华东师大版八年级数学上册第十二单元《整式的乘除》教案

这是一份华东师大版八年级数学上册第十二单元《整式的乘除》教案，共38页。

第12章 整式的乘除
12.1 幂的运算
1.同底数幂的乘法

【基本目标】
1.掌握同底数幂的乘法法则，并能运用它进行熟练的计算.
2.能利用同底数幂的乘法法则解决简单实际的问题.
【教学重点】
同底数幂乘法法则的推导与运用.
【教学难点】
同底数幂乘法法则的运用.

一、创设情景，导入新课
【情境导入】
“盘古开天辟地”的故事：公元前一百万年，没有天没有地，整个宇宙是混浊的一团，突然间窜出来一个巨人，他的名字叫盘古，他手握一把巨斧，用力一劈，把混沌的宇宙劈成两半，上面是天，下面是地，从此宇宙有了天地之分，盘古完成了这样一个壮举，累死了，他的左眼变成了太阳，右眼变成了月亮，毛发变成了森林和草原，骨头变成了高山和高原，肌肉变成了平原与谷地，血液变成了河流.
【教师提问】盘古的左眼变成了太阳，那么，太阳离我们多远呢？你可以计算一下，太阳到地球的距离是多少？
光的速度为3×105千米/秒，太阳光照射到地球大约需要5×102秒，你能计算出地球距离太阳大约有多远呢？
【学生活动】开始动笔计算，大部分学生可以列出算式：
3×105×5×102=15×105×102=15×？（引入课题）

二、师生互动，探究新知
同底数幂的乘法法则.
【教师活动】到底105×102=？同学们根据幂的意义自己推导一下，现在分四人小组讨论.
【学生活动】分四人小组讨论、交流，举手发言，上台演示.
计算过程：105×102=（10×10×10×10×10）×（10×10）=10×10×10×10×10×10×10=107.
【教师活动】下面引例.
请同学们计算并探索规律.
（1）23×24=（2×2×2）×（2×2×2×2）=2（ ）；
（2）53×54= =5（ ）；
（3）（-3）7×（-3）6= =（-3）（ ）；
（4）（）3×（）= =（）( );
（5）a3·a4= =a（ ）.
提出问题：①这几道题目有什么共同特点？
②请同学们看一看自己的计算结果，想一想，这些结果有什么规律？
【学生活动】独立完成，并在黑板上演算.
【教师总结】

从而得出同底数幂的乘法法则am·an=am+n（m、n为正整数）即同底数幂相乘，底数不变,指数相加.
【教学说明】通过以上5个计算，让学生根据乘方的意义从特殊到一般探索同底数幂的乘法法则，水到渠成.
三、随堂练习，巩固新知

完成练习册中本课时对应的课后作业部分.

四、典例精析，拓展新知
例 如果xm-n·x2n+1=x11，且ym-1·y4-n=y5，求m、n的值.
【分析】根据同底数幂的乘法法则得：（m-n）+(2n+1)=11,(m-1)+(4-n)=5,用方程组解决.
【答案】m=6，n=4
【教学说明】教师提问：由两个等式我们想到了什么知识？如何建立m与n之间的等量关系？教师深入强化数学中的转化思想.
五、运用新知，深化理解

【教学说明】注意同底数幂乘法可以推广到多个因式相乘，遇到形如（-a）6·a9转化为a6·a9.
六、师生互动，课堂小结
这节课你学习到什么？有什么收获？有何疑问与困惑与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结.

完成练习册中本课时对应的课后作业部分.

本节课从故事引入为激发学生探究同底数幂乘法法则的兴趣，探究同底数幂乘法法则时，注意用乘方的意义让学生自己发现归纳.始终遵循从特殊到一般的认知规律.在同底数幂乘法法则的运用中，不断渗透转化方程的数学思想.
2.幂的乘方

【基本目标】
1.理解幂的乘方法则.
2.运用幂的乘方法则计算.
【教学重点】三
理解幂的乘方法则.
【教学难点】
幂的乘方法则的灵活运用.

一、创设情景，导入新课
大家知道太阳、木星和月亮的体积的大致比例吗？我可以告诉你，木星的半径是地球半径的102倍，太阳的半径是地球半径的103倍，假如地球的半径为r，那么，请同学们计算一下太阳和木星的体积是多少？（球的体积公式为V=πr3）
【学生活动】进行计算，并在黑板上演算.
解：设地球的半径为1，则木星的半径就是102，因此，木星的体积为V木星=π（102）3.
二、师生互动，探究新知
【教师引导】（102）3=？利用幂的意义来推导.
【学生活动】有些同学这时无从下手.
【教师启发】请同学们思考一下a3代表什么？（102）3呢？
【学生回答】a3=a×a×a,指3个a相乘.（102）3=102×102×102，就变成了同底数幂乘法运算，根据同底数幂乘法运算法则，底数不变，指数相加，102×102×102=102+2+2=106，因此（102）3=106.
【教师活动】利用上面推导方法求
（1）（a3）2；（2）（24）3；（3）（bn）+.
【学生活动】推导上面几个算式并板演.
【教师推进】请同学们根据所推导的几个题目，推导一下（am）n的结果是多少？
【学生活动】归纳总结并进行小组讨论，最后得出结论：

【教学说明】通过问题的提出，再依据“问题推进”所导出的规律，利用乘方的意义和幂的乘法法则，让学生自己主动建构，获取新知：幂的乘方，底数不变，指数相乘.
三、随堂练习，巩固新知
完成练习册中本课时对应的课后作业部分.
四、典例精析，拓展新知

【教学说明】教师提问x6m与x2m在指数上有何关系，你想到了如何变形，化未知为已知（逆用幂的乘方法则）.
五、运用新知,深化理解

【教学说明】从跟踪练习中捕捉学生知识上、思维上的不足并及时跟进.
六、师生互动，课堂小结
这节课你学到了什么？有什么收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结.

完成练习册中本课时对应的课后作业部分.

本节课在熟悉乘方的意义与同底数幂的法则的前提下推导幂的乘方法则，在教学过程中注意引导学生运用转化思想来解决新问题.在拓展新知时，注意联想与逆向思维能力的培养.
3.积的乘方

【基础目标】
1.理解积的乘方法则.
2.运用积的乘方法则计算.
【教学重点】
理解并掌握积的乘方法则.
【教师难点】
积的乘方法则的灵活运用.

一、回顾交流，导入新课
【教学说明】提问学生在前面学过的同底数幂的运算法则；幂的乘方运算法则的内容以及区别.
【学生活动】踊跃举手发言，解说老师的提问.
【课堂演练】
计算：（1）（x4）3；（2）a·a5；
（3）x7·x9（x2）3.
【学生活动】完成上面的演练题，并从中领会这两个幂的运算法则.
【教师活动】巡视，关注学生的练习，并请3位学生上台演示，然后再提出下面的问题.
二、师生互动，探究新知
【教师活动】请同学们完成教材P20填空，并注意每步变形的依据.
【学生活动】完成书本填空并回答教师问题.
【教师活动】你发现了什么规律？如何解释这个规律？
【学生活动】分组讨论，解释.
【师生互动】教师在学生发言的基础上板书.

即积的乘方，把积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
三、随堂练习，巩固新知
完成练习册中本课时对应的课后作业部分.
四、典例精析，拓展新知
例1 计算：（1）［（-x2y）3·（-x2y）2］3；
（2）a3·a4·a+（a2）4+（-2a4）2.
【分析】（1）按积的乘方法则先算括号里面的；
（2）第一项是同底数幂的乘法，第二项是幂的乘方，第三项是积的乘方.
【答案】（１）－ｘ３０ｙ１５；
（2）6a8
例2 用简便方法计算：

【分析】先将指数化为相同的再逆用积的乘方法则.
【答案】13/5
【教学说明】例1由小组讨论交流解题思路，小组活动后，展示计算结果.教师根据反馈的情况总评.如（-2a4）2中的负号处理.例2在教师引导下，由小组合作完成，并强调遇到高指数时化成同指数,再利用积的乘方法则.
五、运用新知,深化理解
1.计算：（-3a3）2·a3+（-4a）2·a7-（5a3）3.
2.已知：（a-2）2+=0,求a2014·b2013的值.
【答案】1.-100a9; 2.-2
【教学说明】由跟踪练习情况及时点评，如第一题中符号问题引起重视.
六、师生互动，课堂小结
这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结.

完成练习册中本课时对应的课后作业部分.

本节课釆用探究与自主学习相结合的模式完成的，探究的目的是让学生会推导积的乘方法则.通过小组合作学习增强学习的主动性，突出学生的主体地位.并注意在其中的及时引导，发挥教师主导作用.教学中的简便运算应让学生体会转化思想的核心作用.
4.同底数幂的除法

【基本目标】
1.理解同底数幂的除法法则.
2.运用同底数幂的除法法则计算.
【教学重点】
掌握同底数幂的除法法则.
【教学难点】
同底数幂除法的应用.

一、创设情景，导入新课
【教师活动】地球的体积是1.1×1012km3，月球的体积2.2×1010km3，求地球的体积是月球的多少倍？如何列式？
【学生活动】学生代表发言：（1.1×1012）÷（2.2×1010）
【教师活动】1012÷1010=？下面我们一起探究.
二、师生互动，探究新知
【教师活动】完成教材P22填空，由填空你得出了什么规律？
【学生活动】经小组交流后，汇报结果.
【教学说明】板书：am÷an=am-n，（a≠0，m＞n,且m、n为正整数）
同底数相除，底数不变，指数相减.
【教师活动】乘法与除法互为逆运算，我们能由同底数幂乘法法则来推导它吗？教师引导an·（ ）=am.设（ ）=ak.
【学生活动】由小组讨论交流后汇报推导结果.
【教学说明】我们的认知规律：猜测——归纳——证明.
三、随堂练习，巩固新知
完成练习册中本课时对应的课后作业部分.
【教学说明】根据反馈情况及时订正，并与法则对比，找准错因.
四、典例精析，拓展新知
例1一张数码照片的文件大小是28K，一个存储量为26M（1M=210K）的移动存储器能存储多少张这样的照片？
【分析】用储量26M除以每张照片的存储量的大小.
【答案】28张
【教学说明】教师可将此问题类比成总价、单价与数量关系，从而化为同底数幂的除法.
例2若32×92a+1÷27a+1=81，求a的值.
【分析】将左右都化成3的指数幂再比较对应.
【答案】a=3
【教学说明】左右两边能否化成同底数幂的运算，如何使用幂的运算法则，强调转化思想.小组活动时注意对学困生的辅导.
五、运用新知，深化理解
1.一种计算机每秒可进行1012运算，它工作1015次运算需要秒时间.
2.若y2m-1÷y=y2，求m+2的值.
【答案】1.103 2.4
【教学说明】由跟踪练习情况及时点评，如y的指数不是0等.
六、师生互动，课堂小结
这节课你学到了什么？有何收获？有何疑惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结.

完成练习册中本课时对应的课后作业部分.

本节课探究新知部分，注意如何使学生从特殊中发现规律，得到一般性结论，再由同底数幂的乘法法则（同底数幂除法法则）证明规律.积极鼓励学生主动地探究数学问题，加深对数学问题的理解,养成良好思维习惯，提高学生的数学素养.
12.2整式的乘法
1.单项式与单项式相乘

【基本目标】
1.通过学生自主探索，掌握单项式相乘的法则.
2.掌握单项式相乘的几何意义.
3.会运用单项式相乘的法则进行计算，并解决一些实际生活和科学计算中的问题.
4.培养学生合作、探究的意识，养成良好的学习习惯.
【教学重点】
单项式与单项式相乘的法则.
【教学难点】
单项式与单项式相乘的法则的应用；单项式相乘的几何意义.

一、复习旧知，导入新课
我们已经学习了幂的运算性质，你能解答下面的问题吗？

【教师活动】
我们刚才已经复习了幂的运算性质.从本节开始，我们学习整式的乘法.我们知道，整式包括什么？（包括单项式和多项式.）因此整式的乘法可分为单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式.这节课我们就来学习最简单的一种：单项式与单项式相乘.
二、师生互动，探究新知
1.一个长方体的底面积是4xy，高度是3x，那么这个长方体的体积是多少？
【学生活动】小组合作完成，在小组交流讨论后由代表发言.
【教师活动】每一步的依据是什么？（乘法交换律）
因此4xy·3x=4·xy·3·x=（4·3）·（x·x）·y=12x2y.（要强调解题的步骤和格式）
2.仿照刚才的作法，你能解出下面的题目吗？

【教师活动】第（2）题中在第二个单项式-4b2c中出现的c怎么办？
【学生活动】由小组讨论归纳单项式乘单项式的法则.
【教学说明】教师板书：单项式和单项式相乘，系数与系数相乘,相同字母的幂分别相乘；对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式.
三、随堂练习，巩固新知
完成练习册中本课时对应的课后作业部分。
教师巡视，针对同学问题及时纠正.
四、典例精析，拓展新知
例1边长是a的正方形面积是a·a，反过来说，a·a也可以看作是边长为a的正方形的面积.
探讨：3a·5ab的几何意义.
【答案】可以看作是长为a，宽为5b，高为3a的长方体的体积，也可以看作是长为5a，宽为b，高为3a的长方体的体积.
例2纳米是一种长度单位，1米=109纳米，试计算长为5米，宽为4米，高为3米的长方体体积是多少立方纳米？
【分析】
长方体体积=长×宽×高
【答案】6×1028（立方纳米）
【教学说明】注意单位换算.
五、运用新知，深化理解
1.边长分别比2a和a的两个正方形按如图形式摆放，则图中阴影部分的面积是（ ）
A.2a2 B.2 C.5a2-3a D.a2

2.光速约为3×105km/s，太阳光照射到地球所需的时间为5×102s，则太阳与地球间的距离是 km.
【答案】1.A 2.1.5×108
【教学说明】第1题若学生思维受阻时，引导阴影部分可以转化成哪些图形的积和差？直角三角形的底和高各是多少？
六、师生互动，课堂小结
这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结.

完成练习册中本课时对应的课后作业部分.

这节课内容较为简单，在探索单项式乘单项式法则时，注意让学生自己归纳，以提高学生使用数学语言的能力，在推导的过程中，注意每步依据为后面几何证明服务，从而培养逻辑思维能力，变式训练中表达阴影部分面积，旨在培养学生直观图感，将图形语言向数学符号语言转化能力，同时注意转化数学思想的应用.

2.单项式与多项式相乘

【基本目标】
1.能说出单项式与多项式相乘的法则，并且知道单项式乘以多项式的结果仍然是多项式.
2.会进行单项式乘以多项式的计算以及含有单项式乘以多项式的混合运算.
3.通过例题教学，培养学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力.
【教学重点】
本节课的教学重点是掌握单项式乘以多项式的法则.
【教学难点】
熟练地运用法则，准确地进行计算.

一、复习旧知，导入新课
1.单项式与单项式相乘法则.
2.完成下列各题.
（1）2x2·（-4xy）=（ ）；
（2）（-2x2）·（-3xy）=（ ）；
（3）（-ab）·（ab2）=( ).
二、师生互动，探究新知
1.5×（7-2+3）=5× +5× +5× ,依据是什么？将题中数转换成字母a、b、c、d，则a·（b+c+d）= .
2.你能将算出的结果用长方形的面积验证吗？如图

【教师活动】在教师引导下，学生总结法则，并用语言叙述，教师订正语言准确性.
【教学说明】板书：单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的各项，再将所得的积相加.即a（b+c+d）=ab+ac+ad.
三、随堂练习，巩固新知
完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视并及时反馈.
四、典例精讲，拓展新知
例 先化简，再求值.
（1）3x2（2x2-x+1）-x（3x3-4x2+2x），其中x=-1；
（2）x2（3-x）+x（x2-2x）+1,其中x=.
【分析】先利用单项式乘多项式的法则化简，再代入求值.
【答案】（1）化简得3x4+x3+x2，当x=-1时，原式=3.
（2）化简得x2+1,当x=时，原式=4.
【教学说明】教师强调运用法则做到一步一查确保计算准确无误，这类题应先化简，再求值.
五、运用新知，深化理解
先化简，再求值：
（1）3x（2x+y）-2x（x-y），其中x=1,y=15；
（2）已知x2-3=0,求x（x2-x）-x2（5+x）-9的值.
【答案】（1）4x2+5xy,5;(2)-6x2-9,-27.
【教师说明】（2）中宜将x2视为一个整体.
六、师生互动，课堂小结
这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结.

完成练习册中本课时对应的课后作业部分.

本节课法则推导利用乘法的分配律，从数类比到字母，学生亲切易懂，体现用字母代替数的思想，再让学生用长方形面积验证，培养思维严谨性，注重数形结合思想.
运用新知中，第（2）题将x2看作一个整体，提高计算灵活性.本课计算量有所加大，如何让学生计算更准确，除熟练运用法则外，还应对学生计算作心理指导.如做一步查一步，不要做完再检查，可通过演算比赛调动计算情绪.
3.多项式与多项式相乘

【基本目标】
1.能说出多项式与多项式相乘的法则，并且知道多项式乘以多项式的结果仍然是多项式.会进行多项式乘以多项式的计算及混合运算.
2.培养学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力.
3.培养独立思考、主动探索的习惯和初步解决问题的愿望及能力.
【教学重点】
掌握多项式乘以多项式的法则.
【教学难点】
运用法则进行混合运算时，不要漏项.

一、复习旧知，导入新课
指名学生说出单项式与多项式相乘的法则.（单项式乘以多项式就是用单项式乘以多项式中的每一项，再把所得的的积相加.）
式子p（a+b）=pa+pb中的p，可以是单项式，也可以是多项式.如果p=m+n，那么p（a+b）就成了（m+n）（a+b），这就是今天我们所要讲的多项式与多项式相乘的问题.（由此引出课题）
你会计算这个式子吗？你是怎样计算的？
二、师生互动，探究新知
【教师活动】（教师引导学生由繁化简，把（m+n）看作一个整体，使之转化为单项式乘以多项式，即：［（m+n）（a+b）］=（m+n）a+（m+n）b=ma+mb+na+nb.
【教师活动】教材P28例图你会验证吗？
【教师活动】问题：（1）如何表示扩大后的林区的面积？
（2）用不同的方法表示出来后的等式为什么是相等的呢？
【学生活动】学生分组讨论，相互交流得出答案.
【教师活动】观察这一结果的每一项与原来两个多项式各项之间的关系，能不能由原来的多项式各项之间相乘直接得到？如果能得到，又是怎样相乘得到的？（教师示范）
1.你能用语言叙述这个式子吗？
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
即：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb.
2.两个多项式相乘，不先计算能知道结果中（合并同类项前）有几项吗？
3.在计算中怎样才能不重不漏？
这个法则，对于三个或三个以上的多项式相乘，是否适用？若适用，应怎样计算？
【学生活动】学生小组讨论、交流、发言汇报.
三、随堂练习，巩固新知
完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，并及时反馈，特别是漏乘现象.
四、典例精析，拓展新知
例甲、乙二人共同计算一道整式乘法：（2x+a）·（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x-10；由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2-9x+10.
（1）你能知道式子中a、b的值各是多少吗？
（2）请你计算出这道整式乘法的正确结果.
【分析】甲抄错了a的符号，即甲的计算式为（2x-a）（3x+b）=6x2-（3a-2b）x-ab.对比得到的结果可得-（3a-2b）=11；乙漏抄了第二个多项式中x的系数，即乙的计算式为（2x+a）（x+b）=2x2+（a+2b）x+ab.对比得到的结果可得出a,b的值.
解：（1）（2x-a）（3x+b）=6x2-（3a-2b）x-ab=6x2+11x-10.
（2）（2x+a）（x+b）=2x2+（a+2b）x+ab=2x2-9x+10.
∴-（3a-2b）=11,
a+2b=-9,解得a=-5,
b=-2.
（2）原式=（2x-5）（3x-2）=6x2-19x+10.
五、运用新知，深化理解
若多项式（x2+mx+n）（x2-3x+4）展开后不含x3项和x2项，试求m、n的值.
解：原式=x4+mx3+nx2-3x3-3mx2-3nx+4x2+4mx+4n=x4+（m-3）x3+（n-3m+4）x2+（4m-3n）x+4n，由题意得：
m-3=0,且n-3m+4=0
∴m=3,n=5.
【教学说明】教师提示各项系数对应，即待定系数法.
六、师生互动，课堂小结
这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结.

完成练习册中本课时对应的课后作业部分.

本节课推导多项式乘多项式法则时，从单项式乘多项式法则入手，用换元思想直接推导，思维有根基，为防止本节课中最大错误——漏乘现象，教师设置了一个探究关于多项式相乘后（没合并同类项前）的项数问题，很好的避免了这个错误.典例精析中的待定系数法初次接触，注意对学习困难的学生进行及时指导.
12.3 乘法公式
1.两数和乘以这两数的差

【基本目标】
1.能说出平方差公式的特点，并会用式子表示.
2.能使学生正确地利用平方差公式进行多项式的乘法.
3.通过平方差公式得出的过程，使学生明白数形结合的思想.
【教学重点】
掌握平方差公式的特点，牢记公式.
【教学难点】
具体问题要具体分析，会运用公式进行计算.

一、创设情景，导入新课
街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要加长2米，而东西方向要缩短2米.问改造后的长方形草坪的面积是多少？
【学生活动】（a+2）（a-2）=a2-4
二、师生互动，探究新知
【教师活动】你观察式子左边有什么特征？右边的结果又有什么特征？这种发现具有一般性吗？请同学们再列举几个验证一下.你能得出什么规律性结论？请用字母表示.
【教学说明】在学生发言基础上归纳：（a+b）（a-b）=a2-b2这就是说，两数之和与两数之差的积，等于这两数的平方差.简称平方差公式.请同学们结合教材P31图形进行面积验证.
【教师活动】请同学们给出几个平方差的式子，并让同伴计算.
三、随堂练习，巩固新知
完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视及时点评.注意运用公式时应具有平方差公式的特征.
四、典例精析，拓展新知
例利用平方差公式计算：
（1）59.8×60.2;
（2）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+1/4
【分析】（1）可转化为（60-0.2）（60+0.2）;
（2）先将前面部分乘以（5-1）构造平方差公式，再除以4.
【答案】（1）3599.96（2）532/4
【教学说明】第（2）小题可能大多数同学不会做，教师抓住这困惑，是思维的起点，帮助分析如何构造平方差公式.（52+1）与谁构成平方差，同时注意代数式恒等的要求.
五、运用新知，深化理解
1.计算（y+x）（y-x）（x2+y2）（x4+y4）.
2.计算（1）20132-2012×2014；
（2）3×（4+1）（42+1）+1.
【答案】1.y8-x8;2.(1)1;(2)256.
【教学说明】如何转化构造平方差公式，教师巡视并对学习困难的学生给予指导.
六、师生互动，课堂小结
这一节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结.

完成练习册中本课时对应的课后作业部分.

本节课重在应用平方差公式计算，而应用公式的关键是掌握平方差公式的特征，在学生合作探索平方差公式后，教师要求学生构造具有平方差公式的习题，并计算，具有开放性，大大调动了学生的积极性与学习激情.在典例精析中第（2）小题学生思维受阻时，让学生由式子特征联想知识模型、构造平方差公式，再解决相应数学问题是数学创造性表现！
2.两数和（差）的平方

【基本目标】
1.能说出两数和的平方与两数差的平方公式的特点，并会用式子表示.
2.能正确地利用两数和的平方与两数差的平方公式进行多项式的乘法.
3.通过两数和的平方与两数差的平方公式的得出，使学生明白数形结合的思想.
【教学重点】
掌握公式的特点，牢记公式.
【教学难点】
具体问题，具体分析，灵活运用完全平方公式.

一、创设情景，导入新课
王老汉开辟了一个正方形的菜园，它的边长是（a+b），则它的面积是多少？
【学生活动】（a+b）2=a2+2ab+b2（用多项式乘以多项式算得）
【教师活动】有没有更简洁的方法?回答是有的，今天将给大家一个满意的回答.
二、师生互动，探究新知
【教师活动】请同学们自学教材P32~P33内容.回答下列问题：
1.计算（a+b）2= .
2.这个公式的左边和右边各有什么特点？用文字叙述.
3.你会用（a+b）2=a2+2ab+b2计算（a-b）2吗？
4.你会结合教材P33图形验证吗？
【学生活动】学生小组内合作、交流、并汇报探究结果，回答上述问题.
【教学说明】在学生发言的基础上归纳：两个乘法公式
（a+b）2=a2+2ab+b2，
（a-b）2=a2-2ab+b2
文字叙述：两数和（或差）的平方，等于这两数的平方，加上（减去）这两数的积的2倍.口诀“首平方，尾平方，二倍乘积中间放”.
三、随堂练习，巩固新知
完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，并及时点评与指导，特别是公式运用中错误及时纠正.
四、典例精析，拓展新知
例 已知x+y=4,xy=2，求（1）x2+y2;（2）3x2-xy+3y2;
（3）x-y
【分析】（1）x2+y2=（x+y）2-2xy;
(2)3x2-xy+3y2=3（x+y）2-7xy；
(3)（x-y）2＝（x+y）2-4xy.
【答案】（1）12； （2）34； （3）x-y=±.
【教学说明】x+y、xy、x2+y2是一组典型对称式，注意指导学生灵活进行公式变形.（x+y）2=（x-y）2+4xy.
五、运用新知，深化理解
1.已知：x2+y2=6,xy=5.求x+y;
2.已知a、b满足，（a+b）2=1,（a-b）2=25,试求a2+b2+ab的值.
【答案】1.x+y=±4；2.a2+b2+ab=7.
【教学说明】本题是结合典例精析中公式变形后的变式训练，对公式变形不熟练学生给予有效指导.
六、师生互动、课堂小结
这节课你学到了什么？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结.

完成练习册中本课时对应的课后作业部分.

本节课在初中数学中占有重要地位，特别是公式应完全掌握，教学时为防止类比平方差公式，出现（a+b）2=a2+b2的错误，教师给出了口诀，相信同学们都能掌握该公式的结构特征.教材中将两数和的平方与两数差的平方分开推导，本节课考虑到换元思想将两数和与两数差的平方用两数和来推导，进一步体现转化思想，也加深了对两数和的平方公式的理解.本节课中的公式恒等变形较灵活，逻辑性较强，对学习困难的学生以更多指导与关心.

12.4 整式的除法
1.单项式除以单项式

【基本目标】
1.理解掌握单项式除以单项式的法则.
2.会进行单项式除以单项式的运算.
【教学重点】
运用单项式除以单项式的法则进行计算.
【教学难点】
探求单项式除以单项式的方法.

一、创设情景，导入新课
我们知道“先看见闪电，后听到雷声”，那是因为在空气中光的传播速度是3×108m/s，而声音在空气中的传播速度是3.4×102m/s.在空气中光速是声速的多少倍？
【教师活动】如何列式？
【学生活动】（3×108）÷（3.4×102）？
【教师活动】引导：∵（3.4×102）× =3×108，
∴（3×108）÷（3.4×102）= .
下面讲学习单项式除以单项式.
二、师生互动，探究新知
【教师活动】观察并填空：
1.问题的提出.
∵3x2y·2xy3=6x3y4
∴6x3y4÷3x2y= ①
6x3y4÷2xy3= ②
分析观察得出：两个单项式相除，只需得 及 分别相除.
2.再思考：-21a2b3c÷3ab.
大家分析一下此题中对c该怎么办?
【学生活动】完成填空并及时思考单项式除以单项式的法则，讨论交流并选代表发言.
【教学说明】在同学们发言基础上归纳：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式.
三、随堂练习，巩固新知
完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，并结合出现的错误及时点评，特别是符号，以及仅在被除式中出现的字母的处理问题.
四、典例精析，拓展新知
例1计算下列各题：
（1）（x2y）·（x3y4）÷（x4y3）;
（2）（4xn+2yn）2÷［（-xy）2］n（n为正整数）.
【分析】单项式的乘除混合运算从左到右，按法则计算，有乘方先算乘方.
【答案】（1）2xy2；（2）16x4.
【教学说明】通过单项式的乘除混合运算进一步巩固单项式乘除的法则，提高基本运算能力.
例2若等式（ ）÷4n=62n成立，则括号内的代数式是.
【分析】根据除法是乘法的逆运算，得（ ）=62n·4n=62n·22n=122n.
【教学说明】提高逆向思维能力.
五、运用新知，深化理解
1.若a2m+nbn÷a2b2·anb=a4b,求m、n的值；
2.计算（2x2y）3·（-7xy2）÷（14x4y3）.
【答案】1.m=1,n=2;2.-4x3y2.
六、师生互动，课堂小结
这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言基础上教师归纳总结.

完成练习册中本课时对应的课后作业部分.

本节课重点是如何运用单项式除以单项式法则，难点是单项式除以单项式法则的推导.在法则推导过程中利用乘法与除法的互逆运算关系，让学生自己发现、归纳，让学生自己知其所以然.为强化重点，通过典例互动探究提高学生运用法则，熟练计算的能力，本节课另外要注意转化的数学思想方法在解题中的运用.
2.多项式除以单项式

【基本目标】
理解多项式除以单项式的运算法则；会进行多项式除以单项式的运算.
【教学重点】
运用多项式除以单项式的法则进行计算.
【教学难点】
多项式除以单项式法则的探求.

一、创设情景，导入新课
计算下列各式，说说你是怎么想的？
（1）（am+bm）÷m;
（2）（a2+ab）÷a.
【教学说明】学生有困难时，可提示如（am+bm）÷m，就是要求一个多项式它与m的积是am+bm，∵（a+b）m=am+bm，∴（am+bm）÷m=a+b，又∵am÷m+bm÷m=a+b，∴（am+bm）÷m=am÷m+bm÷m.
二、师生互动，探究新知
【教师活动】am+bm是一个多项式，m是一个单项式，由此你得出了什么法则？
【教学说明】在学生分组讨论交流的基础上，教师归纳：多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
练一练（1）（6xy+5x）÷x；
（2）（15x2y-10xy2）÷5xy
【答案】（1）6y+5；（2）3x-2y
【教学说明】（1）明确解题步骤，步步有据；（2）注意商的符号，防止符号错误；（3）注意化简合并，使计算简便.
三、随堂练习，巩固新知
完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，及时点评，使学生熟练运用法则，准确计算.
四、典例精析，拓展新知
例计算：（1）［（x+2y）（x-2y）+4（x-y）2］÷6x;
（2）［2（a+b）5-3（a+b）4+（-a-b）3］÷［2（a+b）3］.
【分析】（1）先将被除式化简，再进行除法运算；（2）将（a+b）视为一个整体.
【答案】（1）x-y;（2）a2+b2+2ab-a-b-.
【教学说明】（1）注意整式乘法，特别是乘法公式的灵活运用；（2）整体思想可化繁为简.
五、运用新知，深化理解
已知2x-y=10，求代数式［（x2+y2）-（x-y）2+2y（x-y）］÷4y的值.
【答案】化简得：x-y，值为5.
【教学说明】对于化简求值题，一般先化简后，再代入求值，本题条件式为一个等式，化简后往往与之有关，再变形后整体代入.
六、师生互动，课堂小结
这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结.

完成练习册中本课时对应的课后作业部分.

本节课学习多项式除以单项式的法则，在多项式乘以单项式的基础上归纳多项式除以单项式的法则，注意引导学生积极有效的探索.
符号的确定是这一单元极为重要的问题，应引起学生的重视，反复强调，及时反思.另外多项式除以单项式后商的项数与多项式的项数相同；多项式的某一项与单项式相同时，商为1.化简求值问题有时要用整体代入方法.
12.5 因式分解
第1课时 因式分解（1）

【基本目标】
1.理解因式分解与整式乘法之间的互逆关系.
2.用提公因式法进行因式分解.
【教学重点】
用提公因式法分解因式.
【教学难点】
将多项式适当地变形并用提公因式法分解因式.

一、创设情景，导入新课
1.完成下列各题：
(1)m(a＋b＋c)＝ ；
(2)(a＋b)(a－b)＝ ；
(3)(a＋b)2＝ .
2.根据上面的计算，你会做下面的填空吗?
(1)ma＋mb＋mc＝（ ）（ ）；
(2)a2－b2＝（ ）（ ）；
(3)a2＋2ab＋b2＝（ ）2.
观察讨论以上两组题目有什么不同点?又有什么联系?
3.你能根据上面的分析说出什么是因式分解吗?
像ma+mb+mc=m(a+b+c)
这种因式分解的方法叫（ ）法.其中m叫（ ）.
小组讨论总结公因式有什么特征.
二、师生互动，探究新知
1.判断下列各题是否为因式分解：
（1）m(a+b+c)=ma+mb+mc；（2)a2-b2=(a+b)(a-b)；（3)a2-b2 +1=(a+b)(a-b)+1.
2.试一试：请找出下列多项式中各项的相同因式（公因式）
（1） 3a+3b的公因式是：；
（2）-24m2x+16n2x公因式是：；
（3）2x(a+b)+3y(a+b)的公因式是：；
(4) 4ab-2a2b2的公因式是：.
3. 把下列多项式分解因式.
（1）3a+3b；
（2）5x-5x+5x.
三、随堂练习，巩固新知
完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，及时点评，注意找公因式的准确性，注意符号、多项式的恒等变形.
四、典例精析，拓展新知
例将下列多项式因式分解.
（1）x5-16x;
（2）（a-1）+b2（1-a）;
（3）x2y2+xy3+y4；
（4）4x2-y2-z2+2yz.
【分析】（1）先提公因式x，再用平方差公式；
（2）先变形为（a-1）-b2（a-1），再提公因式（a-1），再用平方差公式；
（3）先提取y2后再用完全平方公式；
（4）先将后三项提出一个符号，是完全平方公式，再与前项构造平方差公式.
【答案】（1）x（x2+4）（x+2）（x-2）;
（2）（a-1）（1+b）（1-b）;
（3）y2（x+13y）2；
（4）（2x+y-z）（2x-y+z）.
【教学说明】1.因式分解时遵循“一提（公因式）”、“二套（公式）”、“三查（是否分解彻底）”
2.公因式符号不同时，先变号.
（a-b）2=（b-a）2,（a-b）3=-（b-a）3.
3.多项式有两项时，符号相反考虑平方差，有三项时，考虑完全平方公式，有四项时可考虑适当组合，再因式分解.
五、运用新知，深化理解
1.把下列多项式分解因式.
（1）2p3q2+p2q3；
（2）xn-xny；
（3）a(x-y)-b(x-y);
（4） 4a3b-2a2b2.
2.已知a+b=5,ab=3, 求a2b+ab2的值.
【答案】1.（1）p2q2(2p+q);（2）xn(1-y);(3)(x-y)(a-b);(4)2a2b(2a-b).
2.15.
六、师生互动，课堂小结
这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结.

完成练习册中本课时对应的课后作业部分.

本节课内容量较大，因式分解的概念，将多项式变形选择适当的方法进行因式分解是本节课的难点，教学过程中，要及时关注学生，在代数变形方向给予指导与提示，让他们知道为什么要这样变形，怎样灵活变形.

第2课时 因式分解（2）

【基本目标】
1.能熟练运用公式将多项式进行因式分解.
2.能找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底.
3.提高对因式分解的认识和将多项式因式分解的能力.
【教学重点】
掌握公式法进行因式分解.
【教学难点】
找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底.

一、创设情景，导入新课
1.我们学过哪些乘法公式？请把公式表示出来.
2.乘法公式如果反过来用，它们的结果都是什么形式?能够成为什么公式呢?
这些公式用语言可以怎样叙述？
3.用这种对多项式进行因式分解的方法叫（ ）.
二、师生互动，探究新知
下列各式能否用公式来分解因式？如果可以，应分解成什么式子？如果不可以，请说明理由.
(1)x2-4x+4；(2)1+16a2;
(3)4x2+4x-1；(4)x2+6x+9.
三、随堂练习，巩固新知
完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，及时点评，注意找公因式的准确性，注意符号、多项式的恒等变形.
四、典例精析，拓展新知
例1对下列多项式进行因式分解：
（1）25x2-16y2；（2）-z2+(x-y)2.
【分析】以上各式均满足使用( )公式分解因式的条件，所以可直接利用（ ）公式进行因式分解.
【答案】（1）（5x-4y）(5x+4y) (2)(x-y-z)(x-y+z)
例2把多项式x2+4xy+4y2分解因式．
【分析】1.判断左边是否为完全平方式．
2.判断中间一项是哪两个数积的二倍．
3.看清中间一项的符号，写出因式分解结果.
【答案】（x+2y）2
五、运用新知，深化理解
1.把下列各式分解因式：
（1）-492+x2；
（2）4(x+m)2 -(x-m)2.
2.把下列各式分解因式：
(1)x2-12xy+36y2；
(2)a2-14ab+49b2；
(3)16a4+24a2b2+9b4；
(4)49a2-112ab+64b2．
3.把下列各式分解因式.
(1) a3-14a2+49a；
(2) 3a3-27ab2；
(3) 2am+an+2bm+bn ；
(4) -20xy+25x2+4y2.
【答案】1.（1）(x-49)(x+49) (2)(3x+m)(x+3m)
2.(1)(x-6y)2 （2）(a-7b)2
(3)(4a2+3b2)2 （4）（7a-8b）2
3.（1）a(a-7)2 (2)3a(a-3b)(a+3b)
(3)（2m+n）(a+b) (4)(5x-2y)2
六、师生互动，课堂小结
这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结.

完成练习册中本课时对应的课后作业部分.

本节课中公式法与提公因式法常综合使用，注意通过适当地训练与归纳使之熟练化，对于复杂变形后的因式分解，课标不做要求，不必加重学生负担.
本章复习

【基本目标】
1.会进行整式的乘法运算.
2.会进行整式的除法运算.
3.会将一个多项式因式分解.
【教学重点】
整式的乘法与因式分解.
【教学难点】
各种运算法则推导.

一、知识框图，整体建构

二、知识梳理，快乐晋级
本章通过问题的形式来梳理知识，以加深学生对基础知识的理解.
问题1 同底数幂的乘法、除法、幂的乘方、积的乘方法则是什么？
问题2 单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式的法则是什么？
问题3 单项式除以单项式，多项式除以单项式的法则是什么？
问题4 因式分解的方法有哪些？因式分解的步骤是什么？
问题5 本章你学到哪几个乘法公式？你会用吗？
【教学说明】教师出示问题，由学生小组竞赛的形式回答，教师根据学生的回答，对有误区，不深刻的地方作出系统的说明.
三、典例精析，升华旧知
例1下列运算正确的是（ ）
A.a7·a7=2a7
B.（a2）3=a8
C.a6÷a3=a2
D.a4b8=（ab2）4
【答案】D
【教学说明】通过本例复习幂的运算法则，应根据每个式子的类型，根据法则得出相应的结果.注意幂的运算的逆向运用，必须熟练掌握.
例2下列运算正确的是（ ）
A.a4+a4=2a8
B.（-a）3·（-a5）=-a8
C.（-2a2b）3·4a=-24a6b3
D.（-a-4b）（a-4b）=16b2-a2
【答案】D
【教学说明】通过本例复习各类整式的运算与乘法公式.对整式运算时，首先看清运算种类，然后严格按各自法则运算，同时还要注意适当的变形与符号.
例3（a-）2（a+）2（a2+）2
解：原式=［（a-）（a+）（a2+）］2=
［（a2-）（a2+）］2=（a4-）2=a8-a4+ .
【教学说明】本例复习了平方差公式与完全平方公式的灵活运用，并注意逆用（ab）n=anbn.并将结果写成降幂排列的形式，并提醒学生遇到直接运算不易操作的问题先转化较易操作状态，再计算.
例4先化简，再求值：
（a-2b）·（a+2b）+ab3÷（-ab）,其中a=,b=-.
解：原式=［a2-（2b）2］+（-b2）=a2-5b2,
若a=,b=-时，原式=（）2-5（-）2＝2-15=-13.
【教学说明】计算时应先乘方，再乘除，最后算加减.化简时能够运用乘法公式的应优先考虑，要自觉养成这种良好的习惯，这样计算才会简便，正确率高.
例5将下列各式因式分解:
（1）9a-a3;
（2）x3y-6x2y2+9xy3
【答案】（1）a（3+a）（3-a） （2）xy（x-3y）2
【教学说明】因式分解步骤：一“提”、二“套”、三“查”，注意提公因式法与公式法综合运用.
四、师生互动，课堂小结
这节复习课你有什么收获？还有什么疑问？复习到哪些数学思想方法？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结.

完成练习册中本课时对应的课后作业部分.

本节通过框架图复习，力求让学生对本章的知识脉络清晰，层次清楚，以问题竞赛的形式梳理知识，让同学们对这些知识了然于胸，教师典例精析中应针对学生薄弱的地方举一反三.