【A卷】第一章 直角三角形的边角关系—2023-2024学年北师大版九年级下册单元测试

这是一份【A卷】第一章 直角三角形的边角关系—2023-2024学年北师大版九年级下册单元测试，共14页。
 【A卷】第一章 直角三角形的边角关系—2023-2024学年北师大版九年级下册单元测试一、选择题（每题3分，共30分）1．如图，在中，，，，则等于（　　）A． B． C． D．2．已知角α为ABC的内角，且cosα=，则α的取值范围是（　　）A．0°<α<30° B．30°<α<45°C．45°<α<60° D．60°<α<90°3．已知sin42°≈，则cos48°的值约为（　　）A． B． C． D．4．的值等于（　　）A． B． C．1 D．25．已知 ，用计算器求∠A的大小，下列按键顺序正确的是（　　）  A．B．C．D．6．如图，矩形的对角线相交于点．若，则（　　）A． B． C． D．7．在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是（　　）A．1 B．2 C．6 D．88．如图，在中，，设所对的边边长分别为a，b，c，则下列等式正确的是（　　） A． B． C． D．9．如图，海中有一小岛，在点测得小岛在北偏东方向上，渔船从点出发由西向东航行到达点，在点测得小岛恰好在正北方向上，此时渔船与小岛的距离为．（　　）A． B． C． D．10．学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成角（即）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即米），则彩旗绳的长度为（　　）A．米 B．米 C．米 D．米二、填空题（每题3分，共15分）11．计算：　     　12．如图，的顶点都是边长为1的小正方形组成的网格的格点，则的正切值为　     　．13．在中，，，则　     　．14．如图，在中，，点D在边AB上，连接CD．若，，则　     　． 15．如图，斜坡的坡度，现需要在不改变坡高的情况下将坡度变缓，调整后的斜坡的坡度，已知斜坡米，那么斜坡　     　米． 三、解答题（共7题，共55分）16．计算：17．如图，菱形的对角线相交于点为的中点，，.求的长及的值. 18．如图，某海域有一小岛P，一艘轮船在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当轮船自西向东航行12海里到达B处，在B处测得小岛P位于北偏东30°方向上，若以点P为圆心，半径为10海里的圆形海域内有暗礁，那么轮船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．（参考数据：）．19．教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图像高度AB抽象成如图所示的△ABC，．黑板上投影图像的高度，CB与AB的夹角，求AC的长．（结果精确到1cm．参考数据：，，） 20．如图，AD、AE分别是△ABC边BC上的高和中线，已知 ，∠C＝45°．（1）求AD的长；（2）求sin∠BAE的值．21．如图，已知∠ABC和射线BD上一点P(点P与点B不重合)，且点P到BA、BC的距离为PE、PF．（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m，试比较PE、PF的大小；（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．22．小明同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学测量大树的高度，如图，于点B，在C处测得大树顶端A的仰角为，再从点C出发沿斜坡前进10米到达D处，测得大树顶端A的仰角为，测得山坡脚C处的俯角为（图中各点均在同一平面内，点E，C，B在同一水平线上）．（1）求小明从点C到达点D的过程中上升的高度是多少； （2）求这棵大树的高度（结果取整数）．（参考数据：，）
答案解析部分1．【答案】A【知识点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：在中，，，， ∴；故答案为：A. 【分析】直接根据三角函数的概念进行计算.2．【答案】C【知识点】锐角三角函数的增减性【解析】【解答】解：cosα=≈0.67，cos30°=≈0.87，cos45°=≈0.71，cos60°==0.5，∵0.5<0.67<0.71，∴45°<α<60°，故答案为：C．
【分析】根据锐角三角函数的增减性即可得到答案。3．【答案】A【知识点】互余两角三角函数的关系【解析】【解答】解：cos48°＝sin（90°﹣48°）＝sin42°≈ ， 故答案为：A.【分析】如果两个锐角α、β满足α+β=90°，则cosα＝sinβ，据此即可求解.4．【答案】B【知识点】特殊角的三角函数值【解析】【解答】 =2×=
故答案为：B。
【分析】利用特殊的锐角三角函数值进行计算即可。5．【答案】A【知识点】计算器—三角函数【解析】【解答】解：已知 ，用计算器求锐角A的大小，按键顺序“2ndF”，“tan”，“0.85”，“=”. 故答案为：A.【分析】已知三角函数值，求度数时，按键顺序为“2ndF”，“tan”，“0.85”，“=”.6．【答案】D【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，∠ABC=90°，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠BAO=60°，
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】由矩形的性质得OA=OB，∠ABC=90°，然后根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形得△AOB是等边三角形，则∠BAO=60°，进而根据∠BAO的正切函数定义及特殊锐角三角函数值可求出的值，从而此题得解.7．【答案】C【知识点】解直角三角形【解析】【解答】解：作△ABC的高AD，CE，

∵△ABC是锐角三角形，
∴AD，CE在△ABC的内部，BC＞BD，AB＞BE，
∵∠B=60°，AB=4，
∴BD=AB·cos∠B=4×cos60°=4×=2，
∴BC＞2，
在Rt△BCE中，
，
∴2＜BC＜8，
∴BC的长可以是6.
故答案为：C
【分析】作△ABC的高AD，CE，利用已知△ABC是锐角三角形，可得到AD，CE在△ABC的内部，BC＞BD，AB＞BE，利用解直角三角形求出BD的长，可得到BC＞2，再利用解直角三角形可得到BC＜8，即可得到BC的取值范围，观察各选项可得答案.8．【答案】D【知识点】解直角三角形【解析】【解答】在△ABC中，∠A＝90°
tanB=，sinB=
∴四个选项中，只有D选项符合题意
【分析】根据正切是对边与另外一条直角边的比值，正弦是对边与斜边的比值进行逐一判断即可．9．【答案】D【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题【解析】【解答】解：如图，连接AC，
 由题意得∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=10nmile，
∴AC=BC×tan∠ABC=10×tan60°=10×=10nmile.
故答案为：D.【分析】连接AC根据∠ABC的正切函数可得AC=BC×tan∠ABC，从而代值计算可得答案.10．【答案】D【知识点】解直角三角形的应用【解析】【解答】解：由题意得CA⊥CB，
∴，
故答案为：D
【分析】先根据题意即可得到CA⊥CB，进而根据解直角三角形的知识结合题意即可求解。11．【答案】【知识点】特殊角的三角函数值【解析】【解答】解：原式，故答案为：．
【分析】先利用特殊角的三角形函数值化简，再计算即可。12．【答案】【知识点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，则∠ADB=90°，∴tan∠BAC=.
故答案为：.
【分析】过点B作BD⊥AC于点D，则∠ADB=90°，然后在Rt△ABD中，利用正切函数的概念进行计算.13．【答案】【知识点】解直角三角形【解析】【解答】解：由题意得在中，，
故答案为：
【分析】根据题意直接运用解直角三角形的知识即可求解。14．【答案】【知识点】解直角三角形【解析】【解答】解：∵ ，
∴设AD=x，BD=3x，
∵BD=CD，
∴CD=3x，AB=AD+BD=4x，
在Rt△ACD中，由勾股定理得AC=
∴.
故答案为：.
【分析】由题意设设AD=x，BD=3x，则CD=3x，AB=AD+BD=4x，在Rt△ACD中，由勾股定理表示出AC，进而根据正切函数的定义可求出∠B的正切值.15．【答案】13【知识点】勾股定理；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴∠HBA=30°，
∴AH=5，
∵，
∴CH=12，
由勾股定理得，
故答案为：13
【分析】先根据即可求出AH的长，再根据即可求出CH的长，再运用勾股定理即可求解。16．【答案】解：．【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值【解析】【分析】根据0次幂以及负整数指数幂的运算性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值可得原式=2-1+1-1，然后根据有理数的加减法法则进行计算.17．【答案】在菱形中，. 在Rt中，
为中点，
...【知识点】勾股定理；菱形的性质；锐角三角函数的定义【解析】【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，AC=2AO；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以求出AD的长；再根据勾股定理即可求出OD；最后根据tan∠EDO=，求解tan∠EDO=.18．【答案】解：没有．如图，过点P作，垂足为C．由题意可得，，，∴＋，∴，∴．在Rt△BPC中，，∴，∴继续向东航行没有触礁的危险．【知识点】特殊角的三角函数值；直角三角形的性质【解析】【分析】根据题意可知，过P点垂直于AB的延长线上交于C点，PC是轮船距离P小岛最近的距离，只要判断PC与10之间的关系即可。利用特殊角的三角函数和AB长度就可以求出PC长，最终判断是否有触礁的危险                                    19．【答案】解：在Rt△ABC中，，，， ∴．∴AC的长约为80cm．【知识点】解直角三角形的应用【解析】【分析】直接利用∠B的正切函数可求出AC的长.20．【答案】（1）解：∵AE是△ABC边BC上中线，BC＝8， ∴BE＝EC＝BC＝4．∵AD是△ABC边BC上的高，∠C＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，AD＝DC，∴tanB＝＝，设AD＝x，则DC＝x，BD＝3x．∵BD+DC＝BC＝8，∴3x+x＝8，解得x＝2，∴AD的长为2；（2）解：如图，作EF⊥AB于F． 由（1）知EC＝4，DC＝2，∴ED＝EC﹣DC＝4﹣2＝2，∴AE＝在Rt△BEF中，∵tanB＝∴可设EF＝y，则BF＝3y．∵EF2+BF2＝BE2，∴y2+（3y）2＝42，解得y＝，∴EF＝，∴sin∠BAE＝【知识点】解直角三角形【解析】【分析】（1）由题意易得△ACD是等腰直角三角形，根据已知tanB ==，于是设AD＝x，则DC=AD＝x，BD＝3x；由线段的构成BC=BD+DC可得关于x的方程，解方程可求解；
（2）作EF⊥AB于F．结合（1）的结论用勾股定理可求得AE的值，在Rt△BEF中，根据tanB =可设EF＝y，则BF＝3y，由勾股定理可得关于y的方程，解方程求得y的值，然后根据锐角三角函数sin∠BAE=可求解.21．【答案】（1）解：在Rt△BPE中，在Rt△BPF中，又，即∴（2）解：根据（1）得，又∵∴∴．【知识点】解直角三角形【解析】【分析】（1）利用正弦的定义可得，，再结合，即可得到；
（2）方法同（1），先求出，，再结合，即可得到。22．【答案】（1）解：如图，过点D作 于点M， 于点N， 由题意可知： ， ， ，在 中， ， ， ，答：小明从点C到达点D的过程中上升的高度是5米．（2）解：由（1）易知四边形 为矩形， ，设 ，由题知： ， ，则 ，在 中， ， ，在 中， ， ， ，即： ，解得： ．答：这棵大树 的高度约为24米．【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题【解析】【分析】（1）过点D作 于点M， 于点N，先求出 ， ，再利用含30°角的直角三角形的性质可得；
（2）设 ，则，，再求出，可得，最后求出即可。