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    2023-2024学年湖南重点中学联考高三(上)月考数学试卷(一)(含解析)

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    2023-2024学年湖南重点中学联考高三(上)月考数学试卷(一)(含解析)

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    这是一份2023-2024学年湖南重点中学联考高三(上)月考数学试卷(一)(含解析),共18页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    1. 设A={x|x+1x≤3},B={x|x2≤9},则A∩B中整数个数为( )
    A. 2B. 3C. 4D. 5
    2. 已知母线长为5的圆锥的侧面积为20π,则这个圆锥的体积为( )
    A. 12πB. 16πC. 24πD. 48π
    3. 若△ABC是锐角三角形,则复数z=(csB−sinA)+i(sinB−csA)对应的点位于( )
    A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
    4. 已知OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,且四边形ABCD为平行四边形,则( )
    A. a−b+c−d=0B. a−b−c+d=0
    C. a+b−c−d=0D. a+b+c+d=0
    5. 已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=2Sn(n∈N*),则有( )
    A. {an}为等差数列B. {an}为等比数列C. {Sn}为等差数列D. {Sn}为等比数列
    6. 为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》规定:汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL.据仪器监测,某驾驶员喝了二两白酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后,血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%.那么此人在开车前至少要休息(参考数据:lg2≈0.301,1g3≈0.477)( )
    A. 4.1小时B. 4.2小时C. 4.3小时D. 4.4小时
    7. 已知函数f(x)的定义域为R,设f(x)的导数是f′(x),且f(x)⋅f′(x)+sinx>0恒成立,则( )
    A. f(π2)f(−π2)
    C. |f(π2)||f(−π2)|
    8. 若正三棱锥P−ABC满足|AB+AC+AP|=1,则其体积的最大值为( )
    A. 172B. 184C. 196D. 1108
    二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)
    9. 下列命题为真命题的是( )
    A. 若a>b,且1a>1b,则ab0,则ab>a+cb+c
    10. 设正方体ABCD−A1B1C1D1中A1B1,BB1,BC的中点分别为E,F,G,则( )
    A. ∠EFG=4∠EGF
    B. 平面EGF与正方体各面夹角相等
    C. E,F,G,D1四点共面
    D. 四面体C−EFG,D1−EFG体积相等
    11. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)满足f(x0)=f(x0+1)= 22,且f(x)在(x0,x0+1)上有最大值,无最小值,则下列结论正确的是( )
    A. f(x0+12)=1
    B. 若x0=0,则f(x)=sin(πx+π4)
    C. f(x)的最小正周期为4
    D. f(x)在(0,2024)上的零点个数最少为1012个
    12. 已知直线y=a与曲线y=xex相交于A,B两点,与曲线y=lnxx相交于B,C两点,A,B,C的横坐标分别为x1,x2,x3,则( )
    A. x2=aex2B. x2=lnx1C. x3=ex2D. x1+x3>2x2
    三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
    13. 曲线f(x)=(x+a)ex在点(0,f(0))处的切线与直线y=−12x垂直,则a= ______ .
    14. 若圆(x−1)2+(y−1)2=2关于直线y=kx+3对称,则k的值是______ .
    15. 如图,正四棱锥P−ABCD的每个顶点都在球M的球面上,侧面PAB是等边三角形.若半球O的球心为四棱锥的底面中心,且半球与四个侧面均相切,则半球O的体积与球M的体积的比值为 .
    16. 已知数列{an}的各项均为非零实数,其前n项和为Sn,a1=1,且对于任意的正整数n均有Sn+1+Sn=an+12.
    (1)若a3=−2,则a2= ______ ;
    (2)若a2023=−2022,则满足条件的无穷数列的一个通项公式可以是an= ______ .
    四、解答题(本大题共6小题,共70.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
    17. (本小题10.0分)
    如图,在梯形ABCD中,AB/​/CD,∠BCD=135°,BD= 5CD= 10.
    (Ⅰ)求sin∠CBD的值;
    (Ⅱ)若△ABD的面积为4,求AD的长.
    18. (本小题12.0分)
    已知数列{an}满足a1=12,当n≥2时,an=nan−1+1n+1.
    (1)求数列{an}的通项公式;
    (2)证明:a2a1+a3a2+……+an+1an0),现为加大对研发工作的投入,该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员,其中技术人员x名(x∈N且100≤x≤275),调整后研发人员的年人均投入增加(4x)%,技术人员的年人均投入调整为a(m−2x25)万元.
    (1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入,求调整后的研发人员的人数最少为多少人?
    (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性,企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件:①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入;②技术人员的年人均投入始终不减少.请问是否存在这样的实数m,满足以上两个条件,若存在,求出m的范围;若不存在,说明理由.
    21. (本小题12.0分)
    已知椭圆C的中心在坐标原点,两焦点F1,F2在x轴上,离心率为12,点P在C上,且△PF1F2的周长为6.
    (1)求椭圆C的标准方程;
    (2)过点M(4,0)的动直线l与C相交于A,B两点,点B关于x轴的对称点为D,直线AD与x轴的交点为E,求△ABE的面积的最大值.
    22. (本小题12.0分)
    已知函数f(x)=(x−a)(ex+1),g(x)=axlnx+x+e−2(a∈R),设max{m,n}表示m,n的最大值,设F(x)=max{f(x),g(x)}.
    (1)讨论f′(x)在(0,+∞)上的零点个数;
    (2)当x>0时F(x)≥0,求a的取值范围.
    答案和解析
    1.【答案】D
    【解析】解:∵A={x|x+1x≤3},B={x|x2≤9}={x|−3≤x≤3},
    ∴集合B中元素包含的整数有−3,−2,−1,0,1,2,3.
    以上整数满足集合A中不等式的有−3,−2,−1,1,2,
    故A∩B中整数个数为5,
    故选:D.
    由题意,先求出集合B,可得B中的元素,带入集合A中检验,可得A∩B中整数个数.
    本题主要考查不等式的解法,求集合的交集,属于基础题.
    2.【答案】B
    【解析】解:设圆锥的底面圆半径为r,高为h,
    ∵圆锥的侧面积为20π,
    ∴5πr=20π,∴r=4,
    ∴h= 25−r2=3,
    ∴V=13πr2h=π3×16×3=16π.
    故选:B.
    根据圆锥的侧面积与体积公式,即可求解
    本题考查圆锥的侧面积与体积公式,方程思想,属基础题.
    3.【答案】B
    【解析】【分析】
    根据三角形是锐角三角形,得到A+B>90°,变形为B>90°−A,根据三角函数在第一象限的单调性,得到csBcsA,判断出复数对应的点的位置.
    本题考查复数和三角函数的问题,复数的几何意义,属于基础题.
    【解答】
    解:∵△ABC为锐角三角形,
    ∴A+B>90°,B>90°−A,
    ∴csBcsA,
    ∴csB−sinA0,
    ∴z对应的点在第二象限.
    故选:B.
    4.【答案】A
    【解析】【分析】
    本题考查向量的运算,解题时要结合实际情况注意公式的灵活运用,属于基础题.
    观察四个选取项,由题设条件知a−b+c−d=BA+CD=0.
    【解答】
    解:∵在平行四边形ABCD中OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,
    ∴a−b+c−d=BA+DC=0.
    故答案选:A.
    5.【答案】D
    【解析】解:由题意,数列{an}的前n项和满足an+1=2Sn(n∈N*),
    当n≥2时,有an=2Sn−1,两式相减可得:
    an+1−an=2(Sn−Sn−1)=2an,即an+1=3an,
    则有an+1an=3(n≥2),又a1=1,
    当n=1时,a2=2S1=2,所以a2a1=2,
    所以数列{an}的通项公式为an=1,n=12⋅3n−2,n≥2,
    故数列{an}既不是等差数列也不是等比数列,
    当n≥2时,Sn=12an+1=3n−1,
    又n=1时,S1=a1=1,适合上式,
    所以Sn=3n−1,n∈N*,
    又由Sn+1Sn=3,可得数列{Sn}为公比为3的等比数列,
    综上可得选项D正确.
    故选:D.
    由递推式a1=1,an+1=2Sn可推得式为an=1,n=12⋅3n−2,n≥2,可判定AB选项;根据条件得出Sn=3n−1,可判定CD选项.
    本题考查数列递推式,考查等比数列的定义,属中档题.
    6.【答案】B
    【解析】解:设经过x小时,血液中的酒精含量为y,
    则y=0.3×(1−25%)x=0.3×0.75x,
    由0.3×0.75x≤0.09,得0.75x≤0.3,
    则xlg0.75≤lg0.3,
    因为lg0.750恒成立,
    ∴g′(x)=2f(x)⋅f′(x)+2sinx>0,
    ∴y=g(x)在定义域上是增函数,
    ∴g(π2)>g(−π2),
    即f2(π2)>f2(−π2),
    ∴|f(π2)|>|f(−π2)|.
    故选:D.
    构造函数,利用导数研究函数的单调性,再利用函数单调性比较大小,即可求解.
    本题考查导数的综合应用,构造函数,利用导数研究函数的单调性,利用函数单调性比较大小,属中档题.
    8.【答案】C
    【解析】解:设正三棱锥的底边长为a,侧棱长为b,
    ∵1=|AB+AC+AP|2=a2+a2+b2+2a2×12+2ab×a2b+2ab×a2b=5a2+b2,
    又VP−ABC=13⋅S△ABC⋅h=13⋅ 34a2⋅ b2−13a2=112 3a4−16a6,00,a−b>0,
    ∴(a−b)c(c−a)(c−b)>0,∴ac−a>bc−b,C错误.
    对于D,∵a>b>c>0,∴a−b>0,b+c>0
    则ab−a+cb+c=ab+ac−ab−bcb(b+c)=(a−b)cb(b+c)>0,
    ∴ab>a+cb+c,D正确.
    故选:AD.
    由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断.
    本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用,属于基础题.
    10.【答案】ABD
    【解析】解:正方体ABCD−A1B1C1D1中A1B1,BB1,BC的中点分别为E,F,G,
    不妨设正方体的棱长为2a,
    则FG= 2a,EF= 2a,EG= 6a,
    所以cs∠EFG=2a2+2a2−6a22× 2a× 2a=−12,
    从而∠EFG=120°,∠EGF=30°,故∠EFG=4∠EGF,故A正确;
    由于平面EGF/​/平面CD1B1,又平面CD1B1的一个法向量C1A与正方体各面的夹角相等,
    即平面EGF与正方体各面夹角相等,故B正确;
    由于FG与ED1异面,∴E,F,G,D1四点不共面,故C错误;
    由于CD1/​/平面EFG,∴C、D1到平面EFG距离相等,故选项D正确.
    故选:ABD.
    对于A,设正方体的棱长为2a,推导出∠EFG=120°,∠EGF=30°,从而∠EFG=4∠EGF;对于B,由于平面EGF/​/平面CD1B1,平面CD1B1的一个法向量C1A与正方体各面的夹角相等,从而平面EGF与正方体各面夹角相等;对于C,FG与ED1异面;对于D,CD1/​/平面EFG,从而C、D1到平面EFG距离相等.
    本题考查正方体结构特征、二面角定义、异面直线、四面体体积等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
    11.【答案】AC
    【解析】解:对于A项,由题意得,f(x)在(x0,x0+1)的区间中点处取得最大值,
    所以f(x0+x0+12)=f(x0+12)=1,所以A正确;
    对于B项,假设若x0=0,则f(x)=sin(πx+π4)成立,由A项知,f(12)=1,
    而而f(12)=sin3π4= 22≠1,故假设不成立,则B项错误;
    对于C项,f(x0)=f(x0+1)= 22,且f(x)在(x0,x0+1)上有最大值,无最小值,
    不妨令ωx0+φ=−34π+2kπ,ω(x0+1)+φ=π4+2kπ,k∈Z,
    则两式相减,得ω=π2,即函数的最小正周期T=2πω=4,故C项正确;
    对于D项,因为T=4,所以函数f(x)在区间(0,2024)上的长度恰好为506个周期,
    当f(0)=0,即φ=kπ,k∈Z时,f(x)在区间(0,2024)上的零点个数至少为506×2−1=1011个,故D项错误.
    故选AC.
    根据三角函数的周期性、零点、最值、对称轴等知识确定正确答案.
    本题考查三角函数的性质的应用及函数的零点的求法,属于基础题.
    12.【答案】ACD
    【解析】解:直线y=a与曲线y=xex相交于A,B两点,与曲线y=lnxx相交于B,C两点,A,B,C的横坐标分别为x1,x2,x3,
    设f(x)=xex,得f′(x)=1−xex,x∈(−∞,0),f′(x)>0,函数是增函数,x∈(1,+∞),f′(x)0,函数是增函数,x∈(e,+∞),g′(x)

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