黑龙江省哈尔滨市重点中学2023-2024学年高三上学期数学开学考试试卷

这是一份黑龙江省哈尔滨市重点中学2023-2024学年高三上学期数学开学考试试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（前8个小题为单选题，每题只有一个选项，每题5分，满分40分；后4小题为多选题，每题不只有一个选项，每题5分，满分20分）
1．已知集合A={-1，1，2，4}，B={x||x-1|≤1}，则A∩B=（ ）
A．{-1，2}B．{1，2}C．{1，4}D．{-1，4}
2．“0A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知a>b，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．1a>1bB．a2>b2C．lna>lnbD．2a-b>1
4．方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．已知f(x)=lg(e|x|+1)，a=20.3，b=lg32，c=lg214，则f(a)、f(b)、f(c)的大小关系为（ ）
A．f(c)>f(a)>f(b)B．f(b)>f(a)>f(c)
C．f(a)>f(b)>f(c)D．f(c)>f(b)>f(a)
6．函数f(x)=x2lg32+x2−x的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
7．随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟，其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：L=32.44+20lgD+20 lgF，其中D为传输距离，单位是km，F为载波频率，单位是MHz，L为传输损耗（亦称衰减）单位为dB．若传输距离变为原来的4倍，传输损耗增加了18dB，则载波频率变为原来约（ ）倍（参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.5）
A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍
8．已知函数f(x)=lg12(x2−ax+3a)在[2，+∞)上单调递减，则a的取值范围（ ）
A．(−∞，4]B．(−4，4]C．[−4，4]D．(−4，+∞)
二、多选题（共4个小题，每题不只有一个选项，每题5分，满分20分）
9．已知x>0，y>0，且2x+y=2，则下列说法中正确的是（ ）
A．xy的最大值为12B．4x2+y2的最大值为2
C．4x+2y的最小值为4D．2x=xy的最小值为4
10．已知函数f(x)=lnx+2x，x>021−x，x≤0则下列结论正确的是（ ）
A．f(x)在R上为增函数
B．f(e)>f(2)
C．若f(x)在(a，a+1)上单调递增，则a≤-1或a≥0
D．当x∈[-1，1]时，f(x)的值域为[1，2]
11．函数f(x)=22x−2x+1+2的定义域为M，值域为[1，2]，下列结论中一定成立的结论是（ ）
A．M⊆(−∞，1]B．M⊇[−2，1]
C．1∈MD．0∈M
12．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且函数f(x+1)为偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f(x)的图象关于直线x=1对称
B．当x∈[−7，7]时，f(x)的零点有6个
C．f(x+4)=f(x)
D．若f(1)=1，则i=12022f(i)=−1
三、填空题（共4个小题，，每题5分，满分20分）
13．已知函数f(x)=lg15(x+1)，x≥0(12)x2−3，x<0，则f(f(−1))= ．
14．若偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递减，且f(1)=0，则不等式f(x2−3x+3)≥0的解集是 。
15．已知函数f(x)=|lnx|，x>0ex+1，x≤0，且函数g(x)=f(x)−a恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是 ．
16．函数f(x)=1x−1-2cs(πx)在[-3，5]上的所有零点之和为 。
四、解答题（共6题，第17题10分，第18至第22题每题12分，共70分）
17．盒中有4个球，分别标有数字1、1、2、3，从中随机取2个球．
（1）求取到2个标有数字1的球的概率；
（2）设X为取出的2个球上的数字之和，求随机变量X的分布列及数学期望．
18．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，其中b=2．
（1）若A+C=120°，a=2c，求边长c；
（2）若A-C=15°，a=2csinA，求△ABC的面积．
19．已知等比数列an的各项均为正值，a3是4a1、2a2的等差中项，a5=32，记bn=lg2a2n−1．
（1）求数列an和bn的通项公式；
（2）设数列1bnbn+1的前n项和为Tn，证明：Tn=12．
20．已知函数f(x)=m(x+1x)−2，x>02(x+1x)+n，x<0是奇函数.
（1）求实数m，n的值；
（2）若对任意实数x，都有f(e2x)+λf(ex)≥0成立.求实数λ的取值范围.
21．如图，椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为12，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB的斜率为0时，|AB|=4．
（1）求椭圆的方程；
（2）求使|AB|+|CD|取最小值时直线AB的方程．
22．已知函数f(x)=x2+ax+blnx(a，b∈R)，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x−y−2=0．
（1）求a、b的值；
（2）求证：当m≥，x＞1时，不等式m(ex-e)>ef(x)恒成立．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：x−1≤1解得0≤x≤2，∴A∩B=1，2.
故答案为：B
【分析】先解绝对值不等式，再利用交集的定义即可求解.
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的定义域及其求法；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为函数f(x)=1ax2−ax+1的定义域为R，所以ax2−ax+1≠0恒成立，若a=0，则1≠0恒成立，符合题意.
若a≠0则∆=a2−4a<0，解得0充分不必要的条件.
故答案为：B
【分析】先根据函数f(x)的定义域为R求出a的取值范围，再利用充要条件的定义即可求解.
3．【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较大小；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：A若a=2，b=-1，则1a>1b所以A选项错误.
B若a=2，b=-3，则a2 C当a，b中有一个为负数，则对数式没有意义，所以C选项错误.
D∵a>b∴a−b>0，∴2a−b>20=1所以D选项正确.
故答案为：D
【分析】利用特殊值可以判断ABC选项，利用指数函数的单调性可以判断D选项.
4．【答案】B
【知识点】函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：∵a>0∴a2+1>1，结合函数y=x2−2x与y=a2+1的图像可得两个函数图象有两个交点，即方程 |x2-2x|=a2+1
解有两个.
故答案为：B
【分析】先画出函数y=x2−2x的图像，再结合a2+1>1，把方程的解的个数转换成函数图象交点的个数问题即可
5．【答案】A
【知识点】复合函数的单调性；函数的奇偶性；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由已知可得函数f(x)=lg(e|x|+1)的定义域为R，且f−x=lge−x+1=lg(e|x|+1)=fx所以f(x)是偶函数.
当x>0时，f(x)=lg(ex+1)，由复合函数的单调性可得f(x)在0，+∞上单调递增.
因为a=20.3>20=1，0fa>fb.
故答案为：A
【分析】先利用奇偶函数的定义判断出f(x)为偶函数，再利用复合函数的单调性判断出f(x)在0，+∞上单调递增，结合指数、对数的性质比较出a，b，c的大小即可求解.
6．【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】函数f(x)=x2lg32+x2−x定义域为(−2，2)，f(−x)=(−x)2lg32−x2+x=−f(x)，
则有函数f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，B，C不满足；
当x∈(0，2)时，2+x2−x>1，即lg32+x2−x>0，因此f(x)>0，A不满足，D符合条件.
故答案为：D
【分析】 求得f (x)的定义域，判断f (x )的奇偶性，当x∈(0，2)时，函数值的符号，由排除法可得答案.
7．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：设D0为变化后的传输距离，L0为变化后的传输损耗，F0为变化后的载波频率，则D0=4D，L0=L+18
由已知条件可得L+18=32.44+20lg4D+20lgF0，和变化前的传输关系作差解得lgF0F=910−lg4=0.9−0.3×2=0.3，所以F0F=100.3≈2
故答案为：B
【分析】由前后两个传输公式作差，结合对数运算即可求解.
8．【答案】B
【知识点】复合函数的单调性；二次函数的性质
【解析】【解答】解：因为函数f(x)=lg12(x2−ax+3a)在[2，+∞)上单调递减 ，则函数y=x2−ax+3a在[2，+∞)上单调递增且y>0恒成立.
即a2≤222−2a+3a>0解得−4故答案为：B
【分析】先利用复合函数的单调性判断出y=x2−ax+3a在[2，+∞)上单调递增且y>0恒成立，根据二次函数的性质列出不等关系组即可求解.
9．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A由已知可得 2x+y=2≥22xy，解得xy≤12，当且仅当2x=y即x=12，y=1时等号成立，故A选项正确.
B 由已知可得y=2-2x>0，即0C 由基本不等式可得4x+2y≥24x×2y=222x+y=4，当且仅当2x=y即x=12，y=1时等号成立，故C选项正确.
D 2x+xy=2x+yx+xy=2+yx+xy≥2+21=4当且仅当xy=yx即x=y=23时等号成立，故D选项正确.
故答案为：ACD
【分析】由基本不等式逐一验证即可求解.
10．【答案】B,C
【知识点】复合函数的单调性；函数的最大（小）值；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A 因为f0=2，f12=−ln2+2<2，0<12，但f0>f12，所以 f(x)在R上不是增函数 ，故A选项错误.
B 由题意可得 f(x)在0，+∞上为增函数，因为e>2，所以f(e)>f(2)正确，故B选项正确.
C 由题意可得 f(x)的增区间为0，+∞，(−∞，0]，若f(x)在(a，a+1)上单调递增 ，则(a，a+1)⊂0，+∞或(a，a+1)⊂(−∞，0]
解得 a≤-1或a≥0 ，故C选项正确.
D 当x∈[−1，0]时，fx∈1，2，当x∈(0，1]时，fx∈(−∞，2]所以 当x∈[-1，1]时，f(x)的值域为（−∞，2]故D选项错误.
故答案为：BC
【分析】找两个特殊值就可以排除A，利用单调性可判断B，C，D
11．【答案】A,C,D
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；指数函数单调性的应用；指数函数综合题
【解析】【解答】解：令t=2xt>0可得y=t2−2t+2，因为y∈1，2所以1≤t2−2t+2≤2解得0 所以 M=(−∞，1]，逐个验证可得A，C，D正确，B选项错误.
故答案为：ACD
【分析】先用换元法把函数转化成二次函数，利用值域求出t的取值范围，再利用指数函数的单调性求出M，逐一验证即可求解.
12．【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；函数的零点
【解析】【解答】解：A 因为函数f(x+1)为偶函数，所以f(x+1)=f−x+1，即函数f(x)的图象关于直线x=1对称，故A选项正确.
C 由A选项可得f2+x=f−x，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f−x=−fx即f2+x=−fx变形可得
f(x+4)=f(x)故C选项正确.
B 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数所以函数的零点也是奇数，故B选项错误.
D 由C选项可知f(x)是周期为4的周期函数，因为f2+x+fx=0所以f0+f2=0，f1+f3=0，
f1+f2+f3+f4=0，所以i=12022fi=505×0+f1+f2=f1=1故D选项错误.
故答案为：AC
【分析】利用奇偶函数得f(x)是周期为4的周期函数，逐个验证即可.
13．【答案】-1
【知识点】函数的值
【解析】【解答】因为f(x)=lg15(x+1)，x≥0(12)x2−3，x<0，所以f(−1)=(12)1−3=4，
所以f(f(−1))=f(4)=lg155=−1。
故答案为：-1。
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式，再结合x的取值范围和代入法得出函数的值。
14．【答案】[1，2]
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由已知条件f（1）=0可得f(x2−3x+3)≥f1， 因为偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递减，所以x2−3x+3≤1，
解得1≤x≤2
故答案为：[1，2]
【分析】利用函数的单调性和奇偶性转化成x2−3x+3≤1，，解不等式即可求解.
15．【答案】(1，2]
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】由g(x)=0得f(x)=a，即函数g(x)的零点是直线y=a与函数y=f(x)图象交点横坐标，
当x≤0时，f(x)=ex+1是增函数，函数的值域为(1，2]，
当0当x>1时，f(x)=lnx是增函数，当x→+∞时，f(x)→+∞，
在坐标平面内作出函数y=f(x)的图象，如图，
观察图象知，当1所以实数a的取值范围是：1故答案为：(1，2].
【分析】作出函数f(x)的图象，函数g(x)的零点是直线y=a与函数y=f(x)图象交点横坐标，即可求解.
16．【答案】8
【知识点】余弦函数的图象；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：函数fx=1x−1−2csπx=0，即1x−1=2csπx，函数y=1x−1和y=2csπx都关于直线x=1对称，所以
两个函数的交点业关于直线x=1对称，根据余弦函数的周期性可知，两个函数在区间−3，5上共有8个交点，利用对称性可得交点的横坐标和为x1+x2+⋯+x8=2×4=8
故答案为：8
【分析】将函数零点问题转化为函数y=1x−1和y=2csπx的交点问题.
17．【答案】（1）解：取到2个标有数字1的球的概率P=C22C42=16；
（2）解：由题意可知，X所有可能的取值为2，3，4，5，
P（X=2）=C22C42=16，P（X=3）=C21C12C42=13，P（X=4）=C21C11C42=13，P（X=5）=C11C11C42=16，
故X的分布列为：
故E(X)=2×16+3×13+4×13+5×16=72
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)利用组合数结合古典概率模型计算公式即可求解.
(2)利用组合数结合古典概率模型计算公式分别求出概率值，利用离散型概率期望公式即可求解.
18．【答案】（1）解：∵A+C=120°，且a=2c，
∴sinA=2sinC=2sin(120°-A)=3csA+sinA，
∴csA=0，又因为0∵A+C=120°∴C=120°−A=120°−90°=30°，∴B=60°，
∵b=2，tanB=bc=2c=3
∴c=233
（2）解：a=2csinA，
则sinA=2sinCsinA，
sinA>0，
∴sinC=22，
∵A-C=15°，
∴C为锐角，
∴C=45°，A=60°，B=75°，
∴asin60°=2sin75°=82+6
∴a=432+6=32−6
∴S△ABC=12abcsinC=12×432+6×2×22=3−3
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【分析】(1)利用正弦定理和和差角公式进行化简，即可求出csA=0，进而求出角A，B，C，再利用勾股定理即可求出边c.
(2)利用正弦定理先求出sinC=22，根据 A-C=15° 可判读出C为锐角，结合已知即可求出三个角，再利用三角形面积公式即可求解.
19．【答案】（1）解：解：设数列{an}的公比为q，则q>0，
由题意知4a1+2a1=2a3a5=32，可得4a1+2a1q=2a1q2a1q4=32q>0，解得q=2a1=2，
所以an=2⋅2n−1=2n，bn=lg22n−1=2n−1.
（2）证明：因为1bnbn+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)
所以.Tn=121−13+13−15+⋯12n−1−12n+1=121−12n+1<12
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）根据已知条件和等比数列的通项公式即可求出a1，q，再利用等比数列的通项公式即可求解.
(2先利用裂项求和法求出Tn=12(1−12n+1)，再用分析法即可证明.
20．【答案】（1）解：当x>0时，f(−x)=2[(−x)+1(−x)]+n，
因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)，
所以f(−x)=2(x+1x)−n，
又x>0时，f(−x)=m(x+1x)−2
所以m=2n=2，
又当x<0时，同理可得m=2n=2，
综上m=2n=2.
（2）解：因为e2x>0，ex>0，
原不等式化为2(e2x+1e2x)−2+2λ(ex+1ex)−2λ≥0，
令t=ex+1ex，则t≥2，
原不等式进一步化为t2+λt-λ-3≥0在t≥2上恒成立，
记g(t)=t2+λt-λ-3，t∈[2，+∞)，
①当−λ2≤2时，即λ≥-4时，
g(t)min=g(2)=λ+1≥0，
所以λ≥-1，符合题意；
②当−λ2>2时，即λ<-4时，
g(t)min=g(−λ2)=−λ24−λ−3≥0，显然矛盾.
综上，实数λ的取值范围为{λ|λ≥-1}.
【知识点】函数的奇偶性；二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【分析】(1)根据函数是奇函数，利用奇函数的定义即可求出m，n.
(2)利用换元法转化成二次函数在在t≥2上恒成立问题，对λ分类讨论①当−λ2≤2时②当−λ2>2时 分别求出λ 即可求解.
21．【答案】（1）解：由题意知e=ca=12，2a=4，又
a2=b2+c2，解得a=2，b=3，
∴椭圆方程为x24+y23=1.
（2）解：①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，
另一条弦所在直线的斜率不存在，
由题意知|AB|+|CD|=7，不满足条件.
②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，
设直线AB的方程为y=k(x一1)，
则直线CD的方程为y=−1k(x−1)，设
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线AB的方程代入祁有圆方程中并整理得
(3+4x2)x2-8k2x+4x2-12=0，
则x1+x2=8k23+4k2，x1⋅x2=4k2−123+4k2，
∴|AB|=k2+1|x1−x2|
=k2+1⋅(x1+x2)2+4x1x2
=12(k2+1)3+4k2，
同理，|CD|=12(1k2+1)3+4k2=12(k2+1)3k2+4，
∴|AB|+|CD|
=12(k2+1)3+4k2+12(k2+1)3k2+4
=84(k2+1)2(3+4k2)(3k2+4)
≥84(k2+1)2(3+4k2+3k2+42)2
=487，
当且仅当3+4k2=3k2+4，即k=±1时，上式取等号，
∴直线AB的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)利用椭圆的定义和几何性质即可求解.
(2)分两种情况讨论
①两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，不符合题意.
②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设出直线AB的方程，和椭圆方程联立，利用弦长公式求出AB=12(k2+1)3+4k2，同理，|CD|=12(k2+1)3k2+4，化简利用基本不等式即可求解.
22．【答案】（1）解：∵f(x)=x2+ax+blnx(a，b∈R)，
∴f′(x)=2x+a+bx，
∴f(1)=a+1，f′(1)=a+b+2，将点(1，f(1))
代入切线方程得2×1−f(1)−2=0，可得f(1)=0
∴f(1)=a+1=0，f′(1)=a+b+2=2，解得a=−1，b=1.
（2）解：证明：由(1)得f(x)=x2−x+lnx，当m≥2，x>1时，要证不等式m(ex-e)≥ef(x)，
即证m(ex-1)>x2-x+Inx，
当x>1时，先证2(ex-1-1)>x2-x+lnx，
构造函数g(x)=2(ex-1-1)-x2+x-lnx，
x>1，则g′(x)=2ex−1−2x+1−1x=2(ex−1−x)+x−1x
构造函数h(x)=ex-1-x，x>1，则h'(x)=ex-1-1，当x>1时，h'(x)>0，
∴函数h(x)在(1，+∞)上单调递增，
∴当x>1时，h(x)>h(1)=0，则ex-1-x>0，
∴g′(x)=2(ex−1−x)+x−1x>0，
∴函数g(x)在(1，+∞)上单调递增，
∴g(x)>g(1)=0，即当x>1时，2(ex-1-1)>x2-x+Inx，
则当m≥2，x>1时，m(ex-1-1)>2(ex-1-1)>x2-x+Inx，
∴当m≥2，x>1时，不等式m(ex-e)>ef(x)恒成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)利用求导公式求导，根据导数的几何意义求出切线方程，代入即可求解.
(2)构造函数g(x)=2(ex-1-1)-x2+x-lnx，求导再构造函数h(x)=ex-1-x，求导利用单调性讨论即可求解.X
2
3
4
P
16
13
13