北师大版九年级上册1 菱形的性质与判定课时训练

这是一份北师大版九年级上册1 菱形的性质与判定课时训练，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知某菱形的周长为，高为，则该菱形的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．若菱形的一条边长为5cm，则这个菱形的周长为（ ）
A．20cmB．18cmC．16cmD．12cm
3．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形的周长是（ ）
A．24B．16C．4D．2
4．两条对角线分别为，的菱形的周长是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，菱形ABCD的周长为20，对角线AC与BD交于点O，BD＝6，则AC等于（ ）
A．6B．8C．10D．12
6．如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连接，下列条件中，不能使四边形成为菱形的是（ ）
A．B． C．D．平分
7．如图，菱形ABCD的对角线长分别为6和8，点P是对角线AC上任意一点（不与点A，C重合），PE//BC交AB于点E，PF//CD交AD于点F，则阴影部分的面积是（ ）
A．12B．11C．10D．24
8．菱形的周长为8，，则的长为（ ）
A．1B．C．2D．
9．如图，特殊四边形的面积表达式正确的是（ ）
A．如图1，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，则平行四边形ABCD的面积为：BC×AE
B．如图2，菱形ABCD中，AE⊥BC，则菱形ABCD的面积为：BC×AE
C．如图3，菱形ABCD中，对角线交于点O，则菱形ABCD的面积为：AC×BD
D．如图4，正方形ABCD中，对角线交于点O，则正方形ABCD的面积为：AC×BD
二、填空题
10．已知菱形的两条对角线长分别为和，那么这个菱形的面积是 ．
11．已知菱形中，边长，那么该菱形的面积等于 ．
12．已知菱形的两条对角线长分别为2和6，则菱形的周长为 ．
13．在菱形ABCD中，，AC= ，BD=
14．菱形的两对条角线长分别为10cm、24cm，则它的周长为 cm．
15．如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=120°，点E是AB的中点，点F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值是 ．
16．如图1是一个三节段式伸缩晾衣架，如图2,是其衣架侧面示意图.为衣架的墙体固定端，为固定支点，为滑动支点，四边形和四边形是菱形，且.点在上滑动时，衣架外延钢体发生角度形变，其外延长度(点和点间的距离)也随之变化，形成衣架伸缩效果.伸缩衣架为初始状态时，衣架外延长度为42.当点向点移动8时，外延长度为9.如图3，当外延长度为120时，则和的间距长为 ．
17．如图，在菱形中，对角线交于点O．已知菱形周长为52，，则菱形的面积为 ．

18．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，，点是上一点，连接，若，则的长为 ．
19．如图，在菱形中，，，M为边的中点，N为边上一动点（不与点B重合），将沿直线折叠，使点B落在点E 处，连接，，当为等腰三角形时，的长为 ．

三、解答题
20．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求菱形ABCD的面积．
21．如图，四边形是菱形，对角线与相交于点，，．求的长(结果保留根号)．
22．如图：在中，对角线与交于点，过点的直线分别与、交于点，，连接．

(1)求证：；
(2)请判断四边形是什么特殊四边形，请证明你的结论；
(3)若，，求四边形的面积．
23．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=5 cm，BD=8 cm．则AC= cm；
（2）在宽为8 cm 的长方形纸带上，用图1中的四边形设计如图2所示的图案．
①如果用7个图1中的四边形设计图案，那么至少需要 cm长的纸带；
②设图1中的四边形有x个，所需的纸带长为y cm，求y与x之间的函数表达式；
③在长为40 cm的纸带上，按照这种方法，最多能设计多少个图1中的四边形？
24．如图，已知矩形纸片ABCD，AD＝2，AB＝4，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB、CD交于点G、F，AE与FG交于点O．
（1）如图1，求证：A、G、E、F四点围成的四边形是菱形；
（2）如图2，点N是线段BC的中点，且ON＝OD，求折痕FG的长．
25．如图，四边形是菱形，对角线，交于点O，过点D作交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)若，求四边形的面积．
26．如图1，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，，将沿直线平移，并连接，．

【基础巩固】
（1）求证：在沿直线平移过程中，四边形是平行四边形；
【操作思考】
（2）如图2，已知，，当沿平移到某一个位置时，四边形为菱形，求此时的长；
【拓展探究】
（3）如图3，连接，若四边形为菱形，且，求的度数．
27．如图，过的对角线的中点O作两条互相垂直的直线，分别交，，，于E，F，G，H四点，连接，，，．
(1)试判断四边形的形状并说明理由；
(2)若，，求四边形的面积．
参考答案：
1．A
【分析】先利用菱形的性质求出菱形的边长为2，再利用菱形的面积=底 高即可
【详解】解：菱形的边长： ．
菱形的面积：．
2．A
【分析】根据菱形的性质可知菱形四边都相等，继而可求周长.
【详解】∵菱形的四条边都相等，
∴其边长都为5cm，
∴菱形的周长＝4×5＝20cm．
故选：A．
3．C
【详解】试题分析：菱形ABCD的两条对角线互相垂直且平分．所以AO=3，DO=2.则Rt△AOD中AD=．所以根据菱形性质其周长=4AD．故选C
考点：菱形
点评：本题难度较低，主要考查学生对菱形性质的学习．
4．B
【分析】由菱形对角线相互垂直平分以及勾股定理即可求解.
【详解】解：由菱形性质可得菱形边长为，故菱形周长为20cm，
故选择B.
5．B
【分析】根据菱形的周长可以计算菱形的边长，菱形的对角线互相垂直平分，已知AB，BO根据勾股定理即可求得AO的值，即可求AC的值．
【详解】解：∵菱形ABCD的周长为20，BD＝6
∴AB＝5，BO＝DO＝3，AC⊥BD
∴AO＝＝4
∴AC＝2AO＝8
故选B．
6．A
【分析】根据菱形的判定方法一一判断即可.有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形.
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴,，
又∵，
∴，，
∴四边形为平行四边形．
A项：，可知三角形ABE是等腰三角形，根据三线合一的性质可知BD与DE垂直，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可知能使四边形成为矩形，符合题意；
B项：，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可知能使四边形成为菱形，不符合题意；
C项：，则，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可知能使四边形成为菱形，不符合题意；
D项：平分，则，可得，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可知能使四边形成为菱形，不符合题意．
故选A．
7．A
【分析】先证四边形AEPF是平行四边形，设AP与EF相交于O点，则△POF的面积等于△AOE的面积．所以阴影部分的面积等于菱形面积的一半．
【详解】解：设AP与EF相交于O点．
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC//AD，AB//CD．
∵PE//BC，PF//CD，
∴PE//AF，PF//AE．
∴四边形AEPF是平行四边形．
∴S△POF＝S△AOE．
∴阴影部分的面积就是△ABC的面积，
∴△ABC的面积＝菱形的面积＝×（×6×8）＝12，
则阴影部分的面积是12．
故选：A．
8．B
【分析】先根据菱形的性质，结合证明为等边三角形，得出，求出，再根据勾股定理求出，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，，，，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故B正确．
故选：B．
9．D
【详解】试题分析：选项A，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，则平行四边形ABCD的面积为BC×AE，选项A错误；选项B，菱形ABCD中，AE⊥BC，则菱形ABCD的面积为BC×AE，选项B错误；选项C，菱形ABCD中，对角线交于点O，则菱形ABCD的面积为AC×BD，选项C错误；选项D，正方形ABCD中，对角线交于点O，则正方形ABCD的面积为AC×BD，选项D正确.故答案选D.
故选D．
考点：平行四边形面积公式；菱形、正方形的面积公式.
11．
【分析】由菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出结果．
【详解】解：由菱形的面积公式得：
菱形的面积：．
∴这个菱形的面积是．
故答案为：．
12．8
【分析】根据直角三角形的性质：的角所对的高为边长的一半，可利用菱形的面积公式求解．
【详解】解：如图，菱形中，边长，

∴，，
∴菱形的面积为：；
故答案为：8
13．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可求出、的长，再利用勾股定理可求出菱形的边长，进而得到周长．
【详解】解：如图，菱形对角线，交于点O，
∵菱形对角线，交于点O，且，，
∴，，，
∴，
∴菱形的周长＝．
故答案为：
14． 10
【分析】根据菱形性质的对角线垂直平分，可以连接AC和BD，构造直角三角形求解即可．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，BA=BC， AC⊥BD，
∴△ABC为等边三角形，即AC=AB=10cm，
∴AO=5cm，
根据勾股定理可得：，
∴BD=2OB=，
故答案为：10， ．
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理的运用和等边三角形的判定和性质，本题中计算BO的值是解题的关键．
15．52
【分析】根据菱形的性质和勾股定理即可求解.
【详解】∵四边形ABCD为菱形，
∴AO=AC=5cm，BO=BD=12cm，且AC⊥BD，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB==13（cm），
∴菱形的周长=4AB=52cm，
故答案为：52.
16．
【分析】首先连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF．证明只有点F运动到点M时，EF+BF取最小值，再根据菱形的性质、勾股定理求得最小值．
【详解】连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF，延长BA，DH⊥BA于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC，BD互相垂直平分，
∴点B关于AC的对称点为D，
∴FD=FB，
∴FE+FB=FE+FD≥DE．
只有当点F运动到点M时，取等号（两点之间线段最短），
△ABD中，AD=AB，∠DAB=120°，
∴∠HAD=60°，
∵DH⊥AB，
∴AH=AD，DH=AD，
∵菱形ABCD的边长为6，E为AB的中点，
∴AE=3，AH=3，
∴EH=6，DH=，
在Rt△EHD中，DE=，
∴EF+BF的最小值为．
故答案为：．
17．24cm
【分析】三节段式伸缩晾衣架，相当于三个菱形构成，前半个和后半个组成一个整体，中间共有两个．本题需用到菱形的性质和勾股定理，根据横向对角线的长度等先计算出菱形的边长，然后根据菱形的面积公式容易求出结果．
【详解】如图，作FK⊥AB于K，设AB=2xcm，由题意，FK=7cm，当AB=（2x-8）cm时，FK=15cm．
则有AF2=x2+72=（x-4）2+152，
∴x=24（cm），
∴AF==25（cm），
如图，当OF=20时，在Rt△DFO中，OD==15（cm），
∵PQ⊥GI，
∴FI•DG=DF•PQ，
∴PQ==24（cm）．
故答案为：24 cm．
18．120
【分析】由菱形的性质得，，，，设，则，再由勾股定理得或5，或12，则或10，或24，然后由菱形面积公式即可求解．
【详解】解：四边形是菱形，
，，，，
菱形的周长为，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：或，
，或，
，或，
或24，或10，
或．
故答案为：120．
19．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA，OD，AC⊥BD，再利用勾股定理列式求出AD，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求解即可．
【详解】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OD＝BD＝×6＝3，OC＝AC＝×8＝4，AC⊥BD，
由勾股定理得，CD＝，
∵OE＝AE，
∴∠DAC＝∠EOA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴∠EOA＝∠DCA，
∴OECD，
∵AO＝OC，
∴OE是△ADC的中位线，
∴OE＝CD＝×5＝，
故答案是：．
20．4或
【分析】分两种情况①当时，连接，作于，由菱形的性质得出，，，得出，，，求出，，由折叠的性质得，，，证明，得出，证出、、三点共线，设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当时，，此时点与重合，与点重合，，是等边三角形，（含这种情况）．
【详解】解：分两种情况：
当时，连接，作于，如图1所示：

四边形是菱形，
，，，
，，
，
，
，
，
，，
为的中点，
，
由折叠的性质得：，，，
在和中，，
，
，
，
、、三点共线，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：，即；
当时，，此时点与重合，与点重合，如图2所示：

，是等边三角形，（含这种情况）；
综上所述，当为等腰三角形时，线段的长为或4；
故答案为：或4．
21．24
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，利用勾股定理求出BO的长，再根据菱形面积等于对角线积的一半进行计算即可得．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，
∴AC⊥BD，BD=2BO，AC=2AO=2×4=8，
∵AB=5，AO=4，
∴BO==3，
∴BD=2BO=2×3=6，
∴S菱形ABCD==24．
22．．
【分析】利用菱形的性质：对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角，利用直角三角形中的性质得到较短的直角边的长，利用勾股定理可得答案．
【详解】证明：∵四边形是菱形，

在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
23．(1)见解析
(2)菱形，见解析
(3)
【分析】（1）由在中，对角线与交于点，可证，可得；
（2）由（1）可知，则有，根据四边形是平行四边形，可得四边形是平行四边形，且，即可证得四边形是菱形；
（3）由，，根据菱形的性质，即可求得与的长，继而求得答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
在和中，
，
∴△OAE≌△OCF(AAS)，
∴．
（2）证明：四边形AECF是菱形，理由如下，
由（1）可知，△OAE≌△OCF(AAS)，
∴，
∵四边形是平行四边形，且点在线段上，点在上，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形中，，为对角线，且，
∴平行四边形是菱形．
（3）解：∵四边形是菱形，，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，，
∴．
24．(1)6;(2)①20,②,③12.
【分析】(1)由题意得,四边形为菱形,根据菱形的性质利用勾股定理解出即可.
(2)①通过前三个四边形寻找规律即可解出.②利用①中的规律表示出来即可.③令y≤40解出x的范围,即可找到最大的值.
【详解】(1)设AC与BD的交点为O,
∵AB=BC=CD=DA=5 cm,
∴四边形ABCD为菱形,
∴OD=,AB⊥AC,
∴OC=.
∴AC=6.
(2)①由图可知:1个四边形需要2×3=6cm,2个四边形需要3×3=9cm,3个四边形需要4×3=20cm……,
所以7个四边形需要8×3=24cm长的纸带.
②由①中规律可得:.
③将y≤40代入②的表达式中,可得x≤.
所以最多能设计12个四边形.
26．(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明四边形为平行四边形，得出，根据菱形性质得出即可证明结论；
（2）根据勾股定理，先求出对角线的长，再根据即可解决问题．
【详解】（1）证明：四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
，
，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
27．（1）证明见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，，由平行线的判定可得，即可得证；
（2）如图2，作于，根据勾股定理可得，根据三角形的面积公式可得，可得，由勾股定理可得，根据菱形的性质得到，由等腰三角形的三线合一性质可得，最后由可得答案；
（3）延长交于点，证明，得，所以是等腰直角三角形，然后根据菱形的性质即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴，，
∴，
∴四边形为平行四边形．
（2）解：如图2，作于，
∵，，，
∴，
∵△ABC≌△DEF，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴．

（3）如图3，延长与交于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在菱形中，，，
∴，
在和△CHD中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的度数的．

28．(1)四边形是菱形．理由见解析
(2)菱形的面积为24
【分析】（1）根据证明，得，同理可证，从而四边形是平行四边形，结合可证四边形是菱形；
（2）求出菱形两条对角线的长，然后根据菱形的性质即可求出四边形的面积．
【详解】（1）四边形是菱形．理由如下：
四边形是平行四边形，
．
．
在和中
，
．
同理可得
四边形是平行四边形．
又，
四边形是菱形．
（2）∵，
∴，．
∵，，
∴，
∴，
∴四边形的面积．