新教材数学苏教版必修第一册第7章 7.2 7.2.2　同角三角函数关系 课件

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7.2.2　同角三角函数关系1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，tan α＝．(重点)2．能正确运用上述关系式进行化简、求值和证明．(重点、难点)1．通过同角三角函数的基本关系进行运算，培养数学运算素养．2．借助数学式子的证明，培养逻辑推理素养．结合如图所示的单位圆，设点P(x，y)为单位圆与角α的终边的交点，则x，y满足什么关系？设角α的终边与单位圆交于点P，则点P的坐标是什么？那么sin α与cos α满足什么关系？tan α与sin α，cos α之间满足什么关系？知识点　同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商数关系：tan α＝．1．sin2α＋cos2β＝1恒成立吗？[提示]　不一定．2．对任意角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？[提示]　成立，平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立． (　　)(2)对任意角α，＝tan 都成立． (　　)(3)sin α＝是cos α＝的充分条件． (　　)[提示]　(1)符合同角三角函数的关系．(2)等式＝tan 的条件是即α≠π＋2kπ，k∈Z．(3)因为α的范围不明确，故cos α＝±＝±，由sin α＝不能推出cos α＝．[答案]　(1)√　(2)×　(3)× 类型1　利用同角三角函数基本关系式求值【例1】　(1)已知sin α＝－，求cos α，tan α的值；(2)已知sin α＋2cos α＝0，求2sin αcos α－cos2α的值．[解]　(1)因为sin α＜0，sin α≠－1，所以α是第三或第四象限角．由sin2α＋cos2α＝1得cos2α＝1－sin2α＝1－＝．如果α是第三象限角，那么cos α＜0．于是cos α＝－＝－，从而tan α＝＝×＝．如果α是第四象限角，那么cos α＝，tan α＝－．(2)法一：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2．所以2sin αcos α－cos2α＝＝＝＝－1．法二：由sin α＋2cos α＝0得2cos α＝－sin α，所以2sin αcos α－cos2α＝－sin2α－cos2α＝－(sin2α＋cos2α)＝－1．1．求三角函数值的方法(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解(2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．2．已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值．(2)若关于sin α，cos α的二次齐次式无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值．1．已知tan α＝－2，求sin α，cos α的值．[解]　法一：∵tan α＝－2<0，∴α为第二或第四象限角，且sin α＝－2cos α， ①又sin2α＋cos2α＝1，  ②由①②消去sin α，得(－2cos α)2＋cos2α＝1，即cos2α＝．当α为第二象限角时，cos α＝－，代入①得sin α＝；当α为第四象限角时，cos α＝，代入①得sin α＝－．法二：∵tan α＝－2<0，∴α为第二或第四象限角．由tan α＝，两边分别平方，得tan2α＝，又sin2α＋cos2α＝1，∴tan2α＋1＝＋1＝＝，即cos2α＝．当α为第二象限角时，cos α<0，∴cos α＝－＝－＝－，∴sin α＝tan α·cos α＝(－2)×＝．当α为第四象限角时，cos α>0，∴cos α＝＝＝，∴sin α＝tan α·cos α＝(－2)×＝－． 类型2　三角函数式的化简、求值【例2】　(1)化简：；(2)若角α是第二象限角，化简：tan α．[解]　(1)原式＝＝＝＝1．(2)原式＝tan α＝tan α＝×，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以原式＝×＝×＝－1．化简三角函数式的常用方法1切化弦，即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数种类以便化简.2对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.,3对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的.提醒：在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象.2．化简：(1)已知α是第一象限角，－；(2)·．[解]　(1)原式＝－＝－＝－．因为α是第一象限角，所以0<sin α<1,0<cos α<1，所以原式＝－＝＝－．(2)原式＝·＝·＝·＝·＝±1． 类型3　三角函数式的证明【例3】　求证：＝．[证明]　法一：左边＝＝，右边＝＝，因为sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)，所以＝，所以左边＝右边，所以原等式成立．法二：因为右边＝＝＝＝＝＝左边．所以原等式成立．1．在计算、化简或证明三角恒等式时，常用的技巧有：减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切(如：已知tan α，求关于sin α，cos α的齐次式的问题)；“1”的代换(1＝sin2α＋cos2α)；多项式运算技巧的运用(如因式分解、通分、整体代换等)；条件或结论的重新整理、配置和改造，以便更有利于同角三角函数式的应用．2．利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式的方法非常多，其主要方法有：(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简．(2)左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子．(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异．(4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc或证＝等．(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”．3．证明：＝．[证明]　左边＝＝＝＝＝＝＝＝＝右边．所以原等式成立． 类型4　“sin α±cos α”同“sin αcos α”间的关系【例4】　已知sin α＋cos α＝，且0＜α＜π．求：(1)sin αcos α的值；(2)求sin α－cos α的值．[解]　(1)∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝，∴1＋2sin αcos α＝，即sin αcos α＝－．(2)∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝，又∵0＜α＜π，且sin αcos α＜0，∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0，∴sin α－cos α＝．1．已知sin θ±cos θ求sin θcos θ，只需平方便可．2．已知sin θcos θ求sin θ±cos θ时需开方，此时要根据已知角θ的范围，确定sin θ±cos θ的正负．4．已知△ABC中，sin A＋cos A＝，则A的值为________．　[∵A∈(0，π)，sin Acos A＝＝－<0，∴A∈， 则sin A－cos A>0，(sin A－cos A)2＝1－2sin Acos A＝＝，所以sin A－cos A＝，解得sin A＝，cos A＝－，又A∈，所以A＝．]1．若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　)A．　 　　B．－　 　　C．　 　　D．－B　[∵sin α＝－，且α为第四象限角，故cos α＝，∴tan α＝－．]2．已知tan α＝－，则的值是(　　)A．     B．3    C．－     D．－3A　[因为tan α＝－，所以＝＝＝．]3．sin α＝，且α∈，则sin α－2cos2α＝________．－　[由已知得cos α＝－＝－，所以sin α－2cos2α＝－2×＝－．]4．已知cos α－sin α＝－，则sin αcos α的值为________．　[∵cos α－sin α＝－，∴(cos α－sin α)2＝，即1－2sin αcos α＝，∴sin αcos α＝．]5．已知tan α＝，则cos α－sin α等于________．　[由tan α＝，得解得∴cos α－sin α＝．]回顾本节知识，自我完成以下问题．1．应用三角函数关系求值时应注意什么问题？[提示]　判断角α所在象限，分类讨论求值，注意三角函数值的符号．2．求sin α＋cos α或sin α－cos α的值应注意什么问题？[提示]　要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．3．证明三角恒等式常用哪些方法？[提示]　(1)从右到左或从左到右　(2)左右归一　(3)化异为同法　(4)变更命题法　(5)比较法4．本节课的易错点是什么？[提示]　本节课的易错点是利用同角三角函数基本关系式求sin α，cos α的值时，易忽视对角α所处象限的讨论，造成sin α，cos α漏解或多解的错误．