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新高考数学一轮复习精品教案第11讲 导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问题（含解析）
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这是一份新高考数学一轮复习精品教案第11讲 导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问题（含解析），共24页。教案主要包含了知识点总结，典型例题，技能提升训练等内容，欢迎下载使用。
一、证明不等式常用的方法和思路
作差构造函数，转化为最值问题
二、不等式恒成立问题常用的方法和思路
(1)直接法
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
三、零点问题常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）设函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数，曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处切线的倾斜角的正切值为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】
解：（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0
即证 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 取等号）．
又令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，所以 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 时取等号）．所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知关于 SKIPIF 1 < 0 的函数 SKIPIF 1 < 0
（1）讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
（2）证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
【详解】
（1）由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
知当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
以上各式相加得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
例3．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的极值；
（2）若对任意的 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 成立，求c的取值范围.
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，.
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，.
故 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，.
所以， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有极大值 SKIPIF 1 < 0 ，.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有极小值 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，.
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，.
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，.
因为对任意的 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 成立，所以 SKIPIF 1 < 0 .
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求曲线在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为0，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】
解：（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴原条件等价于：在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 恒成立.
化为 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，
∴在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0
故在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ；在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
例5．（2021·北京市第八中学怡海分校高三阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）
（1）求 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 有3个零点时，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【详解】
（1） SKIPIF 1 < 0 ，切点为 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以切线方程为： SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为增函数，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为减函数，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 的极大值为 SKIPIF 1 < 0 ，极小值为 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 个零点时，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
例6．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处切线的方程；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；（3）设 SKIPIF 1 < 0 ，若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，均存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】
（1）由已知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 .
①当 SKIPIF 1 < 0 时，由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以， SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，无单调递减区间.
②当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
在区间 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，在区间 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 .
（3）由已知，转化为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由（2）知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，值域为 SKIPIF 1 < 0 ，故不符合题意.
(或者举出反例：存在 SKIPIF 1 < 0 ，故不符合题意.)
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
故 SKIPIF 1 < 0 的极大值即为最大值， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
例7．（2020·四川省内江市第六中学高三阶段练习（理））已知 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）若曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 在它们的交点 SKIPIF 1 < 0 处的切线互相垂直, 求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ,若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,都有 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ,依题意有
SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,或 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 .不妨设 SKIPIF 1 < 0 ,
等价于 SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 ,则对任意的 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,
都有 SKIPIF 1 < 0 ,等价于 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数.
SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,依题意有, 对任意 SKIPIF 1 < 0 ,
有 SKIPIF 1 < 0 恒成立. 由 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 .
【技能提升训练】
1．（2021·西藏·拉萨中学高三阶段练习（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的极值为2，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，证明恒有 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见详解.
【分析】
（1）先对函数求导，然后结合极值存在条件即可求解.
（2）由于 SKIPIF 1 < 0 ，要证不等式成立，转化为求解 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时的最值，结合导数分析函数性质即可求解.
【详解】
（1） SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即证.
2．（2021·新疆师范大学附属中学高三阶段练习（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线互相平行．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）求证： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析．
【分析】
（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解；
（2）转化为证 SKIPIF 1 < 0 ，构造函数，结合导数分析函数的性质，可证．
【详解】
解：（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
证明（2） SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2021·全国·高三专题练习（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）若函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域内为增函数，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域内为增函数，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，分离参变量，利用基本不等式得出最值，可得实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）要证 SKIPIF 1 < 0 ，即证： SKIPIF 1 < 0 ，构造 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分别利用导数判断出单调性和最值，即可得原命题成立．
【详解】
（1）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 在定义域内为增函数，
则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，要证 SKIPIF 1 < 0 ，
即证： SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为增函数，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
则当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 恒成立，即原不等式成立.
4．（2021·全国·高三阶段练习（文））已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
（Ⅱ）若 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】
（Ⅰ）分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 进行讨论，再利用导数研究函数的单调性即可求解；
（Ⅱ）由 SKIPIF 1 < 0 结合（Ⅰ）可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，构造新函数，利用导数研究函数的单调性即可得证．
【详解】
（Ⅰ）由题可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减．
综上可知，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减．
（Ⅱ）证明：若 SKIPIF 1 < 0 ，则由（Ⅰ）可知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极大值，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减．
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
关键点点睛：第（Ⅱ）问的关键点是：通过构造函数证得 SKIPIF 1 < 0 .5．（2021·宁夏·青铜峡市高级中学高三阶段练习（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 （a是常数）.
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间与极值；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求a的取值范围；
【答案】
（1）在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，极小值是 SKIPIF 1 < 0 ，无极大值
（2） SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；
（2）参变分离可得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数求出函数的最大值，即可得解；
（1）
解：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 的极小值是 SKIPIF 1 < 0 ，无极大值.
（2）
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
6．（2021·福建·莆田第二十五中学高三阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 处都取得极值．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】
（1）对 SKIPIF 1 < 0 求导，根据极值点列方程组求参数即可.
（2）由（1）有 SKIPIF 1 < 0 ，进而判断 SKIPIF 1 < 0 的单调性并确定最值，结合不等式恒成立求参数范围.
【详解】
（1）由题设， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 的变化情况如下表：
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为极大值，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值，
要使 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则只需 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
7．（2021·全国·高三阶段练习（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，证明： SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 恒成立. SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
1
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
+
0
-
0
+
SKIPIF 1 < 0
递增
极大值
递减
极小值
递增
【答案】（1）单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用导数研究 SKIPIF 1 < 0 的单调性即可.
（2）由分析法：只需证 SKIPIF 1 < 0 即可，构造 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数证明 SKIPIF 1 < 0 结论得证.
【详解】
（1）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增.
故 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2）要证 SKIPIF 1 < 0 ，只需证 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，得证.
8．（2019·山西省平遥中学校高三阶段练习（理））已知 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（2）若存在 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 的递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
（1）求函数的定义域和导数，结合函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．（2）根据存在性问题转化为求 SKIPIF 1 < 0 ，结合函数最值和导数之间的关系进行求解即可．
【详解】
解：（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 .
则当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，递增区间为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）若存在 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
本题主要考查函数单调性的应用，结合函数单调性，最值和导数之间的关系进行转化是解决本题的关键．
9．（2021·陕西礼泉·高三开学考试（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极值.
（1）求 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最小值；
（2）若函数 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个零点，求b的取值范围.
【答案】
（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）首先求出函数的导函数，依题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出参数 SKIPIF 1 < 0 的值，即可求出函数解析式，从而求出函数的单调区间，再求出区间端点的函数值，即可求出函数的最小值；
（2）依题意 SKIPIF 1 < 0 有唯一解，即函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 只有1个交点，由（1）可得函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性与极值，结合函数图象即可求出参数的取值范围；
（1）解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极值， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
解：由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
若函数 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个零点，
则方程 SKIPIF 1 < 0 有唯一解，即 SKIPIF 1 < 0 有唯一解，
由（1）知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
又 SKIPIF 1 < 0 ，函数图象如下所示：
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
即b的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
10．（2021·安徽安庆·一模（理））函数 SKIPIF 1 < 0 .（1）讨论函数的极值；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的零点个数.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【分析】
（1）求得 SKIPIF 1 < 0 ，分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两种情况，求得函数的单调性，结合极值的概念，即可求解；
（2）由（1）得到当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的单调性和极小值，结合 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系，三种情况讨论，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为单调增函数，此时无极值；
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为单调增函数，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为单调减函数，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取得极小值 SKIPIF 1 < 0 ，无极大值.
综上所述：
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 无极值，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，无极大值.
（2）由（1）知当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为单调增函数，在 SKIPIF 1 < 0 上为单调减函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 无零点；
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有1个零点；当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有2个零点.
综上：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 无零点；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有1个零点；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有2个零点.
11．（2019·山东日照·高三期中（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：当 SKIPIF 1 < 0 恒成立；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 恰有一个零点，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）令 SKIPIF 1 < 0 ，要证 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，只需证 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）函数 SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．对a分类讨论，研究函数的单调性及最值，以确定图象与x轴的交点情况.
【详解】
（1）证明：令 SKIPIF 1 < 0 ，
要证 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
只需证 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立.
（2）函数 SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 无零点.
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，（或：因为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时，所以 SKIPIF 1 < 0 ．）
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 有一个零点．
③当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，
取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在一个零点；
当 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，必然存在 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 存在一个零点；
故当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个零点，不符合题意.……11分
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，要使函数 SKIPIF 1 < 0 有一个零点，必有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述，若函数 SKIPIF 1 < 0 恰有一个零点，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
12．（2020·江西·南昌市第三中学高三阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线互相垂直，记 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求实数k的值；
（2）若方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不相等实根，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（3）讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性.
【答案】（1）1；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
【分析】
（1）求出两函数的导函数，根据 SKIPIF 1 < 0 即可求解.
（2）利用导数判断函数的单调性，进而可得 SKIPIF 1 < 0 的值域，从而可得 SKIPIF 1 < 0 ，
（3）求出 SKIPIF 1 < 0 ，再求导函数，判断 SKIPIF 1 < 0 的符号即可求解.
【详解】
（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由题意得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 （2）由 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时 ， SKIPIF 1 < 0 有最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 的大致图像，如图：
SKIPIF 1 < 0 若方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不相等实根，则有 SKIPIF 1 < 0 .
（3）由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
易知，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
【点睛】
关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程的根，解题的关键是求出函数 SKIPIF 1 < 0 的值域、单调性，作出函数的大致图像，考查了转化与划归的思想.
13．（2020·全国·高三专题练习（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求实数a，b的值；
（2）若过点 SKIPIF 1 < 0 可做曲线 SKIPIF 1 < 0 的三条切线，求实数m的取值范围.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .【分析】
（1）根据切线方程可知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，由此构造方程组求得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）将问题转化为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有三个不同的交点，利用导数可得到 SKIPIF 1 < 0 的图象，利用数形结合的方式可求得结果.
【详解】
（1）由切线方程知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不在 SKIPIF 1 < 0 上，
又 SKIPIF 1 < 0 ，可知切点横坐标不为 SKIPIF 1 < 0 ，
设切点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则切线斜率 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 可作 SKIPIF 1 < 0 三条不同的切线， SKIPIF 1 < 0 有三个不为 SKIPIF 1 < 0 的解；
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
由此可得 SKIPIF 1 < 0 图象如下图所示：
SKIPIF 1 < 0 有三个不为 SKIPIF 1 < 0 的解等价于 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有三个不同的交点，由图象可知： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
本题考查导数的几何意义、导数在研究函数中的应用，涉及到根据切线方程求解函数解析式、根据过某一点曲线切线的个数求解参数范围的问题；关键是能够将问题转化为两函数交点个数问题，从而利用数形结合的方式来进行求解.
14．（2021·陕西·西安一中高三期中（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为单调函数，求实数a的取值范围；
（2）记 SKIPIF 1 < 0 的两个极值点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】
（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2）证明见解析.
【分析】
（1）对 SKIPIF 1 < 0 求导得 SKIPIF 1 < 0 ，由题设将问题转化为 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )恒成立，即可求a的取值范围；
（2）由（1）有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的两个根，应用根与系数关系易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可证结论.
（1）
SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 单调，
∴ SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )恒成立，
而 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2）
由（1）知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的两个根，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，得证.
15．（2022·全国·高三专题练习（文））证明ex≥x＋1≥sinx＋1(x≥0)．
【答案】证明见解析
【分析】
构造f(x)＝ex－x－1(x≥0)，利用导数判断f(x)的单调性，求得最小值，即可得证；构造g(x)＝x－sinx(x≥0)，利用导数判断g(x)的单调性，求得最小值，即可得证；
【详解】
证明：令f(x)＝ex－x－1(x≥0)，则f′(x)＝ex－1≥0，
∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴对任意x∈[0，＋∞)，有f(x)≥f(0)，而f(0)＝0，
∴f(x)≥0，即ex≥x＋1，
令g(x)＝x－sinx(x≥0)，则g′(x)＝1－csx≥0，
∴g(x)≥g(0)，而g(0)=0，
∴x－sinx≥0，
∴x＋1≥sinx＋1(x≥0)，
综上，ex≥x＋1≥sinx＋1．
16．（2021·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .若函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域上单调递增，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
对函数 SKIPIF 1 < 0 求导得 SKIPIF 1 < 0 ，利用给定单调性列出恒成立的不等式即可推理作答.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
因函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域上单调递增，
于是得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取“=”，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
17．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 是正常数）.
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间与极值；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 的极大值是 SKIPIF 1 < 0 ，无极小值；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
（1）求出函数的导函数，解关于导函数的不等式即可求出函数的单调区间；
（2）依题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最大值，即可得解；
【详解】
解：（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 的极大值是 SKIPIF 1 < 0 ，无极小值.
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
18．（2021·福建省龙岩第一中学高三期中）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图像在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值；（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，证明： SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用导数的几何意义，先由 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 的值，再由 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 的值，
（2）要证 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，只需证 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以构造函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），然后利用导数求出其最大值小于零即可
【详解】
（1）解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
（2）证明：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以要证 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
只需证 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
设函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
则 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
一、证明不等式常用的方法和思路
作差构造函数，转化为最值问题
二、不等式恒成立问题常用的方法和思路
(1)直接法
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
三、零点问题常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）设函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数，曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处切线的倾斜角的正切值为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】
解：（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0
即证 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 取等号）．
又令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，所以 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 时取等号）．所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知关于 SKIPIF 1 < 0 的函数 SKIPIF 1 < 0
（1）讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
（2）证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
【详解】
（1）由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
知当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
以上各式相加得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
例3．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的极值；
（2）若对任意的 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 成立，求c的取值范围.
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，.
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，.
故 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，.
所以， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有极大值 SKIPIF 1 < 0 ，.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有极小值 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，.
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，.
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，.
因为对任意的 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 成立，所以 SKIPIF 1 < 0 .
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求曲线在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为0，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】
解：（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴原条件等价于：在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 恒成立.
化为 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，
∴在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0
故在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ；在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
例5．（2021·北京市第八中学怡海分校高三阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）
（1）求 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 有3个零点时，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【详解】
（1） SKIPIF 1 < 0 ，切点为 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以切线方程为： SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为增函数，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为减函数，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 的极大值为 SKIPIF 1 < 0 ，极小值为 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 个零点时，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
例6．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处切线的方程；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；（3）设 SKIPIF 1 < 0 ，若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，均存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】
（1）由已知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 .
①当 SKIPIF 1 < 0 时，由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以， SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，无单调递减区间.
②当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
在区间 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，在区间 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 .
（3）由已知，转化为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由（2）知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，值域为 SKIPIF 1 < 0 ，故不符合题意.
(或者举出反例：存在 SKIPIF 1 < 0 ，故不符合题意.)
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
故 SKIPIF 1 < 0 的极大值即为最大值， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
例7．（2020·四川省内江市第六中学高三阶段练习（理））已知 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）若曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 在它们的交点 SKIPIF 1 < 0 处的切线互相垂直, 求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ,若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,都有 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ,依题意有
SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,或 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 .不妨设 SKIPIF 1 < 0 ,
等价于 SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 ,则对任意的 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,
都有 SKIPIF 1 < 0 ,等价于 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数.
SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,依题意有, 对任意 SKIPIF 1 < 0 ,
有 SKIPIF 1 < 0 恒成立. 由 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 .
【技能提升训练】
1．（2021·西藏·拉萨中学高三阶段练习（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的极值为2，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，证明恒有 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见详解.
【分析】
（1）先对函数求导，然后结合极值存在条件即可求解.
（2）由于 SKIPIF 1 < 0 ，要证不等式成立，转化为求解 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时的最值，结合导数分析函数性质即可求解.
【详解】
（1） SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即证.
2．（2021·新疆师范大学附属中学高三阶段练习（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线互相平行．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）求证： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析．
【分析】
（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解；
（2）转化为证 SKIPIF 1 < 0 ，构造函数，结合导数分析函数的性质，可证．
【详解】
解：（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
证明（2） SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2021·全国·高三专题练习（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）若函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域内为增函数，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域内为增函数，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，分离参变量，利用基本不等式得出最值，可得实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）要证 SKIPIF 1 < 0 ，即证： SKIPIF 1 < 0 ，构造 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分别利用导数判断出单调性和最值，即可得原命题成立．
【详解】
（1）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 在定义域内为增函数，
则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，要证 SKIPIF 1 < 0 ，
即证： SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为增函数，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
则当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 恒成立，即原不等式成立.
4．（2021·全国·高三阶段练习（文））已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
（Ⅱ）若 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】
（Ⅰ）分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 进行讨论，再利用导数研究函数的单调性即可求解；
（Ⅱ）由 SKIPIF 1 < 0 结合（Ⅰ）可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，构造新函数，利用导数研究函数的单调性即可得证．
【详解】
（Ⅰ）由题可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减．
综上可知，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减．
（Ⅱ）证明：若 SKIPIF 1 < 0 ，则由（Ⅰ）可知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极大值，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减．
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
关键点点睛：第（Ⅱ）问的关键点是：通过构造函数证得 SKIPIF 1 < 0 .5．（2021·宁夏·青铜峡市高级中学高三阶段练习（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 （a是常数）.
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间与极值；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求a的取值范围；
【答案】
（1）在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，极小值是 SKIPIF 1 < 0 ，无极大值
（2） SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；
（2）参变分离可得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数求出函数的最大值，即可得解；
（1）
解：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 的极小值是 SKIPIF 1 < 0 ，无极大值.
（2）
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
6．（2021·福建·莆田第二十五中学高三阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 处都取得极值．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】
（1）对 SKIPIF 1 < 0 求导，根据极值点列方程组求参数即可.
（2）由（1）有 SKIPIF 1 < 0 ，进而判断 SKIPIF 1 < 0 的单调性并确定最值，结合不等式恒成立求参数范围.
【详解】
（1）由题设， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 的变化情况如下表：
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为极大值，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值，
要使 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则只需 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
7．（2021·全国·高三阶段练习（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，证明： SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 恒成立. SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
1
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
+
0
-
0
+
SKIPIF 1 < 0
递增
极大值
递减
极小值
递增
【答案】（1）单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用导数研究 SKIPIF 1 < 0 的单调性即可.
（2）由分析法：只需证 SKIPIF 1 < 0 即可，构造 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数证明 SKIPIF 1 < 0 结论得证.
【详解】
（1）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增.
故 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2）要证 SKIPIF 1 < 0 ，只需证 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，得证.
8．（2019·山西省平遥中学校高三阶段练习（理））已知 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（2）若存在 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 的递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
（1）求函数的定义域和导数，结合函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．（2）根据存在性问题转化为求 SKIPIF 1 < 0 ，结合函数最值和导数之间的关系进行求解即可．
【详解】
解：（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 .
则当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，递增区间为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）若存在 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
本题主要考查函数单调性的应用，结合函数单调性，最值和导数之间的关系进行转化是解决本题的关键．
9．（2021·陕西礼泉·高三开学考试（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极值.
（1）求 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最小值；
（2）若函数 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个零点，求b的取值范围.
【答案】
（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）首先求出函数的导函数，依题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出参数 SKIPIF 1 < 0 的值，即可求出函数解析式，从而求出函数的单调区间，再求出区间端点的函数值，即可求出函数的最小值；
（2）依题意 SKIPIF 1 < 0 有唯一解，即函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 只有1个交点，由（1）可得函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性与极值，结合函数图象即可求出参数的取值范围；
（1）解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极值， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
解：由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
若函数 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个零点，
则方程 SKIPIF 1 < 0 有唯一解，即 SKIPIF 1 < 0 有唯一解，
由（1）知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
又 SKIPIF 1 < 0 ，函数图象如下所示：
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
即b的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
10．（2021·安徽安庆·一模（理））函数 SKIPIF 1 < 0 .（1）讨论函数的极值；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的零点个数.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【分析】
（1）求得 SKIPIF 1 < 0 ，分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两种情况，求得函数的单调性，结合极值的概念，即可求解；
（2）由（1）得到当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的单调性和极小值，结合 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系，三种情况讨论，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为单调增函数，此时无极值；
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为单调增函数，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为单调减函数，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取得极小值 SKIPIF 1 < 0 ，无极大值.
综上所述：
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 无极值，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，无极大值.
（2）由（1）知当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为单调增函数，在 SKIPIF 1 < 0 上为单调减函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 无零点；
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有1个零点；当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有2个零点.
综上：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 无零点；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有1个零点；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有2个零点.
11．（2019·山东日照·高三期中（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：当 SKIPIF 1 < 0 恒成立；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 恰有一个零点，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）令 SKIPIF 1 < 0 ，要证 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，只需证 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）函数 SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．对a分类讨论，研究函数的单调性及最值，以确定图象与x轴的交点情况.
【详解】
（1）证明：令 SKIPIF 1 < 0 ，
要证 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
只需证 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立.
（2）函数 SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 无零点.
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，（或：因为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时，所以 SKIPIF 1 < 0 ．）
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 有一个零点．
③当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，
取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在一个零点；
当 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，必然存在 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 存在一个零点；
故当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个零点，不符合题意.……11分
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，要使函数 SKIPIF 1 < 0 有一个零点，必有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述，若函数 SKIPIF 1 < 0 恰有一个零点，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
12．（2020·江西·南昌市第三中学高三阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线互相垂直，记 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求实数k的值；
（2）若方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不相等实根，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（3）讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性.
【答案】（1）1；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
【分析】
（1）求出两函数的导函数，根据 SKIPIF 1 < 0 即可求解.
（2）利用导数判断函数的单调性，进而可得 SKIPIF 1 < 0 的值域，从而可得 SKIPIF 1 < 0 ，
（3）求出 SKIPIF 1 < 0 ，再求导函数，判断 SKIPIF 1 < 0 的符号即可求解.
【详解】
（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由题意得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 （2）由 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时 ， SKIPIF 1 < 0 有最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 的大致图像，如图：
SKIPIF 1 < 0 若方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不相等实根，则有 SKIPIF 1 < 0 .
（3）由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
易知，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
【点睛】
关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程的根，解题的关键是求出函数 SKIPIF 1 < 0 的值域、单调性，作出函数的大致图像，考查了转化与划归的思想.
13．（2020·全国·高三专题练习（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求实数a，b的值；
（2）若过点 SKIPIF 1 < 0 可做曲线 SKIPIF 1 < 0 的三条切线，求实数m的取值范围.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .【分析】
（1）根据切线方程可知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，由此构造方程组求得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）将问题转化为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有三个不同的交点，利用导数可得到 SKIPIF 1 < 0 的图象，利用数形结合的方式可求得结果.
【详解】
（1）由切线方程知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不在 SKIPIF 1 < 0 上，
又 SKIPIF 1 < 0 ，可知切点横坐标不为 SKIPIF 1 < 0 ，
设切点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则切线斜率 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 可作 SKIPIF 1 < 0 三条不同的切线， SKIPIF 1 < 0 有三个不为 SKIPIF 1 < 0 的解；
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
由此可得 SKIPIF 1 < 0 图象如下图所示：
SKIPIF 1 < 0 有三个不为 SKIPIF 1 < 0 的解等价于 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有三个不同的交点，由图象可知： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
本题考查导数的几何意义、导数在研究函数中的应用，涉及到根据切线方程求解函数解析式、根据过某一点曲线切线的个数求解参数范围的问题；关键是能够将问题转化为两函数交点个数问题，从而利用数形结合的方式来进行求解.
14．（2021·陕西·西安一中高三期中（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为单调函数，求实数a的取值范围；
（2）记 SKIPIF 1 < 0 的两个极值点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】
（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2）证明见解析.
【分析】
（1）对 SKIPIF 1 < 0 求导得 SKIPIF 1 < 0 ，由题设将问题转化为 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )恒成立，即可求a的取值范围；
（2）由（1）有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的两个根，应用根与系数关系易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可证结论.
（1）
SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 单调，
∴ SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )恒成立，
而 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2）
由（1）知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的两个根，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，得证.
15．（2022·全国·高三专题练习（文））证明ex≥x＋1≥sinx＋1(x≥0)．
【答案】证明见解析
【分析】
构造f(x)＝ex－x－1(x≥0)，利用导数判断f(x)的单调性，求得最小值，即可得证；构造g(x)＝x－sinx(x≥0)，利用导数判断g(x)的单调性，求得最小值，即可得证；
【详解】
证明：令f(x)＝ex－x－1(x≥0)，则f′(x)＝ex－1≥0，
∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴对任意x∈[0，＋∞)，有f(x)≥f(0)，而f(0)＝0，
∴f(x)≥0，即ex≥x＋1，
令g(x)＝x－sinx(x≥0)，则g′(x)＝1－csx≥0，
∴g(x)≥g(0)，而g(0)=0，
∴x－sinx≥0，
∴x＋1≥sinx＋1(x≥0)，
综上，ex≥x＋1≥sinx＋1．
16．（2021·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .若函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域上单调递增，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
对函数 SKIPIF 1 < 0 求导得 SKIPIF 1 < 0 ，利用给定单调性列出恒成立的不等式即可推理作答.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
因函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域上单调递增，
于是得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取“=”，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
17．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 是正常数）.
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间与极值；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 的极大值是 SKIPIF 1 < 0 ，无极小值；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
（1）求出函数的导函数，解关于导函数的不等式即可求出函数的单调区间；
（2）依题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最大值，即可得解；
【详解】
解：（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 的极大值是 SKIPIF 1 < 0 ，无极小值.
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
18．（2021·福建省龙岩第一中学高三期中）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图像在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值；（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，证明： SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用导数的几何意义，先由 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 的值，再由 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 的值，
（2）要证 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，只需证 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以构造函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），然后利用导数求出其最大值小于零即可
【详解】
（1）解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
（2）证明：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以要证 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
只需证 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
设函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
则 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
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