新高考数学二轮复习课件专题八8.5 空间角与距离、空间向量及其应用（含解析）

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考点一　用向量法证明空间中的平行和垂直设直线l,l1,l2的方向向量分别为v,v1,v2,平面α和平面β的法向量分别为m,∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2;l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2=0.2.与平面α共面的两个不共线向量分别为a和b,则l∥α或l⊂α⇔存在两个 实数x,y,使v=xa+yb.3.l∥α或l⊂α⇔v⊥m;l⊥α⇔v∥m.4.α∥β⇔m∥n;α⊥β⇔m⊥n⇔m·n=0.
考点二　用向量法求空间角和空间距离1.用向量法求空间角1)线面所成角公式:设l为平面α的斜线,a为l的方向向量,n为平面α的法向 量,θ为l与α所成的角,则sin θ=|cs|= .2)二面角公式:设n1、n2分别为平面α、β的法向量,二面角为θ,则θ= 或θ=π-(需要根据具体情况判断相等或互补),其中cs=  .
【注意】 线面、面面距离均可转化为点到平面的距离,用点到平面的距 离公式求解.2)两点间的距离:已知点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则A,B两点间的距离为| |= .
考法一　求解直线与平面所成角的方法1.定义法1)作:在斜线上选取恰当的点,过该点向平面引垂线,作出所求角,其中确定 垂足的位置是关键;2)证:证明所作的角为直线与平面所成的角;3)求:构造 角所在的三角形,利用解三角形的知识求角.2.公式法sin θ= (其中h为斜线上除斜足外的任一点到所给平面α的距离,l为该点到斜足的距离,θ为斜线与平面α所成的角).3.向量法
例1 (2021浙江,19,15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边 形,∠ABC=120°,AB=1,BC=4,PA= ,M,N分别为BC,PC的中点,PD⊥DC,PM⊥MD.(1)证明:AB⊥PM;(2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值.
考法二　求解二面角的方法1.定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,过该点在两个半平面内分别作 垂直于棱的射线,如图(1),∠AOB为二面角α-l-β的平面角.2.垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面的 交线所形成的角即为二面角的平面角,如图(2),∠AOB为二面角α-l-β的平 面角.3.垂线法(三垂线定理法):过二面角的一个半平面内一点(不在棱上)作另 一个半平面所在平面的垂线,从垂足出发向棱引垂线,利用三垂线定理(线 面垂直的性质)即可找到所求二面角的平面角或其补角.如图(3),∠ABO为 二面角α-l-β的平面角.
 由(1)知 =( ,1,-1), = ,所以 令y2=1,则z2=1,即n2=(0,1,1),所以cs= = = .由题图可知二面角A-PM-B的平面角为锐角,所以所求二面角的正弦值为  = .
考法三　求解立体几何中的探索性问题1)涉及线段上点的位置的探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再 给出证明,所求点多为中点或三等分点中的某一个,也可以根据相似知识 找点,求解时注意三点共线条件的应用.2)借助空间直角坐标系,把几何对象上动点的坐标用参数(变量)表示出 来,将几何对象坐标化,这样根据所要满足的题设要求得到相应的方程或 方程组.若方程或方程组有满足题设要求的解,则通过参数的值反过来确 定几何对象的位置;若方程或方程组没有满足题设要求的解,则表示满足 题设要求的几何对象不存在.
解析 (1)证明:连接AC,由底面ABCD是等腰梯形且AB=2,BC=CD=1,得∠ ABC= ,在△ABC中,由余弦定理得AC= ,∴AC2+BC2=AB2,∴∠ACB= ,∴AC⊥BC.又∵平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,AC⊂ 平面ABCD,∴AC⊥平面PBC,∵BM⊂平面PBC,∴AC⊥BM,又M为棱PC的 中点,且△PBC是等边三角形,∴BM⊥PC,又∵PC∩AC=C,∴BM⊥平面 APC,∵AP⊂平面APC,∴AP⊥BM.(2)假设存在点M,使得二面角D-MB-C的余弦值为 .过点P作PO⊥BC交BC于点O,∵平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,PO⊂平面 PBC,∴PO⊥平面ABCD,取AB的中点E,连接OE,则OE∥CA,由(1)知OE⊥ 平面PBC,因此以O为原点,以OC,OE,OP所在直线分别为x,y,z轴建立如图
所示的空间直角坐标系O-xyz.∴O(0,0,0),P ,C  ,0,0 ,B ,D ,则 = ,设 =t (0易知平面MBC的一个法向量为b=(0,1,0),则|cs|= = = = ,则 =4,则 =-2,解得t= ,故CM=| |= | |= .所以存在点M,使得二面角D-MB-C的余弦值为 ,且CM的长为 .
创新　立体几何中的轨迹问题近几年出现了以立体图形为载体的轨迹问题,将立体几何和解析几何巧 妙地整合在一起,立意新颖,综合性强,充分考查数学思想和方法,是高考 命题的一大趋势.解答这类问题的关键是把空间问题转化为平面问题,然 后结合解析几何方法进行求解.一般可从两个方面考虑:一是利用曲线的 定义,二是用解析法求出轨迹方程.
则Q ,C(0,1),设M(x,y),则MP= = ,MC= ,因为MP=MC,所以 = ,化简后得,x=2y,所以点M在正方形ABCD内的轨迹是一条线段.故选A.
例2 在棱长为2的正四面体ABCD中,点P为△ABC所在平面内一动点,且满 足| |+| |= ,则PD的最大值为     (　    )A.3　    B. 　    C. 　    D.2
解析发 如图所示,在平面ABC内,| |+| |= >2,所以点P在平面ABC内的轨迹为椭圆,取AB的中点O,连接CO,以直线AB为x轴,直线OC为y轴建立平 面直角坐标系,则椭圆的半焦距c=1,长半轴长a= ,则椭圆方程为 x2+3y2=1.点D在底面的投影设为点E,则点E为△ABC的中心,OE= OC= ,故点E正好为短轴的一个端点,易知DE= .