2024常熟高一上学期学生暑期自主学习调查试题数学含解析

这是一份2024常熟高一上学期学生暑期自主学习调查试题数学含解析，共20页。试卷主要包含了 本卷共4页，包含选择题， 不等式解为， 满足的x的个数为等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1. 本卷共4页，包含选择题（第1题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）.本卷满分150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.
2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.
3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其它位置作答一律无效.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
4. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.
一、单选题（本大题共12小题，每题只有一个正确答案，每小题5分，满分60分）
1. 下列因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 若有理数在数轴上对应点的位置如图所示，则在中最大的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 不论a，b为何实数，的值（ ）
A. 总是正数B. 可以是负数
C. 可以零D. 一切实数
4. 分式的值为0，则x的值为（ ）
A. B. 1C. 或1D. 2
5. 不等式解为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
6. 下列四个不等式中解为一切实数的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 满足的x的个数为（ ）
A. 0B. 2C. 3D. 多于3个
8. 若一元二次不等式有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. 且B.
C. 且D.
9. 一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点.若该抛物线的对称轴上存在点Q满足是等腰三角形，则点Q的坐标不可能是（ ）

A. B.
C. D.
11. 已知关于x的不等式的解也是不等式的解，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D. 以上都不正确
12. 如图，二次函数图象经过点，且与x轴交点的横坐标分别为，，其中，，下列结论：①，②，③，④其中正确的个数为（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13 因式分解：______.
14. 关于x的分式不等式的解为______.
15. 已知二次函数，的最小值是3，最大值是7，则实数m的取值范围是______.
16. 已知关于的方程的两根分别是，，则的最小值是______.
三、解答题：（共6小题，共70分.解答时应写出适当的文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷的指定方框内）
17. 先化简再求值：，其中，.
18. 当x取何值时，函数值最小？最小值是多少？
19. 解关于x的不等式：（其中）.
20. （1）求函数，的最小值.
（2）求函数，的最大值.
21. 已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根.
（1）若，均为正根，求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
22. 如图1，抛物线与x轴交于，两点.

（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，在（1）中抛物线的第二象限部分是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出点P的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由.
学生暑期自主学习调查
高一数学
注意事项：
答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1. 本卷共4页，包含选择题（第1题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）.本卷满分150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.
2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.
3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其它位置作答一律无效.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
4. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.
一、单选题（本大题共12小题，每题只有一个正确答案，每小题5分，满分60分）
1. 下列因式分解正确是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由提公因式法，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误；
故选：C
2. 若有理数在数轴上对应点的位置如图所示，则在中最大的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据数轴上表示的点所在位置即可求解.
【详解】解：根据有理数在数轴上对应点位置，得，，
所以，，，
且，所以
故是最大的.
故选：C.
3. 不论a，b为何实数，的值（ ）
A. 总是正数B. 可以是负数
C. 可以是零D. 一切实数
【答案】C
【解析】
【分析】配方为可得结果.
【详解】因为；
因为，
所以，
当且仅当时取等.
故选：C.
4. 分式值为0，则x的值为（ ）
A. B. 1C. 或1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，列出方程，然后计算，即可得到结果.
【详解】由题意可知，，则，解得或，且，所以.
故选：A
5. 不等式的解为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式不等式解法求解即可.
【详解】因为，所以，所以，
所以不等式的解为.
故选：B.
6. 下列四个不等式中解为一切实数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法，逐个分析判断即可得解.
【详解】对于A，由可得，
所以的解集为，故A正确；
对于B，，
所以的解集为，故B错误；
对于C，可化为，
，所以的解集为，故C错误，
对于D，由可得，
所以的解集为空集，故D错误；
故选：A
7. 满足的x的个数为（ ）
A. 0B. 2C. 3D. 多于3个
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，分，以及讨论，即可得到结果.
【详解】当时，方程可化为，解得，符合题意；
当时，方程可化为，方程无解；
当时，方程可化为，解得，符合题意；
故满足方程的x的个数为2个.
故选：B
8. 若一元二次不等式有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A 且B.
C. 且D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用一元二次方程的定义可知，且，解不等式即可求出结果.
【详解】根据题意可知，即，
再由判别式可知，解得，
综合可得k的取值范围是且.
故选：A
9. 一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分类讨论，和时，由一次函数的单调性与二次函数图象的开口方向，排除一些选项，再由的的正负，确定二次函数对称轴的位置，从而可得最后结果.
【详解】若，则一次函数为增函数，
二次函数的开口向上，故可排除A；
若，则一次函数为减函数，
二次函数的开口向下，故可排除D；
对于选项C，由直线可知，，从而，
而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除C.
故选：B.
10. 如图，已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点.若该抛物线的对称轴上存在点Q满足是等腰三角形，则点Q的坐标不可能是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线的解析式，当和时就可以求出点A、B的坐标，设抛物线的解析式为，根据A、B、C三点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，将抛物线化为顶点式，求出对称轴，设出Q点的坐标，是等腰三角形的情况分为3种，即A、B、Q分别为等腰三角形的顶点，利用等腰三角形的性质，根据勾股定理、两点之间的距离公式即可求出Q点的坐标．
【详解】∵，∴当时，，当时，，
∴，，
设抛物线的解析式为，由题意，得
，解得，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为，设，
①当时，如图，过点作，交对称轴于.

由勾股定理可得
，，
得，解得，
∴；
②当是腰时，Q是对称轴与x轴交点时，，如图.

，解得或，
当Q点的坐标为时，其在直线AB上，A、B和Q三点共线，舍去，
则此时Q的坐标是；
③当时，如图.

，解得，
则Q的坐标是和，
综上所述：Q的坐标可能为．
故选：D.
11. 已知关于x的不等式的解也是不等式的解，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D. 以上都不正确
【答案】C
【解析】
【分析】先解不等式可得，，再由关于x的不等式的解也是不等式的解，则且，即可得出答案.
【详解】由，可得，即，
若，则不等式的解集为，
若，则不等式的解集为，
因为不等式的解也是不等式的解，
所以且，
所以且，
所以.
故选：C.
12. 如图，二次函数的图象经过点，且与x轴交点的横坐标分别为，，其中，，下列结论：①，②，③，④其中正确的个数为（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的图象与性质求得正确答案.
【详解】设，
依题意，，
由图可知，①正确；
由图可知，对称轴，
，②正确，
由图可知， ，
，，
，，③正确；
由图可知，④错误.
所以正确的个数是个.
故选：C
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13. 因式分解：______.
【答案】
【解析】
【分析】利用立方差公式和十字相乘法计算即可.
【详解】
.
故答案为：.
14. 关于x的分式不等式的解为______.
【答案】且
【解析】
【分析】根据分式不等式的解法求得正确答案.
【详解】由得，
，
则，解得且，
所以原不等式的解集为且.
故答案为：且
15. 已知二次函数，的最小值是3，最大值是7，则实数m的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】画出二次函数的图象，结合图象求得的取值范围.
【详解】画出二次函数的图象如下图所示，
若当时，函数的最小值是3，最大值是7，
由图可知，的取值范围是.
故答案为：

16. 已知关于的方程的两根分别是，，则的最小值是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据根与系数关系以及二次函数的性质求得正确答案.
【详解】由于方程有两个根，
所以，
且，
，
函数的开口向上，对称轴为，
所以当时，取得最小值为.
故答案为：
三、解答题：（共6小题，共70分.解答时应写出适当的文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷的指定方框内）
17. 先化简再求值：，其中，.
【答案】，
【解析】
【分析】通分，结合平方差、完全平方公式进行化简运算，再代入求值，即可.
【详解】原式
.
当，时，
原式
.
18. 当x取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
【答案】当，时，函数取得最小值为3.
【解析】
【分析】将函数表示为分段函数的形式，由此求得函数的最小值以及此时对应的的值.
【详解】当时，，此时.
当时，，此时.
当时，，此时.
综上，当时，函数值最小，最小值为3.
19. 解关于x的不等式：（其中）.
【答案】或.
【解析】
【分析】利用一元二次不等式的解法，分类讨论即可.
【详解】解：不等式可化为.
当时，不等式化为，解得.
当时，不等式化为，
由于，
解得或.
综上，当时，解得；
当时，解得或.
20. （1）求函数，的最小值.
（2）求函数，的最大值.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析
【解析】
【分析】对进行分类讨论，结合二次函数的性质求得正确答案.
【详解】（1）函数.
当时，，；
当时，，.
（2）函数.
当时，即时，
当时，有.
当时，即时，
当时，有.
21. 已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根.
（1）若，均为正根，求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合韦达定理列出不等式，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由韦达定理可得，然后代入原式计算，即可得到结果.
【小问1详解】
因为，是一元二次方程的两个正实根，
所以，
解得.
【小问2详解】
由题意，
解得.
因为，，
所以
.
若，即，
即，
所以，符合题意.
22. 如图1，抛物线与x轴交于，两点.

（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，在（1）中抛物线的第二象限部分是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出点P的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，点Q的坐标是
（3）存在，答案见解析，.
【解析】
【分析】（1）根据两点的坐标列方程组，由此求得，也即求得抛物线的解析式.
（2）先求得点的坐标，利用直线的方程求得点的坐标.
（3）先求得面积的表达式（或利用割补法），然后利用二次函数的性质求得面积的最大值.
【小问1详解】
根据题意得：，解得，
则抛物线的解析式是.
【小问2详解】
由题知两点关于抛物线对称轴对称，
所以直线BC与的交点即为点，此时周长最小，
对于，令，则，
故点，设的解析式是，
则，解得，
则的解析式是.
当时，.
所以点Q的坐标是.
【小问3详解】
解法一：过点P作y轴的平行线交BC于点D，
设点，则PD与BC的交点，
所以，
所以.
因为，所以的面积最大值是.

解法二：设点.
因为.
若有最大值，则就最大，
所以
，
当时，最大值.
所以最大值.

求解二次函数的解析式，可以考虑待定系数法，如一般式，需求三个参数.顶点式，需求三个参数.两根式，需求三个参数.