∠PAB=12 ， AB=4 ， AF⊥BE
∴AP=23 ， BP=2
∵AF 、 BE 是 △ABC 的中线， P 是交点
∴EF=12AB,EF//AB
∴EFAB=PEPB=PFPA=12
∴PF=3 ， PE=1
∵AF⊥BE
∴由勾股定理可得： AE=13 ， BF=7
∴AC=213 ， BC=27
故答案为： 65 ， 65 ， 213 ， 27 .
【分析】（1）由三角函数的性质得到 AP=BP=22AB. 根据三角形中位线的性质,得到EF//AB. EF=12AB ,由平行线分线段成比例可得 EFAB=PEPB=PFPA=12 ，可求得PE、PE的长，再由勾股定理得到结果;由三角函数的性质得到 AP=BP=22AB. 根据三角形中位线的性质,得到EF//AB. EF=12AB ，由平行线分线段成比例可得 EFAB=PEPB=PFPA=12 ，可求得PE、PE的长再由勾股定理得到结果;（2）设 PF=x ， PE=y ，则 AP=2x ， BP=2y ，利用勾股定理用x、y、z分别表示出： AB2 、 AE2 、 FB2 ，再用x、y、z分别表示出 AC2=(2AE)2 ， BC2=(2BF)2 ，由 AC2+BC2=20x2+20y2=5AB2 即可得出答案；（3）连结 CG ， EF 过点 F 作 FN∥BG 交 CG 于点 N ，交 MC 于点 Q ，可得四边形 EFCG 是平行四边形，可得 △FCG 是中垂三角形，即可知： CG=BD=23 ， FC=5 代入（2）中结论可求得 GF=13