新高考数学二轮复习课件专题三3.1 函数及其性质（含解析）

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考点一　函数的概念及表示1.函数的定义一般地,设A、B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照 某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称 f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作y=f(x),x∈A.2.函数的定义域、值域在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,与x 的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.3.函数的三要素:定义域、值域、对应关系.4.函数的三种表示法:解析法、列表法、图象法.
考点二　分段函数若函数在某定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的 式子来表示,这种函数称为分段函数,分段函数虽由几个部分组成,但它表 示的是一个函数.
考点三　函数的单调性及最值1.函数的单调性一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I:1)增函数:如果∀x1,x2∈D,当x1③在关于原点对称的区间上单调性相同.2)对于偶函数:①f(x)=f(|x|);②在关于原点对称的区间上单调性相反.
【注意】 既是奇函数又是偶函数的函数只有一个,即f(x)=0,x∈D.其中定 义域D是关于原点对称的非空数集.【知识拓展】 1)对于奇函数: ①如果定义域中包含0,那么f(0)=0;②若函数在关于原点对称的区间上有最值,则f(x)max+f(x)min=0;
考点五　函数的周期性对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值 时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周 期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在最小的正数,那么这个最小正数 就叫做f(x)的最小正周期.【注意】 并不是所有的周期函数都有最小正周期,如f(x)=5.
考法一　函数定义域的求法1.求给定解析式的函数的定义域以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则,列出不等式或不等式组求 解.对于实际问题,既要使解析式有意义,又要使实际问题有意义.2.求某些抽象函数的定义域1)若函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b求 出;2)若函数f[g(x)]的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值 域.
考法二　函数解析式的求法1.待定系数法.已知函数的类型(如一次函数、二次函数),比如二次函数可 设为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),其中a、b、c是待定系数,根据题设条件,列出方 程组,解出待定系数即可.2.换元法.已知f(h(x))=g(x),求f(x)时,往往可设h(x)=t,从中解出x,代入g(x)进 行换元,便可求解.要注意新元的取值范围.3.配凑法.已知f(h(x))=g(x),求f(x)的问题,往往把右边的g(x)整理或配凑成
只含h(x)的式子,用x将h(x)代换.4.解方程组法.已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还有其 他未知量,如f , f(-x)等,必须根据已知等式构造其他等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).5.赋值法.f(x)是关于x,y两个变量的方程式,可对变量赋值求出f(x).
解析 (1)(待定系数法)设 f(x)=kx+b(k≠0),则3f(x+1)-2f(x-1)=3[k(x+1)+b]-2[k(x-1)+b]=kx+b+5k=2x+17,所以 解得 所以f(x)=2x+7.(2)(配凑法)∵x3+ =  =  ,∴f =x3+ = -3 ,令t=x+ ,由对勾函数的性质可得t≤-2或t≥2,∴f(t)=t3-3t,∴f(x)=x3-3x(x≤-2或x≥2).(3)(赋值法)令x=y,则f(0)=f(x)-x(2x-x+1),又因为f(0)=1,所以f(0)=f(x)-x(x+1) =1,即f(x)=x2+x+1.
(4)(解方程组法)用 替换x得2f +f(x)= ,联立 解得f(x)=2x- (x≠0).
考法三　分段函数问题的解题策略1.求函数值.弄清自变量所在区间,然后代入对应的解析式.求“层层套” 的函数值,要从最内层逐层往外计算.2.求函数最值.分别求出每个区间上的最值,然后比较大小,从而得出最值.3.解不等式.根据分段函数中自变量取值范围的界定,代入相应的解析式 求解.4.求参数.分段处理,利用代入法列出各区间上的方程或不等式.
考法四　函数单调性的判断及应用1.判断函数单调性或求单调区间的方法1)定义法:一般步骤为取值—作差—变形—判断符号—得出结论.2)图象法:若f(x)是以图象形式给出,或者f(x)的图象易作出,则可由图象的 上升或下降确定单调性.3)导数法:先求导数,再利用导数值的正负确定函数的单调区间.4)性质法:对于由基本初等函数的和、差构成的函数,根据各基本初等函 数的增减性及“增+增=增,增-减=增,减+减=减,减-增=减”进行判断.5)复合法:对于复合函数,先将函数f(g(x))分解成f(t)和t=g(x),然后讨论(判 断)这两个函数的单调性,再根据复合函数“同增异减”的法则进行判断.
2.函数单调性的应用利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小;求解或证明不等式; 求参数的取值范围.
 由 >0,得 >0,即 >0,则有 或 则 或 解得-80的解集是(-8,-4).故选B.
答案 (1)B    (2)B
1.函数奇偶性的判断方法1)定义法
考法五　函数奇偶性的判断及应用
 3)性质法若f(x),g(x)在其公共定义域上具有奇偶性,则奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶= 偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.2.函数奇偶性的应用主要有两个方向:1)求函数值或函数解析式:将所求值或解析式对应的自变量利用奇偶性 转化到已知解析式的区间,构造方程(组).2)求参数:由定义或定义的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)与f(x)-f(-x)=0 (偶函数)得到恒等式,再利用系数相等构造方程(组).
考法六　函数周期性的判断及应用关于函数周期性的几个常用结论1)若f(x+a)=f(x+b)(a≠b),则f(x)的周期是T=|a-b|.2)若f(x+a)=-f(x),则f(x)的周期是T=2|a|.3)若f(x+a)= 或f(x+a)=- ,其中f(x)≠0,则f(x)的周期是T=2|a|.4)设f(x)是R上的偶函数,且图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x)是周期函 数,2|a|是它的一个周期.5)设f(x)是R上的奇函数,且图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x)是周期函 数,4|a|是它的一个周期.
解析 ∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=0,且f(-x)=-f(x),①又∵f(1-x)=f(1+x),∴f(-x)=f(2+x),②由①②得f(2+x)=-f(x),③∴f(4+x)=-f(2+x),④∴f(x)=f(x+4),∴f(x)的最小正周期为4,对于f(1+x)=f(1-x),令x=1,得f(2)=f(0)=0;令x=2,得f(3)=f(-1)=-f(1)=-2;令x=3,得f(4)=f(-2)=-f(2)=0.故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=0+2+0=2.故选C.
应用　构造函数构造函数是常用的方法,构造函数的关键在于构造一个与原问题密切相 关的函数,然后利用函数的概念和性质去建立问题与结论的桥梁,方便解 决问题.利用构造函数法解题时应满足:(1)与原问题的已知条件相符合; (2)函数的性质(定义域、值域、单调性等)与原问题相符合;(3)能使原问 题的解决变得容易.