新高考数学考前冲刺练习卷08（原卷版+解析版）

这是一份新高考数学考前冲刺练习卷08（原卷版+解析版），共30页。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．设i为虚数单位，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的虚部为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C．2iD． SKIPIF 1 < 0
3．设向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数不少于10名，则业余棋手队获胜．已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为 SKIPIF 1 < 0 ，每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为 SKIPIF 1 < 0 ，若业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为（ ）
A．24B．25C．26D．27
5．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C．15D．16
6．在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数，公式和定理，若正整数 SKIPIF 1 < 0 只有1为公约数，则称 SKIPIF 1 < 0 互质，对于正整数 SKIPIF 1 < 0 是小于或等于 SKIPIF 1 < 0 的正整数中与 SKIPIF 1 < 0 互质的数的个数，函数 SKIPIF 1 < 0 以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下列命题中：
① SKIPIF 1 < 0 的最小正周期是 SKIPIF 1 < 0 ，最大值是 SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 ；
③ SKIPIF 1 < 0 的单调增区间是 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）；
④将 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到的函数是偶函数，
其中正确个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．已知 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点P为圆C： SKIPIF 1 < 0 上的动点，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 面积的最小值为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
10．如图，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点P为线段 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点（不包含端点），则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．直线PC与直线 SKIPIF 1 < 0 异面
C．存在点P使得PC与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为60°
D．存在点P使得PC与底面ABCD所成的角为60°
11．以下说法正确的是（ ）
A．89，90，91，92，93，94，95，96，97的第75百分位数为95
B．具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由此得到的线性回归方程为 SKIPIF 1 < 0 ，回归直线 SKIPIF 1 < 0 至少经过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中的一个点
C．相关系数r的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强
D．已知随机事件A，B满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则事件A与B不互斥
12．已知函数 SKIPIF 1 < 0 满足：① SKIPIF 1 < 0 为偶函数；② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称B． SKIPIF 1 < 0 的一个周期为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 不关于 SKIPIF 1 < 0 对称D． SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知 SKIPIF 1 < 0 ，若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为________.
14．平面四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______.
15．如图，多面体 SKIPIF 1 < 0 中，面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 上的动点，有下列结论：
①当 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点时， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
②存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ；
③三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为定值；
④三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球的体积为 SKIPIF 1 < 0 .
其中正确的结论序号为__________.
16．已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的左顶点为A，P为C的一条渐近线上一点，AP与C的另一条渐近线交于点Q，若直线AP的斜率为1，且A为PQ的三等分点，则C的离心率为______．
四、解答题：共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分） SKIPIF 1 < 0 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求A；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
18．（12分）已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)记 SKIPIF 1 < 0 ，证明：数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(3)记 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
19．（12分）在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，四边形 SKIPIF 1 < 0 为等腰梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.
20．（12分）今年以来，人们的出行需求持续释放，各种旅游项目态势火爆，旅游预订人数也开始增多.某调查组对400名不同年龄段的游客进行了问卷调查，其中有200名游客进行了预订，这200名游客中各年龄段所占百分比如图所示：
年龄在19-35岁的人群称为青年人群，已知在所有调查游客中随机抽取1人，抽到不预订的青年游客概率为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)请将下列 SKIPIF 1 < 0 列联表补充完整，并判断能否在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游预订与是否为青年有关；
(2)按照分层抽样的方法，从预订旅游客群中选取5人，再从这5人中任意选取3人，求3人中至少有2人是青年人的概率.
附：① SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .
②
21．（12分）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，并与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 为原点，当点 SKIPIF 1 < 0 异于点 SKIPIF 1 < 0 时，求证： SKIPIF 1 < 0 为定值.
22．（12分）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的导数．
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 有两个交点，求a的取值范围．
预定旅游
不预定旅游
合计
青年
非青年
合计
SKIPIF 1 < 0
0.050
0.010
0.001
SKIPIF 1 < 0
3.841
6.635
10.828
新高考数学考前冲刺练习卷
数学•全解全析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】先解出集合 SKIPIF 1 < 0 ,再根据 SKIPIF 1 < 0 列不等式直接求解.
【详解】集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
要使 SKIPIF 1 < 0 ，只需 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
2．设i为虚数单位，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的虚部为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C．2iD． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由复数的乘法运算化简，再由复数相等求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出 SKIPIF 1 < 0 的虚部.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的虚部为2.
故选：B.
3．设向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】首先根据 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值，再判断充分，必要条件.
【详解】由条件可知， SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的必要不充分条件.
故选：B
4．32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数不少于10名，则业余棋手队获胜．已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为 SKIPIF 1 < 0 ，每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为 SKIPIF 1 < 0 ，若业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为（ ）
A．24B．25C．26D．27
【答案】A
【分析】由二项分布及其期望计算即可.
【详解】设选择与甲进行比赛且获胜的业余棋手人数为X，选择与乙进行比赛且获胜的业余棋手人数为Y；
设选择与甲进行比赛的业余棋手人数为n，则选择与乙进行比赛的业余棋手人数为32-n．
X所有可能的取值为0，1，2， SKIPIF 1 < 0 ，n，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
Y所有可能的取值为0，1，2， SKIPIF 1 < 0 ，32-n，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以获胜的业余棋手总人数的期望 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
5．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C．15D．16
【答案】C
【分析】利用赋值法结合条件即得.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C.
6．在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数，公式和定理，若正整数 SKIPIF 1 < 0 只有1为公约数，则称 SKIPIF 1 < 0 互质，对于正整数 SKIPIF 1 < 0 是小于或等于 SKIPIF 1 < 0 的正整数中与 SKIPIF 1 < 0 互质的数的个数，函数 SKIPIF 1 < 0 以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据题意分析可得 SKIPIF 1 < 0 ，结合等比数列求和公式运算求解.
【详解】由题意可知：若正整数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不互质，则 SKIPIF 1 < 0 为3的倍数，共有 SKIPIF 1 < 0 个，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，即数列 SKIPIF 1 < 0 是以首项 SKIPIF 1 < 0 ，公比 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
7．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下列命题中：
① SKIPIF 1 < 0 的最小正周期是 SKIPIF 1 < 0 ，最大值是 SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 ；
③ SKIPIF 1 < 0 的单调增区间是 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）；
④将 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到的函数是偶函数，
其中正确个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出周期、最大值，得出①；代入化简 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出②；解 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出③；根据图象平移，得出 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 即可判断④.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
对于①， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故①正确；
对于②， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故②正确；
对于③，由 SKIPIF 1 < 0 可得，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 的单调增区间是 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），故③正确；
对于④，将 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到的函数为
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故④错误.
综上所述，①②③正确.
故选：C.
8．已知 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】由题意不等式 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ，再根据函数的单调性分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两种情况讨论即可得解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以原不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点P为圆C： SKIPIF 1 < 0 上的动点，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 面积的最小值为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【分析】对于A，点P动到圆C的最低点 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 面积的最小值，利用三角形面积公式；对于B，当点P动到 SKIPIF 1 < 0 点时， SKIPIF 1 < 0 取到最小值，通过两点间距离公式即可求解；对于C，当 SKIPIF 1 < 0 运动到与圆C相切时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，利用正弦值，求角即可求解；对于D，利用平面向量数量积的几何意义进行求解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
圆C是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆.
对于A， SKIPIF 1 < 0 面积的最小值为点P动到圆C的最低点 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故选项A错误；
对于B，连接 SKIPIF 1 < 0 交圆于 SKIPIF 1 < 0 点，当点P动到 SKIPIF 1 < 0 点时， SKIPIF 1 < 0 取到最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B正确；
对于C，当 SKIPIF 1 < 0 运动到与圆C相切时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，设切点为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故选项C正确；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，当点P动到 SKIPIF 1 < 0 点时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影， SKIPIF 1 < 0 ，故选项D正确；
故选：BCD.
10．如图，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点P为线段 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点（不包含端点），则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．直线PC与直线 SKIPIF 1 < 0 异面
C．存在点P使得PC与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为60°
D．存在点P使得PC与底面ABCD所成的角为60°
【答案】ABD
【分析】由线面垂直的判定定理可判断A；证明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，PC SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，可判断B；求出PC与 SKIPIF 1 < 0 所成的角的最大值恒小于60°可判断C；求出PC与底面ABCD所成的角为60°时， SKIPIF 1 < 0 的长度可判断D.
【详解】对A，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对B，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线PC与直线 SKIPIF 1 < 0 异面，故B正确；
对C，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以PC与 SKIPIF 1 < 0 所成的角即为PC与 SKIPIF 1 < 0 所成的角，
由图可知，当点 SKIPIF 1 < 0 位于点 SKIPIF 1 < 0 处时， SKIPIF 1 < 0 最大，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以PC与 SKIPIF 1 < 0 所成的角恒小于60°，故C不正确；
对D，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设正方体的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，PC与底面ABCD所成的角即为 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以存在点P使得PC与底面ABCD所成的角为60°.
故D正确.
故选：ABD.
11．以下说法正确的是（ ）
A．89，90，91，92，93，94，95，96，97的第75百分位数为95
B．具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由此得到的线性回归方程为 SKIPIF 1 < 0 ，回归直线 SKIPIF 1 < 0 至少经过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中的一个点
C．相关系数r的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强
D．已知随机事件A，B满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则事件A与B不互斥
【答案】ACD
【分析】对于A选项：结合百分位数的定义即可求解；
对于B选项：结合经验回归方程的性质即可求解；
对于C选项：根据相关系数的性质即可判断；
对于D选项：根据互斥事件的定义和事件的相互独立性即可求解.
【详解】对于A选项：从小到大排列共有9个数据，则 SKIPIF 1 < 0 不是整数，则第75百分位数为从小到大排列的第7个数据，即第75百分位数为95，所以A选项正确；
对于B选项：线性回归方程 SKIPIF 1 < 0 不一定经过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中的任何一个点，但一定经过样本的中心点即 SKIPIF 1 < 0 ，所以B选项错误；
对于C选项：若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数 SKIPIF 1 < 0 的绝对值越接近于 SKIPIF 1 < 0 ，所以C选项正确；
对于D选项：因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则事件 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相互独立，所以事件A与B不互斥，所以D选项正确；
故选：ACD.
12．已知函数 SKIPIF 1 < 0 满足：① SKIPIF 1 < 0 为偶函数；② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称B． SKIPIF 1 < 0 的一个周期为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 不关于 SKIPIF 1 < 0 对称D． SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称
【答案】ABD
【分析】A选项，对 SKIPIF 1 < 0 两边求导可判断选项正误；
B选项，由①②可知 SKIPIF 1 < 0 的一个周期为 SKIPIF 1 < 0 ，即可判断选项正误；
C选项，验证 SKIPIF 1 < 0 是否等于2d即可判断选项正误；
D选项，验证 SKIPIF 1 < 0 是否成立可判断选项正误.
【详解】A选项，由 SKIPIF 1 < 0 两边求导得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，故A正确；
B选项，由 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，知 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的一个周期为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的一个周期为 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
C选项，注意到当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 ，即此时
SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 对称，故C错误；
D选项，由 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，知 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知 SKIPIF 1 < 0 ，若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 /0.5
【分析】运用整体法，根据正弦型函数的图像求解.
【详解】由题意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性和周期性可知： SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
14．平面四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 点，以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据已知得出点以及向量的坐标，根据 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据基本不等式“1”的代换，即可得出答案.
【详解】过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 点.
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
如图，以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 所在的直线为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立平面直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15．如图，多面体 SKIPIF 1 < 0 中，面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 上的动点，有下列结论：
①当 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点时， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
②存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ；
③三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为定值；
④三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球的体积为 SKIPIF 1 < 0 .
其中正确的结论序号为__________.
【答案】③
【分析】根据线面平行的判定定理，及线线垂直的判定，结合棱锥体积的计算公式，以及棱锥外接球半径的求解，对每一项进行逐一求解和分析即可.
【详解】①：当H为DE的中点时，取 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，如下所示：
因为 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，故可得 SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
根据已知条件可知： SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0 ，
故四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，则 SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 与面 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 与面 SKIPIF 1 < 0 相交，即不平行，故①错误；
②：因为 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 两两垂直，
以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：
则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故不垂直，故②错误；
③： SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 均为定点，故 SKIPIF 1 < 0 为定值，
又 SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 //面 SKIPIF 1 < 0 ，
又点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上运动，故点 SKIPIF 1 < 0 到面 SKIPIF 1 < 0 的距离是定值，
故三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为定值，则③正确；
④：取△ SKIPIF 1 < 0 的外心为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 的垂线 SKIPIF 1 < 0 ，
则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球的球心 SKIPIF 1 < 0 一定在 SKIPIF 1 < 0 上，
因为 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在同一个平面，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 如图所示.
在△ SKIPIF 1 < 0 中，容易知 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ；
设三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且P为BC中点，
在△ SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
由勾股定理知： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
该棱锥外接球的体积 SKIPIF 1 < 0 ，故④错误.
故答案为：③.
16．已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的左顶点为A，P为C的一条渐近线上一点，AP与C的另一条渐近线交于点Q，若直线AP的斜率为1，且A为PQ的三等分点，则C的离心率为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】写出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，将其分别与双曲线渐近线联立解出 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标，根据 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，得到关于 SKIPIF 1 < 0 的方程，最后化为关于 SKIPIF 1 < 0 的齐次方程，即可得到离心率.
【详解】不妨设点 SKIPIF 1 < 0 在第二象限，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标 SKIPIF 1 < 0 ;
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的三等分点,可知 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题：共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分） SKIPIF 1 < 0 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求A；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由二倍角余弦公式及正弦边角关系得 SKIPIF 1 < 0 ，根据余弦定理求 SKIPIF 1 < 0 的余弦值，进而确定其大小；
（2）由已知和余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 求面积最大值，注意取值条件.
【详解】（1）由已知 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦边角关系得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由余弦定理，得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
18．（12分）已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)记 SKIPIF 1 < 0 ，证明：数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(3)记 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由已知可推出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出证明；
（2）求出 SKIPIF 1 < 0 ，写出 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，即可得出 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）将 SKIPIF 1 < 0 的表达式代入 SKIPIF 1 < 0 ，裂项可推得 SKIPIF 1 < 0 ，然后求和即可得出答案.
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故数列 SKIPIF 1 < 0 是公比为2的等比数列.
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（3）因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
19．（12分）在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，四边形 SKIPIF 1 < 0 为等腰梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）证明：在等腰梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
过点C作 SKIPIF 1 < 0 于E，则 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理知 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以C为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方向分别为x轴、y轴的正方向建立空间直角坐标系.
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
设直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
20．（12分）今年以来，人们的出行需求持续释放，各种旅游项目态势火爆，旅游预订人数也开始增多.某调查组对400名不同年龄段的游客进行了问卷调查，其中有200名游客进行了预订，这200名游客中各年龄段所占百分比如图所示：
年龄在19-35岁的人群称为青年人群，已知在所有调查游客中随机抽取1人，抽到不预订的青年游客概率为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)请将下列 SKIPIF 1 < 0 列联表补充完整，并判断能否在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游预订与是否为青年有关；
(2)按照分层抽样的方法，从预订旅游客群中选取5人，再从这5人中任意选取3人，求3人中至少有2人是青年人的概率.
附：① SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .
②
【答案】(1)列联表答案见解析，能在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游预订与是否青年有关
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）先求出青年游客预订旅游人数，再求出青年游客不预订旅游的人数，从而得到 SKIPIF 1 < 0 列联表，再利用 SKIPIF 1 < 0 列联表求出 SKIPIF 1 < 0 的值，从而得到结论；
（2）先求出每层抽取的人数，再求出基本事件的个数和事件 SKIPIF 1 < 0 包含的个数，利用古典概率公式即可求出结果.
【详解】（1）200名有预订的游客中，青年游客人数为 SKIPIF 1 < 0 ，
200名不预订的游客中，青年游客人数为 SKIPIF 1 < 0 ，
可知 SKIPIF 1 < 0 列联表如下
SKIPIF 1 < 0
所以能在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游预订与是否青年有关.
（2）按分层抽样，从预定游客中选取5人，
其中青年游客的人数为 SKIPIF 1 < 0 人，非青年游客2人，
所以从5人中任取3人，其中至少有2人是青年人的概率为
SKIPIF 1 < 0 .
21．（12分）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，并与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 为原点，当点 SKIPIF 1 < 0 异于点 SKIPIF 1 < 0 时，求证： SKIPIF 1 < 0 为定值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
【分析】（1）由椭圆过点 SKIPIF 1 < 0 及离心率，可得椭圆方程；
（2）法一：设直线 SKIPIF 1 < 0 方程，联立方程组确定点 SKIPIF 1 < 0 ，联立直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而确定 SKIPIF 1 < 0 ；法二：设 SKIPIF 1 < 0 ，分别表示直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而表示点 SKIPIF 1 < 0 ，即可确定 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，当直线 SKIPIF 1 < 0 不过点 SKIPIF 1 < 0 时，要证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，化简即可得证；法三：设 SKIPIF 1 < 0 ，分别表示直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而表示点 SKIPIF 1 < 0 ，即可确定 SKIPIF 1 < 0 ，化简即可.
【详解】（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
法一：
若 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在，则 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意，
若 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，则设 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方程，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为定值.
法二：
若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上，则 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意，
设 SKIPIF 1 < 0 ， 则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
特别地，当 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
要证 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
只需证 SKIPIF 1 < 0 ，
即证 SKIPIF 1 < 0 ，
即证 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
上式显然成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
法三：
若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上，则 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意，
设 SKIPIF 1 < 0 ， 则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 为定值.
22．（12分）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的导数．
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 有两个交点，求a的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，对 SKIPIF 1 < 0 求导，分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 讨论即可；
（2）分离参数得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数研究其值域与图像即可.
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数,在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增;
当 SKIPIF 1 < 0 时,令 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 单调递增,
若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 单调递减.
综上,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增;
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
（2）直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 有两个交点,即关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有两个解,
整理方程,得 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增,
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减.
由 SKIPIF 1 < 0 ,
得 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
则函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,
则 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 趋近于 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 趋近于0,即当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ;
当 SKIPIF 1 < 0 趋近于0时, SKIPIF 1 < 0 趋近于 SKIPIF 1 < 0 ,
作出如图所示图象：
故要使直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 有两个交点,则需 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
预定旅游
不预定旅游
合计
青年
非青年
合计
SKIPIF 1 < 0
0.050
0.010
0.001
SKIPIF 1 < 0
3.841
6.635
10.828
预订旅游
不预订旅游
合计
青年
120
75
195
非青年
80
125
205
合计
200
200
400