2022-2023学年河南省平顶山市汝州市八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省平顶山市汝州市八年级（下）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列分式中，是最简分式的是( )
A. 3xyx2B. x−1x2−1C. x+y2xD. 1−xx−1
2.下列说法不一定成立的是( )
A. 若a>b，则a+c>b+cB. 若a+c>b+c，则a>b
C. 若a>b，则ac>bcD. 若ac2>bc2，则a>b
3.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形( )
A. DE=BFB. OE=OF
C. ∠ADE=∠CBFD. ∠ABE=∠CDF
4.分式a−ba−2的值为0时，实数a，b应满足的条件是( )
A. a=bB. a≠bC. a=b，a≠2D. 以上答案都不对
5.以如图(1)(以O为圆心，半径为1的半圆)作为“基本图形”，分别经历如下变换：①只要向右平移1个单位；②先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；③先绕着点O旋转180°，再向右平移一个单位；④绕着OB的中点旋转180°即可.其中能得到图(2)的是( )
A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②
6.小李在计算20233−2023时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是( )
A. 2023，2024，2025B. 2022，2023，2024
C. 2021，2022，2023D. 2020，2021，2022
7.在平面直角坐标系内，一次函数y=ax+b的图象如图所示，那么下列说法正确的是( )
A. 当x>1时，y<0
B. 方程ax+b=0的解是x=−2
C. 当y>−2时，x>0
D. 不等式ax+b≤0的解集是x≤0
8.下列说法，不正确的是( )
A. 若关于x的分式方程x−1x+4=mx+4有增根，则m的值为−5
B. 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
C. 夹在两条平行线间的平行线段一定相等
D. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60°”，先假设这个三角形中有一个内角大于60°
9.如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F.则：①OE=OF；②若AB=4，AC=6，则2A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
10.如图，在△ABC中，AB=BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE=AC=2，则△CEF的周长为( )
A. 3+1
B. 5+3
C. 5+1
D. 4
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11.已知ab=−3，a+b=2.则代数式a2b+ab2的值为______ ．
12.关于x的方程3x−2m=1的解为正数，则m的取值范围是______．
13.如图，一艘轮船由海平面上C地出发向南偏西25°的方向行驶120海里到达B地，再由B地向北偏西35°的方向行驶120海里到达C地，则A，C两地相距 海里．
14.如图所示是三个边长相等的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，正多边形①和②的内角都是108°，则正多边形③的边数是______．
15.小静准备到甲或乙商场购买一些商品，两商场同种商品的标价相同，而各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购买满一定数额a元后，再购买的商品按原价的90%收费；在乙商场累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费.若累计购物x元，当x>a时，在甲商场需付钱数yA=0.9x+10，当x>50时，在乙商场需付钱数为yB.下列说法：
①yB=0.95x+2.5；
②当累计购物大于50元时，选择乙商场一定优惠些；
③当累计购物超过150元时，选择甲商场一定优惠些；
④a=100．
其中正确的说法是______ (填序号)
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.(本小题10.0分)
(1)解不等式组：−x+12>1①5−2x≥−1②(要求用数轴表示不等式的解集)；
(2)化简：(aa−1−a)÷a2−4a+4a−1；
17.(本小题9.0分)
如图，△ABC的顶点坐标分别为A(−4,5)，B(−5,2)，C(−3,4)．
(1)画出△ABC关于原点O对称的图形△A1B1C1，并直接写出A1点的坐标；
(2)将△ABC绕B点顺时针旋转90°得到△A2BC2，画出△A2BC2并直接写出A2点的坐标．
18.(本小题9.0分)
如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE/​/DF．
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)若AC=8，BC=6，∠ACB=30°，求平行四边形ABCD的面积．
19.(本小题9.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，
(1)求证：EF⊥AB；
(2)若AF=8，BC=3，求CF的长．
20.(本小题9.0分)
2022年10月16日，习总书记在第二十次全国代表大会上的报告中提出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”.某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，若用3000万元购进A型汽车的数量比2400万元购进B型汽车的数量少20辆．
(1)A型和B型汽车的进价分别为每辆多少万元？
(2)该公司决定用不多于3600万元购进A型和B型汽车共150辆，最多可以购买多少辆A型汽车？
21.(本小题9.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P从点A出发，沿射线AC以每秒1个单位长度的速度运动.设点P的运动时间为t秒(t>0)．
(1)当点P在AC的延长线上运动时，CP的长为______ ；(用含t的代数式表示)
(2)若点P在∠ABC的角平分线上(如备用图所示)，求此时t的值；
(3)在整个运动中，直接写出△ABP是等腰三角形时t的值．
22.(本小题10.0分)
阅读材料：要将多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)，这时a(m+n)+b(m+n)中又有公因式(m+n)，于是可以提出(m+n)，从而得到(m+n)(a+b)，因此有am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)，这种方法称为分组法.请回答下列问题：
(1)尝试填空：2x−18+xy−9y= ______ ；
(2)解决问题：因式分解；ac−bc+a2−b2．
(3)拓展应用：已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2−2ab+2b2−2bc+c2=0，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
23.(本小题10.0分)
如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点.对“三角形中位线定理”逆向思考，可得以下3则命题：
Ⅰ.若D是AB的中点，DE=12BC，则E是AC的中点；
Ⅱ.若DE/​/BC，DE=12BC，则D，E分别是AB，AC的中点；
Ⅲ.若D是AB的中点，DE/​/BC，则E是AC的中点．

(1)小明通过对命题Ⅰ的思考，发现命题Ⅰ是假命题．
他的思考方法如下：在图2中使用尺规作图作出满足命题Ⅰ条件的点E，从而直观判断E不一定是AC的中点．
小明尺规作图的方法步骤如下：
①在图2中，作边BC的垂直平分线，交BC于点M，
②在图2中，以点D为圆心，以BM的长为半径画弧与边AC交于点E和E′．
请你在图2中完成以上作图．
(2)小明通过对命题Ⅱ和命题Ⅲ的思考，发现这两个命题都是真命题，请你从这两个命题中选择一个，并借助于图1进行证明．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、3xyx2=3yx，不是最简分式，不符合题意；
B、x−1x2−1=x−1(x+1)(x−1)=1x+1，不是最简分式，不符合题意；
C、x+y2x是最简分式，符合题意；
D、1−xx−1=−(x−1)x−1=−1，不是最简分式，不符合题意；
故选：C．
根据最简分式的概念判断即可．
本题考查的是最简分式的概念，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
2.【答案】C
【解析】解：A、若a>b，则a+c>b+c，所以A选项的说法正确；
B、若a+c>b+c，则a>b，所以B选项的说法正确；
C、若a>b，当c>0时，则ac>bc，所以C选项的说法不正确；
D、若ac2>bc2，则c≠0，a>b，所以D选项的说法正确；
故选：C．
根据不等式的性质对各选项进行判断．
本题考查了不等式的性质：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，
3.【答案】A
【解析】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
由OB=OD，DE=BF，∠DOE=∠BOF，不能判定△DOE≌△BOF，
∴不能得出OE=OF，
∴不能判定四边形DEBF是平行四边形，故选项A符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AD=CB，AD/​/CB，
∴∠DAE=∠BCF，
又∵∠ADE=∠CBF，
∴△ADE≌△CBF(ASA)，
∴AE=CF，
∴OA−AE=OC−CF，
即OE=OF，
∵OB=OD，
∴四边形DEBF是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、同上得：△ABE≌△CDF(ASA)，
∴AE=CF，
∴OA−AE=OC−CF，
即OE=OF，
∵OB=OD，
∴四边形DEBF是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：A．
由平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵分式a−ba−2的值为0，
∴a−b=0且a−2≠0，
解得a=b≠2，
故选：C．
根据分式有意义的条件：分母不等于0及分式的值为0的条件列出不等式，解之可得．
本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零．
5.【答案】B
【解析】解：由图可知，图(1)先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位，
或先绕着点O旋转180°，再向右平移一个单位，
或绕着OB的中点旋转180°即可得到图(2)．
故选：B．
根据轴对称变换，平移变换，旋转变换的定义结合图形解答即可．
本题考查了利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案，利用平移设计图案，几何变换的类型，熟练掌握常见的几种几何变换是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：20233−2023
=2023×(20232−1)
=2023×(2023−1)×(2023+1)
=2023×2022×2024．
故选：B．
利用因式分解法把算式20233−2023进行因式分解即可得出结果．
本题考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握因式分解．
7.【答案】C
【解析】解：由函数y=ax+b的图象可知，
A、当x>0时，y>−2，原说法错误，不符合题意；
B、方程ax+b=0的解是x=1，原说法错误，不符合题意；
C、当y>−2时，x>0，正确，符合题意；
D、不等式ax+b≤0的解集是x≤1，原说法错误，不符合题意．
故选：C．
根据函数的图象直接进行解答即可．
本题考查的是一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质及一次函数与一元一次方程，利用数形结合求解是解答此题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：A、方程两边同乘x+4，得x−1=m，
解得：x=m+1，
∵当x=−4时，分式方程有增根，
∴m=−5时，分式方程有增根，本选项说法正确，不符合题意；
B、在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，说法正确，不符合题意；
C、夹在两条平行线间的平行线段一定相等，说法正确，不符合题意；
D、用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60°”，先假设这个三角形中三个内角大于60°，故本选项说法错误，符合题意；
故选：D．
根据分式方程的增根、角平分线的判定、平行线的性质、反证法判断即可．
本题考查的是分式方程的增根、角平分线的判定、平行线的性质、反证法的应用，掌握相关的概念和方法是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：①∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=CO，AD//BC．
∴∠OAE=∠OCF，∠AEO=∠CFO．
在△AOE和△COF中，
∠OAE=∠OCF∠AEO=∠CFOAO=CO，
∴△AOE≌△COF．
∴OE=OF．
故①正确．
②∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=12AC=3，BD=2BO．
又AB=4，
∴1∴2故②正确．
③∵O为BD的中点，
∴S△AOB=12S△ABD．
∴S△AOB=12S△ABD=14S▱ABCD．
故③正确．
④∵△AOE≌△COF，
∴S四边形AOFB+S△AOE=S四边形AOFB+S△COF．
∴S四边形ABFE=S△ABC．
故④正确．
故选：A．
根据平行四边形的性质可得到△AOE≌△COF，可判断①是否正确；根据三角形三边关系可得到1本题主要考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，牢记平行四边形的性质和全等三角形的判定定理及性质是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：由图中的尺规作图得：BE是∠ABC的平分线，
∵AB=BC，
∴BE⊥AC，AE=CE=12AC=1，
∴∠BEC=90°，
∴BC= BE2+CE2= 22+12= 5，
∵点F为BC的中点，
∴EF=12BC=BF=CF，
∴△CEF的周长=CF+EF+CE=CF+BF+CE=BC+CE= 5+1，
故选：C．
由题意得BE是∠ABC的平分线，再由等腰三角形的性质得BE⊥AC，AE=CE=12AC=1，由勾股定理得BC= 5，然后由直角三角形斜边上的中线性质得EF=12BC=BF=CF，求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、尺规作图等知识；熟练掌握尺规作图和等腰三角形的性质，证出EF=12BC=BF=CF是解题的关键．
11.【答案】−6
【解析】解：由题意，a2b+ab2=ab(a+b)，
∵ab=−3，a+b=2，
∴a2b+ab2=−3×2=−6．
故答案为：−6．
依据题意，由因式分解的方法将a2b+ab2变形得ab(a+b)，再将已知条件代入即可得解．
本题主要考查了因式分解的应用，解题时要能熟练掌握并理解．
12.【答案】m>−12
【解析】解：解方程3x−2m=1得：x=1+2m3，
∵关于x的方程3x−2m=1的解为正数，
∴1+2m3>0，
解得：m>−12，
故答案为：m>−12．
先求出方程的解，再根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式和解一元一次方程、一元一次方程的解，能得出关于m的不等式是解此题的关键．
13.【答案】120
【解析】解：连接AC，
∵一艘轮船由海平面上C地出发向南偏西25°的方向行驶120海里到达B地，再由B地向北偏西35°的方向行驶120海里到达C地，
∴∠ABC=60°，AB=BC=120海里，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=120海里．
故答案为：120．
由已知可得∠ABC=60°，AB=BC=120海里，所以△ABC是等边三角形，即可得出结果．
本题考查了解直角三角形中的方向角问题，根据题意得出△ABC为等边三角形是解题的关键．
14.【答案】10
【解析】解：360°−108°−108°=144°，
180°−144°=36°，
360°÷36°=10．
故答案为：10．
先根据周角的定义求出正多边形③的每一个内角都是144°，由多边形的每一个内角都是144°先求得它的每一个外角是36°，然后根据正多边形的每个内角的度数×边数=360°求解即可．
本题主要考查的是多边形的内角与外角，明确正多边形的每个内角的度数×边数=360°是解题的关键．
15.【答案】①③④
【解析】解：根据题意得当x>50时，在乙商场需付钱数yB=50+(x−50)×95%=0.95x+2.5，
可判断①正确；
根据题意得当x>a时，在甲商场需付钱数yA=a+(x−a)×90%=0.9x+0.1a，
∵yA=0.9x+10，
∴0.1a=10，解得a=100，
可判断④正确；
当yA>yB时，0.9x+10>0.95x+2.5，解得x<150，
即当累计购物50当yA150，
即当累计购物x>150时，选择甲商场一定优惠些，
当yA=yB时，0.9x+10=0.95x+2.5，解得x=150，
即当累计购物x=150时，两个商场需付钱数一样多．
可判断②错误，③正确，
故答案为：①③④．
根据题意列出yA与yB的函数关系式，即可求出a的值，然后yA与yB相比较，即可判断四个说法的正误．
本题考查的是一次函数的应用，涉及方案选择时应与方程或不等式联系起来．
16.【答案】解：(1)解不等式①，得x<−1，
解不等式②，得x≤3，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：

∴原不等式组的解集为x<−1；
(2)原式=(aa−1−a2−aa−1)⋅a−1(a−2)2
=−a(a−2)a−1⋅a−1(a−2)2
=−aa−2．
【解析】(1)分别求出每一个不等式的解集，将不等式的解集表示在数轴上，即可确定不等式组的解集；
(2)先计算括号内的减法，再计算除法即可．
本题考查了解一元一次不等式组和分式的混合运算，关键是掌握解一元一次不等式组和分式的混合运算的运算法则．
17.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为(4,−5)；

(2)如图，△A2BC2即为所求，点A2的坐标为(−2,1)．
【解析】(1)利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用旋转变换的性质分别作出A，C的对应点A2，C2即可．
本题考查作图−旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
18.【答案】(1)证明：平行四边形ABCD中，AD//BC，AD=BC，
∴∠ACB=∠CAD，
又∵BE/​/DF，
∴∠BEC=∠DFA，
在△BEC和△DFA中，
∠BEC=∠DFA ∠ACB=∠CAD BC=AD ，
∴△BEC≌△DFA(AAS)，
∴BE=DF，
又BE/​/DF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
(2)解：过A点作AG⊥BC，交CB的延长线于G，

在Rt△AGC中，AC=8，∠ACB=30°，
∴AG=4，
∵BC=6，
∴平行四边形ABCD的面积=BC⋅AG=4×6=24．
【解析】(1)先证∠ACB=∠CAD，再证出△BEC≌△DFA，从而得出BE=DF，结合BE/​/DF，即可判定四边形BEDF是平行四边形；
(2)过A点作AG⊥BC，交CB的延长线于G，根据含30°角的直角三角形的性质得出AG，进而利用平行四边形的面积解答即可．
本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是利用AAS证出△BEC≌△DFA解答．
19.【答案】(1)证明：∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=12(180°−36°)=72°．
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=12∠ABC=12×72°=36°，
∴∠BAD=∠ABD=36°，
∴AD=BD，
又∵E是AB的中点，
∴DE⊥AB，即FE⊥AB(三线合一)；
(2)解∵FE⊥AB，AE=BE，
∴FE垂直平分AB，
∴BF=AF=8
∴CF=BF−BC=8−3=5．
【解析】(1)利用等角对等边得到AD=BD，再根据三线合一得到EF⊥AB即可；
(2)根据条件可得EF是AB的垂直平分线，则有BF=AF=8，利用CF=BF−BC即可得到结果．
本题考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟悉相关定理的应用是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设B型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每辆1.5x万元，
依题意得：2400x−30001.5x=20，
解得：x=20，
经检验，x=20是方程的解，且符合题意，
则1.5x=1.5×20=30，
答：A型汽车的进价为每辆30万元，B型汽车的进价为每辆20万元；
(2)设购买辆A型汽车，则购买(150−m)辆B型汽车，
依题意得：30m+20(150−m)≤3600，
解得：m≤60，
答：最多可以购买60辆A型汽车．
【解析】(1)设B型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每辆1.5x万元，由题意：用3000万元购进A型汽车的数量比2400万元购进B型汽车的数量少20辆．列出分式方程，解方程即可；
(2)设购买辆A型汽车，则购买(150−m)辆B型汽车，由题意：该公司决定用不多于3600万元购进A型和B型汽车共150辆，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
21.【答案】t−4
【解析】解：(1)在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，
由勾股定理得：AC= AB2−BC2=4，
∵已知点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度运动，
∴当点P在AC的延长线上时，点P运动的长度为：AC+CP=t，
∵AC=4，
∴CP=t−AC=t−4．
故答案为：t−4．
(2)过点P作PM⊥AB于点M，如图所示：
∵∠ACB=90°，
∴PC⊥BC，
∵点P在∠ABC的角平分线上，PM⊥AB，
∴PC=PM，
又∵PB=PB，
∴Rt△PCB≌Rt△PMB(HL)，
∴CB=MB，
∴AM=AB−MB=AB=BC=5−3=2，
设PM=PC=x，则AP=4−x，
在Rt△APM中，AM2+PM2=AP2，
∴22+x2=(4−x)2，
解得：x=32，
∴PC=32
∴AP=4−32=52，
∴若点P在∠ABC的角平分线上，则t的值为52．
(3)当AB作为底边时，如图所示：
则PA=PB，设PA=a，则PC=AC−AP=4−a，
在Rt△PCB中，PB2=PC2+CB2，
a2=(4−a)2+32，
解得：a=258，
此时t=258；
当AB作为腰时，如图所示：
AP1=AB=5，此时t=5；
当AB=BP2时，
∵BC⊥AP2，
∴AP2=2AC=8，
此时t=8，
综上分析可知，t的值为258或5或8．
(1)由勾股定理可求得AC的值，根据线段的和差关系解答即可；
(2)根据角平分线的性质解答即可；
(3)分AB作为底和腰两种情况讨论即可．
本题主要考查了勾股定理在动点问题中的应用，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
22.【答案】(y+2)(x−9)
【解析】解：(1)2x−18+xy−9y，
=(2x−18)+(xy−9y)，
=2(x−9)+y(x−9)，
=(y+2)(x−9)，
故答案为：(y+2)(x−9)；
(2)ac−bc+a2−b2
=c(a−b)+(a+b)(a−b)，
=(a−b)(a+b+c)，
(3)这个三角形是等边三角形，理由如下：
a2−2ab+2b2−2bc+c2=0，
a2−2ab+b2+b2−2bc+c2=0，
(a−b)2+(b−c)2=0，
∵(a−b)2≥0，(b−c)2≥0，
∴(a−b)2=0，(b−c)2=0，
∴a=b，b=c，
∴a=b=c，
∴这个三角形是等边三角形．
(1)把多项式的前两项分成一组，后两项分成一组，利用提公因式法分解因式；
(2)把多项式的前两项分成一组，后两项分成一组，利用提公因式法和公式法分解因式；
(3)把所给等式左边的2b2拆成2个b2相加的形式，一个与前两项组成一组，一个与后两项组成一组，利用公式法分解因式，再根据平方数的非负性，求出a−b和b−c，从而得到答案．
本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握分解因式的几种方法．
23.【答案】解：(1)所画图形如解下图．

(2)真命题为命题II．
证明：如下图，过点E作EM/​/AB交BC边于点M，连接DM，

又∵DE/​/BC，
∴四边形EDBM是平行四边形，
∴BD=EM，DE=BM，
又∵DE=12BC，
∴DE=BM=CM，
∴四边形DECM是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，
∴DM=CE，DM/​/CE，
∴DM//AE，
又∵EM/​/AD，
∴四边形ADME是平行四边形，
∴AD=EM，DM=AE，
∴AD=BD，AE=CE，
∴D，E分别是AB，AC的中点．
【一题多解】真命题为命题III．
证明：如下图，延长ED至点F，使DF=DE，连接BF，

∵D是AB边的中点，
∴AD=BD．
又∵∠ADE=∠BDF，
∴△ADE≌△BDF(SAS)，
∴AE=BF，∠AED=∠BFD，
∴AC/​/BF，
∵EF/​/BC，
∴四边形BCEF是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)，
∴BF=CE，
∴CE=AE，
∴E是AC的中点．
【解析】(1)根据小明尺规作图的方法画出图形即可；
(2)分别以命题Ⅱ，Ⅲ为真命题，加以证明．
本题考查了作图—基本作图，有关三角形中位线定理的证明，平行四边形、全等三角形的判定与性质，关键是根据题意作出恰当辅助线．