新教材数学苏教版必修第一册第7章 7.3 7.3.2 第1课时　正弦、余弦函数的图象 课件

7.3.2　三角函数的图象与性质

第1课时　正弦、余弦函数的图象

知识点1　正弦曲线、余弦曲线

正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象分别叫作正弦曲线和余弦曲线(如图)．

1．为什么把y＝sin x，y＝cos x，x∈[0,2π]的图象向左、向右平移2π的整数倍个单位长度后图象形状不变？

[提示]　由公式sin(x＋2kπ)＝sin x，cos(x＋2kπ)＝cos x，k∈Z可得．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)正弦曲线的图象向左右无限延展． (　　)

(2)y＝sin x与y＝cos x的图象形状相同，只是位置不同． (　　)

(3)函数y＝cos x的图象与y轴只有一个交点． (　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)√

知识点2　“五点法”画图

画正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．

画余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．

2．用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是________．

[答案]　0，，，，π

知识点3　正弦、余弦曲线的联系

依据诱导公式cos x＝sin，要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可．

2．作正、余弦函数的图象时，函数自变量能用角度制吗？

[提示]　作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为实数，因此在x轴、y轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用．

3．不等式cos x＜0，x∈[0,2π]的解集为________．

[答案]　

类型1　利用“五点法”作简图

【例1】　用“五点法”作出下列函数的图象．

(1)y＝sin x－1，x∈[0,2π]；

(2)y＝2＋cos x，x∈[0,2π]．

[解]　(1)列表如下：

描点连线，如图①所示．

①

(2)列表如下：

描点连线，如图②所示．

②

[母题探究]

将本例(2)函数改为“y＝－1－cos x，x∈[0,2π]”，试画出函数的图象．

[解]　列表如下：

描点连线，如图所示．

作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0,2π]的图象的三个步骤

(1)列表：

(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y)，，(π，y)，，(2π，y)，这里的y是通过函数式计算得到的．

(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接．

提醒：对于正、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．

1．用“五点法”作出函数y＝3＋2cos x在一个周期内的图象．

[解]　按五个关键点列表、描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．

类型2　利用正、余弦曲线解三角不等式

【例2】　利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合．

(1)sin x≥；(2)cos x≤．

[解]　(1)作出正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为，k∈Z．

(2)作出余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为，k∈Z．

用三角函数图象解三角不等式的步骤

1作出相应的正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象；

2写出不等式在区间[0，2π]上的解集；

3根据公式一写出定义域内的解集.

2．在[0,2π]上，使cos x≤－成立的x的取值集合为________．

　[画出y＝cos x在[0,2π]上的简图，如图所示．

由于cos x＝－时，x＝或x＝．

由图象可知，在[0,2π]上，使cos x≤－成立的角x的取值集合为．]

类型3　正、余弦函数图象的应用

【例3】　在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出两函数图象交点的个数．

[思路点拨]　―→―→

[解]　建立直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，再依次向右连续平移2π个单位，得到y＝sin x的图象．

描出点，(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示．

由图象可知两函数图象的交点有3个．

1．利用三角函数图象能解决求方程解的个数问题，也可利用方程解的个数(或两函数图象的交点个数)求参数的范围问题．

2．常见的函数图象变换

(1)y＝f(x)的图象向左(或右)平移a(a＞0)个单位长度，得到函数y＝f(x＋a)(或y＝f(x－a))的图象；

(2)y＝f(x)的图象向上(或下)平移b(b＞0)个单位长度，得到函数y＝f(x)＋b(或y＝f(x)－b)的图象；

(3)y＝f(x)的图象作关于x轴对称的图象，得到函数y＝－f(x)的图象；

(4)y＝f(x)的图象作关于y轴对称的图象，得到函数y＝f(－x)的图象；

(5)y＝f(x)的图象作关于原点对称的图象，得到函数y＝－f(－x)的图象；

(6)y＝f(x)的图象保留x轴及其上方的图象，同时x轴下方的图象作关于x轴对称的图象，得到函数y＝|f(x)|的图象；

(7)y＝f(x)的图象保留y轴及其右侧的图象，再去掉y轴左侧的图象，最后y轴右侧的图象作关于y轴对称的图象，得函数y＝f(|x|)的图象．

3．利用正弦曲线，求满足<sin x≤的x的集合．

[解]　首先作出y＝sin x在[0,2π]上的图象，如图所示，

作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和；

作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和．

观察图象可知，在[0,2π]上，

当<x≤或≤x<时，不等式<sin x≤成立．

所以<sin x≤的解集为

．

1．函数y＝cos x，x∈[0，π]的图象与直线y＝0.85的交点有(　　)

A．1个　 　B．2个　 　C．3个　 　D．4个

A　[由图象知有一个交点．]

2．(多选题)以下对正弦函数y＝sin x的图象描述正确的是(　　)

A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同

B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间

C．关于x轴对称

D．与y轴仅有一个交点

ABD　[函数y＝sin x的图象关于原点中心对称，并不关于x轴对称．故C错误．]

3．函数y＝－sin x，x∈的简图是(　　)

A　　　　　　　　B

C　　　　　　　　D

D　[可以用特殊点来验证．x＝0时，y＝－sin 0＝0，排除A、C；当x＝时，y＝－sin ＝1，排除B．]

4．不等式组的解集是________．

(π，5]　[当≤x≤π时，0≤sin x≤1．

当π<x≤5时，sin x<0．]

5．用“五点法”作出函数y＝3－cos x的图象，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是________．(填序号)

①(π，－1)；②(0,2)；③；④(π，4)；⑤．

①⑤　[由五点作图法知五个关键点分别为(0,2)，，(π，4)，，(2π，2)，故①⑤不是关键点．]

回顾本节知识，自我完成以下问题．

1．正弦、余弦函数图象的画法采用了什么方法？

[提示]　五点作图法．

2．怎样理解五点作图法中的“五点”？

[提示]　y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上的关键五点分为两类：①图象与x轴的交点；②图象上的最高点和最低点．其中，y＝sin x，x∈[0,2π]与x轴有三个交点：(0,0)，(π，0)，(2π，0)，图象上有一个最高点，一个最低点；y＝cos x，x∈[0,2π]与x轴有两个交点：，，图象上有两个最高点：(0,1)，(2π，1)，一个最低点(π，－1)．