2023-2024学年黑龙江省哈尔滨122中学高三（上）段考数学试卷（8月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨122中学高三（上）段考数学试卷（8月份）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|y=lg(1−x)}，B={y|y=x2}，则A∩B=( )
A. (1,+∞)B. (0,1)C. [0,1)D. [0,+∞)
2.若a=30.7，b=(13)−0.8，c=lg43，则a，b，c的大小关系是( )
A. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD. c>a>b
3.已知m，n，l是3条不同的直线，α，β，γ是3个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若m⊥l，n⊥l，则m/​/n
B. 若α⊥β，α⋂β=m，l⊥m，则l⊥α
C. 若m⊥α，m//β，则α⊥β
D. 若α⊥γ，β⊥γ，则α/​/β
4.函数f(x)=lg0.5|x|2x+2−x的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=ert(其中e=2.71828⋯⋯是自然对数的底数)描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(参考数据：ln2=0.69，ln3=1.1)( )
A. 2.1天B. 2.4天C. 2.9天D. 3.6天
6.若p：实数a使得“∃x0∈R,x02+2x0+a=0”为真命题，q：实数a使得“∀x∈[0,+∞)，2x−a>0”为真命题，则p是q的( )
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数f(x)=(3a−1)x+4a(x<1)ax(x≥1)，满足对任意的实数x1，x2且x1≠x2，都有[f(x1)−f(x2)](x1−x2)<0，则实数a的取值范围为( )
A. [17,1)B. [0,13)C. [16,13)D. [16,1)
8.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的00的解集为( )
A. (−6,0)B. (−∞,−6)∪(2,+∞)
C. (−∞,−6)⋃(0,2)D. (−∞,−6)⋃(−2,0)⋃(2,+∞)
9.定义域R的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)=x2−2x，若x∈[−4,−2]时,f(x)≥118(3t−t)恒成立，则实数t的取值范围是( )
A. (−∞,−1]∪(0，3]B. (−∞,− 3]∪(0, 3]
C. [−1,0)∪[3，+∞)D. [− 3,0)∪[ 3,+∞)
二、多选题（本大题共5小题，共25.0分。在每小题有多项符合题目要求）
10.关于(2x−1x)6的展开式，下列结论正确的是( )
A. 二项式系数之和为64B. 所有项的系数之和为1
C. 常数项为160D. x2项的系数为240
11.下列判断正确的是( )
A. 复数z=(1−3i)(2+i)，则z在复平面内对应的点位于第二象限
B. 函数y=lgax+ax−1+2(a>0且a≠1)的图象恒过的定点是(1,3)
C. 对数函数有且只有一个零点(1,0)
D. 某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是110
12.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，下列结论中正确的是( )
A. 函数f(x)的周期为π
B. 直线x=−π6是函数f(x)图象的一条对称轴
C. 函数f(x)的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ](k∈Z)
D. 函数f(x+π12)是偶函数
13.定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(4+x)=0，f(2+2x)是偶函数，f(1)=1，则( )
A. f(x)是奇函数B. f(2023)=−1
C. f(x)的图象关于直线x=1对称D. k=110f(2k−1)=2
14.已知函数f(x)=xlnx,x>0,−x2−2x+1,x≤0,函数g(x)=[f(x)]2−(a−1)f(x)−a，则下列结论不正确的是( )
A. 若a<−1e，则g(x)恰有2个零点
B. 若1≤a<2，则g(x)恰有4个零点
C. 若g(x)恰有3个零点，则a的取值范围是[0,1)
D. 若g(x)恰有2个零点，则a的取值范围是(−∞,−1e)∪(2,+∞)
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
15.已知椭圆C：x24+y2b2=1(016.若函数f(x)=lg2(16x+1)−ax是偶函数，则lga2= ．
17.已知y=f(|x−3|)在[3,+∞)上单调递增，f(2x+1)>f(x)的解集是______ ．
18.中美关系日趋严峻，为此各相关企业在积极拓展市场的同时，也积极进行企业内部细化管理，某集装箱码头在货物装卸与运输上进行大力改进，改进后单次装箱的成本C(单位：万元)与货物量x(单位：吨)满足函数关系式C=3+x，单次装箱收入S(单位：万元)与货物量x的函数关系式S=3x+kx−8+5(0四、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.(本小题12.0分)
若数列{1an}是等差数列，则称数列{an}为调和数列．若实数a、b、c依次成调和数列，则称b是a和c的调和中项．
(1)求13和1的调和中项；
(2)已知调和数列{an}，a1=6，a4=2，求{an}的通项公式．
20.(本小题12.0分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(2a−b)csC=ccsB，求
(1)求角C；
(2)若c=2，求△ABC的面积的最大值．
21.(本小题12.0分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，AB=AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD=60°，M，N分别为AD，PA的中点．
(1)证明：平面BMN//平面PCD；
(2)若AD=4,CD= 3，求平面BMN与平面BCP所成锐二面角的余弦值．
22.(本小题12.0分)
如图所示的高尔顿板，小球从通道口落下，第1次与第2层中间的小木块碰撞，以12的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2…，7的球槽内．
(1)若进行一次以上试验，求小球落入6号槽的概率；
(2)小明同学利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽
奖”活动，8元可以玩一次游戏，小球掉入X号球槽得到的奖金为金为Y元，其中Y=|20−5X|．
(i)求X的分布列；
(ii)很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？
23.(本小题12.0分)
已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当a=0时，g(x)=(x−1)f(x)−x2−1，证明：函数g(x)有且仅有两个零点，两个零点互为倒数．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：集合A={x|y=lg(1−x)}={x|x<1}，B={y|y=x2}={y|y≥0}，
则A∩B=[0,1)．
故选：C．
根据对数函数的性质以及二次函数的性质，分别化简集合A和B，再利用集合的交集的定义求解即可．
本题考查集合的交集运算，考查对数函数和二次函数的性质，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：依题意，b=(13)−0.8=30.8>30.7=a，又a=30.7>30=1=lg44>lg43=c，
所以a，b，c的大小关系是b>a>c．
故选：B．
根据指数函数的单调性和对数函数的单调性比较大小即可作答．
本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：对于A，由m⊥l，n⊥l，在同一个平面可得m/​/n，在空间不成立，故A错误；
对于B，由面面垂直的性质定理知缺少“l⊂β”，故B错误；
对于C，若m⊥α，m//β，则α⊥β，故C正确；
对于D，当三个平面α，β，γ两两垂直时，结论错误，故D错误．
故选：C．
利用垂直于同一直线的两条直线的位置关系可判断A；利用面面垂直的性质可判断B；利用面面垂直的判定可判断C；利用垂直于同一平面的两个平面的位置关系可判断D．
本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意，因为f(x)=lg0.5|x|2x+2−x的定义域为{x|x≠0}，
则f(−x)=lg0.5|−x|2−x+2x=f(x)，所以f(x)为偶函数，
所以排除C、D；
当x∈(0,1)时，lg0.5|x|>0,2x+2−x>0，
所以f(x)=lg0.5|x|2x+2−x>0，排除A．
故选：B．
根据题意，先分析函数的奇偶性，排除C、D，再分析函数的值域，排除A，即可得出答案．
本题考查函数的图象，涉及函数的奇偶性和函数值的判断，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：把R0=3.28，T=6代入R0=1+rT，可得r=0.38，
所以I(t)=e0.38t，
当t=0时，I(0)=1，则I(t)=e0.38t，
∴e0.38t2=4e0.38t1，即e0.38(t2−t1)=4，
∴t2−t1=2ln20.38≈3.6．
故选：D．
根据所给模型求得r=0.38，令t=0，求得I(0)=1，则I(t)=e0.38t，根据条件可得方程e0.38t2=4e0.38t1，求解即可得出答案．
本题考查了指数与对数的互化及对数的基本运算，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：∵p：实数a使得“∃x0∈R,x02+2x0+a=0”为真命题，
∴x2+2x+a=0有解，∴Δ=4−4a≥0，解得a≤1，
即p：a≤1；
∵q：实数a使得“∀x∈[0,+∞)，2x−a>0”为真命题，
∴∀x∈[0,+∞)，2x>a，由指数函数的图象和性质可得a<1，
即q：a<1，
∴p⇏q，q⇒p，即p是q的必要不充分条件，
故选：A．
先根据命题p，q的真假性求出a的范围，化简命题p，q，再根据充分性和必要性的概念求解即可．
本题考查了充分必要条件，考查命题的真假以及转化思想，是基础题．
7.【答案】C
【解析】解：对任意的实数x1≠x2，都有[f(x1)−f(x2)](x1−x2)<0，即f(x1)−f(x2)x1−x2<0成立，
可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0，说明函数是减函数；
可得：3a−1<0a>03a−1+4a≥a，
解得a∈[16,13)．
故选：C．
利用已知条件判断函数的单调性，根据分段函数的单调性可得关于a的不等式组，解之即可．
本题主要考查分段函数及其应用，函数单调性的判断与应用，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：因为对任意的0f(n)，
所以f(x)在(0,+∞)单调递减，
因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)在(−∞,0)单调递减，f(−4)=−f(4)=0，
所以当x<−4和00；当−44时，f(x)<0．
由f(−x−2)−f(x+2)x=−2f(x+2)x>0，即xf(x+2)<0，
所以x<0x+2<−4或x<000x+2>4或x>0−4所以x<−6或−22或x无解，
所以原不等式解集为(−∞,−6)⋃(−2,0)⋃(2,+∞)．
故选：D．
根据题意得到f(x)在(0,+∞)单调递减，结合奇函数性质得到f(x)在(−∞,0)单调递减，f(−4)=−f(4)=0，结合奇函数性质将不等式转化为xf(x+2)<0，再结合已知条件列出不等式组求解即可．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
9.【答案】C
【解析】【分析】
解决本题的关键在于“转化”，先将恒成立问题转化为求解函数的最小值问题，
再结合二次函数在闭区间上的最值问题，最终得以解决．很多问题在实施“化难为易”、“化生为熟”中得以解决．
由x∈[0,2]时，f(x)=x2−2x及f(x+2)=3f(x)
可求得f(x+4)=(x+4)2−2(x+4)=x2+6x+8，
从而可得f(x)=19(x2+6x+8)，x∈[−4,−2]，
而x∈[−4,−2]时,f(x)≥118(3t−t)恒成立可转化为118(3t−t)≤f(x)min，
结合二次函数的知识可先求函数f(x)的最小值，从而可求t的范围，属于困难题．
【解答】
解：∵x∈[−4,−2]
∴x+4∈[0,2]
∵x∈[0,2]时，f(x)=x2−2x
∴f(x+4)=(x+4)2−2(x+4)=x2+6x+8
∵函数f(x)满足f(x+2)=3f(x)
∴f(x+4)=3f(x+2)=9f(x)
∴f(x)=19(x2+6x+8)，x∈[−4,−2]
∵x∈[−4,−2]时,f(x)≥118(3t−t)恒成立
118(3t−t)≤f(x)min=−19
解不等式可得t≥3或−1≤t<0
故选C．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A：(2x−1x)6的展开式的所有二项式系数和为26=64，故A正确；
对于B：取x=1，可得所有项的系数和为1，故B正确；
二项展开式的通项为Tr+1=(−1)r⋅26−r⋅C6rx6−2r，
对于C：由6−2r=0，得r=3，代入通项得常数项为T4=−160，故C错误，
对于D：由6−2r=2，得r=2，∴含x2项的系数为240，故D正确．
故选：ABD．
直接利用二项式的展开式及组合数和赋值法求出结果．
本题考查的知识要点：二项展开式的通项，组合数，赋值法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：对于A，z=(1−3i)(2+i)=5−5i，对应的点为(5,−5)，位于第四象限，A错误；
对于B，函数y=lgax+ax−1+2(a>0且a≠1)，令x=1，则y=3，
即函数y=lgax+ax−1+2(a>0且a≠1)的图象恒过的定点是(1,3)，B正确；
对于C，函数的零点是一个数，不是一个点，C错误；
对于D，电话号码的最后一个数字是确定的一个数字，随机去试，由10种可能，
故他第一次失败、第二次成功的概率是9×110×9=110，D正确．
故选：BD．
根据复数的乘法结合几何意义判断A；根据对数函数、指数函数的零点求法可判断B；根据零点的含义判断C；根据古典概型概率的计算判断D．
本题主要考查了复数的运算和几何意义，考查了指数函数和对数函数的性质，以及古典概型的概率公式，属于基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解：选项A，由图可知，最小正周期T=4×(7π12−π3)=π，即A正确；
选项B，由T=2πω，得ω=2πT=2ππ=2，
因为f(7π12)=−1，所以sin(2⋅7π12+φ)=−1，所以7π6+φ=2kπ−π2，k∈Z，即φ=2kπ−5π3，k∈Z，
又|φ|<π2，所以φ=π3，
所以f(x)=sin(2x+π3)，
所以f(−π6)=sin[2(−π6)+π3]=sin0=0，即B错误；
选项C，令2x+π3∈[2kπ−π2,2kπ+π2]，k∈Z，则x∈[kπ−5π12,kπ+π12]，k∈Z，即C正确；
选项D，f(x+π12)=sin[2(x+π12)+π3]=sin(2x+π2)=cs2x，是偶函数，即D正确．
故选：ACD．
选项A，由图可知，最小正周期T=π，即A正确；
选项B，由T=2πω，求得ω的值，再由f(7π12)=−1，可得φ的值，从而知f(x)的解析式，计算得f(−π6)=0，得解；
选项C，根据正弦函数的单调性，即可得解；
选项D，计算可得f(x+π12)=cs2x，由余弦函数的奇偶性，得解．
本题考查三角函数的图象与性质，理解y=sin(ωx+φ)中ω，φ的几何意义，正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
13.【答案】ABD
【解析】解：由f(x)=−f(x+4)可得f(x+8)=−f(x+4)=f(x)，即f(x)=f(x+8)，
所以f(x)是以8为周期的周期函数．
因为f(2+2x)是偶函数，所以f(2+2x)=f(2−2x)，则f(2+x)=f(2−x)，
所以f(x+4)=f(−x)=−f(x)，所以f(x)是奇函数，选项A正确．
由周期性可得f(2023)=f(−1+253×8)=f(−1)=−f(1)=−1，选项B正确；
由f(2+x)=f(2−x)可得f(3)=f(1)=1，因为f(−1)=−f(1)≠f(3)，f(x)的图象不关于直线x=1对称，选项C错误．
又由f(2+x)=f(2−x)，x=3时，f(5)=f(−1)=−f(1)=−1，x=5时，f(7)=f(−3)=−f(3)=−1，
所以f(1)+f(3)+f(5)+f(7)=0，所以结合周期性可得k=110f(2k−1)=f(1)+f(3)=2，选项D正确．
故选：ABD．
利用函数的周期性、奇偶性和对称性逐一判断即可．
本题考查抽象函数的周期性与奇偶性，属于中档题．
14.【答案】ACD
【解析】解：因为当x>0时，f(x)=xlnx，
所以f′(x)=lnx+1，
令f′(x)=0，得x=1e，
所以当x∈(0,1e)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(1e,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x>0时，f(x)min=f(1e)=−1e，
又因为当x≤0时，f(x)=−x2−2x+1，
作出y=f(x)的大致图象，如图所示：
又因为g(x)=[f(x)]2−(a−1)f(x)−a=[f(x)−a][f(x)+1]，
令g(x)=0，则有f(x)=a或f(x)=−1，
由图可知f(x)=−1只有一个解，
对于A，当a=−1时，满足a<−1e，此时g(x)=0只有一个解，故错误；
对于B，当1≤a<2时，f(x)=a有3个解，f(x)=−1有一个解，所以g(x)=0有4个解，故正确；
对于C，当g(x)=0恰有3个解时，f(x)=a恰有2个解，则有a=2或0≤a<1，故错误；
对于D，当g(x)=0恰有2个解时，f(x)=a恰有1个解，且a≠−1，所以a<−1或−12，故错误．
故选：ACD．
利用导数确定当x>0时，函数f(x)的单调性及最值，从而作出函数f(x)在R上的大致图象，结合图象逐一判断即可．
本题考查了导数的综合运用、二次函数的性质及数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
15.【答案】2
【解析】解：由题意可得a=2，
所以离心率ca=c2= 32⇒c= 3，
故b= a2−c2=1，
故短轴长为2b=2，
故答案为：2．
根据椭圆的几何性质即可求解．
本题考查了椭圆的性质，属基础题．
16.【答案】1
【解析】解：∵f(x)为偶函数，定义域为R，
∴对任意的实数x都有f(x)=f(−x)，
即lg2(16x+1)−ax=lg2(16−x+1)+ax，
∴2ax=lg2(16x+1)−lg2(16−x+1)=lg216x=4x，
由题意得上式对任意的实数x恒成立，
∴2a=4，解得a=2，所以lga2=1．
故答案为：1．
根据偶函数的定义结合对数运算求得a的值即可．
本题主要考查了函数的奇偶性的应用，属于基础题．
17.【答案】(−∞,−1)∪(53,+∞)
【解析】解：令t=|x−3|关于x=3对称，在x∈[3,+∞)上递增，在x∈(−∞,3)上递减，
而t∈[0,+∞)，故y=f(t)在[0,+∞)上单调递增，
综上，y=f(|x−3|)在x∈[3,+∞)上递增，在x∈(−∞,3)上递减，且关于x=3对称，
又f(2x+1)>f(x)，则|2x+1−3|>|x−3|，可得3x2−2x−5=(3x−5)(x+1)>0，
解集为(−∞,−1)∪(53,+∞)．
故答案为：(−∞,−1)∪(53,+∞)．
令t=|x−3|，则y=f(t)，结合复合函数的性质求原函数的单调性及对称轴，利用单调性和对称性、一元二次不等式解法求解集．
本题主要考查了函数的单调性及对称性在不等式求解中的应用，属于中档题．
18.【答案】6
【解析】解：由题意得单次装箱的利润L与货物量x的函数关系式为L=2x+kx−8+2(0∵当x=2时，L=3，
∴3=2×2+k2−8+2，解得k=18，
即L=2x+18x−8+2(0当x≥6时，L=11−x为单调递减函数，
故当x=6时，L的最大值为11−6=5，
当0当且仅当2(x−8)=18x−8，即x=5时，L取最大值6，
综上所述，当每日产量为5吨时，单次装箱利润取得最大值6．
故答案为：6．
先求得单次装箱的利润L与货物量x的函数关系式，并根据x=2时，L=3求得k，再利用函数的单调性和基本不等式求得利润的最大值，即可得出答案．
本题考查分段函数的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：设13和1的调和中项为b，依题意得：3、1b、1依次成等差数列，
所以1b=3+12=2，即b=12；
(2)依题意，{1an}是等差数列，设其公差为d，
3d=12−16⇒d=19，
所以1an=1a1+(n−1)d=16+(n−1)19=2n+118，
故an=182n+1．
【解析】(1)根据题意得到3、1b、1成等差数列，从而得到方程，求出b=12，得到答案；
(2)根据题意得到{1an}是等差数列，设出公差，由通项公式基本量计算得到公差，进而得到{an}的通项公式．
本题是新定义题型，主要考查利用定义求等差数列通项公式，等差中项的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)因为(2a−b)csC=ccsB，由正弦定理可得(2sinA−sinB)csC=sinCcsB，
所以2sinAcsC=sinCcsB+sinBcsC=sin(B+C)=sinA
因为A∈(0,π)，所以sinA≠0，
所以csC=12，因为C∈(0,π)，所以C=π3；
(2)因为c2=a2+b2−2abcsC，所以4=a2+b2−ab≥ab，当且仅当a=b=2时取等号，
所以S△ABC=12absinC= 34ab≤ 3，
当a=b时S△ABC取最大值为 3．
【解析】(1)根据正弦定理边角互化，即可求解，
(2)由余弦定理结合不等式即可求解ab的最值，由面积公式即可求解．
本题考查解三角形，考查正余弦定理，考查三角形的面积的计算，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)证明：连接BD，如图

∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∵M为AD的中点，
∴BM⊥AD，
∵AD⊥CD，
又CD，BM⊂平面ABCD，
∴BM/​/CD，
又BM⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，
∴BM/​/平面PCD，
∵M，N分别为AD，PA的中点，
∴MN/​/PD，
又MN⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，
∴MN/​/平面PCD．
又BM，MN⊂平面BMN，BM∩MN=M，
∴平面BMN//平面PCD．
(2)连接PM，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD=AD，PM⊂平面PAD，PM⊥AD，
∴PM⊥平面ABCD.又BM⊥AD，
∴MB，MD，MP两两互相垂直．
以M为坐标原点，MB,MD,MP分别为x轴，y轴，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系M−xyz．

∵AD=4,CD= 3，
则M(0,0,0)，P(0,0,2)，A(0,−2,0)，
N(0,−1,1),B(2 3,0,0),C( 3,2,0)，
设平面BMN的一个法向量为m=(x1,y1,z1)，
∵MB=(2 3,0,0),MN=(0,−1.1)，
∴由m⋅MB=0m⋅MN=0，得2 3x1=0−y1+z1=0，∴取m=(0,1,1)，
设平面BCP的一个法向量为n=(x2,y2,z2)，
∵BC=(− 3,2,0),BP=(−2 3,0,2)，
∴由n⋅BC=0n⋅BP=0，得− 3x2+2y2=0−2 3x2+2z2=0，
∴取n=(2, 3,2 3)，
∴cs=m⋅n|m||n|= 3+2 3 2⋅ 19=3 11438，
∴平面BMN与平面BCP所成的锐二面角的余弦值为3 11438．
【解析】(1)平面BMN//平面PCD证明的关键就是证明平面BMN 中的两条相交直线BM，MN平行于平面PCD，按此则结论可证．
(2)以M为坐标原点，MB,MD,MP分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系M−xyz，求出平面BMN与平面BCP的法向量以及他们的余弦值，再利用二面角与法向量角的关系求解即可．
本题考查面面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属中档题．
22.【答案】解：(1)要使小球落入6号槽，
此时小球需要在6次碰撞中向左1次，向右5次，
则小球落入6号槽的概率P=C61×12×(12)5=332；
(2)(i)易知X的所有取值为1，2，3，4，5，6，7，
此时P(X=1)=P(X=7)=(12)6=164，P(X=2)=P(X=6)=C61×(12)6=332，P(X=3)=P(X=5)=C62×(12)6=1564，P(X=4)=C63×(12)6=516，
则X的分布列为：
(ii)因为小球掉入X号球槽得到的奖金为金为Y元，其中Y=|20−5X|，
则Y的所有取值为0，5，10，15，
此时P(Y=0)=P(X=4)=516，P(Y=5)=P(X=3)+P(X=5)=1532，P(Y=10)=P(X=2)+P(X=6)=316，P(X=15)=P(X=1)+P(X=7)=132，
则E(Y)=0×516+5×1532+10×316+15×132=7516，
因为7516<8，
所以小明同学能盈利．
【解析】(1)由题意，要使小球落入6号槽，此时小球需要在6次碰撞中向左1次，向右5次，代入概率公式中即可求解；
(2)(i)先求出X的所有取值，得到相对应的概率，进而可列出分布列；
(ii)先求出Y的所有取值，得到对于的概率，代入期望公式中求出Y的期望，将其与8元进行比较，进而即可求解．
本题考查离散型随机变量分布列及期望，考查了逻辑推理和运算能力．
23.【答案】(1)解：f(x)的定义域为(0,+∞)且f′(x)=1x+2ax+2a+1=(2ax+1)(x+1)x，
若a≥0，则当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0,+∞)上单调递增；
若a<0，则当x∈(0,−12a),f′(x)>0，当x∈(−12a,+∞),f′(x)<0，
故f(x)在(0,−12a)上单调递增，在(−12a,+∞)上单调递减．
(2)证明：g(x)=(x−1)f(x)−x2−1=(x−1)lnx−x−1，所以g′(x)=lnx−1x，
因为y=lnx在(0,+∞)上单调递增，y=1x在(0,+∞)上单调递减，所以g′(x)在(0,+∞)上单调递增，
又g′(1)=−1<0,g′(2)=ln2−12=ln4−12>0，
故存在唯一x0∈(1,2)使得g′(x0)=0，所以g(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，
又g(x0)0，所以g(x)=0在(x0,+∞)内存在唯一根α，
由1故1α是g(x)=0在(0,x0)上的唯一零点．
综上，函数g(x)有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数．
【解析】(1)求出f(x)的定义域，再对f(x)求导，对a分类讨论，利用导数与单调性的关系求解即可；
(2)利用导数求出g(x)的单调性，再由零点存在定理即可得证．
本题考查了函数的单调性，零点问题，考查转化思想，分类讨论思想，属于难题． X
1
2
3
4
5
6
7
P
164
332
1564
516
1564
332
164