北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》教案

第一章 勾股定理

1 探索勾股定理

第1课时 勾股定理（1）

1.经历测量和用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系.

2.探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力.

3.利用勾股定理，已知直角三角形的两边求第三边长.

4.在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想.

5.经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识.

6.通过对勾股定理历史的了解，感受数学变化，激发学习热情.

7.在探究活动中，体现解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神.

【教学重点】

探索勾股定理.

【教学难点】

用测量和数格子的方法探索勾股定理.

一、创设情境，导入新课

我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边.对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系.那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理.出示投影1（章前的图文P1），介绍数学家曾用这个图形作为与“外星人”联系的信号.

【教学说明】通过复习旧知识，引入新课.出示投影，介绍与勾股定理有关的背景，激发学生的学习兴趣.

二、思考探究，获取新知

勾股定理

做一做：

1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴交流.

【教学说明】学生根据教师的要求完成这个问题，自主交流发现直角三角形的性质.

2.观察教材图1—2，正方形A中有       个小方格，即A的面积为       个面积单位.正方形B中有       个小方格.即B的面积为       个面积单位.正方形C中有       个小方格，即C的面积为       个面积单位.你是怎样得出上面结果的？在学生交流回答的基础上教师接着发问.教材图1—2中，A、B、C之间的面积之间有什么关系？

【教学说明】通过观察特殊图形下方格数与正方形面积之间的转化，进一步体会探索勾股定理.

归纳得出结论：SA+SB=SC.

3.教材图1—3中，A、B、C之间是否还满足上面的关系？你是如何计算的？

【教学说明】通过观察计算一般情况下方格数与正方形面积之间的转化，进一步加强对勾股定理的理解.

4.如果直角三角形两直角边分别是1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由.

【教学说明】渗透从特殊到一般的数学思想，充分发挥学生的主体地位，让学生体会到观察、猜想、归纳的思想，也让学生的分析问题、解决问题的能力得到了提高.

议一议：你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？

【教学说明】学生自主探究，发现直角三角形的性质，并整合成精确的语言将之表达出来，有利于培养学生综合概括能力和语言表达能力.

 【归纳结论】直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.这就是著名的“勾股定理”.也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这便是勾股定理的由来.

三、运用新知，深化理解

1.在直角三角形ABC中，∠C=90°，若a=5,b=12，则c=       .

2.在直角三角形的ABC中，它的两边长的比是3∶4，斜边长是20，则两直角边长分别是       .

【教学说明】学生的完成，加深对勾股定理的理解和检测对勾股定理的简单运用，对学生的疑惑或出现的错误及时指导，并进行强化.

【答案】1.13；2.12，16

四、师生互动，课堂小结

通过本节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有什么困惑？

【教学说明】教师引导学生回顾新知识，加强对勾股定理的理解，进一步完善了学生对知识的梳理.

完成练习册中本课时相应练习.

本节内容重在探索与发现，要给充分的时间让学生讨论与交流.适当的练习以巩固所学也是必要的，当然，这些内容还需在后面的教学内容再加深加广.

第2课时 勾股定理（2）

1.经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯.

2.掌握勾股定理和它的简单应用.

3.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，初步掌握转化和数形结合的思想方法.

4.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法.

5.在数学活动中发展了学生的探究意识和合作交流的习性；体会勾股定理的应用价值，通过本节课学习，让学生体会到数学来源于生活，又应用到生活中，增加学生应用数学知识解决实际问题的经验和感受.

【教学重点】

能熟练应用拼图法证明勾股定理.

【教学难点】

用面积证勾股定理.

一、创设情境，导入新课

我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需要加以论证，下面就是今天所要研究的内容.

【教学说明】让学生经历从特殊到一般的数学方法，明白数学问题是需要通过一定的论证才能说明它的正确性，为后面学习证明打下埋伏.

二、思考探究，获取新知

勾股定理的验证及简单运用

做一做：

1.画一个直角三角形，分别以这个直角三角的三边为边长向外作正方形，你能利用这个图证明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流.

【教学说明】让学生进一步体会探索勾股定理的过程，体会数形结合的思想.

2.为了计算教材图1—4中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，得到教材P51—5、1—6图.

（1）将所有三角形和正方形的面积用a，b，c的关系式表示出来；

（2）教材图1—5、1—6中正方形ABCD的面积分别是多少？你们有哪些表示方式？与同伴进行交流.

（3）你能分别利用教材图1—5、1—6验证勾股定理吗？

 【教学说明】学生通过各种方法验证勾股定理的正确性，加深对勾股定理的理解，又让学生体会到一题多解.

 【归纳结论】勾股定理的证明方法达300多种，请同学们利用业余时间探究、讨论并阅读教材P7-8的其它证明勾股定理的方法，以开阔事学们的视野.

三、运用新知，深化理解

1.一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从一个长2m，宽1m的门框内通过，为什么？

2.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？

【教学说明】让学生从实际生活的角度大胆的去考虑，用生活经验和学过的知识去解答.并学会把实际问题抽象为直角三角形的数学模型的过程，能够熟练地将勾股定理应用到现实生活中去.

【答案】1.能，让薄木板的宽从门框的对角线斜着通过.

2.分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形.如图，图中△ABC的∠C=90°，AC=4000米，AB=5000米欲求飞机每时飞行多少千米，就要知道20秒时间里飞行的路程，即图中的CB的长，由于△ABC的斜边AB=5000米，AC=4000米，这样BC就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算.

解：由勾股定理得BC2=AB2-AC2=52-42=9（km2）

即BC=3千米

飞机20秒飞行3千米.那么它1小时飞行的距离为：3600/20×3=540（千米/时）

答：飞机每小时飞行540千米.

四、师生互动，课堂小结

通过这节课的学习，你学会了哪几种证明勾股定理的方法？还有哪些疑问？

【教学说明】总结归纳帮助学生进一步掌握解决实际问题的关键是抽象出相应的数学模型.

完成练习册中本课时相应练习.

了解多种证明勾股定理的方法，有助于加深对勾股定理内容的理解，但这需要花一定的时间，可以让学生课外了解.并运用所学知识解决实际问题，体验数学来源于生活，生活中也蕴含着许多数学道理.

2 一定是直角三角形吗

1.掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用.

2.通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合方法的应用.

3.敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识.

【教学重点】

探索并掌握直角三角形的判别条件.

【教学难点】

运用直角三角形判别条件解题.

一、创设情境，导入新课

展示一根用13个等距的结把它分成等长的12段的绳子，请三个同学上台，按老师的要求操作.

甲：同时握住绳子的第一个结和第十三个结.

乙：握住第四个结.

丙：握住第八个结.

拉紧绳子，让一个同学用量角器，测出这三角形其中的最大角.发现这个角是多少度？古埃及人曾经用这种方法得到直角，这三边满足了什么条件？怎样的三角形才能成为直角三角形呢？这就是我们今天要研究的内容.

【教学说明】利用古埃及人得到直角的方法，学生亲自动手实践，体验从实际问题中发现数学，同时明确了本节课的研究问题.既进行了数学史的教育，又锻炼了学生的动手实践、观察探究的能力.

二、思考探究，获取新知

直角三角形的判别

做一做：

下面的三组数分别是一个三角形的三边a、b、c.

5、12、137、24、258、15、17

1.这三组数都满足a2+b2=c2吗？

2.分别用每组数为三边作三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？

3.如果三角形的三边长为a、b、c，并满足a2+b2=c2.

那么这个三角形是直角三角形吗？

【教学说明】鼓励学生大胆发言，让他们体验通过实际的计算和探究得到结论的乐趣，增强了他们勇于探索的精神.

【归纳结论】如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.大家可以想这样的勾股数是很多的.今后我们可以利用“三角形三边a、b、c满足a2+b2=c2时，三角形为直角三角形”来判断三角形的形状，同时也可以用来判定两条直线是否垂直的方法.

三、运用新知，深化理解

1.下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由.

（1）9,12,15;

（2）15,36,39;

（3）12,35,36;

（4）12,18,22.

2.已知△ABC中BC=41，AC=40，AB=9，则此三角形为三角形，是最大角.

3.四边形ABCD中已知AB=3，BC=12，CD=13，DA=4，且∠DAB=90°，求这个四边形的面积.

【教学说明】学生独立完成，能够加深判断一个三角形是直角三角形的条件的理解，帮助学生答疑解惑，及时指导，矫正强化.在完成上述题目后，引导学生完成《创优作业》中本课时的“课堂自主演练”部分.

【答案】

1.（1）（2）两组能作为直角三角形的三边长.

∵92+122=152，152+362=392.

∴这两个三角形都是直角三角形.

2.直角，∠A

3.解：连结BD，在△ABD中，∠DBA=90°，BD2=AB2+AD2=32+42，BD=5.在△DBC中，∵52+122=132，即DB2+BC2=DC2，∴△DBC为直角三角形，∠DBC=90°，∴S四边形ABCD=S△DAB+S△DBC=×3×4+×5×12=36.

四、师生互动，课堂小结

1.判断一个三角形是直角三角形的条件.

2.今天的学习，你有哪些收获？还有哪些困惑？与同学交流.

【教学说明】及时反馈教与学双边活动的结果，查漏补缺，让学生养成系统整理知识的好习惯.

1.教材P10-11习题1.3第2、3、4题.

2.完成练习册中本课时相应练习.

这是勾股定理的逆向应用.大部分同学只要能正确掌握勾股定理的话，都不难理解.当然勾股定理的理解是关键.

3勾股定理的应用

1.能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题.

2.学生观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念.

3.在将实际问题抽象成几何图形的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.

4.在不同条件，不同环境中反复运用勾股定理及直角三角形的判定条件，使学生达到熟练、灵活运用的程度.在解决问题的过程中，培养学生的空间观念，提高学生建立数学模型的能力.

5.通过解决实际问题，提高了学生应用数学的意识和锻炼了学生与他人交流合作的意识，再次感悟勾股定理和直角三角形判定的应用价值.

【教学重点】

探索发现给定事物中隐含的勾股定理及直角三角表判定条件，并用它们解决生活中的实际问题.

【教学难点】

利用数学中的建模思想构造直角三角形，灵活运用勾股定理及直角三角形的判定，解决实际问题.

一、创设情境，导入新课

勾股定理的应用

前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？

例如：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需要多长的梯子？

日常生活当中，我们还会遇到下面的问题.

【教学说明】回忆勾股定理，巩固旧知识，解决实际问题，完成知识的过渡，为学生学习新知识又一次打下了坚实的基础.

二、思考探究，获取新知

蚂蚁怎么走最近？

出示问题：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？（π的取值3）.

（1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？

（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B点的最短路线是什么？你画对了吗？

（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱的侧面爬行的最短路程是多少？

【教学说明】让学生经历把曲面上两点之间的距离转化为平面上两点之间线段最短更为直观，再次利用勾股定理解决生活中较为复杂的实际问题，使所学的知识得到充分运用.

【归纳结论】我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA′将圆柱的侧面展开（如下图）.

我们不难发现，刚才几位同学的走法：

哪条路线是最短呢？你画对了吗？

第（4）条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”.

三、运用新知，深化理解

1.甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走.1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北进行，上午10∶00，甲、乙两人相距多远？

2.如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长？

【教学说明】学生独立解决，把生活中的实际问题转化为解直角三角形，对学生所学的知识进行强化，以利于教师及时纠正.

【答案】1.分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型.

解：（如图）根据题意，可知A是甲、乙的出发点，10∶00时甲到达B点，则AB=2×6=12（千米）；乙到达C点，则AC=1×5=5（千米）.

在Rt△ABC中，BC2=AC2+AB2=52+122=169=132，所以BC=13千米.即甲、乙两人相距13千米.

2.分析：从题意可知，没有告诉铁棒是如何插入油桶中，因而铁棒的长是一个取值范围而不是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的A点处，铁棒最短时是垂直于底面时.

解：设伸入油桶中的长度为x米，则应求最长时和最短时的值.

（1）x2=1.52+22，x2=6.25，x=2.5

所以最长是2.5+0.5=3（米）.

（2）x=1.5，最短是1.5+0.5=2（米）.

答：这根铁棒的长应在2～3米之间（包含2米、3米）.

四、师生互动，课堂小结

通过本节课的学习，你掌握了哪些知识？还有哪些疑问？

【教学说明】学生梳理知识，加强教与学的互通，进一步提高课堂教学的效果.

1.教材P14~15第1、2、3、4题.

2.完成练习册中本课时相应练习.

这节课的内容综合性比较强，可能有些同学掌握得不是太好，今后要继续加强这方面的训练.

本章归纳总结

1.掌握勾股定理和如何判断一个三角形是直角三角形，能灵活运用它们解决实际问题.

2.通过梳理本章知识点，回顾解决实际问题中所涉及的数形合的思想和逆向思维思考问题，以便能熟练灵活运用.

3.让学生养成把已有的知识建立联系的思维习性，积极参与数学活动，在活动中学会思考、讨论、交流和合作，激发他们的求知欲望.

4.用勾股定理和如何判断一个三角形是直角三角形解决简单问题.

【教学难点】

能理解运用勾股定理解题的基本过程；掌握在复杂图形中确定相应的直角三角形，根据勾股定理建立方程.

一、知识框图，整体把握

【教学说明】引导学生回顾本章知识点，构建知识结构框架，让学生比较系统地了解本章知识及它们之间的相互联系.

二、释疑解惑，加深理解

1.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法有多种，一般是采用剪拼的方法，它把“数与形”巧妙地联系起来，是几何与代数沟通的桥梁，同时也为后面的四边形、圆、圆形变换、三角函数等知识的学习提供了方法和依据.

说明：利用面积相等是证明勾股定理的关键所在.

2.勾股定理中的分类讨论

在勾股定理的实际运用中，如果不明给出直角三角形中有两条边的长，要求第三条边的长就需要分两种情况讨论，即第一种情况是告诉两条直角边长求斜边，第二种情况是告诉一条直角边和斜边长求另一条直角边.

3.曲面两点间的距离问题

在解决曲面中两点间的距离时，往往是要将曲面问题转化为同一平面内两点之间的距离，这是解决问题的关键.

三、典例精析，复习新知

例1 一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE（如 图所示），求CD的长.

【分析】设CD为x，∵AD=BD，∴AD=8-x.  ∴在△ACD中，根据勾股定理列出关于x的方程即可求解.

解：由折叠知，DA=DB.在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，若设CD=xcm，则AD=DB=（8-x）cm，代入上式得62+x2=（8-x）2，解得x=7/4=1.75(cm)，即CD的长为1.75cm.

例2有一个立方体礼盒如图所示，在底部A处有一只壁虎，C′处有一只蚊子，壁虎急于捕捉到蚊子充饥.

（1）试确定壁虎所走的最短路线；

（2）若立方体礼盒的棱长为20cm，则壁虎如果想在半分钟内捕捉到蚊子，每分钟至少要爬行多少厘米？（保留整数）

【分析】求几何表面的最短距离时，通常可以将几何体表面展开，把立体图形转化为平面图形.

解：（1）若把礼盒上的底面A′B′C′D′竖起来，如图所示，使它与立方体的正面（ABB′A′）在同一平面内，然后连接AC′，根据“两点间线段最短”知线段AC′就是壁虎捕捉蚊子所走的最短路线.

（2）由（1）得，△ABC′是直角三角形，且AB=20，BC′=40.根据勾股定理，得AC′2=AB2+BC′2=202+402,AC′≈44.7（cm）,44.7÷0.5≈90（cm/min）.

所以壁虎要想在半分钟内捕捉到蚊子，它每分钟至少爬行90厘米（只入不舍）.

【教学说明】师生共同回顾本章主要知识，对于例题中需要注意的事项教师可以适当点评，便于学生熟练加以运用.

四、复习训练，巩固提高

1.已知在△ABC中，∠B=90°，一直角边为a，斜边为b，则另一条直角边c满足c2=       .

2.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=12，c-b=8，则b=       ，c=       .

3.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足，AC=2.1，BC=2.8.

求：（1）△ABC的面积；

（2）斜边AB的长；

（3）斜边AB上的高CD的长；

（4）斜边被分成的两部分AD和BD的长.

【答案】1.b2-a2；2.5，13；

3.解：（1）S△ABC=AC×BC=×2.1×2.8=2.94.

（2）AB2=AC2+BC2=2.12+2.82=12.5,∴AB=3.5.

（3）由三角形的面积公式得AC×BC=AB×CD，所以×2.1×2.8=×3.5×CD，解得CD=1.68.

（4）在Rt△ACD中，由勾股定理得AD2+CD2=AC2，

∴AD2=AC2-CD2=2.12-1.682

=（2.1+1.68）(2.1-1.68)

=3.78×0.42=2×1.89×2×0.21

=22×9×0.214×0.21.

∴AD=2×3×0.21=1.26.

∴BD=AB-AD=3.5-1.26=2.24.

五、师生互动，课堂小结

本节复习课你能灵活运用勾股定理和如何判断一个三角形是直角三角形的解决问题吗？还有哪些不足？

【教学说明】教师引导学生归纳本章主要的知识点，对于遗漏或需要强调的地方，教师应及时补充和点拨.

1.复习题4.5第11、12题.

2.完成练习册中本课时相应练习.

勾股定理是解决线段计算问题的主要依据，它单独命题比较少见，更多时候是与其他知识综合应用，在综合题中如何找到适当的直角三角形是解题的关键.