新高考数学一轮复习精品教案第03讲 函数的概念（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习精品教案第03讲 函数的概念（含解析），共35页。教案主要包含了知识点总结，典型例题，技能提升训练，方法点晴等内容，欢迎下载使用。
一、函数的概念
设集合A，B是非空的数集，对集合A中任意实数x按照确定的法则f集合B中都有唯一确定的实数值y与它对应，则这种对应关系叫做集合A到集合B上的一个函数记作y＝f(x)
x∈A·其中 SKIPIF 1 < 0 叫做自变量，其取值范围（数集A）叫做该函数的定义域，如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f（a）或y|x=2，所有函数值构成的集合 SKIPIF 1 < 0 叫做该函数的值域，可见集合C是集合B的子集 .
注 函数即非空数集之间的映射
注 构成函数的三要素
构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域.由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应法则一致，就称两个函数为同一个函数，定义域和对应法则中只要有一个不同，就是不同的函数.
二、函数的定义域
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切 SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ；
（6）已知 SKIPIF 1 < 0 的定义域求解 SKIPIF 1 < 0 的定义域，或已知 SKIPIF 1 < 0 的定义域求 SKIPIF 1 < 0 的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围； = 2 \* GB3 ②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
三、函数的值域
求解函数值域主要有以下十种方法：
（1）观察法；（2）配方法；（3）图像法；（4）基本不等式法，（5）换元法；（6）分离常数法；（7）判别式法；（8）单调性法，（9）有界性法；（10）导数法.
需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式.
四、函数的解析式
求函数的解析式，常用的方法有：（1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用题目中给的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数；
（2）换元法：主要用于解决已知复合函数 SKIPIF 1 < 0 的表达式求 SKIPIF 1 < 0 的解析式的问题，令 SKIPIF 1 < 0 ，解出 SKIPIF 1 < 0 ，然后代入 SKIPIF 1 < 0 中即可求得 SKIPIF 1 < 0 ，从而求得 SKIPIF 1 < 0 ，要注意新元的取值范围；
（3）配凑法：配凑法是将 SKIPIF 1 < 0 右端的代数式配凑成关于 SKIPIF 1 < 0 的形式，进而求出 SKIPIF 1 < 0 的解析式；（4）构造方程组法（消元法）：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解.
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域 SKIPIF 1 < 0 上单调，且 SKIPIF 1 < 0 时均有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．3B．1C．0D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】
根据题意，函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域 SKIPIF 1 < 0 上单调，且 SKIPIF 1 < 0 时均有 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 为常数，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，解可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
故选：A.
例2．（2022·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 ，若实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【详解】
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
若 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
例3．（2022·全国·高三专题练习）函数的 SKIPIF 1 < 0 值域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即函数的 SKIPIF 1 < 0 值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
（多选题）例4．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）下列说法正确的有（ ）
A．式子 SKIPIF 1 < 0 可表示自变量为 SKIPIF 1 < 0 、因变量为 SKIPIF 1 < 0 的函数
B．函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点最多有 SKIPIF 1 < 0 个
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是同一函数
【答案】BCD
【详解】
对于A选项，对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，此不等式组无解，A错；
对于B选项，当函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处无定义时，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与直线 SKIPIF 1 < 0 无交点，
当函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处有定义时，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与直线 SKIPIF 1 < 0 只有 SKIPIF 1 < 0 个交点，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点最多有 SKIPIF 1 < 0 个，B对；
对于C选项，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，C对；
对于D选项，函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的定义域均为 SKIPIF 1 < 0 ，且对应关系相同，
故 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是同一函数，D对.
故选：BCD.
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________．(填序号)
①f：x→y＝ SKIPIF 1 < 0 x；②f：x→y＝ SKIPIF 1 < 0 x；③f：x→y＝ SKIPIF 1 < 0 x；④f：x→y＝ SKIPIF 1 < 0 .
【答案】③
【详解】
①②④满足函数的定义，所以是函数，
对于③，因为当x＝4时， SKIPIF 1 < 0 ，所以③不是函数．
故答案为：③
例6．（2022·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】
依题意 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
例7．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的定义域；
（3）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域．
【详解】
（1）∵ SKIPIF 1 < 0 中的 SKIPIF 1 < 0 的范围与 SKIPIF 1 < 0 中的x的取值范围相同．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由题意知 SKIPIF 1 < 0 中的 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 的取值范围与 SKIPIF 1 < 0 中的x的取值范围相同，
∴ SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ．（3）∵函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
例8．（2022·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数的解析式：
（1）已知f( SKIPIF 1 < 0 ＋1)＝x＋2 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1；
（3）已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)．
【详解】
(1)(方法1)(换元法)：设t＝ SKIPIF 1 < 0 ＋1， SKIPIF 1 < 0 ，则x＝(t－1)2(t≥1)．代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
(方法2)(配凑法)：∵x＋2 SKIPIF 1 < 0 ＝( SKIPIF 1 < 0 )2＋2 SKIPIF 1 < 0 ＋1－1＝( SKIPIF 1 < 0 ＋1)2－1，
∴f( SKIPIF 1 < 0 ＋1)＝( SKIPIF 1 < 0 ＋1)2－1( SKIPIF 1 < 0 ＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)用－x换x得2f(－x)－f(x)＝－3x＋1，与原式2f(x)－f(－x)＝3x＋1联立消去f(－x)得f(x)＝x＋1.
(3)令x＝0，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y= SKIPIF 1 < 0 ，所以f(y)＝y2＋y＋1，即f(x)＝x2＋x＋1.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）以下从M到N的对应关系表示函数的是（ ）
A．M＝R，N＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|
B．M＝{x|x≥2，x∈N*}，N＝{y|y≥0，y∈N*}，f：x→y＝x2﹣2x+2
C．M＝{x|x＞0}，N＝R，f：x→y＝± SKIPIF 1 < 0
D．M＝R，N＝R，f：x→y＝ SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
根据函数的定义，要求集合M中的任何一个元素，在集合N中都有唯一元素和它对应，对选项逐一分析得到结果.
【详解】
A中，M＝R，N＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|
M中元素0，在N中无对应的元素，不满足函数的定义，
B中，M＝{x|x≥2，x∈N*}，N＝{y|y≥0，y∈N*}，f：x→y＝x2﹣2x+2
M中任一元素，在B中都有唯一的元素与之对应，满足函数的定义，
C中，M＝{x|x＞0}，N＝R，f：x→y＝± SKIPIF 1 < 0
M中任一元素，在N中都有两个对应的元素，不满足函数的定义，
D中，M＝R，N＝R，f：x→y＝ SKIPIF 1 < 0 ，
M中元素0，在N中无对应的元素，不满足函数的定义，
故选：B．
【点睛】
该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有函数的概念，属于基础题目.
2．（2022·全国·高三专题练习（理））下列函数中，不满足： SKIPIF 1 < 0 的是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】
试题分析：A中 SKIPIF 1 < 0 ，B中 SKIPIF 1 < 0 ，C中 SKIPIF 1 < 0 ，D中 SKIPIF 1 < 0
考点：函数关系判断
3．（2022·全国·高三专题练习）函数y＝ SKIPIF 1 < 0 的定义域是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】A
【分析】
根据偶次方根的被开方数为非负数，对数的真数大于零列不等式，由此求得函数的定义域.
【详解】依题意 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习）函数y SKIPIF 1 < 0 的定义域为（ ）
A．[﹣2，3]B．[﹣2，1）∪（1，3]
C．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）D．（﹣2，1）∪（1，3）
【答案】B
【分析】
解不等式组 SKIPIF 1 < 0 即得解.
【详解】
解：由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得﹣2≤x＜1或1＜x≤3，
故选：B．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
根据函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域以及对数的真数为正数、分母不为零可得出关于实数 SKIPIF 1 < 0 的不等式组，由此可解得函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域.
【详解】
已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
因此，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
6．（2022·全国·高三专题练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的定义域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．
SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
先根据函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，再令 SKIPIF 1 < 0 即可求求解.
【详解】
因为函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的解析式为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，代入已知解析式可得 SKIPIF 1 < 0 的表达式，再将 SKIPIF 1 < 0 换成 SKIPIF 1 < 0 即可求解.
【详解】
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
8．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习（文））下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
由当两个函数的定义域相同，对应关系相同时，这两个函数是同一个函数进行分析判断
【详解】
对于A， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，两函数的定义域不相同，所以这两个函数不是同一个函数，所以A错误，
对于B， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，两函数的定义域不相同，所以这两个函数不是同一个函数，所以B错误，
对于C， SKIPIF 1 < 0 两个函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，两函数的对应关系不相同，所以这两个函数不是同一个函数，所以C错误，
对于D， SKIPIF 1 < 0 两个函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，两函数的对应关系相同，所以这两个函数是同一个函数，所以D正确，
故选：D
9．（2021·天津市西青区张家窝中学高三阶段练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
根据函数的定义域是否相同，定义域相同的情况下取相同值看计算出来的结果是否相同即可.【详解】
A中， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .A错.
B中， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .B错.
C中，函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的零点为 SKIPIF 1 < 0 .C错.
D中，函数 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 ，两函数定义域相同值也相同.D正确.
故选：D.
10．（2022·全国·高三专题练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B．2C．3D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，得到方程组，可解 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 可求出 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
联立两式可得 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
【点睛】
方法点睛：求函数的解析式，常用的方法有：（1）配凑法；（2）换元法；（3）待定系数法；（4）构造方程组法；（5）特殊值法.
11．（2022·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 ，若实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】
判断 SKIPIF 1 < 0 的单调性可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 的值即可求解.【详解】
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
若 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
12．（2022·全国·高三专题练习）已知f(x)= SKIPIF 1 < 0 ，则f(4)+f(-4)=（ ）
A．63B．83C．86D．91
【答案】C
【分析】
由给定条件求得f(-4)=f(5)，f(4)=f(7)，进而计算f(5)、f(7)的值，相加即可得解.
【详解】
依题意，当x