新高考数学三轮冲刺精品专题七 数列（含解析）

这是一份新高考数学三轮冲刺精品专题七 数列（含解析），共17页。试卷主要包含了相关公式，判断等差数列的方法，判断等比数列的常用方法，等差数列中，已知，，求等内容，欢迎下载使用。

命题趋势
本部分高考的热点主要为等差、等比数列的基本量和性质的考查和数列求和及数列的综合问题．基本量和性质的考查常以小题的形式出现，数列求和及数列综合问题常以解答题的形式出现是高考的重点．
考点清单
1．相关公式
等差数列的通项公式：
等差中项：，若，则
等差数列的求和公式： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
等比数列的通项公式：
等比中项：，若，则
等比数列的求和公式： SKIPIF 1 < 0
前项和与第项的关系：
2．判断等差数列的方法
（1）定义法
（常数） SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
（2）通项公式法
（为常数，） SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
（3）中项公式法
SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
（4）前项和公式法
（为常数，） SKIPIF 1 < 0 是等差数列．
3．判断等比数列的常用方法
（1）定义法
SKIPIF 1 < 0 （是不为0的常数，） SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
（2）通项公式法
（均是不为0的常数，） SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
（3）中项公式法
SKIPIF 1 < 0 是等比数列．
精题集训
（70分钟）
经典训练题
一、选择题．
1．设是数列的前项和，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】在数列中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
以此类推可知，对任意的，，即数列是以为周期的周期数列，
，
因此， SKIPIF 1 < 0 ，故选B．
【点评】根据递推公式证明数列是周期数列的步骤：
（1）先根据已知条件写出数列的前几项，直至出现数列中的循环项，判断循环的项包含的项数；
（2）证明，则可说明数列是周期为的周期数列．
2．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列中，，，依次成等比数列，则的值
是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】设公差不为零的等差数列的公差为d，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
因为，，依次成等比数列，，
所以有，即，整理得，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，故选A．
【点评】本题主要考了等查数列的通项公式，可以利用基本量法进行求解，属于基础题．
3．等比数列中，，，则的前8项和为（ ）
A．90B．C．D．72
【答案】A
【解析】是等比数列，也成等比数列，
SKIPIF 1 < 0 ，，，
前8项和为，故选A．
【点评】本题主要考了等比数列的性质以及等比数列的通项公式，属于基础题．
4．若数列满足 SKIPIF 1 < 0 ，则称为“梦想数列”，已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 为“梦想数列”，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知，若数列为“梦想数列”，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，“梦想数列”是公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，
若正项数列为“梦想数列”，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
即正项数列是公比为的等比数列，
因为，因此，，故选D．
【点评】本题考查数列的新定义“梦想数列”，解题的关键就是紧扣新定义，本题中，“梦想数列”就是公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，解题要将这种定义应用到数列 SKIPIF 1 < 0 中，推导出数列为等比数列，然后利用等比数列基本量法求解．
5．等差数列中，已知，，求（ ）
A．11B．22C．33D．44
【答案】B
【解析】∵等差数列中，，
∴，，
∴，，∴，故选B．
【点评】本题的考点为等差中项，及等差数列的通项公式，属于基础题．
6．两个等差数列的前项和之比为 SKIPIF 1 < 0 ，则它们的第7项之比为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】设两个等差数列分别为，，它们的前项和分别为，，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故选B．
【点评】本题考查等差数列的性质，若等差数列含有奇数项，则其前项和等于项数乘以中间项，是基础题．
7．在等差数列中，，其前n项和为，若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】设等差数列的前项和为，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是等差数列．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的公差为，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是以为首项，为公差的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以，故选C．
【点评】本题主要考查等差数列前项和公式的理解和运用，考查等差数列基本量的计算，属于基础题．
8．等差数列的前项和为，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则当取得最大值时的值为（ ）
A．4或5B．3或4C．4D．3
【答案】C
【解析】设公差为，由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由等差数列前项和公式，知 SKIPIF 1 < 0 ，
对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，所以当时，最大，故选C．
【点评】本题主要考查等差数列的基本量的计算及前项和的最值问题，属于基础题．
9．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不是等比数列；
若数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，与数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列矛盾，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此“ SKIPIF 1 < 0 ”是“数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列”的必要不充分条件，故选B．
【点评】（1）本题主要考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力．
（2）判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法来判断．
二、填空题．
10．等差数列中，，，则_______．
【答案】135
【解析】由已知得，所以，所以公差，
所以，故答案为135．
【点评】此题考查等差数列的性质的应用，属于基础题．
11．设数列中 SKIPIF 1 < 0 ，若等比数列满足，且，则______．
【答案】2
【解析】根据题意，数列满足，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，
而数列为等比数列，则，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，则，故答案为2．
【点评】本题考查了等比数列的性质以及应用，考查了累乘法求数列通项的应用及运算求解能力，属于中档题．
三、解答题．
12．设等差数列的前n项和为，首项，且．数列的前n项和为，且满足．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和．
【答案】（1），；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）设数列的公差为d，且，
又，
则，所以，
则；
由可得，
两式相减得，，
又，所以，
故是首项为1，公比为3的等比数列，所以．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，记的前n项和为．
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【点评】数列求和的方法：（1）等差等比公式法；（2）裂项相消法；（3）错位相减法；（4）分组（并项）求和法；（5）倒序相加法．
13．已知数列满足 SKIPIF 1 < 0 ，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设等差数列的前项和为，且 SKIPIF 1 < 0 ，令，求数列的前项和．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）当时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当时，由 SKIPIF 1 < 0 ，①
得 SKIPIF 1 < 0 ，②
①②，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 也符合，
因此，数列的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由题意，设等差数列的公差为，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，，
由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
【点评】数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于 SKIPIF 1 < 0 型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于型数列，利用分组求和法；
（4）对于 SKIPIF 1 < 0 型数列，其中是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，利用裂项相消法求和．
高频易错题
一、解答题．
1．已知数列满足： SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求数列的通项公式；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列的前项和．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）因为数列满足： SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当时， SKIPIF 1 < 0 ，
当时， SKIPIF 1 < 0 ，
相减可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上可得， SKIPIF 1 < 0 ．
（2）因为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【点评】该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下：
（1）利用数列项与和的关系，求得通项，注意需要对首项验证；
（2）将化简，利用裂项相消法求和即可．
精准预测题
一、选择题．
1．公差不为0的等差数列中，，数列是等比数列，且，则（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】D
【解析】等差数列中，，
故原式等价于，解得或，
各项不为0的等差数列，故得到，
数列是等比数列，故=16，故选D．
【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的性质．
2．设等差数列的前项和为，若 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，且，则的值为（ ）
A．28B．36C．42D．46
【答案】B
【解析】 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，，
设的公差为，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故选B．
【点评】本题主要考查等差数列的性质以及前项和公式，考查学生的运算求解能力，求解本题的关键是熟练掌握等差数列的有关公式，并灵活运用，属于基础题．
3．设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】依题意， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故选D．
【点评】本题考查了等差数列的前n项和，考查了等差中项的性质，考查计算能力，属于基础题．
4．若等差数列的公差为d，前n项和为，记 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．数列是等差数列，的公差也为d
B．数列是等差数列，的公差为2d
C．数列是等差数列，的公差为d
D．数列是等差数列，的公差为 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由题可得， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 是关于n的一次函数，
则数列是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，故A，B错误；
由 SKIPIF 1 < 0 是关于n的一次函数，得数列是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，故C错误；
又 SKIPIF 1 < 0 是关于n的一次函数，则数列是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，故D正确，
故选D．
【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，考查等差数列是关于的一次函数，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，熟练掌握等差数列通项公式的函数性质是解题的关键，属于基础题．
5．等比数列的首项，前n项和为，若，则数列的前10项和为（ ）
A．65B．75C．90D．110
【答案】A
【解析】∵的首项，前项和为，，
SKIPIF 1 < 0 ，解得
，
故数列的前项和为 SKIPIF 1 < 0 ，故选A．
【点评】本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
6．（多选）设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．与 SKIPIF 1 < 0 均为的最大值
【答案】BD
【解析】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：
是等差数列，若，则，故B正确；
又由得，则有，故A错误；
而C选项，，即，可得，
又由且，则，必有，显然C选项是错误的；
∵，，∴与 SKIPIF 1 < 0 均为的最大值，故D正确，
故选BD．
【点评】本题考查了等差数列以及前项和的性质，需熟记公式，属于基础题．
二、填空题．
7．数列中，，若 SKIPIF 1 < 0 ，则_________．
【答案】3
【解析】因为，所以，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
是等比数列，公比为2，所以．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，故答案为3．
【点评】本题主要考查等比数列的定义、前n项和公式的应用，属于基础题．
8．在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _____；使得数列 SKIPIF 1 < 0 前n项的和 SKIPIF 1 < 0 取到最大值的 SKIPIF 1 < 0 _____．
【答案】9，5
【解析】设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
∴使得数列 SKIPIF 1 < 0 前n项的和 SKIPIF 1 < 0 取到最大值的 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为9，5．
【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列前n项的和的最值，考查学生的计算能力，是中档题．
三、解答题．
9．已知数列是等差数列，其前n项和为，且，．数列为等比数列，满足，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列满足 SKIPIF 1 < 0 ，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）设数列的公差是d，数列是的公比是q．
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以；
∴，，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴．
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
∴
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
【点评】数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于 SKIPIF 1 < 0 结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于 SKIPIF 1 < 0 结构，其中是等差数列，公差为，则 SKIPIF 1 < 0 ，利用裂项相消法求和．
10．已知是等差数列，其前项和为．若，，成等比数列，．
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求．
【答案】（1）；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）设等差数列的公差为，
因为，，成等比数列，所以，
即，①
因为，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即，②
由①②得，或 SKIPIF 1 < 0 ，．
当，时，，与，，成等比数列矛盾，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，，所以．
（2）由（1）得，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
【点评】数列求和的常用方法：
（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和．
（2）错位相减法：若是等差数列，是等比数列，求．
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项．常见的裂项有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 等．
（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和．
（5）倒序相加法．