新教材数学苏教版必修第一册第7章 7.2 7.2.3 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 课件

7.2.3　三角函数的诱导公式

第1课时　三角函数的诱导公式(一～四)

知识点1　诱导公式(一)

终边相同的角的诱导公式(公式一)：

sin(α＋2kπ)＝sin α(k∈Z)；

cos(α＋2kπ)＝cos α(k∈Z)；

tan(α＋2kπ)＝tan α(k∈Z)．

1．终边相同的角的同一三角函数值之间有什么关系？

[提示]　相等．

1．sin ＝________．

　[sin ＝sin＝sin ＝．]

知识点2　诱导公式(二)

终边关于x轴对称的角的诱导公式(公式二)：

sin(－α)＝－sin α；

cos(－α)＝cos α；

tan(－α)＝－tan α．

2．角－α的终边与单位圆的交点与角α的终边与单位圆的交点有何关系？

[提示]　关于x轴对称．

2．tan ＝________．

1　[tan ＝－tan ＝－tan ＝－tan＝tan ＝1．]

知识点3　诱导公式(三)

终边关于y轴对称的角的诱导公式(公式三)：

sin(π－α)＝sin α；

cos(π－α)＝－cos α；

tan(π－α)＝－tan α．

3．π－α与α的终边什么关系？

[提示]　关于y轴对称．

3．cos ＝________．

－　[cos ＝cos＝－cos＝－．]

知识点4　诱导公式(四)

　终边关于原点对称的角的诱导公式(公式四)：

sin(π＋α)＝－sin α；

cos(π＋α)＝－cos α；

tan(π＋α)＝tan α．

4．π＋α与α的终边有什么关系？

[提示]　终边在同一条直线上．

4．cos ＝________．

－　[cos ＝cos＝－cos ＝－．]

类型1　给角求值

【例1】　求下列各三角函数式的值：

(1)sin(－660°)；(2)cos ；

(3)2cos 660°＋sin 630°；(4)tan ·sin．

[解]　(1)因为－660°＝－2×360°＋60°，

所以sin(－660°)＝sin 60°＝．

(2)因为＝6π＋，

所以cos ＝cos ＝cos＝－cos＝－．

(3)原式＝2cos(720°－60°)＋sin(720°－90°)

＝2cos 60°－sin 90°＝2×－1＝0．

(4)tan ·sin

＝tan·sin

＝tan ·sin ＝×＝．

利用诱导公式求任意角的三角函数值

1．求下列各三角函数式的值．

(1)sin 1 320°；(2)cos；(3)tan(－945°)．

[解]　(1)sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)

＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)

＝－sin 60°＝－．

(2)cos＝cos＝cos

＝－cos＝－．

(3)tan(－945°)＝－tan 945°

＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan 225°

＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1．

类型2　化简求值

【例2】　化简下列各式．

(1)；

(2)．

[解]　(1)原式＝＝＝1．

(2)原式＝

＝＝＝．

三角函数式的化简方法

1利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.

2常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数.

3注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝tan.

2．化简：(1)；

(2)．

[解]　(1)＝＝＝＝1．

(2)原式＝

＝＝＝－1．

类型3　给值求值问题

【例3】　求值．

(1)已知sin＝－，求sin的值；

(2)已知cos＝，求cos的值．

1．“＋α”与“α－”间存在怎样的关系？你能用“α＋”表示“α－”吗？

[提示]　－＝2π，即α－π＝－2π．

2．“＋α”与“＋α”间有怎样的关系？你能用“＋α”表示“＋α”吗？

 [提示]　－＝π，即＋α＝π＋．

[解]　(1)∵－＝2π，

∴sin＝sin

＝sin＝－．

(2)∵－＝π，

∴cos＝cos

＝－cos＝－．

[母题探究]

1．(变条件)本例(1)条件变为“已知sin＝”，求sin的值．

[解]　∵－＝6π，

∴sin＝sin

＝sin＝．

2．(变结论)本例(2)已知条件不变，求cos的值．

[解]　∵－＝－π，

∴cos＝cos

＝cos

＝－cos＝－．

解决给值求值问题的技巧

1寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系.

2转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.

3．已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于(　　)

A．　　　　　 B．

C．     D．－

A　[∵sin(α－360°)－cos(180°－α)＝sin α＋cos α＝m，

∴sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sin αcos α＝＝．故选A．]

4．已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．

[解]　∵cos(α－75°)＝－＜0，且α为第四象限角，

∴sin(α－75°)＝－

＝－＝－，

∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝．

1．sin的值为(　　)

A．－　　 B．　　 C．－　　 D．

A　[sin＝－sin ＝－．]

2．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则角θ的终边落在(　　)

A．第一象限　　　　　 B．第二象限

C．第三角限     D．第四象限

B　[由sin(θ＋π)＝－sin θ<0⇒sin θ>0，cos(θ－π)＝－cos  θ>0⇒cos θ<0，由可知θ是第二象限角．]

3．sin 810°＋tan 765°＋tan 1 125°＋cos 360°＝________．

4　[原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(0°＋360°)＝sin 90°＋tan 45°＋tan 45°＋cos 0°＝4．]

4．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值为________．

　[∵sin(π＋α)＝，∴sin α＝－，

又α是第四象限角，

∴cos α＝＝＝，

∴cos(α－2π)＝cos α＝．]

5．若sin(π＋α)＝－，则sin(4π－α)的值是________．

－　[由题知，sin α＝，所以sin(4π－α)＝sin[2π＋(2π－α)]＝sin(2π－α)＝－sin α＝－．]

回顾本节知识，自我完成以下问题．

1．诱导公式中角α只能是锐角吗？

[提示]　诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z．

2．诱导公式一～四改变函数的名称吗？作用分别是什么？

[提示]　诱导公式一～四不改变函数名称．

各诱导公式的作用分别为：