新高考数学模拟测试卷08（原卷版+解析版）

这是一份新高考数学模拟测试卷08（原卷版+解析版），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列选项中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的必要不充分条件的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 的图象不过第二象限
C． SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数
2．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．已知命题 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则它的否定形式 SKIPIF 1 < 0 为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
4．人们通常以分贝（符号是 SKIPIF 1 < 0 ）为单位来表示声音强度的等级．一般地，如果强度为 SKIPIF 1 < 0 的声音对应的等级为 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ﹒生活在深海的抹香鲸是一种拥有高分贝声音的动物，其声音约为 SKIPIF 1 < 0 ，而人类说话时，声音约为 SKIPIF 1 < 0 则抹香鲸声音强度与人类说话时声音强度之比为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．已知 SKIPIF 1 < 0 是平面向量，满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．函数 SKIPIF 1 < 0 的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，已知四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面是边长为6的菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，动点 SKIPIF 1 < 0 在该棱锥表面上运动，并且总保持 SKIPIF 1 < 0 ，则动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹的长为（ ）
A．3B．7C．13D．8
8．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（﹣1）＝﹣1，当a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0时，（a+b）（f（a）+f（b））＞0成立，若f（x）＜m2﹣2tm+1对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪{0}∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．（﹣2，2）D．（﹣2，0）∪（0，2）
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为正实数，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
10．设 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆的左､右焦点，焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 是直角，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为原点)B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的内切圆半径 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图象如图所示，点 SKIPIF 1 < 0 是图象上的最高点，点 SKIPIF 1 < 0 是图象与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上.若 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
C． SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称
D． SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有 SKIPIF 1 < 0 个极值点
12．函数f(x)=ex+asinx，x∈(－π，+∞)，下列说法正确的是（ ）
A．当a=1时，f(x)在(0，f(0))处的切线方程为2x－y+1=0
B．当a=1时，f(x)存在唯一极小值点x0且－1＜f(x0)＜0
C．对任意a＞0，f(x)在(－π，+∞)上均存在零点
D．存在a＜0，f(x)在(－π，+∞)上有且只有一个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．数列 SKIPIF 1 < 0 的前项和记为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，2…，若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是________.
14．对一个物理量做 SKIPIF 1 < 0 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差 SKIPIF 1 < 0 ，为使误差 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的概率不小于0.9545，至少要测量_____次（若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ）．
15．以 SKIPIF 1 < 0 为底的两个正三棱锥 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 内接于同一个球，并且正三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的侧面与底面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为45°，记正三棱锥 SKIPIF 1 < 0 和正三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.（注：底面为正三角形且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥为正三棱锥）
16．已知F为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点，定点 SKIPIF 1 < 0 ，点P为椭圆C上的一个动点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为_______.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期；
（2）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 所对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 外接圆的面积.
18．2020年国庆节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握国庆节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作 SKIPIF 1 < 0 、9:40~10:00记作 SKIPIF 1 < 0 ，10:00~10:20记作 SKIPIF 1 < 0 ，10:20~10:40记作 SKIPIF 1 < 0 ，例如：10点04分，记作时刻64.
（Ⅰ）估计这600辆车在9:20~10:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（Ⅱ）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X，求X的分布列；
（Ⅲ）根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 可用3日数据中的600辆车在9:20~10:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替， SKIPIF 1 < 0 用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.假如4日全天共有1000辆车通过该收费站点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.
附：若随机变量T服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
19．如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.
20．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）记数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为偶数)，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
21．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）若曲线 SKIPIF 1 < 0 存在一条切线与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，求a的取值范围；
（2）证明： SKIPIF 1 < 0 .
22．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上.
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2） SKIPIF 1 < 0 设为短轴端点，过 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点(异于 SKIPIF 1 < 0 )，直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 .求证：点 SKIPIF 1 < 0 恒在一定直线上.
新高考数学模拟测试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列选项中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的必要不充分条件的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 的图象不过第二象限
C． SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数
【答案】A
【解析】A选项中，由不等式的性质可知：当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
当取 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，但不满足 SKIPIF 1 < 0
所以故 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的必要不充分条件；
B选项中，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 的图象不过第二象限，所以由 SKIPIF 1 < 0 成立
当函数 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 的图象不过第二象限时，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以由 SKIPIF 1 < 0 不成立
所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分不必要条件；
C选项中，当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 成立.
当取 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 成立，但不满足 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分不必要条件；
D选项中，若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数,则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充要条件；
故选：A.
2．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】解： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
3．已知命题 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则它的否定形式 SKIPIF 1 < 0 为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】命题的否定，需要修改量词并且否定结论，
所以命题 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则它的否定形式 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
4．人们通常以分贝（符号是 SKIPIF 1 < 0 ）为单位来表示声音强度的等级．一般地，如果强度为 SKIPIF 1 < 0 的声音对应的等级为 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ﹒生活在深海的抹香鲸是一种拥有高分贝声音的动物，其声音约为 SKIPIF 1 < 0 ，而人类说话时，声音约为 SKIPIF 1 < 0 则抹香鲸声音强度与人类说话时声音强度之比为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】当声音约为 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当声音约为 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以抹香鲸声音强度与人类说话时声音强度之比为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
5．已知 SKIPIF 1 < 0 是平面向量，满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0
令函数 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
6．函数 SKIPIF 1 < 0 的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函数定义域是 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称， SKIPIF 1 < 0 的图象也关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，因此 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，排除AC，
SKIPIF 1 < 0 有无数个零点，因此 SKIPIF 1 < 0 也有无数个零点，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，排除B．
故选：D．
7．如图，已知四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面是边长为6的菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，动点 SKIPIF 1 < 0 在该棱锥表面上运动，并且总保持 SKIPIF 1 < 0 ，则动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹的长为（ ）
A．3B．7C．13D．8
【答案】D
【解析】
取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
故只要动点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内即总保持 SKIPIF 1 < 0 ，
又动点 SKIPIF 1 < 0 在棱锥表面上运动，
∴动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹的周长即为 SKIPIF 1 < 0 的周长，
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形边长为6，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的周长为8，
故选：D.
8．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（﹣1）＝﹣1，当a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0时，（a+b）（f（a）+f（b））＞0成立，若f（x）＜m2﹣2tm+1对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪{0}∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．（﹣2，2）D．（﹣2，0）∪（0，2）
【答案】B
【解析】解：因为f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，当a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0时，（a+b）（f（a）+f（b））＞0成立，
所以将 SKIPIF 1 < 0 换为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以f（x）＜m2﹣2tm+1对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，等价于 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为正实数，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】对于A，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为正实数，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均为正实数，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对于C，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为正实数， SKIPIF 1 < 0 ，所 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故D正确.
故选：ACD.
10．设 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆的左､右焦点，焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 是直角，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为原点)B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的内切圆半径 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【解析】 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为斜边 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确.
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
SKIPIF 1 < 0 当且仅当 SKIPIF 1 < 0 为椭圆右顶点，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不构成三角形，故D错误.
故选：ABC
11．函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图象如图所示，点 SKIPIF 1 < 0 是图象上的最高点，点 SKIPIF 1 < 0 是图象与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上.若 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
C． SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称
D． SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有 SKIPIF 1 < 0 个极值点
【答案】AC
【解析】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ,
该函数的最小正周期 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
又点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的图像上，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，B错误；
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的图像关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，C正确：
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有 SKIPIF 1 < 0 个极值点，D错误.
故选：AC.
12．函数f(x)=ex+asinx，x∈(－π，+∞)，下列说法正确的是（ ）
A．当a=1时，f(x)在(0，f(0))处的切线方程为2x－y+1=0
B．当a=1时，f(x)存在唯一极小值点x0且－1＜f(x0)＜0
C．对任意a＞0，f(x)在(－π，+∞)上均存在零点
D．存在a＜0，f(x)在(－π，+∞)上有且只有一个零点
【答案】ABD
【解析】选项A，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故切点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以切线斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即切线方程为： SKIPIF 1 < 0 ， 选项A正确.
选项B，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
则在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，
所以在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 单调递增.
所以 SKIPIF 1 < 0 存在唯一的极小值点 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以B正确.
对于选项C、D， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 , 则令 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0
由函数 SKIPIF 1 < 0 的图像性质可知:
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减.
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增.
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得极小值，
即当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 取得极小值，
又 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
又因为在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得极小值，
即当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 取得极大值，
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
所以当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，f(x)在(－π，+∞)上无零点，所以C不正确.
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象只有一个交点
即存在a＜0，f(x)在(－π，+∞)上有且只有一个零点，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．数列 SKIPIF 1 < 0 的前项和记为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，2…，若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 不满足上式，
故数列 SKIPIF 1 < 0 从第二项起为等比数列，公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
即数列 SKIPIF 1 < 0 从第二项起都是负数，
因此 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以为使 SKIPIF 1 < 0 恒成立，只需 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
14．对一个物理量做 SKIPIF 1 < 0 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差 SKIPIF 1 < 0 ，为使误差 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的概率不小于0.9545，至少要测量_____次（若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ）．
【答案】32
【解析】根据正态曲线的对称性知：要使误差 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的概率不小于0.9545，
则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：32.
15．以 SKIPIF 1 < 0 为底的两个正三棱锥 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 内接于同一个球，并且正三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的侧面与底面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为45°，记正三棱锥 SKIPIF 1 < 0 和正三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.（注：底面为正三角形且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥为正三棱锥）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】如图，连接PQ，则PQ中点为球心O，PQ与平面ABC交于 SKIPIF 1 < 0 ，即三角形ABC中心，
且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，设三角形ABC边长为2，
取AB中点E，连接CE，PE，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 即为 SKIPIF 1 < 0 的侧面与底面 SKIPIF 1 < 0 所成的角， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，设球半径为R，
在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
16．已知F为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点，定点 SKIPIF 1 < 0 ，点P为椭圆C上的一个动点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为_______.
【答案】9
【解析】
设椭圆的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：9
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期；
（2）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 所对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 外接圆的面积.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】解：（1） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 外接圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 外接圆的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
18．2020年国庆节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握国庆节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作 SKIPIF 1 < 0 、9:40~10:00记作 SKIPIF 1 < 0 ，10:00~10:20记作 SKIPIF 1 < 0 ，10:20~10:40记作 SKIPIF 1 < 0 ，例如：10点04分，记作时刻64.
（Ⅰ）估计这600辆车在9:20~10:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（Ⅱ）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X，求X的分布列；
（Ⅲ）根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 可用3日数据中的600辆车在9:20~10:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替， SKIPIF 1 < 0 用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.假如4日全天共有1000辆车通过该收费站点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.
附：若随机变量T服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（Ⅰ）10:04；（Ⅱ）答案见解析；（Ⅲ）819.
【解析】（Ⅰ）这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为：
SKIPIF 1 < 0 ，即10∶04
（Ⅱ）由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组中在20，60这一区间内的车辆数，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以X的可能的取值为0，1，2，3，4.
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以X的分布列为：
（Ⅲ）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
估计在9:46~10:40之间通过的车辆数也就是在46，100通过的车辆数，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得
SKIPIF 1 < 0 ，
所以估计在在9:46~10:40之间通过的车辆数为 SKIPIF 1 < 0 .
19．如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）证明：连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 .
因为四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，
又 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如图，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 .
因为四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 .
因为， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
因为， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
因为，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为斜线 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内的射影.
所以， SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角.
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
有 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，有 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
20．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）记数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为偶数)，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
经检验， SKIPIF 1 < 0 符合题设，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 为偶数，所以 SKIPIF 1 < 0 .
21．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）若曲线 SKIPIF 1 < 0 存在一条切线与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，求a的取值范围；
（2）证明： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析．
【解析】（1）解： SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为曲线 SKIPIF 1 < 0 存在一条切线与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
则a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）证明： SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
22．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上.
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2） SKIPIF 1 < 0 设为短轴端点，过 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点(异于 SKIPIF 1 < 0 )，直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 .求证：点 SKIPIF 1 < 0 恒在一定直线上.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析.
【解析】（1）因为点 SKIPIF 1 < 0 在C上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故所求椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由题意知直线l的斜率存在，设其方程为 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ).
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且有 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
故点T恒在一定直线 SKIPIF 1 < 0 上.
X
0
1
2
3
4
P
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0