2023-2024学年广东省湛江市雷州二中高二（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省湛江市雷州二中高二（上）开学数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列命题正确的个数是( )
(1)向量就是有向线段；
(2)零向量是没有方向的向量；
(3)零向量的方向是任意的；
(4)零向量的长度为0．
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.如图所示，已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，AD=a，BE=b，则BC=( )
A. 43a+23b
B. 23a+43b
C. 23a−43b
D. −23a+43b
3.在△ABC中，已知边长BC=10，A=30°，B=45°，则边长AC等于( )
A. 20 2B. 10 63C. 10 2D. 5 63
4.如图所示的平面图形可以折叠成的立体图形为( )
A. 三棱锥
B. 四棱锥
C. 四棱柱
D. 平行六面体
5.如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
6.一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )
A. 57.2 3.6B. 57.2 56.4C. 62.8 63.6D. 62.8 3.6
7.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，则时速在[60,70)的汽车大约有( )
A. 30辆B. 40辆C. 60辆D. 80辆
8.甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为15，13，14，则此密码能译出的概率是( )
A. 160B. 25C. 35D. 5960
二、多选题（本大题共4小题，共28.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列四个命题中正确的是( )
A. 若事件A，B是互斥事件，则A，B是对立事件
B. 若事件A，B是对立事件，则A，B是互斥事件
C. 若事件A是必然事件，则P(A)=1
D. 若事件A，B是互斥事件，则P(A∪B)=1
10.若a，b∈R，且(a+i)i=b+i，则( )
A. a=1B. a=−1C. b=1D. b=−1
11.如图是某市6月1日至14日的空气质量指数变化趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，则下列说法正确的是( )
A. 该市14天空气质量指数的平均值大于100
B. 该市14天空气质量指数的中位数为78.5
C. 该市14天空气质量指数的30百分位数为55
D. 计算连续3天空气质量指数的方差，其中6日到8日的方差最大
12.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题正确的是( )
A. 两条异面直线D1C和BC1所成的角为π4
B. 直线BC与平面ABC1D1所成的角等于π4
C. 点D到面ACD1的距离为 33
D. 三棱柱AA1D1−BB1C1外接球半径为 32
三、填空题（本大题共4小题，共28.0分）
13.某医院老年医生、中年医生和青年医生的人数分别为72，120，160，为了解该医院医生的出诊情况，按年龄采用比例分配的分层随机抽样方法抽取样本，已知抽取青年医生的人数为20，则抽取老年医生的人数为 ．
14.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：(单位：分)78，70，72，85，88，79，80，81，94，81，56，98，83，90，91.则这15人成绩的第80百分位数是______．
15.若平面α⋂β=l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b=M，则点M与l的位置关系为______ ．
16.如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进2千米后到达D处，又测得山顶B的仰角为75°，则山的高度BC为 千米．
四、解答题（本大题共3小题，共38.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题12.0分)
已知平面向a=(1,−2)，b=(−1,−1)．
(1)求|2a−b|的值：
(2)若向量a+λb与2a−b夹角为π4，求实数λ的值．
18.(本小题12.0分)
某数学兴趣小组共有5名学生，其中有3名男生A1、A2、A3，2名女生B1、B2，现从中随机抽取2名学生参加比赛．
(1)问共有多少个基本事件(列举说明)？
(2)抽取的学生恰有一男生一女生的概率是多少？
19.(本小题14.0分)
如图，该几何体是由圆柱和三棱锥E−ABC组合而成的，四边形ADD1A1为轴截面，BC是圆O的直径，EA⊥平面ABC，AD=2，AB=AC，AE=2，BC=4．
(1)求证：AC垂直B，D，E所确定的平面．
(2)求该几何体的表面积．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来，故(1)错误；
因为零向量的方向是任意的，所以零向量有方向，故(2)错误，(3)正确；
长度为0的向量叫做零向量，故(4)正确，所以正确的有2个．
故选：B．
由零向量的概念直接判断即可．
本题考查零向量的概念，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：根据图形得BC=BE+EC=BE+12AC=b+12(AD+DC)=b+12a+14BC，所以BC=23a+43b．
故选：D．
BC=BE+EC=BE+12AC=b+12(AD+DC)=b+12a+14BC，以此可求得BC．
本题考查平面向量线性运算，考查数学运算能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：直接利用正弦定理：BCsinA=ACsinB，解得：AC= 22×1012=10 2．
故选：C．
直接利用三角函数的值和正弦定理的应用求出结果．
本题考查的知识要点：正弦定理和三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由展开图可知，该几何体有四个三角形面与一个四边形面，故该几何体为四棱锥．
故选：B．
根据棱锥的定义判断即可．
本题主要考查几何体的展开图，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，
可得PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，
又BC⊥AC，PA∩AC=A，
可得BC⊥平面PAC，
而PC⊂平面PAC，可得BC⊥PC，
所以△ABP，△ACP，△ABC，△BCP均为直角三角形．
故选：A．
由线面垂直的判定和性质可得结论．
本题考查线面垂直的判定和性质，考查转化思想和推理能力，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：设这组数据分别为x1，x2，xn，则x=1n(x1+x2+…+xn)=2.8，
方差为s2=1n[(x1−x)2+…+(xn−x)2]，
每一组数据都加60后，
x′=1n(x1+x2+…+xn+60n)=x+60
=2.8+60=62.8，
方差s′2=1n[(x1+60−62.8)2+(x2+60−62.8)2+…+(xn+60−62.8)2]
=1n[(x1−x)2+…+(xn−x)2]
=3.6．
故选：D．
首先写出原来数据的平均数表示式和方差的表示式，把数据都加上60以后，再表示出新数据的平均数和方差的表示式，两部分进行比较，得到结果．
本题考查平均数和方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．应作为性质记忆．
7.【答案】D
【解析】解：由图得：时速在[60,70)的频率为0.04×10=0.4．
所以时速在[60,70)的汽车大约有：0.4×200=80辆．
故选：D．
先求出时速在[60,70)的频率值，再乘以中数；即可得到时速在[60,70)的汽车大约有多少辆．
本题考查频率分布直方图的相关知识．直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1
8.【答案】C
【解析】解：∵甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为15，13，14，
∴此密码不能译出的概率(1−15)(1−13)(1−14)=25，
故此密码能译出的概率P=1−25=35，
故选：C
此密码能译出是此密码不能译出的对立事件，求出此密码不能译出的概率，利用对立事件的概率减法公式可得答案．
本题考查的知识点是互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式，对立事件的概率减法公式，难度不大，属于基础题．
9.【答案】BC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，互斥事件不一定是对立事件，A错误；
对于B，对立事件一定互斥，B正确；
对于C，若事件A是必然事件，则P(A)=1，C正确；
对于D，当事件A，B是对立事件时，P(A∪B)=1，D错误；
故选：BC．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查互斥事件和对立事件，注意两者的联系与区别，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：因为(a+i)i=−1+ai=b+i，
所以a=1b=−1．
故选：AD．
根据复数的乘法运算和复数相等的定义计算即可．
本题主要考查复数相等，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：由表中数据可得，x−=114×(122+102+⋅⋅⋅+55+52)≈87，
则该市14天空气质量指数的平均值小于100，故A错误，
将14天的空气质量指数由小到大排列为：
33，38，52，53，55，65，76，81，102，102，116，122，158，163，
则该市14天空气质量指数的中位数为：76+812=78.5，故B正确，
14×30%=4.2，
则该市14天空气质量指数的30百分位数为55，故C正确，
对于D，由图象可知，连续3天空气质量指数的方差，其中6日到8日的波动最大，即方差最大，故D正确．
故选：BCD．
根据已知条件，平均值，中位数，30百分位数，方差的定义，即可求解．
本题主要考查频率分布折线图的应用，属于基础题．
12.【答案】BCD
【解析】解：连接AC、AD1，
∵AB/​/C1D1且AB=C1D1，则四边形ABC1D1为平行四边形，
∴异面直线D1C和BC1所成的角为∠AD1C，
∵AC=AD1=D1C，则△ACD1为正三角形，即∠AD1C=π3，A不正确；
连接B1C，在正方形BB1C1C中，BC1⊥B1C，
∵AB⊥平面BB1C1C，B1C⊂平面BB1C1C，
∴AB⊥B1C，又AB∩BC1=B，则B1C⊥平面ABC1D1，
∴直线BC与平面ABC1D1所成的角为∠CBC1=π4，B正确；
根据等体积转换可知VD−ACD1=VD1−ACD，
即13×h×12× 2× 2× 32=13×1×12×1×1，则h= 33，C正确；
三棱柱AA1D1−BB1C1的外接球即为正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球，
则外接球的半径即为正方体ABCD−A1B1C1D1体对角线的一半，
即R= 32，D正确．
故选：BCD．
对于A：根据条件，可得异面直线D1C和BC1所成的角为∠AD1C，然后求出∠AD1C即可；对于B：可证B1C⊥平面ABC1D1，则直线BC与平面ABC1D1所成的角为∠CBC1；对于C：根据等体积转换VD−ACD1=VD1−ACD，求点D到面ACD1的距离；对于D：三棱柱AA1D1−BB1C1的外接球即为正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球，直接求正方体外接球的半径即可．
本题主要考查了空间角、空间距离的计算，几何体的外接球问题，属于中档题．
13.【答案】9
【解析】【分析】
本题考查分层抽样，属于基础题．
根据抽样比相等列方程求解．
【解答】
解：设抽取老年医生的人数为x人，则 x72=20160，解得x=9．
故答案为：9．
14.【答案】90.5
【解析】解：把成绩按从小到大的顺序排列为：56，70，72，78，79，80，81，81，83，85，88，90，91，94，98，
因为15×80%=12，所以这15人成绩的第80百分位是90+912=90.5．
故答案为：90.5．
由样本数据第80百分位的定义以及求解步骤直接求解即可得出答案．
本题考查百分位数的定义，是基础题．
15.【答案】M∈l
【解析】解：因为a⋂b=M，
所以M∈直线a，M∈直线b，
因为直线a⊂α，直线b⊂β，
所以M∈平面α，M∈平面β，
又平面α⋂β=l，
所以M∈l．
故答案为：M∈l．
根据基本事实3(公理2)求解即可．
本题考查平面的基本性质，属于基础题．
16.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查利用正弦定理解决高度问题，属于较易题．
由题意可得∠ADB、∠ABD、AD，利用正弦定理求出AB，解三角形求出山的高度BC．
【解答】
解：由题意得，∠DAC=30°，∠BAC=45°，∠ADE=150°，∠BDE=75°，
所以∠BAD=∠BAC−∠DAC=15°，∠ADB=360°−∠ADE−∠BDE=135°，
所以∠ABD=180°−∠BAD−∠ADB=30°，
在△ABD中，AD=2千米，∠ABD=30°，∠ADB=135°，
由正弦定理得ABsin∠ADB=ADsin∠ABD，
所以AB=ADsin∠ADBsin∠ABD=2× 2212=2 2千米，
所以BC=ABsin45°=2 2× 22=2千米．
故答案为：2．
17.【答案】解：(1)∵a=(1,−2)，b=(−1,−1)．
∴2a−b=2(1,−2)−(−1,−1)=(3,−3)．
∴|2a−b|= 32+(−3)2=3 2．
(2)由题意知：a+λb=(1−λ,−2−λ)，2a−b=(3,−3)．
∵a+λb与2a−b夹角为π4．
∴(a+λb)(2a−b)=|a+λb||2a−b|csπ4=(1−λ)×3+(−2−λ)×(−3)= (1−λ)2+(−2−λ)2×3 2× 22．
解得：λ=1或λ=−2．
【解析】(1)直接根据向量的模长公式求解即可．
(2)根据向量的夹角公式构造方程，求解即可．
本题主要考查向量的模长公式和数量积公式，属于基础题．
18.【答案】解：(1)(A1,A2)、(A1,A3)、(A1,B1)、(A1,B2)、(A2,A3)、(A2,B1)、(A2,B2)、(A3,B1)、(A3,B2)、(B1,B2)共10个；
(2)记事件“抽取的学生恰有一男生一女生”为A，则A包含基本事件(A1,B1)、(A1,B2)、(A2,B1)、(A2,B2)、(A3,B1)、)(A3，B2)共6个，因此P(A)=610=35．
【解析】(1)由题意知本题是一个古典概型，按照一定的规则，从A1开始，依次取A2、A3、B1、B2，与之组合，而后从A2开始，依次取A3，B1、B2，与之组合，依此类推，列出基本事件；
(2)由(1)中基本事件，找出事件A的基本事件，查其个数，与基本事件的总数作比，得出概率．
在使用古典概型的概率公式时，应该注意：(1)要判断该概率模型是不是古典概型；(2)要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．
19.【答案】解：(1)证明：∵四边形ADD1A1为轴截面，∴AD垂直上底面圆O，即AD⊥平面ABC，
又∵EA⊥平面ABC，由过一点作平面的垂线有且只有一条，
得E，A，D三点共线．∴BA⊂平面BDE．
∵BC为圆O的直径，∴∠CAB=90°，即CA⊥AB，
又EA⊥平面ABC，∴CA⊥ED，又ED∩AB=A，
∴CA⊥平面BDE．
(2)由(1)知AC=AB=2 2，又EA=2，∴EB=EC=2 3,S△BCE=4 2，
S圆柱=2π×22+2×2π×2=16π，
S三棱锥=2×12×2 2×2+12×4×2 2+12×2 2×2 2=8 2+4，
S△ABC=12×2 2×2 2=4，
∴该几何体的表面积S表=S三棱锥+S圆柱−2S△ABC=16π+8 2−4．
【解析】(1)由已知中EA⊥平面ABC，AB⊥AC，结合线面垂直的定义及线面垂直的判定定理，我们易得AC⊥平面EBD；
(2)几何体的表面积分成几部分去解，即可求得．
本题主要考查空间中的线面垂直关系，几何体的表面积，属于中档题．