新高考数学一轮复习精品教案第05讲 函数的基本性质：单调性，奇偶性，周期性（含解析）

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第05讲 函数的基本性质：单调性，奇偶性，周期性
【知识点总结】
一、函数奇偶性
定义
设为关于原点对称的区间），如果对于任意的，都有，则称函数为偶函数；如果对于任意的，都有，则称函数为奇函数.
性质
(1) 函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2) 奇偶函数的图象特征.
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足.
(4) 偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
(5) 若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.
(6) 运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
（7） 复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
二、函数的单调性
定义
一般地，设函数的定义域为D，区间，若对于任意的，当时，都有（或），则称函数在区间M上是单调递增（或单调递减）的，区间M为函数的一个增（减）区间.
熟练掌握增、减函数的定义，注意定义的如下两种等价形式：
设且，则在上是增函数过单调递增函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒大于零.
在上是减函数.
性质
对于运算函数有如下结论：在公共区间上，增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减.
若为增函数，且或），则为减函数.
若为减函数，且或），则为增函数.
复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.
三、函数的周期性
定义
设函数，如存在非零常数T，使得对任何，且，则函数为周期函数，T为函数的一个周期.若在所有的周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正数叫做最小正周期.
注：函数的周期性是函数的“整体”性质，即对于定义域D中的任何一个，都满足；若是周期函数，则其图像平移若干整数个周期后，能够完全重合.
性质
若的周期为T，则也是函数的周期，并且有.
有关函数周期性的重要结论（如表所示）

函数的的对称性与周期性的关系
（1） 若函数有两条对称轴，则函数是周期函数，且；
（2） 若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3） 若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.

【典型例题】
例1．（2022·浙江·高三专题练习）下列四个函数中既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
对于A，定义域为，不关于原点对称，所以不具奇偶性，故A错误；
对于B，因为，，所以为非奇非偶函数，故B错误；
对于C，因为，，所以不是增函数，故C错误；
对于D，定义域为，
因为，
所以是奇函数，
，
令为增函数，
也是增函数，
所以是增函数.
故D正确.
故选：D.
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．递增区间是 B．递减区间是
C．递增区间是 D．递增区间是
【答案】D
【详解】
因为函数，作出函数的图象，
如图所示：
由图可知，递增区间是，递减区间是和．
故选：D．
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题意可知，在上为减函数，则，
函数在上为减函数，且有，
所以，，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
当时，恒成立，
当时，，
即，
函数在上为单调增函数，
，
函数关于对称，
，
又函数在上为单调增函数，
（2）（3），
即（2）（3），
，，的大小关系为．
故选：．
例5．（2022·全国·高三专题练习）若函数是奇函数，则a的值为（ ）
A．1 B．－1
C．±1 D．0
【答案】C
【详解】
因为是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0．即恒成立，所以，即 恒成立，所以，即．
当时，，定义域为，且，故符合题意；
当时，，定义域为，且，故符合题意；
故选：C.
（多选题）例6．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知为奇函数，且，当时，，则（ ）
A．的图象关于对称
B．的图象关于对称
C．
D．
【答案】ABD
【详解】
因为为奇函数，所以
即，所以的图象关于对称．
故选项B正确，
由可得，
由可得，
所以，可得，
所以，所以周期为4，
所以的图象关于对称，故选项A正确，
.故选项D正确，选项C不正确.
故选: ABD．
例7．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）确定函数的解析式；
（2）用定义法证明在上是增函数；
（3）解关于x的不等式．
【解析】
（1）由题意，函数是定义在上的奇函数，
可得，即，可得，即，
又由，可得，解得，所以，
经验证，此时满足，所以函数为奇函数.
所以函数的解析式为，
（2）解：设且，
则，
因为且，可得，
所以，即，
所以函数在区间上是增函数.
（3）因为函数是定义在上的奇函数，
则不等式可化为，
又因为函数在区间上是增函数，
可得，解得，即不等式的解集为

【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]