2022-2023学年上海市静安区市北中学九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年上海市静安区市北中学九年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 1 3的相反数是( )
A. 3B. − 3C. 33D. − 33
2. 下列方程中，有实数解的是( )
A. x2−x+1=0B. x−2=1−xC. 1−xx2−x=0D. 1−xx2−x=1
3. 已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC的反向延长线上，且ED/​/BC，如果AD：DB=1：4，ED=2，那么边BC的长是( )
A. 8B. 10C. 6D. 4
4. 如果点A(2,m)在抛物线y=x2上，将抛物线向右平移3个单位后，点A同时平移到点A′，那么A′坐标为( )
A. (2,1)B. (2,7)C. (5,4)D. (−1,4)
5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AD=m，∠A=α，那么BC的长为( )
A. m⋅tanα⋅csαB. m⋅ctα⋅csαC. m⋅tanαcsαD. m⋅tanαsinα
6. 下列命题是真命题的是( )
A. 有一个角相等的两个等腰三角形相似
B. 两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似
C. 四个内角都对应相等的两个四边形相似
D. 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）
7. 化简：(−2a2)3= ．
8. 计算：6a+3+2aa+3= ______ ．
9. 上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为1：5000000的地图上，上海与杭州的图上距离约______ 厘米．
10. 某滑雪运动员沿着坡比为1： 3的斜坡滑行了200米，则他身体下降的高度为______ 米.
11. 抛物线y=(x−1)2+3与y轴的交点坐标是______ ．
12. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=2，若此抛物线与x轴的一个交点为(6,0)，则抛物线与x轴的另一个交点坐标是______．
13. 如图，在△ABC中，点D是BC边上的点，且CD=2BD，如果AB=a，AD=b，那么BC= ______ (用含a、b的式子表示)．
14. 如图，直线AA1/​/BB1/​/CC1，如果ABBC=13，AA1=2，CC1=6，那么线段BB1的长是______ ．
15. 已知，点P、Q是线段AB的两个黄金分割点，若AB=8，则PQ的长是______ ．
16. 在△ABC中，∠BAC=90°，点G是△ABC的重心，连接AG.若AG=6，则BC长为______ ．
17. 若抛物线y=ax2+c与x轴交于点A(m,0)、B(n,0)，与y轴交于点C(0,c)，则称△ABC为“抛物三角线”.特别地，当mnc0时，称△ABC为“倒抛物三角形”.那么，当△ABC为“倒抛物三角形”时，a、c应分别满足条件______．
18. 如图，已知△ABC沿角平分线BE所在的直线翻折，点A恰好落在边BC的中点M处，且AM=BE，那么∠EBC的正切值是______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
计算：cs245°−tan30°2sin60°+ct230°．
20. (本小题10.0分)
抛物线y=x2−2x+c经过点(2,1)．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)将抛物线y=x2−2x+c沿y轴向下平移后，所得新抛物线与x轴交于A、B两点，如果AB=2，求新抛物线的表达式．
21. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，ADAB=34，AE=3，CE=1，BC=6．
(1)求DE的长；
(2)过点D作DF/​/AC交BC于F，设AB=a，BC=b，求向量DF(用向量a、b表示)
22. (本小题10.0分)
某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至B1层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与B1层平行，层高AD为9米，A、B间的距离为6米，∠ACD=20°．
(1)请问身高1.9米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在B处会不会碰到头？请说明理由．
(2)若采取中段平台设计(如图虚线所示).已知平台EF/​/DC，且AE段和FC段的坡度i=1：2，求平台EF的长度．
【参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36】
23. (本小题10.0分)
已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE/​/BC，交边AC于点E，延长DE至点F，使EF=DE，联结BF，交边AC于点G，联结CF
(1)求证：AEAC=EGCG；
(2)如果CF2=FG⋅FB，求证：CG⋅CE=BC⋅DE．
24. (本小题14.0分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过点A、C，点P为抛物线上位于直线AC上方的一个动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图(1)，当CP//AO时，求∠PAC的正切值；
(3)∠当以AP、AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时，求出此时点P的坐标．
25. (本小题14.0分)
如图，矩形ABCD中，AB= 2，点E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F．
(1)设BE=x，∠ADF的余切值为y，求y关于x的函数解析式；
(2)若存在点E，使得△ABE、△ADF与四边形CDFE的面积比是3：4：5，试求矩形ABCD的面积；
(3)对(2)中求出的矩形ABCD，连接CF，当BE的长为多少时，△CDF是等腰三角形？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：1 3= 33，
则1 3的相反数是− 33．
故选：D．
先分母有理化，再根据相反数的定义进行解答即可．
本题主要考查分母有理化，相反数，解题的关键是熟知相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数．
2.【答案】D
【解析】解：A、∵△=1−4=−3BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB：AC=AC：BC)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，熟记黄金比是解题的关键．
16.【答案】18
【解析】解：如图，延长AG交BC于点D，
∵点G是△ABC的重心，AG=6，
∴D为BC的中点，且AG=2DG=6，
∴DG=3，
∴AD=AG+DG=9，
∵∠BAC=90°，
∴BC=2AD=18；
故答案为：18．
延长AG交BC于点D，根据点G是△ABC的重心，得到D为BC的中点，以及AG=2DG，进而求出AD的长度，根据AD是直角三角形斜边上的中线，从而求出BC的长．
本题考查重心的性质，以及直角三角形斜边上的中线．熟练掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．
17.【答案】a>0，c0，c