湘豫名校联考2023届高三下学期理数2月入学摸底考试试卷

这是一份湘豫名校联考2023届高三下学期理数2月入学摸底考试试卷，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合A={y|y=sinx，x∈R}，B={x|x(x−3)<0} ，则A∩B=（ ）
A．(1，3]B．(0，1]C．[−1，3)D．(0，1)
2．复数z=3−i4+5i的共轭复数是（ ）
A．741+1941iB．741−1941i
C．−741+1941iD．−741−1941i
3．2022年秋，某京剧演员因疫情原因无法演出，在短视频平台开设自己的账号，不断直播京剧知识.初始直播时已有50名粉丝，经过x天后，粉丝人数F(x)满足关系式：F(x)=M⋅ekx(x≥0)，其中M，k为常数，若开播10天后有200名粉丝，则开播30天后预计该京剧演员在平台上的粉丝数量为（ ）
A．600B．800C．3200D．3400
4．函数f(x)=2−4sin2x2x2+1的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
5．河南一国家级湿地，以其独特的地理环境和良好的生态环境，吸引了全国近三分之一的鸟种在此繁衍生息，成了鸟类自然保护区.天鹅戏水、白鹭觅食，形成了一幅群鸟嬉戏的生态美景.该保护区新建一个椭球形状的观鸟台，椭球的一部分竖直埋于地下，其外观的三视图（单位：米）如下，正视图中椭圆（部分）的长轴长为16米，则该椭球形状观鸟台的最高处到地面的垂直高度为（ ）
A．8米B．10米C．12米D．16米
6．执行如图所示的程序框图，若输入k的值为1，则输出n的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．若一个数列的后项与其相邻的前项的差值构成的数列为等差数列，则称此数列为二阶等差数列.现有二阶等差数列：2，3，5，8，12，17，23，…，设此数列为{an}，若数列{bn}满足bn=1an+1−2，则数列{bn}的前n项和Sn=（ ）
A．n+1nB．2(n+1)nC．nn+1D．2nn+1
8．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线y=−33x与双曲线C交于A，B两点（点A在第二象限），且|AB|=32|F1F2|.则双曲线C的离心率为（ ）
A．13+13B．3+12C．7+13D．5
9．某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，以单次最大续航里程500公里为标准进行测试，且每辆汽车是否达到标准相互独立，设每辆新能源汽车达到标准的概率为p（0A．0.2B．0.3C．0.6D．0.8
10．在△ABC中，若内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC的平分线交AC于点D，BD=1且b=2，则△ABC周长的最小值为（ ）
A．7B．22C．2+22D．4
11．某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为4，上底面的直径为8，已知AB为上底面的直径，点P是上底面圆周上一点，且AP=BP，PC是该圆台的一条母线，且PC=25，则PC与平面ABC所成的角的正弦值为（ ）
A．25B．35C．34D．45
12．设函数f(x)=1116(x+1)，−3≤x≤k，13x3+x2−118，kA．[334，32]B．(334，32]C．[−3，334]D．(−3，334]
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知x>0，y>0，且x+2y=4，则xy的最大值是 .
14．在(2x3+1)(x−1x2)5的展开式中x2的系数为 ．
15．已知函数f(x)=2sinx+csx，若∃θ∈R，∀x∈R，f(x)≤f(θ)，则tan2θ的值为 .
16．已知实数a>0，函数f(x)=ex+acsx，g(x)=2asin(x+π4).若方程f(x)=g(x)在(0，+∞)上有且仅有4个实数根，则实数a的取值范围是 .
三、解答题（共70分）
17．（10分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，a2=1，Sn+1=Sn+2Sn−1(n≥2).
（1）证明：数列{Sn+1+Sn}是等比数列，并求Sn；
（2）设bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
18．（10分）抖音（TikTk）是由今日头条推出的一款短视频分享APP，于2016年9月上线，是一个专注于年轻人音乐短视频创作分享的社区平台.抖音的出现是一把双刃剑，可以鼓励人们表达、沟通和记录，让每一个人看见并连接更大的世界，但同时也出现部分网民长时间沉迷刷抖音的现象，长时间刷抖音会影响用眼健康.为了解网民刷抖音的情况，某研究小组从抖音用户中随机抽取100人，对其平均每天刷抖普的时长进行统计，得到统计表如下：
该研究小组按照用户平均每天刷抖音时长将沉迷刷抖音程度分为重度、中度、轻度、若某人平均每天刷抖音的时长不少于3小时则称为“重度沉迷”；平均每天刷抖音的时长大于1小时且小于3小时，叫称为“中度沉迷”；平均每天刷抖音的时长不大于1小时，则称为“轻度沉迷”.
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
（1）根据调查数据，填写下面列联表，并根据数据判断是否有95%的把握认为性别与是否为“重度沉迷”刷抖音有关系？
（2）该研究小组为鼓励用户适度刷抖音，从这100名研究对象中按分层抽样的方式随机抽取20位，分别给与“重度沉迷”“中度沉迷”和“轻度沉迷”的抖音用户50元、100元、150元的购书券奖励.现从这20位抖音用户中随机抽取两人，求这两人所获得购书券总和X的分布列和期望.
19．（10分）如图，四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°，ED⊥平面ABCD，FB//ED，AB=ED，设FB=λED(0<λ<1)，连接AC，BD交于点M，连接EM，FM.
（1）试问是否存在实数λ，使得EM⊥平面AFC?若存在，请求出λ的值，并写出求解过程；若不存在，请说明理由.
（2）当λ=12时，求平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值.
20．（10分）已知抛物线C1：y2=2px(p>0)与椭圆C2：x22+y2=1存在相同的焦点，第一象限内曲线C1上的一点M(t，s)到其焦点的距离为2，直线l与C1相交于A，B两点（不与M点重合），直线MA，MB关于直线x=t对称.
（1）求证：直线AB的斜率为定值；
（2）若椭圆C2上存在不同的两点关于直线AB对称，求原点到直线AB距离的取值范围.
21．（10分）已知函数f(x)=x(2lnx−1).
（1）求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
（2）若函数ℎ(x)=f(x)+a(1−lnx)(a∈R)有两个零点，求实数a的取值范围.
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为y=tx=2(t−22)（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2(1+3sin2θ)=1.
（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）若射线θ=β（其中β∈(0，π)，且tanβ=−12，ρ≥0）与曲线C在x轴上方交于点M，与直线l交于点N，求|MN|.
23．（10分）已知a∈R，b∈R，且a+b=2.
（1）证明：a2+b2≥2；
（2）若b>0，a≠0，求12|a|+|a|2(b+2)的最小值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由题意得，集合A={y|y=sinx，x∈R}=[−1，1]，B={x|x(x−3)<0}=(0，3) ，
故A∩B=(0，1]，
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合正弦函数求值域的方法得出集合A，再结合一元二次不等式求解方法得出集合B，再利用交集的运算法则，进而得出集合A和集合B的交集。
2．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为z=3−i4+5i=(3−i)(4−5i)(4+5i)(4−5i)=7−19i41=741−1941i，
所以复数z的共轭复数是741+1941i.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则得出复数z，再结合复数与共轭复数的关系，进而得出复数z的共轭复数。
3．【答案】C
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】根据题意，得M=50，M⋅e10k=200.解得M=50，ek=4110.
故F(x)=50×4110x.
当x=30时，F(30)=50×43=3200.
所以开播30天后预计该京剧演员在平台上的粉丝数量为3200.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合函数建模的方法，再结合代入法得出开播30天后预计该京剧演员在平台上的粉丝数量。
4．【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】f(x)=2−4sin2x2x2+1定义域为R，且f(−x)=2−4sin2(−x)2(−x)2+1=2−4sin2x2x2+1=f(x)，
所以f(x)为偶函数，排除C；
令x=0，得f(0)=2，排除B；
因为f(π4)=0，排除D，A符合要求，.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义，从而判断出函数为偶函数，再结合偶函数的图象的对称性和特殊点排除法，进而找出合适可能的图象。
5．【答案】C
【知识点】椭圆的应用；由三视图还原实物图
【解析】【解答】如图，以长轴中点为坐标原点，长轴为y轴，垂直长轴为x轴，建立平面直角坐标系，
设正视图的椭圆（部分）对应的标准方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0)，
结合题意及三视图可得：a=8b=3，
所以椭圆（部分）对应的标准方程为y264+x29=1，
将点(332，y0)代入，可得y0=±4.
故该椭球形状观鸟台的最高处到地面的垂直高度为8+4=12（米）.
故答案为：C.
【分析】以长轴中点为坐标原点，长轴为y轴，垂直长轴为x轴，建立平面直角坐标系，设正视图的椭圆（部分）对应的标准方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0)，结合题意及三视图可得a，b的值，从而得出椭圆（部分）对应的标准方程，再利用已知条件结合代入法，即将点(332，y0)代入，可得y0的值，从而得出该椭球形状观鸟台的最高处到地面的垂直高度。
6．【答案】B
【知识点】程序框图的三种基本逻辑结构的应用
【解析】【解答】输入k=1，第一次循环：12<1+10，k=1+1=2，n=0+1=1；
第二次循环：22<2+10，k=2+1=3，n=1+1=2；
第三次循环：32<3+10，k=3+1=4，n=2+1=3；
第四次循环：42>4+10，结束循环，此时k=4，n=3.所以输出n=3.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构，进而得出输出n的值。
7．【答案】D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【解答】由题可知，数列{an+1−an}(n∈N∗)是以a2−a1=1为首项，1为公差的等差数列，
所以an+1−an=1+(n−1)×1=n(n∈N∗).
所以(a2−a1)+(a3−a2)+⋯+(an+1−an)=an+1−a1=1+2+⋯+n.
所以an+1−a1=n(n+1)2.
所以an+1=n(n+1)2+2.
故bn=1an+1−2=1n(n+1)2+2−2=2n(n+1)=2(1n−1n+1)，
所以数列{bn}的前n项和Sn=2(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=2(1−1n+1)=2nn+1.
故答案为：D
【分析】由题结合的等差数列的定义可知，数列{an+1−an}(n∈N∗)是以a2−a1=1为首项，1为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式得出数列{an}的通项公式，再结合bn=1an+1−2，从而得出数列{bn}的通项公式，字节和裂项相消的方法得出数列{bn}的前n项和。
8．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】因为|AB|=32|F1F2|=3c，所以|OA|=3c2.因为kAB=−33，所以∠AOF1=30°.所以cs∠AOF1=32.
根据余弦定理，得|AF1|=|OA|2+|OF1|2−2|OA|⋅|OF1|cs∠AOF1=34c2+c2−2×32c×32c=12c，|AF2|=|OA|2+|OF2|2−2|OA|⋅|OF2|cs∠AOF2=34c2+c2+2×32c×32c=132c.
所以|AF2|−|AF1|=132c−12c=2a.故双曲线C的离心率为e=413−1=13+13.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式得出cs∠AOF1的值，再利用余弦定理和作差法得出a，c的关系式，再结合双曲线离心率公式变形得出双曲线的离心率的值。
9．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；互斥事件与对立事件；二项分布
【解析】【解答】设100辆汽车中恰有80辆达到标准时的概率为f(p)，则f(p)=C10080p80(1−p)20(00，所以f(p)在(0，0.8)上单调递增；当p∈(0.8，1)时，f′(p)<0，所以f(p)在(0.8，1)上单调递减.所以f(p)在p=0.8处取得最大值.所以P(X≥600)=P(X≤500)=1−P(X≥500)=1−0.8=0.2.
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合二项分布求概率公式和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最大值，再结合对立事件求概率公式，进而预测出这款汽车的单次最大续航里程不低于600公里的概率。
10．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】由题可得，S△ABC=S△ABD+S△BCD，即12acsin∠ABC=12BD⋅csin∠ABC2+12BD⋅asin∠ABC2，
又BD=1，所以2acsin∠ABC=csin∠ABC2+asin∠ABC2，则2acsin∠ABC2cs∠ABC2=(c+a)sin∠ABC2，
因为0<∠ABC<π，所以0<∠ABC2<π2，则sin∠ABC2≠0，
所以2accs∠ABC2=c+a，即cs∠ABC2=c+a2ac，
又因为cs∠ABC=c2+a2−42ac，cs∠ABC=2cs2∠ABC2−1，
所以2(c+a2ac)2−1=c2+a2−42ac，整理得(c+a)2=ac[(c+a)2−4]，
所以(c+a)2=ac[(c+a)2−4]≤(c+a)24⋅[(c+a)2−4]，
解得(c+a)2≥8或(c+a)2≤0（舍去），
所以a+c≥22，当且仅当a=c=2时，等号成立，
则b+a+c≥2+22，
故△ABC周长的最小值为2+22.
故答案为：C.
.
【分析】由题可得S△ABC=S△ABD+S△BCD，再利用三角形的面积公式和正弦定理，则2acsin∠ABC2cs∠ABC2=(c+a)sin∠ABC2，再利用三角形中角的取值范围额三角函数的图象求值域的方法，则sin∠ABC2≠0，所以cs∠ABC2=c+a2ac，再利用余弦定理和均值不等式求最值的方法得出a+c的最小值，再结合三角形的周长公式得出三角形△ABC周长的最小值。
11．【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】方法一：由题可得AB=8，因为AP=BP，所以S△ABP=12×8×4=16，
由题意可得圆台的高ℎ=PC2−22=20−4=4，
则CA=42+22+42=6，
所以VC−ABP=13S△ABP⋅ℎ=13×16×4=643，
因为AC=BC=6，所以S△ABC=12×8×36−16=85，
设点P到平面ABC的距离为d，则VP−ABC=13S△ABC⋅d=13×85d=643，
解得d=855，故PC与平面ABC所成的角的正弦值为dPC=85525=45.
故答案为：D.
方法二：如图，设O为上底面的圆心，因为AP=BP，所以AB⊥OP，
设O′为下底面的圆心，所以AB⊥OO′，
因为OP∩OO′=O，OP、OO′⊂平面OO′P，所以AB⊥平面OO′P.
因为O′C//OP，所以O′C⊂平面OO′P，所以AB⊥平面POC，
又AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面POC，
因为平面ABC∩平面POC=OC，
所以PC在平面ABC的射影为OC，则PC与平面ABC所成的角即为∠PCO，
过点C作CD⊥OP于点D，因为OP=4，O′C=2，
所以OD=DP=2，则∠PCO=2∠PCD，
因为PC=25，所以sin∠PCD=DPPC=55，
故cs∠PCO=1−2sin2∠PCD=35，所以sin∠PCO=45.
故答案为：D.
.
【分析】方法一：由题可得AB=8，再利用AP=BP结合三角形的面积公式得出三角形S△ABP的值，再利用勾股定理得出圆台的高和CA的长，再结合棱锥的体积公式得出VC−ABP的值，再利用AC=BC=6和三角形的面积公式得出S△ABC的值，设点P到平面ABC的距离为d，再利用已知条件和三棱锥的体积公式得出d的值，再结合正弦函数的定义得出直线PC与平面ABC所成的角的正弦值；
方法二：设O为上底面的圆心，再利用AP=BP结合等腰三角形三线合一，所以AB⊥OP，设O′为下底面的圆心，所以AB⊥OO′，再利用线线垂直证出线面垂直，所以AB⊥平面OO′P，再结合O′C//OP，所以AB⊥平面POC，再利用线面垂直证出面面垂直，所以平面ABC⊥平面POC，再利用平面ABC∩平面POC=OC，所以PC在平面ABC的射影为OC，则PC与平面ABC所成的角即为∠PCO，过点C作CD⊥OP于点D结合已知条件和正弦函数的定义以及二倍角的余弦公式，进而得出直线 PC与平面ABC所成的角的正弦值。
12．【答案】C
【知识点】函数的值域；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】设g(x)=13x3+x2−118，则g(−3)=−118，g(32)=2，
g′(x)=x2+2x=x(x+2)，
令g′(x)<0，得−20，得x<−2或x>0，故g(x)在(−∞，−2)上单调递增，在(−2，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增.所以g(x)极小值=g(0)=−118，g(x)极大值=g(−2)=−124，
设ℎ(x)=1116(x+1)，则ℎ(−3)=−118.令ℎ(x)=2，得x=2111.
在同一平面直角坐标系中作出函数g(x)和ℎ(x)的图象，如图所示，
联立y=1116(x+1)，y=13x3+x2−118.消去y得13x3+x2−118=1116(x+1)，
化简得16x3+48x2−33x−99=0.整理得(16x2−33)(x+3)=0，解得x=−3或x=−334或x=334.
若数f(x)=1116(x+1)，−3≤x≤k，13x3+x2−118，k故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式画出分段函数的图象，再结合分段函数的图象求值域的方法，进而得出实数k的取值范围。
13．【答案】4
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为x>0，y>0，所以由基本不等式得4=x+2y≥2x⋅2y，
所以x⋅2y≤2，得xy≤2，所以xy≤4，
当且仅当x=2y即x=4，y=1时取等号，所以xy的最大值是4，
故答案为：4
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，进而得出xy的最大值。
14．【答案】15
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】因为(2x3+1)(x−1x2)5=2x3(x−1x2)5+(x−1x2)5，
且(x−1x2)5的展开式为Tr+1=C5r⋅x5−r⋅(−1x2)r=C5r⋅(−1)r⋅x5−3r，
故x2的系数为2C52⋅(−1)2+C51⋅(−1)1=15．
故答案为：15．
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合通项公式得出 (2x3+1)(x−1x2)5的展开式中x2的系数 。
15．【答案】−43
【知识点】二倍角的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】根据题意，f(x)=5sin(x+φ)(csφ=255，sinφ=55).
因为∃θ∈R，∀x∈R，f(x)≤f(θ)，所以f(θ)=f(x)max=5，
所以θ+φ=2kπ+π2，k∈Z.
所以csθ=sinφ，sinθ=csφ，
所以tanθ=csφsinφ=2.
故tan2θ=2tanθ1−tan2θ=−43.
故答案为：−43
【分析】利用已知条件结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再结合恒成立问题求解方法和函数的最值求解方法，进而得出θ+φ=2kπ+π2，k∈Z.再结合诱导公式和同角三角函数基本关系式以及二倍角的正切公式，进而得出 tan2θ的值。
16．【答案】(2e9π4，2e17π4)
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】方法一：因为f(x)=ex+acsx，g(x)=2asin(x+π4)，所以由f(x)=g(x)，得ex=asinx.
所以方程ex=asinx在(0，+∞)上有且仅有4个实数根.
因为a>0，所以1a=sinxex.
令φ(x)=sinxex，则φ′(x)=csx−sinxex.
令φ′(x)>0，即csx>sinx，
所以x∈(0，π4)∪(5π4+2kπ，9π4+2kπ)，k∈N，
所以φ(x)的单调递增区间为(0，π4)，(5π4+2kπ，9π4+2kπ)，k∈N，
令φ′(x)<0可得：φ(x)的单调递减区间为(π4+2kπ，5π4+2kπ)，k∈N.
因为a>0，所以1a>0.因为φ(π4)=sinπ4eπ4=22eπ4，φ(9π4)=sin9π4e9π4=22e9π4，φ(17π4)=sin17π4e17π4=22e17π4，易知φ(π4)>φ(9π4)>φ(17π4)，所以22e17π4<1a<22e9π4，即2e9π4方法二：由题可得，方程f(x)=g(x)，即ex=asinx在(0，+∞)上有且仅有4个实数根.设F(x)=ex，G(x)=asinx，则函数F(x)与G(x)的图象有且仅有4个交点.
如图为两个恰好不成立的临界位置.
设函数F(x)与G(x)相切于点(x0，y0)，又F′(x)=ex，G′(x)=acsx，
所以ex0=asinx0ex0=acsx0，消去a得sinx0=csx0.
因为ex0>0，a>0，所以sinx0>0，csx0>0，
所以x0=π4+kπ，k∈Z.
由图观察知两种临界位置x0分别为k=2时，x0=9π4；k=4时，x0=17π4.
此两种情况对应的a值分别为a1=e9π4sin9π4=2e9π4，a2=e17π4sin17π4=2e17π4，
所以2e9π4故答案为：(2e9π4，2e17π4)
【分析】方法一：利用f(x)=ex+acsx，g(x)=2asin(x+π4)，所以由f(x)=g(x)，得ex=asinx，所以方程ex=asinx在(0，+∞)上有且仅有4个实数根，再利用a>0，所以1a=sinxex，令φ(x)=sinxex，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数φ(x)的单调递减区间为(π4+2kπ，5π4+2kπ)，k∈N，再利用a>0，所以1a>0，再结合特殊值代入法和函数的解析式，进而比较出φ(π4)，φ(9π4)，φ(17π4)的大小，从而得出实数a的取值范围。
方法二：由题可得方程f(x)=g(x)，即ex=asinx在(0，+∞)上有且仅有4个实数根，设F(x)=ex，G(x)=asinx，则函数F(x)与G(x)的图象有且仅有4个交点，设函数F(x)与G(x)相切于点(x0，y0)，再利用F′(x)=ex，G′(x)=acsx，所以sinx0=csx0，再结合ex0>0，a>0，所以sinx0>0，csx0>0，所以x0=π4+kπ，k∈Z，由图观察知两种临界位置x0分别为k=2时，x0=9π4；k=4时，x0=17π4，进而得出此两种情况对应的a值，从而得出实数a的取值范围。
17．【答案】（1）证明：因为Sn+1=Sn+2Sn−1(n≥2)，所以Sn+1+Sn=2(Sn+Sn−1)(n≥2)，
因为a1=1，a2=1，所以S1=1，S2=2，S1+S2=3，
所以数列{Sn+1+Sn}是首项为3，公比为2的等比数列，
即Sn+1+Sn=3×2n−1，n∈N∗，经检验n=1 也成立，整理可得Sn+1+Sn=2n+2n−1，n∈N∗，
由于S2−21=−(S1−20)=0，∴S2=21，S3−22=−(S2−21)=0，∴S3=22 ，…，∴Sn=2n−1，n∈N∗ ；
（2）解：由（1）知：Sn=2n−1，n∈N∗， an=Sn−Sn−1=2n−1−2n−2=2n−2(n≥2)，又a1=1，
∴an=1，n=12n−2，n≥2 ，bn=nan=1，n=1n·2n−2，n≥2 ，
当n≥2时，Tn=1+2×20+3×21+4×22+⋯+n×2n−2…①，
2Tn=1×2+2×21+3×22+4×23+⋯+n×2n−1…②，
-②得：−Tn=1+21+22+23+⋯+2n−2−n×2n−1=1−2n−11−2−n⋅2n−1=(1−n)⋅2n−1−1，
Tn=(n−1)⋅2n−1+1，
又n=1 时，T1=1×a1=1也满足上式，所以Tn=(n−1)⋅2n−1+1，n∈N∗；
综上，：Sn=2n−1，n∈N∗，Tn=(n−1)⋅2n−1+1，n∈N∗.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合 Sn+1=Sn+2Sn−1(n≥2)，所以Sn+1+Sn=2(Sn+Sn−1)(n≥2)，再利用a1=1，a2=1，所以S1=1，S2=2，S1+S2=3，再结合等比数列的定义判断出数列{Sn+1+Sn}是首项为3，公比为2的等比数列，再利用等比数列的通项公式和检验法得出Sn+1+Sn=2n+2n−1，n∈N∗，进而得出数列{an}的前n项和。
（2） 利用数列{an}的通项公式结合bn=nan，进而得出{bn}的通项公式，再结合错位相减的方法得出数列{bn}的前n项和。
18．【答案】（1）解：由图表可知，非“重度沉迷”的抖音用户男性有：20+25=45（人），“重度沉迷”的抖音用户男性有：6人；
非“重度沉迷”的抖音用户女性有：20+15=35（人），“重度沉迷”的抖音用户女性有：14人
填写列联表如下：
根据列联表中的数据计算可得K2=100×(45×14−35×6)280×20×49×51≈4.412>3.841，
因此有95%的把握认为性别与是否为“重度沉迷”刷抖音有关系.
（2）解：由表可知：“重度沉迷”的抖音用户有6+14=20（人），“中度沉迷”的抖音用户有25+15=40（人），“轻度沉迷”的抖音用户有20+20=40（人）.
抽取的“重度沉迷”“中度沉迷”与“轻度沉迷”的抖音用户分别有20100×20=4（人），40100×20=8（人），40100×20=8（人），
X的所有可能取值为100，150，200，250，300，
则P(X=100)=C42C202=395；P(X=150)=C41⋅C81C202=1695；P(X=200)=C82+C41⋅C81C202=619；P(X=250)=C81⋅C81C202=3295；P(X=300)=C82C202=1495.
所以X的分布列为：
故购书券总和X的数学期望为
E(X)=100×395+150×1695+200×619+250×3295+300×1495=220.
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件填写出2×2列联表，再结合列联表和独立性检验的方法判断出有95%的把握认为性别与是否为“重度沉迷”刷抖音有关系。
（2）利用已知条件结合分层抽样的方法得出 “重度沉迷”的抖音用户、“中度沉迷”的抖音用户和“轻度沉迷”的抖音用户的人数，从而得出随机变量X的可能的取值，再利用组合数公式和古典概型求概率公式得出随机变量X的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
19．【答案】（1）解：存在，且λ=14，理由如下：
因为四边形ABCD为菱形，所以AB=AD，BD与AC互相垂直且平分，
因为∠ADC=120°，所以∠BAD=60°，所以三角形ABD是等边三角形.
因为ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以ED⊥AC，ED⊥BD，
因为ED∩BD=D，ED⊂平面BDEF，BD⊂平面BDEF，
所以AC⊥平面BDEF.
又EM⊂平面BDEF，所以AC⊥EM.
过点F作FG⊥DE于点G，易得四边形BDGF为矩形，
设AB=ED=1λFB=2a，则BD=FG=2a，BM=DM=12BD=a，
因为FB//ED，所以FB⊥BD，所以EM2=DE2+DM2=5a2，
EF2=GF2+GE2=4a2+(2a−2λa)2，FM2=BF2+BM2=a2+4λ2a2.
欲使EM⊥平面AFC，只需EM⊥MF，
即EM2+FM2=EF2，所以5a2+a2+4λ2a2=4a2+(2a−2λa)2，解得λ=14.
所以存在实数λ，使得EM⊥平面AFC，且λ=14.
（2）解：如图，以D为原点，AB边上的垂直平分线所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB=ED=2FB=2a，则D(0，0，0)，E(0，0，2a)，A(3a，−a，0)，B(3a，a，0)，F(3a，a，a)，C(0，2a，0)，
所以AE=(−3a，a，2a)，EF=(3a，a，−a)，CE=(0，−2a，2a).
设平面AEF的法向量为n=(x，y，z)，
则AE⋅n=0EF⋅n=0，所以−3x+y+2z=03x+y−z=0，
解得x=−3yz=−2y，令y=1，则平面AEF的一个法向量为n=(−3，1，−2).
设平面CEF的法向量为m=(x′，y′，z′)，则CE⋅m=0EF⋅m=0，所以−2y′+2z′=03x′+y′−z′=0，
解得x′=0z′=y′，令y′=1，则平面CEF的一个法向量为m=(0，1，1).
设锐二面角的平面角为θ，则csθ=|m⋅n|m|⋅|n||=12×22=14.
故平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值为14.
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 存在，且λ=14，理由如下：利用四边形ABCD为菱形，所以AB=AD，BD与AC互相垂直且平分，再利用∠ADC=120°，所以∠BAD=60°，所以三角形ABD是等边三角形，再结合ED⊥平面ABCD结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以ED⊥AC，ED⊥BD，再利用线线垂直证出线面垂直，所以AC⊥平面BDEF，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以AC⊥EM，过点F作FG⊥DE于点G，易得四边形BDGF为矩形，设AB=ED=1λFB=2a，则BD=FG=2a，BM=DM=12BD=a，再利用FB//ED，所以FB⊥BD，再结合勾股定理得出λ的值， 从而得出存在实数λ，使得EM⊥平面AFC，且λ=14。
（2） 以D为原点，AB边上的垂直平分线所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=ED=2FB=2a，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面AEF的法向量和平面CEF的法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值。
20．【答案】（1）证明：因为椭圆C2：x22+y2=1，所以椭圆的焦点坐标分别为(−1，0)，(1，0)，
又抛物线C1：y2=2px(p>0)与椭圆C2存在相同的焦点，所以p2=1，p=2，
故抛物线的方程为y2=4x，
因为第一象限内曲线C1上的一点M(t，s)到其焦点的距离为2，曲线C1的准线为x=−1，
所以根据抛物线的定义得t+1=2，所以t=1，则s2=4t=4，故s=2（负值舍去），则M(1，2)，
因为直线MA，MB关于直线x=t，即x=1对称，所以两直线的斜率之和为0，
设直线MA，MB的方程分别为y−2=k(x−1)和y−2=−k(x−1)（k≠0，且存在），
联立方程y2=4xy−2=k(x−1)，消去x，得y2−4ky+8k−4=0，
则由Δ=(−4k)2−4(8k−4)=16(1k−1)2>0，解得k≠1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+2=4k，2y1=8k−4，
所以y1=4k−2代入y2=4x，得点A的坐标为((4k−2)24，4k−2)，
同理可得点B的坐标为((−4k−2)24，−4k−2)，
所以kAB=4k−2−(−4k−2)(4k−2)24−(−4k−2)24=8k−32k4=−1，即直线AB的斜率为定值.
（2）解：方法一：
依题意，设椭圆C2上关于直线AB对称的两点为P(x3，y3)，Q(x4，y4)，PQ的中点为D(x0，y0)，直线AB的方程为y=−x+m，即x+y−m=0，直线PQ的方程为y=x+b.
联立方程x22+y2=1y=x+b，消去y，得3x2+4bx+2b2−2=0，
则由Δ=16b2−12(2b2−2)>0，解得b2<3，且x3+x4=−43b，
故x0=x3+x42=−23b，y0=−23b+b=13b，
代入y=−x+m，可得b=−3m，
所以(−3m)2<3，所以−33因为原点到直线AB的距离为|0+0−m|1+1=|m|2，
又−33所以原点到直线AB的距离的取值范围是[0，66).
方法二：
依题意，设椭圆C2上关于直线AB对称的两点为P(x3，y3)，Q(x4，y4)，PQ的中点为D(x0，y0)，
因为kPQ⋅kAB=−1，kAB=−1，所以kPQ=1，
又x322+y32=1，x422+y42=1，
两式相减，得(x3+x4)(x3−x4)2+(y3+y4)(y3−y4)=0，
所以x3+x4+2kPQ(y3+y4)=0，即x0+2y0=0①，
设直线AB的方程为x+y=m，则x0+y0=m②，
由①②可得，x0=2m，y0=−m，
又因为点D在椭圆内，所以(2m)22+(−m)2<1，所以|m|<33，
所以原点到直线AB的距离d=|m|2∈[0，66)，
所以原点到直线AB的距离的取值范围为[0，66).
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用椭圆C2：x22+y2=1得出椭圆的焦点坐标，再利用抛物线C1：y2=2px(p>0)与椭圆C2存在相同的焦点，从而得出p的值，从而得出抛物线的标准方程，再利用第一象限内曲线C1上的一点M(t，s)到其焦点的距离为2，再结合抛物线的定义得出曲线C1的准线方程，根据抛物线的定义得出t的值，进而得出s的值，从而得出点M的坐标，再利用直线MA，MB关于直线x=t，即x=1对称，所以两直线的斜率之和为0，设直线MA，MB的方程分别为y−2=k(x−1)和y−2=−k(x−1)（k≠0，且存在），设A(x1，y1)，B(x2，y2)，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合判别式法得出k≠1，再利用代入法得出点A的坐标，同理可得点B的坐标，再利用两点求斜率公式得出直线AB的斜率为定值。
（2） 方法一：依题意，设椭圆C2上关于直线AB对称的两点为P(x3，y3)，Q(x4，y4)，PQ的中点为D(x0，y0)，直线AB的方程为x+y−m=0，直线PQ的方程为y=x+b，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理得出b2<3且x3+x4=−43b，再利用中点坐标公式和代入法得出b=−3m，所以(−3m)2<3，进而得出实数m的取值范围，再利用点到直线的距离公式得出原点到直线AB的距离为|m|2，再利用−33方法二：依题意，设椭圆C2上关于直线AB对称的两点为P(x3，y3)，Q(x4，y4)，PQ的中点为D(x0，y0)，利用kPQ⋅kAB=−1，kAB=−1，所以kPQ=1，再利用椭圆的标准方程和代入法以及作差法得出x0=2m，y0=−m，再利用点D在椭圆内，所以(2m)22+(−m)2<1，进而得出|m|<33，再利用点到直线的距离公式得出原点到直线AB的距离的取值范围。
21．【答案】（1）解：因为f(x)=x(2lnx−1)，所以f′(x)=2lnx+1.
所以曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)=1.
又f(1)=−1，故曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是y+1=x−1，即x−y−2=0.
（2）解：ℎ(x)=f(x)+a(1−lnx)=x(2lnx−1)+a(1−lnx)，
函数ℎ(x)有两个零点等价于方程x(2lnx−1)+a(1−lnx)=0有两个不相同的实数根.
因为x=e不是该方程的实数根，所以a=x(2lnx−1)lnx−1
令g(x)=x(2lnx−1)lnx−1（x>0且x≠e），
则直线y=a与函数g(x)的图象有两个不同的交点.
因为g′(x)=2lnx(lnx−32)(lnx−1)2.令g′(x)=0，得x=e32或x=1.
当x∈(0，1)时，g′(x)>0；当x∈(1，e)∪(e，e32)时，g′(x)<0；当x∈(e32，+∞)时，g′(x)>0，
所以g(x)在(0，1)，(e32，+∞)上单调递增，在(1，e)，(e，e32)上单调递减.
又当00，又x→0+，g(x)→0，
x→e−，g(x)→−∞，g(1)=1>0，g(2)=2(2ln2−1)ln2−1=2(ln4−1)ln2−1<0，
g(e32)=4e32>0，当x>e时，lnx>1，2lnx−1>0，lnx−1>0，g(x)>0，x→e+，g(x)→+∞，
由此画出g(x)的大致图象如图所示，
所以由图可得，当04e32时，
直线y=a与函数g(x)的图象有两个不同的交点，即函数ℎ(x)有两个零点.
故实数a的取值范围为(0，1)∪(4e32，+∞).
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的几何意义得出曲线在切点处的切线的斜率，再结合代入法得出切点的坐标，再利用点斜式得出曲线在切点处的切线方程。
（2）利用 ℎ(x)=f(x)+a(1−lnx)=x(2lnx−1)+a(1−lnx)和函数的零点与方程的根的等价关系，所以函数ℎ(x)有两个零点等价于方程x(2lnx−1)+a(1−lnx)=0有两个不相同的实数根，再利用x=e不是该方程的实数根，所以a=x(2lnx−1)lnx−1，令g(x)=x(2lnx−1)lnx−1（x>0且x≠e），再利用函数的零点与两函数交点的横坐标的等价关系，则直线y=a与函数g(x)的图象有两个不同的交点，再利用求导的方法判断函数的单调性和函数求极限的方法，进而得出画出g(x)的大致图象，所以由图可得实数a的取值范围，进而得出直线y=a与函数g(x)的图象有两个不同的交点，即函数ℎ(x)有两个零点， 从而得出实数a的取值范围。
22．【答案】（1）解：由y=tx=2(t−22)，得x=2(y−22)，即x−2y+42=0.
故直线l的普通方程是x−2y+42=0.
由ρ2(1+3sin2θ)=1，得ρ2+3ρ2sin2θ=1，
代入公式x=ρcsθy=ρsinθ，得x2+y2+3y2=1.
所以x2+4y2=1，即x2+y214=1.
故曲线C的直角坐标方程是x2+y214=1.
（2）解：方法一：由θ=β（其中β∈(0，π)，且tanβ=−12，ρ≥0），得sinβ=55，csβ=−255.
现将射线θ=β(ρ≥0)代入曲线C的极坐标方程，可得ρM2=11+3sin2β=11+3×(55)2=58，
所以ρM=104.
又直线l的极坐标方程为ρcsθ−2ρsinθ+42=0，
现将θ=β(ρ≥0)代入直线l的极坐标方程，可得ρcsβ−2ρsinβ+42=0，
所以ρN=10，
所以|MN|=ρN−ρM=10−104=3104.
方法二：由题可得射线θ=β（其中β∈(0，π)，且tanβ=−12，ρ≥0）的直角坐标方程为y=−12x(x≤0).
联立x2+y214=1y=−12x(x≤0)，解得x=−22y=24，则点M(−22，24).
联立x−2y+42=0y=−12x(x≤0)解得x=−22y=2，则点N(−22，2).
所以|MN|=(−22+22)2+(24−2)2=3104.
【知识点】参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1） 利用已知条件结合极坐标与直角坐标的互化公式和参数方程与直角方程的转化方法，进而得出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程。
（2） 方法一：由θ=β（其中β∈(0，π)，且tanβ=−12，ρ≥0），再利用三角函数的定义得出得sinβ=55，csβ=−255，现将射线θ=β(ρ≥0)代入曲线C的极坐标方程，可得ρM的值，再利用直线l的极坐标方程为ρcsθ−2ρsinθ+42=0，现将θ=β(ρ≥0)代入直线l的极坐标方程，可得ρN的值，再利用两点距离公式得出|MN|的值。
方法二：由题可得射线θ=β（其中β∈(0，π)，且tanβ=−12，ρ≥0）的直角坐标方程为y=−12x(x≤0)，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程得出交点M的坐标，再联立两直线方程得出交点N的坐标，再利用两点求距离公式得出|MN|的值。
23．【答案】（1）证明：由已知可得a2+b2=(a+b)2−2ab=4−2ab≥4−2⋅(a+b2)2=2，
当且仅当a=b=1时，等号成立.
（2）解：因为b>0，a≠0，a+b=2，所以a<2，且a≠0，
当0=12(1a+a4−a)=12(1a+4−(4−a)4−a)=12(1a+44−a−1)
=12(1a+44−a)−12=18(1a+44−a)(a+4−a)−12
=18(4−aa+4a4−a)+18
≥18⋅24−aa⋅4a4−a+12=58，当且仅当4−aa=4a4−a，且0此时12|a|+|a|2(b+2)的最小值为58，
当a<0时， 12|a|+|a|2(b+2)=−(12a+a2(b+2))=−(12a+a2(4−a))
=−12(1a+a4−a)=−12(1a+4−(4−a)4−a)=−12(1a+44−a−1)
=−12(1a+44−a)+12=−18(1a+44−a)(a+4−a)+12
=−18(4−aa+4a4−a)−18=18(4−a−a+−4a4−a)−18
≥18⋅24−a−a⋅−4a4−a−18=38，当且仅当4−a−a=−4a4−a，且a<0，即a=−4时，等号成立，
此时12|a|+|a|2(b+2)的最小值为38，
综上所述：此时12|a|+|a|2(b+2)的最小值为38，
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合均值不等式求最值的方法得证出不等式a2+b2≥2成立。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法和均值不等式求最值的方法得出 12|a|+|a|2(b+2)的最小值 。平均每天刷抖音的时长
不大于1小时
大于1小时且小于3小时
不少于3小时
人数（男）
20
25
6
人数（女）
20
15
14
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
非“重度沉迷”
“重度沉迷”
合计
人数（男）



人数（女）



合计



非“重度沉迷”
“重度沉迷”
合计
人数（男）
45
6
51
人数（女）
35
14
49
合计
80
20
100
X
100
150
200
250
300
P
395
1695
619
3295
1495