专题03 首届新高考-立体几何大题综合-【冲刺双一流之大题必刷】备战2024年高考数学冲刺双一流之大题必刷满分冲刺（首届新高考江西、广西、贵州、甘肃专用）

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一、解答题
1．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知四棱锥中，侧面为等边三角形，底面为直角梯形，，，，.

(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
2．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）如图，在三棱台中，，，，，．

(1)证明：平面平面；
(2)设是的中点，求平面与平面夹角的余弦值．
3．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，在多面体ABCDE中，平面平面ABC，平面ABC，和均为正三角形，，点M为线段CD上一点．

(1)求证：；
(2)若EM与平面ACD所成角为，求平面AMB与平面ACD所成锐二面角的余弦值．
4．（2023·山东泰安·统考模拟预测）四棱锥中，底面为矩形， ，，平面与平面的交线为.

(1)求证：直线平行于平面；
(2)求二面角的余弦值.
5．（2023·山东泰安·统考模拟预测）如图1，在平行四边形中，，，为的中点，，，沿将翻折到的位置，如图2，.

(1)证明：平面；
(2)求平面和平面的夹角.
6．（2023·福建宁德·校考模拟预测）如图，已知多面体EACBD中，EB⊥底面ACBD，EB=1，AB=2，其中底面由以AB为直径的半圆ACB及正三角形ABD组成

(1)若BC=1，求证:BC∥平面ADE.
(2)半圆AB上是否存在点M，使得二面角是直二面角?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
7．（2023·福建厦门·统考模拟预测）筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形．如图，四边形为筝形，其对角线交点为，将沿折到的位置，形成三棱锥．

(1)求到平面的距离；
(2)当时，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
8．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点．

(1)设是上的一点，且，求的大小；
(2)当，时，求二面角的余弦值．
9．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知直角梯形形状如下，其中，，，．

(1)在线段CD上找出点F，将四边形沿翻折，形成几何体．若无论二面角多大，都能够使得几何体为棱台，请指出点F的具体位置（无需给出证明过程）．
(2)在（1）的条件下，若二面角为直二面角，求棱台的体积，并求出此时二面角的余弦值．
10．（2023·山西·校联考模拟预测）如图，斜四棱柱的底面为等腰梯形，且，点在底面的射影点在四边形内部，且.

(1)求证：平面⊥平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
11．（2023·河北·统考模拟预测）在圆柱中，等腰梯形为底面圆的内接四边形，且，矩形是该圆柱的轴截面，为圆柱的一条母线，.

(1)求证：平面平面；
(2)设，，试确定的值，使得直线与平面所成角的正弦值为.
12．（2023·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形为平行四边形，对角线和相交于点H，平面⊥平面，，，G是线段上一动点（不含端点）．

(1)当点G为线段BE的中点时，证明：平面；
(2)若，且直线与平面成角，求二面角的正弦值．
13．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，为中点.
(1)在棱上是否存在点，使得平面？说明理由；
(2)若平面，，求平面与平面所成角的余弦值.
14．（2023·广东广州·广州六中校考三模）四棱锥中，，，，，，点是棱上靠近点的三等分点．
(1)证明：平面；
(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求四棱锥的体积．
15．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）如图，且，，且，且.平面，.

(1)求平面与平面的夹角的正弦值；
(2)若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长.
16．（2023·广东深圳·统考模拟预测）在正三角形中，、、分别是、、边上的点，满足：：：：如图将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连结如图

(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求直线与平面所成角的大小．
17．（2023·江苏无锡·校联考三模）如图，已知在平面四边形中，，，，现将沿翻折到的位置，使得.

(1)求证：平面平面；
(2)点在线段上，当二面角的大小为时，确定点的位置.
18．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考模拟预测）如图，在三棱台ABC—中，，平面平面.

(1)证明：平面；
(2)若二面角的大小是，求侧面与底面所成二面角的正弦值.
19．（2023·江苏苏州·模拟预测）在如图所示的圆锥中，已知为圆锥的顶点，为底面的圆心，其母线长为6，边长为的等边内接于圆锥底面，且.

(1)证明：平面平面；
(2)若为中点，射线与底面圆周交于点，当二面角的余弦值为时，求点到平面的距离.
20．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点．

(1)证明：平面；
(2)当直线BP与平面所成的角正弦值为时，求点D到平面的距离．
21．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且，，，四点共面.

(1)证明：平面平面；
(2)若平面与平面所成二面角的余弦值为，且线段长度为2，求点到直线的距离.
22．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）如图所示，正三棱柱中各条棱长均为2，点分别为棱的中点．

(1)求异面直线和所成角的正切值；
(2)求点到平面的距离．
23．（2023·云南·校联考模拟预测）如图，正是圆柱底面圆的内接三角形，其边长为.是圆的直径，是圆柱的母线，是与的交点，圆柱的轴截面是正方形.
(1)记圆柱的体积为，三棱锥的体积为，求；
(2)设是线段上一点，且，求二面角的余弦值.
24．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）在长方体中，，点P为棱上任意一点.

(1)求证：平面⊥平面；
(2)若点E为棱上靠近点C的三等分点，求点P在棱上什么位置时，平面与平面夹角的余弦值为.
25．（2023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面分别是的中点．

(1)记平面与平面的交线为，证明：平面；
(2)设（1）中的直线与圆的另一个交点为，且点满足．记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，求证：．
26．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）如图，圆锥中，为底面圆的直径，，为底面圆的内接正三角形，圆锥的高，点为线段上一个动点.

(1)当时，证明：平面；
(2)当点在什么位置时，直线PE和平面所成角的正弦值最大.
27．（2023·广东深圳·校考二模）如图1所示，等边的边长为，是边上的高，，分别是，边的中点．现将沿折叠，如图2所示.

(1)证明：；
(2)折叠后若，求二面角的余弦值.
28．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）如图，在中，，为边上一动点，交于点，现将沿翻折至.
(1)证明：平面平面；
(2)若，且，线段上是否存在一点（不包括端点），使得锐二面角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由.
29．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，，，且，平面平面．
(1)求证：；
(2)若点E是线段上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥的体积为?
30．（2023·浙江温州·统考二模）已知三棱锥中，△是边长为3的正三角形，与平面所成角的余弦值为．
(1)求证：；
(2)求二面角的平面角的正弦值．