新高考数学二轮复习课件专题七 7.4 数列求和、数列的综合（含解析）

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考点一　数列求和1.公式法1)直接用等差、等比数列的求和公式求解.2)掌握一些常见的数列的前n项和公式:2+4+6+…+2n=n2+n;1+3+5+…+(2n-1)=n2;12+22+32+…+n2= ;13+23+33+…+n3= .2.倒序相加法如果一个数列{an},与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常
数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法.3.错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积 构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求.4.裂项相消法把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而 求得其和.以下为常见的拆项公式:1) = - ;2) =  ;3) = - .
5.分组求和法有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开, 可分为几个等差、等比或常见的数列,即先分别求和,再合并,形如:1){an+bn},其中 2)an= 6.并项求和法形如an=(-1)nn,an=(-1)nn2等,在求和过程中可将两项并作一项进行求和.
考点二　数列的综合1.数列与函数综合问题1)已知函数求解数列问题时,一般利用函数的图象与性质.2)已知数列求解函数问题时,一般要利用数列的通项公式、前n项和公 式、求和方法等对式子化简变形.3)数列只能看作自变量为正整数的一类函数,在解决问题时要注意这一 特殊性.
考法一　错位相减法求和1.当{an}是等差数列,{bn}是等比数列时,求数列{an·bn}的前n项和常采用错 位相减法.2.用错位相减法求和时,应注意:1)要善于识别题目类型,特别是等比数列的公比为负数的情形.2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”, 以便于下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式.3)应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1,如果q=1,那么应用公 式Sn=na1.
例1 (2020课标Ⅰ理,17,12分)设{an}是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等 差中项.(1)求{an}的公比;(2)若a1=1,求数列{nan}的前n项和.
考法二　裂项相消法求和1.对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列,在求和时常用“裂项 法”,分式型数列的求和多用此法.2.利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后 一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.将通项裂项后,有时需要调整 前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.
应用　构建数列模型解决实际生活中的问题1.解决数列模型问题的一般方法1)认真阅读题意,理解数量关系;2)建立相应的数学模型;3)求解数学模型,得出数学结论.2.数列应用题常见模型:1)等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定值,那么该模型是等差模 型,增加(或减少)的量就是公差.其一般形式是an+1-an=d(常数).2)等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数,那么该模型 是等比模型,这个固定的数就是公比.其一般形式是 =q(q为常数,且q≠0).
3)混合模型:在一个问题中同时涉及等比数列和等差数列的模型.4)递推模型:如果实际问题易推出相邻几个变量之间的递推关系式,那么 我们可以构造数列转化为等差或等比数列,再利用相应数列的知识求解.