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新高考数学二轮复习考点突破课件 第1部分 专题突破 专题4 第3讲 空间向量与空间角（含解析）
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这是一份新高考数学二轮复习考点突破课件 第1部分 专题突破 专题4 第3讲 空间向量与空间角（含解析），共60页。PPT课件主要包含了考情分析，内容索引，异面直线所成的角，考点一，核心提炼，规律方法，直线与平面所成的角，考点二，易错提醒，连接BE等内容，欢迎下载使用。
以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点.空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，利用空间向量求平面与平面的夹角或线面角是高考热点，通常以解答题的形式出现，难度中等.
(1)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为
方法一 如图，连接C1P，因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，且P为B1D1的中点，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，所以C1P⊥平面B1BP.又BP⊂平面B1BP，所以C1P⊥BP.连接BC1，则AD1∥BC1，所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角.设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，
方法二 以B1为坐标原点，B1C1，B1A1，B1B所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，
设直线PB与AD1所成的角为θ，
方法三 如图所示，连接BC1，A1B，A1P，PC1，则易知AD1∥BC1，所以直线PB与AD1所成的角等于直线PB与BC1所成的角.根据P为正方形A1B1C1D1的对角线B1D1的中点，
易知A1，P，C1三点共线，且P为A1C1的中点．易知A1B＝BC1＝A1C1，所以△A1BC1为等边三角形，
(2)(2022·河南名校联盟联考)在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的曲池，它的高为2，AA1，BB1，CC1，DD1均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为
设上底面圆心为O1，下底面圆心为O，连接OO1，OC，OB，O1C1，O1B1，以O为原点，分别以OC，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则C(1,0,0)，A(0,2,0)，B1(0,1,2)，D1(2,0,2)，
平移线段法求异面直线所成角的步骤(1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角.(2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角或其补角.(3)计算：求该角的值(常利用解三角形).(4)取舍：由异面直线所成的角的范围确定两条异面直线所成的角.
(1)(2022·南宁模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为平面AA1B1B的中心，O1为平面A1B1C1D1的中心.若E为CD中点，则异面直线AE与OO1所成角的余弦值为
设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0)，E(0,1,0)，O(2,1,1)，O1(1,1,2)，
设异面直线AE与OO1所成角为θ，
(2)(2022·广东联考)如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝CA＝CB＝5，AB＝PC＝2，点D，E分别为AB，PC的中点，则异面直线PD，BE所成角的余弦值为
如图，连接CD，取CD的中点F，连接EF，BF，则EF∥PD，∠BEF为异面直线PD，BE所成的角.
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，
(2022·全国甲卷)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝(1)证明：BD⊥PA；
在四边形ABCD中，作DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F，如图.因为CD∥AB，AD＝CD＝CB＝1，AB＝2，所以四边形ABCD为等腰梯形，
所以AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD.因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD，又PD∩AD＝D，PD，AD⊂平面PAD，所以BD⊥平面PAD.又因为PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA.
(2)求PD与平面PAB所成角的正弦值.
由(1)知，DA，DB，DP两两垂直，如图，以D为原点建立空间直角坐标系，
设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，
(1)线面角θ与直线的方向向量a和平面的法向量n所成的角〈a，n〉的关系是〈a，n〉＋θ＝ 所以应用向量法求的是线面角的正弦值，而不是余弦值.(2)利用方程思想求法向量，计算易出错，要认真细心.
(2022·龙岩质检)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，PA＝PD＝PB，BC＝DC＝ AD＝2，E为AD的中点，且PE＝4.(1)求证：PE⊥平面ABCD；
∴四边形BCDE为平行四边形，∴BE＝CD＝2，∵PA＝PD且E为AD的中点，∴PE⊥AD，
∴PE2＋BE2＝PB2，即PE⊥BE，又∵AD∩BE＝E，AD，BE⊂平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD.
以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，EP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(－2,2,0)，P(0,0,4)，
故可取n＝(2,2,1)，
设BM＝t(t∈[0,2])，则M(－t，2,0)，而N(0,0,2)，
设直线MN与平面PAB所成的角为θ，
化简得11t2－24t＋4＝0，
设平面α，β的法向量分别为u，v，平面α与平面β的夹角为θ，
(2022·新高考全国Ⅱ改编)如图，PO是三棱锥P－ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点.(1)证明：OE∥平面PAC；
如图，取AB的中点D，连接DP，DO，DE.因为AP＝PB，所以PD⊥AB.因为PO为三棱锥P－ABC的高，所以PO⊥平面ABC.因为AB⊂平面ABC，所以PO⊥AB.又PO，PD⊂平面POD，且PO∩PD＝P，所以AB⊥平面POD.因为OD⊂平面POD，所以AB⊥OD，又AB⊥AC，AB，OD，AC⊂平面ABC，所以OD∥AC.
因为OD⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，所以OD∥平面PAC.因为D，E分别为BA，BP的中点，所以DE∥PA.因为DE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以DE∥平面PAC.又OD，DE⊂平面ODE，OD∩DE＝D，所以平面ODE∥平面PAC.又OE⊂平面ODE，所以OE∥平面PAC.
(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求平面CAE与平面AEB夹角的正弦值.
连接OA，因为PO⊥平面ABC，OA，OB⊂平面ABC，所以PO⊥OA，PO⊥OB，
易得在△AOB中，∠OAB＝∠ABO＝30°，
又∠ABC＝∠ABO＋∠CBO＝60°，
以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，以过A且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设平面CAE的法向量为n＝(x，y，z)，
设平面AEB的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
令z1＝2，则m＝(0，－3,2)，设平面CAE与平面AEB夹角为θ，
(2022·邯郸模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA＝AB＝AD＝2，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC＝ ，PA⊥平面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点.(1)证明：平面AEF⊥平面PAD.
连接AC(图略).因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AE，
所以△ABC为等边三角形.又因为E为BC的中点，所以AE⊥BC，又因为AD∥BC，所以AE⊥AD，因为PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以AE⊥平面PAD，又AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PAD.
(2)求平面AEF与平面AED夹角的余弦值.
以A为原点，AE，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
因为PA⊥平面AED，所以n＝(0,0,1)是平面AED的一个法向量.设平面AEF的一个法向量为m＝(x，y，z)，
令z＝1，得x＝0，y＝－2，即m＝(0，－2,1).设平面AEF与平面AED夹角为θ，
A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.无法判断是否共面
2.(2022·温州模拟)在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1与底面垂直，上、下底面均为矩形，AB＝1，AD＝AA1＝A1B1＝2，则下列各棱中最长的是A.BB1 B.B1C1C.CC1 D.DD1
由四棱台ABCD－A1B1C1D1可得
因为AA1⊥平面A1B1C1D1，而A1D1，A1B1⊂平面A1B1C1D1，故AA1⊥A1D1，AA1⊥A1B1，而A1D1⊥A1B1，故可建立如图所示的空间直角坐标系.故A1(0,0,0)，B(0,1,2)，B1(0,2,0)，C1(－4,2,0)，C(－2,1,2)，D(－2,0,2)，D1(－4,0,0)，
3.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AD，E为侧棱DD1上一点，若直线BD1∥平面AEC，则二面角E－AC－B的正切值为
如图，连接BD交AC于点F，连接EF，B1D1，由题意可知，BD1∥EF，因为F为BD的中点，所以E为DD1的中点，又AC⊥平面BDD1B1，BD，EF⊂平面BDD1B1，所以EF⊥AC，BD⊥AC，则∠EFD为二面角E－AC－D的平面角，
又二面角E－AC－B与二面角E－AC－D互补，
4.(2022·菏泽检测)已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为3，A1在底面ABC上的射影点D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成角的大小为
如图，连接A1D，AD，A1B，由CC1∥AA1，知∠A1AB为异面直线AB与CC1所成的角，因为三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的等边三角形，且侧棱长为3，A1在底面ABC上的射影点D为BC的中点，
5.(2022·全国甲卷)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则A.AB＝2ADB.AB与平面AB1C1D所成的角为30°C.AC＝CB1D.B1D与平面BB1C1C所成的角为45°
如图，连接BD，易知∠BDB1是直线B1D与平面ABCD所成的角，所以在Rt△BDB1中，∠BDB1＝30°，设BB1＝1，则B1D＝2BB1＝2，
易知∠AB1D是直线B1D与平面AA1B1B所成的角，所以在Rt△ADB1中，∠AB1D＝30°.
易知∠BAB1是直线AB与平面AB1C1D所成的角，
所以∠BAB1≠30°，所以B项错误；
所以∠DB1C＝45°，所以D项正确.
6.向量的运算包含点乘和叉乘，其中点乘就是大家熟悉的向量的数量积.现定义向量的叉乘：给定两个不共线的空间向量a与b，规定：①a×b为同时与a，b垂直的向量；②a，b，a×b三个向量构成右手直角坐标系(如图1)；③|a×b|＝|a||b|〈a，b〉；④若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，
如图，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，A1(2,0,3)，C1(0,2,3)，
二、多项选择题7.(2022·山东联考)若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是A.a＋b＋c，a－b，2b＋cB.a－b，a－c，b－cC.a＋2b，a－2b，a＋cD.a－2b，6b－3a，－c
选项A，因为a＋b＋c＝(a－b)＋(2b＋c)，所以a＋b＋c，a－b，2b＋c共面；选项B，因为a－b＝(a－c)－(b－c)，所以a－b，a－c，b－c共面；选项C，a＋2b，a－2b在a，b构成的平面内且不共线，a＋c不在这个平面内，不符合题意；选项D，因为a－2b，6b－3a共线，所以a－2b，6b－3a，－c共面.
8.(2022·广州模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，AD＝4，则下列命题为真命题的是
对于A，如图，直线AC1与直线CD所成的角，即为直线AC1与直线AB所成的角即∠BAC1，
对于B，构建如图所示的空间直角坐标系，过A的直线l与长方体所有棱所成的角相等，与平面BCC1B1交于M(x，2，z)且x，z>0，
对于D，如图，过A的平面β与长方体所有面所成的二面角都为μ，只需平面β与以4为棱长的正方体中相邻的三条棱顶点所在平面平行，如平面EDF，
三、填空题9.在空间直角坐标系中，设点M是点N(2，－3,5)关于坐标平面Oxy的对称点，点P(1,2,3)关于x轴的对称点为Q，则线段MQ的长度等于______.
因为点M是点N(2，－3,5)关于坐标平面Oxy的对称点，所以M(2，－3，－5)，又因为点P(1,2,3)关于x轴的对称点为Q，所以Q(1，－2，－3).
10.如图，矩形ABCD是圆柱O1O2的轴截面，AB＝2，AD＝3，点E在上底面圆周上，且 ，则异面直线AE与O2C所成角的余弦值为_____.
以O2为坐标原点，O2B，O2O1所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
11.如图，在二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若AB＝1，AC＝2，BD＝3，CD＝ ，则这个二面角的大小为______.
设这个二面角的大小为α，
∴这个二面角的大小为60°.
建立如图所示的空间直角坐标系，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF＝1，由正六边形的性质可得，A(0,0,0)，B(1,0,0)，
四、解答题13.(2022·莆田质检)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，F为PD的中点.(1)证明：PB∥平面AFC；
连接BD交AC于点O，因为ABCD是菱形，所以O为BD的中点.连接OF.因为F为PD的中点，所以OF为△PBD的中位线，所以OF∥PB.因为OF⊂平面AFC，PB⊄平面AFC，所以PB∥平面AFC.
(2)请从下面三个条件中任选一个，补充在横线上，并作答.
若PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝2，且________，求平面ACF与平面ACD夹角的余弦值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
在菱形ABCD中， AC⊥BD.因为AB＝AP＝2，
设n＝(x，y，z)为平面ACF的一个法向量，
显然m＝(0,0,1)为平面ACD的一个法向量.设平面ACF与平面ACD的夹角为θ，
14.(2022·湖北联考)如图，已知在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝1，BC＝1，CD＝2，点A在平面PCD内的射影恰好是△PCD的重心G.(1)求证：平面PAB⊥平面PBC；
因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC，因为∠ABC＝90°，所以BC⊥AB，又PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又因为BC⊂平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC.
(2)求直线DG与平面PBC所成角的正弦值.
取CD的中点E，连接AE，因为∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝BC＝1，CD＝2，所以四边形ABCE是矩形，所以AB⊥AE，因为PA⊥平面ABCD，AB，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AE，所以AB，AE，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，E(0,1,0)，D(－1,1,0)，设P(0,0，t)(t>0)，
因为点A在平面PCD内的射影恰好是△PCD的重心G，所以AG⊥平面PCD，又DG⊂平面PCD，所以DG⊥AG，
设m＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，
设直线DG与平面PBC所成角为θ，
以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点.空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，利用空间向量求平面与平面的夹角或线面角是高考热点，通常以解答题的形式出现，难度中等.
(1)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为
方法一 如图，连接C1P，因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，且P为B1D1的中点，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，所以C1P⊥平面B1BP.又BP⊂平面B1BP，所以C1P⊥BP.连接BC1，则AD1∥BC1，所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角.设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，
方法二 以B1为坐标原点，B1C1，B1A1，B1B所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，
设直线PB与AD1所成的角为θ，
方法三 如图所示，连接BC1，A1B，A1P，PC1，则易知AD1∥BC1，所以直线PB与AD1所成的角等于直线PB与BC1所成的角.根据P为正方形A1B1C1D1的对角线B1D1的中点，
易知A1，P，C1三点共线，且P为A1C1的中点．易知A1B＝BC1＝A1C1，所以△A1BC1为等边三角形，
(2)(2022·河南名校联盟联考)在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的曲池，它的高为2，AA1，BB1，CC1，DD1均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为
设上底面圆心为O1，下底面圆心为O，连接OO1，OC，OB，O1C1，O1B1，以O为原点，分别以OC，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则C(1,0,0)，A(0,2,0)，B1(0,1,2)，D1(2,0,2)，
平移线段法求异面直线所成角的步骤(1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角.(2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角或其补角.(3)计算：求该角的值(常利用解三角形).(4)取舍：由异面直线所成的角的范围确定两条异面直线所成的角.
(1)(2022·南宁模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为平面AA1B1B的中心，O1为平面A1B1C1D1的中心.若E为CD中点，则异面直线AE与OO1所成角的余弦值为
设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0)，E(0,1,0)，O(2,1,1)，O1(1,1,2)，
设异面直线AE与OO1所成角为θ，
(2)(2022·广东联考)如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝CA＝CB＝5，AB＝PC＝2，点D，E分别为AB，PC的中点，则异面直线PD，BE所成角的余弦值为
如图，连接CD，取CD的中点F，连接EF，BF，则EF∥PD，∠BEF为异面直线PD，BE所成的角.
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，
(2022·全国甲卷)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝(1)证明：BD⊥PA；
在四边形ABCD中，作DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F，如图.因为CD∥AB，AD＝CD＝CB＝1，AB＝2，所以四边形ABCD为等腰梯形，
所以AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD.因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD，又PD∩AD＝D，PD，AD⊂平面PAD，所以BD⊥平面PAD.又因为PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA.
(2)求PD与平面PAB所成角的正弦值.
由(1)知，DA，DB，DP两两垂直，如图，以D为原点建立空间直角坐标系，
设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，
(1)线面角θ与直线的方向向量a和平面的法向量n所成的角〈a，n〉的关系是〈a，n〉＋θ＝ 所以应用向量法求的是线面角的正弦值，而不是余弦值.(2)利用方程思想求法向量，计算易出错，要认真细心.
(2022·龙岩质检)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，PA＝PD＝PB，BC＝DC＝ AD＝2，E为AD的中点，且PE＝4.(1)求证：PE⊥平面ABCD；
∴四边形BCDE为平行四边形，∴BE＝CD＝2，∵PA＝PD且E为AD的中点，∴PE⊥AD，
∴PE2＋BE2＝PB2，即PE⊥BE，又∵AD∩BE＝E，AD，BE⊂平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD.
以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，EP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(－2,2,0)，P(0,0,4)，
故可取n＝(2,2,1)，
设BM＝t(t∈[0,2])，则M(－t，2,0)，而N(0,0,2)，
设直线MN与平面PAB所成的角为θ，
化简得11t2－24t＋4＝0，
设平面α，β的法向量分别为u，v，平面α与平面β的夹角为θ，
(2022·新高考全国Ⅱ改编)如图，PO是三棱锥P－ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点.(1)证明：OE∥平面PAC；
如图，取AB的中点D，连接DP，DO，DE.因为AP＝PB，所以PD⊥AB.因为PO为三棱锥P－ABC的高，所以PO⊥平面ABC.因为AB⊂平面ABC，所以PO⊥AB.又PO，PD⊂平面POD，且PO∩PD＝P，所以AB⊥平面POD.因为OD⊂平面POD，所以AB⊥OD，又AB⊥AC，AB，OD，AC⊂平面ABC，所以OD∥AC.
因为OD⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，所以OD∥平面PAC.因为D，E分别为BA，BP的中点，所以DE∥PA.因为DE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以DE∥平面PAC.又OD，DE⊂平面ODE，OD∩DE＝D，所以平面ODE∥平面PAC.又OE⊂平面ODE，所以OE∥平面PAC.
(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求平面CAE与平面AEB夹角的正弦值.
连接OA，因为PO⊥平面ABC，OA，OB⊂平面ABC，所以PO⊥OA，PO⊥OB，
易得在△AOB中，∠OAB＝∠ABO＝30°，
又∠ABC＝∠ABO＋∠CBO＝60°，
以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，以过A且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设平面CAE的法向量为n＝(x，y，z)，
设平面AEB的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
令z1＝2，则m＝(0，－3,2)，设平面CAE与平面AEB夹角为θ，
(2022·邯郸模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA＝AB＝AD＝2，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC＝ ，PA⊥平面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点.(1)证明：平面AEF⊥平面PAD.
连接AC(图略).因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AE，
所以△ABC为等边三角形.又因为E为BC的中点，所以AE⊥BC，又因为AD∥BC，所以AE⊥AD，因为PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以AE⊥平面PAD，又AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PAD.
(2)求平面AEF与平面AED夹角的余弦值.
以A为原点，AE，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
因为PA⊥平面AED，所以n＝(0,0,1)是平面AED的一个法向量.设平面AEF的一个法向量为m＝(x，y，z)，
令z＝1，得x＝0，y＝－2，即m＝(0，－2,1).设平面AEF与平面AED夹角为θ，
A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.无法判断是否共面
2.(2022·温州模拟)在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1与底面垂直，上、下底面均为矩形，AB＝1，AD＝AA1＝A1B1＝2，则下列各棱中最长的是A.BB1 B.B1C1C.CC1 D.DD1
由四棱台ABCD－A1B1C1D1可得
因为AA1⊥平面A1B1C1D1，而A1D1，A1B1⊂平面A1B1C1D1，故AA1⊥A1D1，AA1⊥A1B1，而A1D1⊥A1B1，故可建立如图所示的空间直角坐标系.故A1(0,0,0)，B(0,1,2)，B1(0,2,0)，C1(－4,2,0)，C(－2,1,2)，D(－2,0,2)，D1(－4,0,0)，
3.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AD，E为侧棱DD1上一点，若直线BD1∥平面AEC，则二面角E－AC－B的正切值为
如图，连接BD交AC于点F，连接EF，B1D1，由题意可知，BD1∥EF，因为F为BD的中点，所以E为DD1的中点，又AC⊥平面BDD1B1，BD，EF⊂平面BDD1B1，所以EF⊥AC，BD⊥AC，则∠EFD为二面角E－AC－D的平面角，
又二面角E－AC－B与二面角E－AC－D互补，
4.(2022·菏泽检测)已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为3，A1在底面ABC上的射影点D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成角的大小为
如图，连接A1D，AD，A1B，由CC1∥AA1，知∠A1AB为异面直线AB与CC1所成的角，因为三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的等边三角形，且侧棱长为3，A1在底面ABC上的射影点D为BC的中点，
5.(2022·全国甲卷)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则A.AB＝2ADB.AB与平面AB1C1D所成的角为30°C.AC＝CB1D.B1D与平面BB1C1C所成的角为45°
如图，连接BD，易知∠BDB1是直线B1D与平面ABCD所成的角，所以在Rt△BDB1中，∠BDB1＝30°，设BB1＝1，则B1D＝2BB1＝2，
易知∠AB1D是直线B1D与平面AA1B1B所成的角，所以在Rt△ADB1中，∠AB1D＝30°.
易知∠BAB1是直线AB与平面AB1C1D所成的角，
所以∠BAB1≠30°，所以B项错误；
所以∠DB1C＝45°，所以D项正确.
6.向量的运算包含点乘和叉乘，其中点乘就是大家熟悉的向量的数量积.现定义向量的叉乘：给定两个不共线的空间向量a与b，规定：①a×b为同时与a，b垂直的向量；②a，b，a×b三个向量构成右手直角坐标系(如图1)；③|a×b|＝|a||b|〈a，b〉；④若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，
如图，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，A1(2,0,3)，C1(0,2,3)，
二、多项选择题7.(2022·山东联考)若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是A.a＋b＋c，a－b，2b＋cB.a－b，a－c，b－cC.a＋2b，a－2b，a＋cD.a－2b，6b－3a，－c
选项A，因为a＋b＋c＝(a－b)＋(2b＋c)，所以a＋b＋c，a－b，2b＋c共面；选项B，因为a－b＝(a－c)－(b－c)，所以a－b，a－c，b－c共面；选项C，a＋2b，a－2b在a，b构成的平面内且不共线，a＋c不在这个平面内，不符合题意；选项D，因为a－2b，6b－3a共线，所以a－2b，6b－3a，－c共面.
8.(2022·广州模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，AD＝4，则下列命题为真命题的是
对于A，如图，直线AC1与直线CD所成的角，即为直线AC1与直线AB所成的角即∠BAC1，
对于B，构建如图所示的空间直角坐标系，过A的直线l与长方体所有棱所成的角相等，与平面BCC1B1交于M(x，2，z)且x，z>0，
对于D，如图，过A的平面β与长方体所有面所成的二面角都为μ，只需平面β与以4为棱长的正方体中相邻的三条棱顶点所在平面平行，如平面EDF，
三、填空题9.在空间直角坐标系中，设点M是点N(2，－3,5)关于坐标平面Oxy的对称点，点P(1,2,3)关于x轴的对称点为Q，则线段MQ的长度等于______.
因为点M是点N(2，－3,5)关于坐标平面Oxy的对称点，所以M(2，－3，－5)，又因为点P(1,2,3)关于x轴的对称点为Q，所以Q(1，－2，－3).
10.如图，矩形ABCD是圆柱O1O2的轴截面，AB＝2，AD＝3，点E在上底面圆周上，且 ，则异面直线AE与O2C所成角的余弦值为_____.
以O2为坐标原点，O2B，O2O1所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
11.如图，在二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若AB＝1，AC＝2，BD＝3，CD＝ ，则这个二面角的大小为______.
设这个二面角的大小为α，
∴这个二面角的大小为60°.
建立如图所示的空间直角坐标系，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF＝1，由正六边形的性质可得，A(0,0,0)，B(1,0,0)，
四、解答题13.(2022·莆田质检)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，F为PD的中点.(1)证明：PB∥平面AFC；
连接BD交AC于点O，因为ABCD是菱形，所以O为BD的中点.连接OF.因为F为PD的中点，所以OF为△PBD的中位线，所以OF∥PB.因为OF⊂平面AFC，PB⊄平面AFC，所以PB∥平面AFC.
(2)请从下面三个条件中任选一个，补充在横线上，并作答.
若PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝2，且________，求平面ACF与平面ACD夹角的余弦值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
在菱形ABCD中， AC⊥BD.因为AB＝AP＝2，
设n＝(x，y，z)为平面ACF的一个法向量，
显然m＝(0,0,1)为平面ACD的一个法向量.设平面ACF与平面ACD的夹角为θ，
14.(2022·湖北联考)如图，已知在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝1，BC＝1，CD＝2，点A在平面PCD内的射影恰好是△PCD的重心G.(1)求证：平面PAB⊥平面PBC；
因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC，因为∠ABC＝90°，所以BC⊥AB，又PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又因为BC⊂平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC.
(2)求直线DG与平面PBC所成角的正弦值.
取CD的中点E，连接AE，因为∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝BC＝1，CD＝2，所以四边形ABCE是矩形，所以AB⊥AE，因为PA⊥平面ABCD，AB，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AE，所以AB，AE，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，E(0,1,0)，D(－1,1,0)，设P(0,0，t)(t>0)，
因为点A在平面PCD内的射影恰好是△PCD的重心G，所以AG⊥平面PCD，又DG⊂平面PCD，所以DG⊥AG，
设m＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，
设直线DG与平面PBC所成角为θ，
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