华东师大版八年级数学上册第十一单元《数的开方》教案

第11章 数的开方

11.1 平方根与立方根

1.平方根

【基本目标】

1.理解并掌握平方根与算术平方根的概念.

2.理解平方运算与开平方的互逆关系.

3.理解算术平方根的非负性，会用计算器求一个数的算术平方根.

【教学重点】

理解平方根与算术平方根概念；会求一个正数的平方根.

【教学难点】

算术平方根的非负性与算术平方根的特征.

一、创设情景，导入新课

同学们，2013年6月17时38分神十成功发射，其飞行速度大于第一宇宙速度v1，而小于第二宇宙速度v2,v1,v2满足v12=gR，v22=2gR，要求v1与v2就要用到平方根的概念.

多媒体展示教科书导图提出的问题，(     )2=25.

二、师生互动，探究新知

1.用平方运算求平方根.

【教师活动】自学课本P2到例1止，什么是平方根？我们是根据什么求25的平方根的？

【学生活动】小组交流讨论后，代表发言.

【教学说明】教师板书平方根概念

并强调：弄清楚“谁”是“谁”的平方根，且正数有两个平方根，它们互为相反数，负数没有平方根.在此基础上完成例1，并注意学生利用平方运算求一个数的平方根时语言的规范性.

2.算术平方根

【教师活动】正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作a，正数a的平方根记作± ,0的平方根是0，0的算术平方根是0.

【学生活动】完成例2.

【教学说明】教师强调用平方运算求平方根，并用数学符号±表示平方根，用表示算术平方根.

3.利用计算器求算术平方根

【学生活动】用计算器操作.

【教学说明】教师强调：正确的操作程序与精确度.

三、随堂练习，巩固新知

完成练习册中本课时对应的课堂练习部分，教师根据完成情况指导小组进行点评，特别是平方根与算术平方根的区别.

四、典例精析，拓展新知

例 三角形的三边长为a、b、c且+|b-3|=0，c为偶数，求△ABC的周长.

【分析】表示a-2的算术平方根，故a-2≥0，即≥0，而|b-3|≥0，利用非负数和为0，则分别为0，求出a、b,再由三边关系求解.

【答案】△ABC的周长为7或9.

【教师点拨】a表示a的算术平方根，具有双重非负性，非负数和为0，则各非负数为0.

五、运用新知，深化理解

1.3a-2的平方根是它的本身，b+1的算术平方根是它本身，则a=      ，b=        .

2. 的平方根是.

3.n为整数， ，则m+n=        .

【答案】1.  -1或0   2.±2    3.3或4

【教学说明】从跟踪练习中，查漏补缺、并注意审题准确.如先转化为4，再求4的平方根.

六、师生互动，课堂小结

这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？并与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结.

完成练习册中本课时对应的课后作业部分.

本节课概念较多，从神十飞天入手导入新课，抓住了学生的兴趣点.从正方形的面积为25，求它的边长，进行平方根与算术平方根的教学.整堂课师生互动，以学生为主体，考虑到概念课的特殊性，呈现教师引导、学生表达，教师归纳、学生理解模式.

求平方根时，利用平方运算，并适时进行用±或表示平方根或算术平方根.典例精析对a的双重非负性，学生可能有困难，教师给予适当的关注.

2.立方根

【基本目标】

1.了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根.

2.了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根.

3.让学生体会一个数的立方根的惟一性 .

4.分清一个数的立方根与平方根的区别，并会用计算器求一个数的立方根.

【教学重点】

立方根的概念，并会求一个数的立方根.

【教学难点】

立方根与平方根的区别.

一、创设情景，导入新课

（出示电热水器图片）

问题（1）：同学们在家里或者商场里都见过电热水器，像一般家庭常用的是容积50L的.如果要生产这种容积为50L的圆柱形热水器，使它的高等于底面直径的2倍，这种容器的底面直径应取多少？

（学生小组讨论，并推选代表发言，教师板演.）

解：设容积的底面直径为xdm，则 

可得，x3= ≈31.84

问题是什么数的立方会等于31.84呢？学生百思不得其解，教师可在此处设置一个台阶.再设问：要制作一种容积为27m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？

二、师生互动,探究新知

1.立方根的概念

在学生充分讨论的基础上教师给出解决问题的过程：

设这种包装箱的边长为xm，则x3=27.

这就是求一个数，使它的立方等于27.

因为33=27，

所以x=3.

即这种包装箱的边长应为3m.

归纳：如果一个数的立方等于a，那么这个数是a的立方根.

例1根据立方根的意义，求下列各数的立方根：125/8，-64，-1/27，1，-1.

（1）对于23=8，可以进一步追问学生，除了2以外是否有其他的数，它的立方也等于8呢？对于下面几个问题可以类似设问.

（2）思考正数、0、负数的立方根各有什么特点？并追问一个正数有几个立方根？一个负数有几个立方根？零的立方根是什么？（学生独立探究，再小组合作交流，给出立方根的性质.）

即：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.

2.用数学符号表示立方根

例2见教材P6

解略.

【教学说明】注意立方根定义及用3表示一个数的立方根，教师可设问3a中a取什么数？a中a取什么数以引起学生对平方根、立方根区别的认识.

3.用计算器求一个数的立方根.

【教学说明】教师提醒学生注意操作的程序与精确度的要求.

三、随堂练习，巩固新知

完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师及时点评.

四、典例精析，拓展新知

例3求下列各式的值：

【教学说明】通过以上求值让学生能熟练运用与3求平方根与立方根，进一步区分平方根与立方根.

五、运用新知，深化理解

1.-64的立方根是           .

2. 成立吗？           .

3.（x+1）3=-64的解是           .

4.立方根是本身的数有           .

5. 的立方根是           .

6.一个正方体的体积是0.512m3，则它的边长是            m.

【答案】1.-4；  2.成立； 3.x=-5； 4.0、±1；5. ；6.0.8

六、师生互动，课堂小结

这节课你学到了什么?有什么收获？有何疑问，与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结.

完成练习册中本课时对应的课后作业部分.

本节课的教学设计是以课程标准为依据，在教学上体现了创设情景——提出问题——建立模型——解决问题思路，在教学中体现了自主学习思路.

在导入新课时，创设了一个学生生活实际中常常见到的热水器制造问题，让学生从实际问题情境中感受立方根的计算在生活中有着广泛的应用，体会学习立方根的必要性，激发学生的学习兴趣.“平方根”“立方根”在内容安排上也有很多类似的地方，因此在教学中利用类比方法，让学生通过类比旧知识学习新知识.教学中突出立方根与平方根的对比，分析它们之间的联系与区别，这样新旧知识联系起来，既有利于复习巩固平方根，又有利于立方根的理解和掌握.通过独立思考，小组讨论，合作交流，学生在“自主探索，合作交流”中充分发挥了他们的主观能动性，感受了立方运算与开立方运算之间的互逆关系，并学会了从立方根与立方的互逆运算中寻找解题途径.

11.2 实数

第1课时 实数的有关概念

【基本目标】

1.理解无理数与实数的概念.

2.知道实数与数轴上的点的一一对应关系，进一步培养数形结合的思想.

3.会比较两个实数的大小.

【教学重点】

实数的概念.

【教学难点】

实数与数轴上的点一一对应的关系.

一、创设情景，导入新课

如图，将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形.容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长为2.通过观察教材P8的计算你发现了什么？它是一个什么数？

二、师生互动，探究新知

1.无理数与实数的概念

教师启发归纳，任何一个有理数都可以写成有限小数，或无限循环小数，而2是无限不循环小数，是无理数.

无理数与有理数统称实数.

(1)概念反馈： 中是无理数的是，它们全部都属于实数.

（2）判断：无限小数是无理数.（×）

无理数是无限小数.（√）

【教学说明】无理数、实数的概念由2引出用无限不循环小数进行定义，进而辨析无理数时不能只看形式，还要看结果，即带根号的数不一定是无理数.

2.实数与数轴上的点一一对应

利用边长为1的正方形的对角线为，进而在数轴上画出表示的点，-的点.教师在学生操作的基础上归纳：实数与数轴上的点一一对应.

【教学说明】无理数在数轴上表示目前较为困难,利用课前操作方法作出.让学生亲身经历数轴上表示的点的方法，进而建立实数与数轴一一对应的关系.

三、随堂练习，巩固新知

完成练习册中本课时对应的课后作业部分.

四、典例精析，拓展新知

【教学说明】在完成上述例题中，引导学生掌握有理数比较大小的方法，有理数运算法则，进而让学生很自然的迁移实数的大小比较与运算，并体会到一种重要的数学思想“类比”.

五、运用新知，深化理解

1.在数中，无理数有（     ）个.

A.1     B.2      C.3    D.4

2.与数轴上的点一一对应的数是（     ）

A.有理数   B.无理数    C.实数    D.整数

3.实数a在数轴上的位置如图：

化简：|a-1|+（a-2）2=         

【答案】1.B  2.C   3.1

【教学说明】跟踪练习中暴露的问题及时分析原因.

六、师生互动，课堂小结

这节课你学到了什么？有什么收获？有何疑问，与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结.

完成练习册中本课时对应的课后作业部分.

波利亚认为，“头脑不活动起来，是很难学到什么东西的，也肯定学不到更多的东西”、“学东西最好的途径是亲自去发现它”、“学生在学习中寻求欢乐”.在本节课的教学设计中注意从学生的认知水平和亲身感受出发，创设学习情境，提高学生教学的积极性和学习兴趣，设计系列活动让学生经历不同的学习过程.在活动过程中让学生动手试一试，说说自己的发现并与同学交流结论，从而得出数轴上的点与实数是一一对应的关系.注意类比思考，以旧迎新.

第2课时 实数的性质及运算

【基本目标】

1.了解有理数的相反数、绝对值等概念、运算法则、运算律在实数范围内仍然适用.

2.能对实数进行大小比较和四则混合运算.

【教学重点】

实数的性质、实数的大小比较及运算.

【教学难点】

实数的大小比较.

一、复习回顾

1.用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律.

2.用字母表示有理数的加法交换律和结合律.

3.平方差公式、完全平方公式.

4.有理数的相反数是什么？不为0的数的倒数是什么？有理数的绝对值等于什么？

二、师生互动，探究新知

1.填空

与      互为相反数， 与       互为倒数，|- |=       .

2.概括

在实数范围内，有关有理数的相反数、倒数和绝对值等概念、大小比较、运算法则及运算律仍然适用．

三、随堂练习，巩固新知

完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师及时点评.

四、典例精析，拓展新知

例 试估计＋与π的大小关系．

解:用计算器求得

＋≈3.14626437，

而π≈3.141592654，

因此＋＞π.

五、运用新知，深化理解

1.请你试着计算下列各题.

2.比较下列各组数中两个实数的大小：

3.试解答下列问题：

（1）指出5在数轴上位于哪两个整数之间；

（2）写出绝对值小于4的所有整数.

【答案】1.(1)1   (2)2   (3)0     2.(1)＜   (2)＞

3.(1)2和3      (2)0，1，2，3，-1，-2，-3

【教学说明】跟踪练习中暴露的问题及时分析原因.

六、师生互动，课堂小结

这节课你学到了什么？有什么收获？有何疑问，与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结.

完成练习册中本课时对应的课后作业部分.

1.比较两个实数的大小的方法：（1）比较被开方数的大小；（2）平方法；（3）近似取值法.

2.实数的运算包括加减、乘除、乘方、开方三级（6种）运算，以前的运算法则、运算律仍然适用.

本章复习

【基本目标】

1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示.

2.了解平方与开平方，立方与开立方互为逆运算，会用平方与立方的运算求某些数的平方根与立方根.

3.了解无理数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应.

4.能进行实数的运算，会估算无理数的大小.

【教学重点】

平方根与立方根，实数及运算.

【教学难点】

实数的估算，平方根的性质.

一、知识框图，整体建构

二、知识梳理，快乐晋级

本章通过问题的形式来梳理知识，以加深学生对基础知识的理解.

问题1：平方根与立方根的定义是什么？它们有什么性质？

问题2：有理数与实数的定义是什么？

问题3：数轴上的点与实数有什么关系？你是怎么理解的？

问题4：实数的相反数、绝对值、倒数与有理数相同吗？

问题5：实数运算法则、运算律与有理数相同吗？

【教学说明】教师提出问题以小组竞赛的形式回答，教师根据回答的情况，进行必要的讲解与说明，做到切中要害、言简意赅.

三、典例精析，升华旧知

例1（1）（-2）2的平方根是（     ）

A.-2

B.2

C.±2

D.±4

（2）下列说法中，正确的是（     ）

A.正数的立方根是正数

B.负数的平方根是负数

C.无理数是开方开不尽的数

D.数轴上的点只能表示有理数

（3）- 的立方根是          .

（4）81的算术平方根是          .

（5）实数a、b满足+(b-2)2=0，则ab=          .

【答案】（1）C  （2）A  （3）-5/4   （4）3   （5）-2.

【教学说明】这四道小题学生小组内自评自改.教师指出（4）中应转化为9的算术平方根，应将间接条件直接化.

例2  +1的小数部分为a，整数部分为b，求a-b的值.

【分析】∵3＜＜4，4＜+1＜5，

∴+1的整数部分b=4，小数部分b=+1-4=-3，∴a-b=（-3）-4=-7.

【教学说明】本题包含无理数的估算和无理数的运算，关键是确定+1的整数部分b的值.特别估算能力数学课程标准较重视.

例3已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示.

化简： -|c-a|+|a+c|.

【分析】由数轴知道b＜0,c-a＜0，a+c＞0, 表示b2的算术平方根，故原式=-b+（c-a）+（a+c）=2c-b.

【教学说明】利用数形结合，判断绝对值里面的数的正负性，其中b2的意义是解题的关键.

四、师生互动，课堂小结

这节课你有什么收获？有何疑惑？复习了哪些数学思想方法？与同伴交流.在学生交流发言的基础上，教师归纳总结.

完成练习册中本课时对应的课后作业部分.

本节复习课从知识构建到知识梳理应让学生积极自主的完成，在完成知识构建（梳理）过程中寻找薄弱环节，从而抓住复习的针对性.

典例精析部分，教师应注意根据教学的实际动态进行及时归纳，点评，让知识类化，形成能力.

在复习的过程中，学生难免有遗漏的地方，教师应以激励为主.