新教材数学苏教版必修第一册第7章 7.1 7.1.2　弧度制 课件

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7.1.2　弧度制 1．了解弧度制的含义和引入弧度制的意义．2．会进行弧度与角度的互化．(重点、难点)3．掌握弧度制下扇形的弧长公式和面积公式．(难点、易错点)1．通过对弧度制概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助弧度制与角度制的换算，提升数学运算素养． 在初中，我们是如何求一个扇形的弧长的？在弧长公式中，角α是如何度量的？度量的单位是什么？它的1个单位是怎么定义的？用这种单位制来度量角叫作什么制？除了上面用“度”作为单位来度量角的角度外，我们有没有其他的方式来度量角呢？知识点1　弧度制的概念(1)角度制：规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制．(2)弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，记作1 rad，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．1．“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？[提示]　“1弧度的角”是一个定值，与所在圆的半径大小无关．2．比值与所取的圆的半径大小是否有关？[提示]　一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大． (　　)(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等． (　　)(3)长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×知识点2　角度制与弧度制的换算(1)角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°＝2π rad2π rad＝360°180°＝π radπ rad＝180°1°＝rad≈0.017 45 rad1 rad＝度≈57.30°(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系角度0°1°30°45°60°90°弧度0 角度120°135°150°180°270°360°弧度π2π(3)任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0．3．角度制与弧度制之间如何进行换算？[提示]　利用1°＝rad≈0.017 45 rad和1 rad＝≈57.30°进行弧度与角度的换算．2．将下列弧度与角度互化．(1)化为角度为________；(2)105°化为弧度为________．(1)252°　(2)　[(1)π＝＝252°．(2)105°＝105× rad＝ rad．]知识点3　扇形的弧长公式及面积公式(1)弧度制下的弧长公式：如图，l是圆心角α所对的弧长，r是半径，则圆心角α的弧度数的绝对值是|α|＝，弧长l＝|α|r．特别地，当r＝1时，弧长l＝|α|．(2)扇形面积公式：在弧度制中，若|α|≤2π，则半径为r，圆心角为α的扇形的面积为S＝·πr2＝lr．(3)引入弧度制的意义角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与弧度数的集合之间建立起一一对应关系，即角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系：每一个角都对应唯一的一个实数；反过来，每一个实数也都对应唯一的一个角．3．半径为1，圆心角为的扇形的弧长为______，面积为________．　　[∵α＝，r＝1，∴弧长l＝αr＝，面积＝lr＝××1＝．] 类型1　角度制与弧度制的互化【例1】　把下列弧度化成角度或角度化成弧度：(1)－450°；(2)；(3)－；(4)112°30′．[解]　(1)－450°＝－450× rad＝－ rad．(2) rad＝×＝18°．(3)－ rad＝－×＝－240°．(4)112°30′＝112.5°＝112.5× rad＝ rad．角度制与弧度制换算的要点提醒：角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再把角度化成弧度．1．将下列角度与弧度进行互化．(1)π；(2)；(3)－1 440°；(4)67°30′．[解]　(1)π rad＝π×＝108°．(2) rad＝×＝15°．(3)－1 440°＝－1 440×＝－8π．(4)67°30′＝67.5°＝67.5×＝π． 类型2　用弧度制表示角的集合【例2】　用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．[解]　(1)．(2)．(3)．1．弧度制下与角α终边相同的角的表示在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤(1)仔细观察图形．(2)写出区域边界作为终边时角的表示．(3)用不等式表示区域范围内的角．提醒：角度制与弧度制不能混用．2．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)，并判断2 024°是不是这个集合的元素．[解]　因为150°＝，所以终边在阴影区域内角的集合为S＝．因为2 024°＝224°＋5×360°＝ rad，又<<，所以2 024°＝∈S． 类型3　扇形的弧长及面积问题【例3】　已知扇形的周长为8 cm．(1)若该扇形的圆心角为2 rad，求该扇形的面积；(2)求该扇形的面积的最大值，并指出对应的圆心角．[解]　设扇形的半径为r，弧长为l，扇形面积为S．(1)由题意得：2r＋l＝8，l＝2r，解得r＝2，l＝4，S＝lr＝4．(2)由2r＋l＝8得l＝8－2r，r∈(0,4)，则S＝lr＝(8－2r)r＝4r－r2＝－(r－2)2＋4，当r＝2时，Smax＝4，此时l＝4，圆心角α＝＝2．[母题探究]1．(变条件，变结论)本例条件下，若扇形面积为3 cm2，求扇形的圆心角的弧度数．[解]　设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，扇形面积为S．由题意得：解得l＝6，r＝1或l＝2，r＝3，所以α＝＝6或．2．(变条件，变问法)本例条件中“周长为8 cm”改为“面积为8 cm2”，在(1)的条件下求该扇形的弧长．[解]　设扇形的半径为r，弧长为l，扇形的面积为S，则由S＝αr2得8＝×2×r2，所以r＝2，所以l＝αr＝2×2＝4(cm)．弧度制下有关扇形弧长、面积问题的解题策略及其注意点(1)解题策略：①明确弧度制下扇形弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．②涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．(2)注意点：①在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负．②看清角的度量制，选用相应的公式．③扇形的周长等于弧长加两个半径长．3．已知扇形OAB的周长是10 cm，面积为4 cm2，求扇形OAB的圆心角的弧度数．[解]　设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r．依题意有，由①得l＝10－2r，代入②得r2－5r＋4＝0，解得r1＝1，r2＝4．当r＝1时，l＝8(cm)，此时θ＝8 rad>2π(舍去)，当r＝4时，l＝2(cm)，此时θ＝＝ rad．所以扇形OAB的圆心角的弧度数为 rad．1．(多选题)下列转化结果正确的是(　　)A．60°化成弧度是B．－π化成度是－600°C．－150°化成弧度是－πD．化成度是15°ABD　[对于A,60°＝60×＝；对于B，－π＝－×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×＝－π；对于D，＝×180°＝15°．故ABD正确．]2．已知α＝－2 rad，则角α的终边在(　　)A．第一象限     B．第二象限C．第三象限     D．第四象限C　[α＝－2 rad≈－2×57.30°＝－114.6°，在第三象限．]3．半径为1，圆心角为的扇形的面积是(　　)A．   B．π  C．   D．D　[S＝lr＝r2α＝×12×＝．]4．若把－570°写成2kπ＋α(k∈Z,0≤α<2π)的形式，则α＝________．　[－570°＝－＝－4π＋．]5．若扇形的周长为4 cm，面积为1 cm2，则扇形的半径为________cm，圆心角的弧度数为________．1　2　[设扇形所在圆的半径为r cm，扇形弧长为l cm．由题意得解得所以α＝＝2．因此扇形的圆心角的弧度数是2，半径为1 cm．]回顾本节知识，自我完成以下问题．1．弧度制与角度制互化公式是什么？[提示]　1 rad＝，1°＝ rad．2．角度制与弧度制互化的关键与方法是什么？[提示]　关键：抓住互化公式π rad＝180°，方法：度数×＝弧度数，弧度数×＝度数．3．若角度中含有分、秒该如何化为弧度？[提示]　应先将分、秒化成度，再化成弧度．4．在表示终边相同的角时应注意什么问题？[提示]　角度与弧度不能混用．在表示角时要么全部用弧度制，要么全部用角度制．