初中数学人教版八年级上册13.1.1 轴对称教学设计

这是一份初中数学人教版八年级上册13.1.1 轴对称教学设计，共41页。教案主要包含了教学重点，教学难点，教学说明，教学归纳，归纳总结，归纳结论等内容，欢迎下载使用。
13.1.1 轴对称
1.掌握轴对称图形和关于直线成轴对称等概念.
2.通过生活中的具体实例认识,培养观察、思维、操作、归纳能力.
3.体验数学与生活的联系,发展审美观.
【教学重点】
准确掌握轴对称图形和关于直线成轴对称的实质.
【教学难点】
轴对称图形和关于直线成轴对称的区别与联系.
一、情境导入，初步认识
展示学生按要求收集的图片资料,教师指导并对所有图片进行分类:第一类是轴对称图形,第二类是关于一条直线对称的图形.
学生观察,并以小组为单位,讨论下列问题:
1.第一类图案有什么共同特征?
2.第二类图案有什么共同特征?
【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
二、思考探究，获取新知
1.轴对称图形
在学生交流和说出两类图案的特征的基础上,教师提出第一类的图案称为轴对称图形.
问题1 学生尝试说出轴对称图形的定义,教师适当纠正与补充.
问题2 请学生再举一些日常生活中的轴对称图形的例子.
问题3 请观察下列图案,看这些轴对称图形各有几条对称轴.
2.两个图形关于某条直线对称
教师提出第二类图案称为两个图形关于某条直线对称.
问题4 鼓励学生说出两个图形关于某条直线对称的定义.
问题5 举出生活中两个图形成轴对称的例子.
如:
提示：对称轴可能不止1条,也可能是水平的或倾斜的.
教师再归纳总结轴对称图形和两个图形成轴对称间的区别与联系.
三、运用新知，深化理解
1.如图,在由小正方形组成的L形的图形中,用三种不同的方法添画一个小正方形,使它成为轴对称图形.
2.角是轴对称图形,它的对称轴是 .
【教学说明】问题1中有两种方法比较容易,方法3鼓励学生交流讨论得到;问题2提醒学生不能说成角平分线.
【答案】1.
2.角平分线所在的直线.
四、师生互动，课堂小结
本节课你学会了什么?有哪些收获?还有什么疑问?
1.布置作业：从教材“习题13.1”中选取.
2.如图是一个圆形的纸片,请问:它是轴对称图形吗?如果是, 对称轴有多少条?请你找到它的圆心.
3.完成练习册中本课时的练习.
本课时教学应重视以下几点：
1.努力体现数学与生活的联系，从实际中学习新知，使学生认识这种学习方法.
2.形成提炼概念的能力，注重从实物的形象思维向抽象思维转变.
3.在对比中发现，认识知识，如“轴对称”与“轴对称图形”的区别与联系.
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
1.了解两个图形成轴对称的性质,了解轴对称图形的性质.
2.探究线段垂直平分线的性质.
3.经历探索轴对称图形性质的过程,发展空间观察能力.
4.体验数学与现实间的联系,发展审美感,激发兴趣.
【教学重点】
轴对称的性质,线段垂直平分线的性质.
【教学难点】
线段垂直平分线的性质.
一、情境导入，初步认识
问题1 下面图形中哪些是轴对称图形?如果是,请说出它的对称轴.
问题2 如果两个图形成轴对称,那么这两个图形有什么关系?
(如图2,△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称)
【教学说明】两个图形成轴对称,那么这两个图形就全等.由此提出线段垂直平分线定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.如图3,直线l是线段AB的垂直平分线.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
二、思考探究，获取新知
1.探究轴对称的性质
(1)作两个成轴对称的三角形,如图.
(2)将对称点分别用线段连接起来,观察它与对称轴的位置关系及数量关系,你能得到什么结论?是如何得到这个结论的?
(3)轴对称图形是否也具备这样的性质呢?举例说明.
2.探索线段垂直平分线的性质
探究1 教材中的“探究”.
学生先思考教科书上的问题，然后让学生以线段代替木条进行画图探究.任意画一条线段AB,画出它的垂直平分线MN,在MN上任取点P1,P2,P3,分别量一量点P1,P2,P3到点A，点B的距离,你有什么发现?与同伴交流,说明理由.
探究2 如图,PA=PB,取线段AB的中点O,连接PO,PO与AB有怎样的位置关系?
指导学生运用三角形全等知识判定△PAO≌△PBO,从而推得PO是线段AB的垂直平分线.
教师总结线段垂直平分线的性质与判定.
例1 如图所示,有一块三角形田地,AB=AC=10m,作AB的垂直平分线ED交AC于D,交AB于E,量得△BDC的周长为17m,请你替测量人员计算BC的长.
解:∵ED是AB的垂直平分线,
∴DA=DB.
又∵△BDC的周长为17m,AB=AC=10m,
∴BD+DC+BC=17(m).
∴DA+DC+BC=17,
即AC+BC=17(m).
∴10+BC=17(m),BC=7(m).
3.作简单轴对称图形的对称轴.
例2 如图所示，△ABC与△A′B′C′关于某条直线对称，请你作出这条直线.
【分析】△ABC与△A′B′C′中的点A与A′，点B与B′，点C与C′是对应点，连接一对对应点，如连接BB′，作线段BB′的垂直平分线即可.
解:（1）如图所示，连接BB′，分别以点B，B′为圆心，以大于BB′的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点；
（2）作直线DE，DE即为所求的直线.
三、运用新知，深化理解
1.如果△ABC中,∠BAC=110°,P\,Q在BC上,若MP\,NQ分别垂直平分AB\,AC,则∠PAQ的度数是 .
2.如图，正方形ABCD的边长为4cm,则图中阴影部分的面积为.
3.如图所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（ ）
A.6
B.5
C.4
D.3
4.如图所示,OC是∠AOB的平分线,AC⊥AO,BC⊥BO,则OC与AB的关系是( ).
A.AB垂直平分OC
B.OC垂直平分AB
C.OC只平分AB但不垂直
D.OC只垂直AB但不平分
5.如图,△ABC中，AB=AC，∠A=36°,AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连结EC.
（1）求∠ECD的度数；
（2）若CE=5，求BC的长.
【教学说明】指导学生解答上述习题时，强调学生应：（1）注意成轴对称的两个图形的全等关系，由此可得到几组边、角的相等；（2）注意线段垂直平分线的性质的灵活运用.
【答案】1.40° 2.8cm2 3.B 4.B
5.(1)∵DE垂直平分AC,∴CE=AE,∴∠ECD=∠A=36°.(2)∵AB=AC,∠A=36°,∴∠B=∠ACB=72°,∵∠ECD=36°,∴∠BCE=∠ACB-∠ECD=36°,∴∠BEC=72°=∠B,∴BC=EC=5.
四、师生互动，课堂小结
问题：本节课学会了什么?有哪些收获?还有什么疑问?
由学生表述,教师归纳总结.
1.布置作业：从教材“习题13.1”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
本课教学力求充分体现内容的基础性，方法的灵活性、学生学习的主体性和教学的主导性，在学习活动中，要求学生主动参与，认真思考、比较观察、动手交流和表述，并借助多媒体的手段辅助教学，增强直观性、激发学习兴趣.
强调分组讨论，学生与学生之间很好地交流与合作，利用师生的双边活动，激发学生学习兴趣，教师从中发现、搜集学生的学习情况，查漏补缺，适时调度，从而顺利达到教学的目的.
13.2 画轴对称图形
第1课时 作轴对称图形
1.通过动手操作体验如何作轴对称图形.
2.能作出一个图形经一次或二次轴对称变换后的图形.
3.能利用轴对称变换设计一些简单的图案.
4.通过实际操作获取作轴对称图形的方法,并应用于简单的图案设计.
5.通过图案设计等活动,培养学生的动手操作能力\,审美及数学兴趣,发展学生的空间观念.
【教学重点】
作一个图形经轴对称变换后的图形.
【教学难点】
通过动手操作总结轴对称变换的特征.
一、情境导入，初步认识
利用多媒体向学生展示剪纸图片,供学生欣赏,并请学生交流:如此漂亮的剪纸是如何剪出的呢?
问题1 请学生拿出画有一个简单风筝(如图形状)的半透明纸,把这张纸对折后描图,学生画好后打开对折的纸,观察并回答下列问题:
(1)画出的图形与原来的图形有什么关系?
(2)两个图形成轴对称有什么特征?
问题2 如果改变对称轴的方向和位置,结果又如何呢?让学生在刚才的纸上任意折叠,描图,打开纸.你发现了什么?
【教学归纳】由学生画图、操作、观察后总结出:
(1)由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小完全一样.
(2)新图形上的每一点,都是原图形上的某一点关于直线l的对称点,连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.
【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
二、思考探究，获取新知
【教学说明】
成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经轴对称变换后得到.一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础,经轴对称变换扩展而成的.
问题 除上面所用的描图法;还可用什么方法画出轴对称变换后的图形?请学生间交流探讨.
例1(1)如图1,已知△ABC和直线l,作出与△ABC关于直线l对称的图形.
(2)将△ABC的位置移至图2,图3,图4时,再作出关于直线l对称的图形.并验证画法.
【归纳总结】一个平面图形都是由一些点组成,点动成线,故要画一个图形经轴对称后的图形,只要找到一些特殊点,作出这些特殊点的对称点即可.
【教学说明】
利用轴对称变换,可以设计出精美的图案.有时,将平移和轴对称结合起来,可以设计出更美丽的图案.
例2 操作并思考:
如图所示,取一张薄的正方形纸,沿对角线对折后,得到一个等腰直角三角形,再沿斜边上的高线对折,将得到的三角形沿黑线剪开,去掉含90°角的部分,拆开折叠的纸,并将其铺开.
(1)你会得到怎样的图案?先猜一猜,再做一做.
(2)你能说明为什么会得到这样的图案吗?应用学过的轴对称的知识试一试.
(3)如果将正方形纸按上面方式折3次,然后再去掉含90°角的部分展开后的结果又会怎样?为什么?
解:(1)得到一个有2条对称轴的图形.
(2)按照上面的做法，实际相当于折出了正方形的2条对称轴，因此图中得到的图案一定有2条对称轴.
(3)按题中的方式将正方形对折3次,相当于折出了正方形的4条对称轴,因此得到的图案一定有4条对称轴.
【教学说明】教师参与,与学生一起操作,力求使图案与花边完美.
三、运用新知，深化理解
1.把下列图形补成关于直线l对称的图形.
2.如图,利用轴对称变换画出花瓶的另一半.
3.如图，左边的旗子经过几次轴对称变换,可以变成右边的旗子?你能设计一种变换方案吗?
4.如果我们把台球桌做成等边三角形形状,那么从AC中点D处出发的球,能否依次经BC,AB两条边反射后回到D处?如果认为不能,请说明理由;如果认为能,请作出球运动的路线.
【教学说明】指导学生解答上述习题时，要注意引导学生：（1）画轴对称图形时，要先画好关键的对应点；（2）在已知成轴对称的图形时，利用成轴对称的图形的性质，找出对称轴.
【答案】4.能.运动路线如图的D→E→F→D
四、师生互动，课堂小结
教师请学生回忆本节内容,学生发言谈收获,最后引导总结.
1.由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小完全一样.
2.经轴对称变换后的图形与原图形上的对应点连线被对称轴垂直平分.
3.画一个图形经轴对称变换后的图形,关键是找到图形上的一些点,作出这些点的对称点.
1.布置作业：从教材“习题13.2”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
本课时教学时要尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，以生动活泼的形式呈现有关内容，重视学生的实际操作和观察发现与表述能力.教学时，根据本课内容特点，可依据其学科知识间联系（如例2）调动课堂气氛，培养学生学习兴趣.
第2课时 用坐标表示轴对称
1.能在直角坐标系中画出已知点关于坐标轴对称的点.
2.能求出已知点关于坐标轴对称的点的坐标,求出已知点关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐标.
3.在找关于坐标轴对称的点的坐标之间规律并检验其正确性的过程中,培养学生的语言表达能力、归纳能力.
4.在找点,绘图的过程中使学生体验数形结合思想、体验学习乐趣,养成良好的科学研究方法.
【教学重点】
能求出已知点关于坐标轴对称的点的坐标.
【教学难点】
找对称点的坐标之间的关系,规律.
一、情境导入，初步认识
用多媒体展示北京城风光图片,及北京城形象地图.
问题1 老北京的地图(教材图13.2-3)中,西直门和东直门是关于中轴线对称的,如果以天安门为原点,分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系,对应于如教材图13.2-3所示的东直门的坐标,你能找到西直门的位置和坐标吗?
学生指出西直门的位置或坐标,由此指出用坐标表示轴对称,很方便确定一个地方的位置.
【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
问题2(1)在直角坐标系中画出下列已知点:
A(2,-3);B(-1,2);C(-6,-5);D(3,5);E(4,0);F(0,-3).
(2)画出这些点分别关于x轴、y轴对称的点,并填写表格.
(3)请你仔细观察点的坐标,你能发现关于坐标轴对称的点的坐标有什么规律吗?
(4)请你想办法检验你所发现的规律的正确性,说说你是如何检验的.
【归纳结论】
点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y），即横坐标相等，纵坐标互为相反数；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y），即横坐标互为相反数，纵坐标相等.
二、典例精析，掌握新知
例1 已知点P1(a-1,5)和P2(2,b-1)关于x轴对称,则(a+b)2012的值为( ).
A.0 B.-1 C.1 D.(-3)2012
出示新问题:
1.如图,分别作出△PQR关于直线x=1和直线y=1对称的图形.
2.试找出它们对应点的坐标.
3.猜想:如果作关于直线x=3和直线y=-4对称的图形,试找出它们对应点的坐标,并总结出一般性规律.
点(x,y)关于直线x=m对称点的坐标是(2m-x,y),即若两点(x1,y1),(x2,y2)关于直线x=m对称,则m=,y1=y2.
点(x,y)关于直线y=n对称点的坐标是(x,2n-y),即若两点(x1,y1),(x2,y2)关于直线y=n对称,则x1=x2,n=.
例2 如图,梯形ABCD关于y轴对称,点A的坐标为(-3,3),点B的坐标为(-2,0),试写出点C和点D的坐标,并求出梯形ABCD的面积.
【分析】已知点D与点A关于y轴对称,点B和点C关于y轴对称,由此可推知点D,点C的坐标.
解：∵点D与点A(-3,3)关于y轴对称,
∴点D的坐标为(3,3).同理点C的坐标为(2,0).
故AD=|3-(-3)|=6,BC=|2-(-2)|=4,
∴S梯形= (AD+BC)·OE=×(6+4)×3=15.
【教学说明】由以上例题,应让学生掌握:
1.平行于x轴的两点之间的距离等于两点横坐标差的绝对值.
2.求规则图形的面积应选用平行于x轴(或y轴)的边为底边,求面积较方便.
三、运用新知，深化理解
1.说出下列各点关于x轴,y轴对称的点的坐标.
(-2,6),(1,-2),(-1,3),(-4,-2),(1,0).
2.四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5,1),B(-2,1),C(-2,5),D(-5,
4),分别作出与四边形关于x轴和y轴对称的图形.
3.在坐标系中描出点A(-1,3),B(5,-4),C(-3,-1),D(-1,1),E(-3,5),F(5,
8),连接AB,BC,AC,DE,EF,DF,请你判断所得图形是轴对称图形吗?如果不是,请你说明理由;如果是,请说出对称轴.
【教学说明】
教师指导学生完成上述问题的解答,提示学生解题过程中注重画图找答案,体验数形结合的作用.同时,鼓励学生从实际解题中总结题中所隐含的规律.
【答案】
1.
2.略
3.图略.所得图形是轴对称图形，对称轴是y=2.
四、师生互动，课堂小结
教师引导学生总结本节课用坐标表示轴对称的主要解题方法和解题思路.
1.已知点关于某条直线对称的点的坐标可以通过寻找线段间关系来求.
2.学生表述关于x轴,y轴对称的点的坐标规律.
1.布置作业：从教材“习题13.2”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
本课时采用探究、发现式的教学方法，通过找具有一定代表性的分别位于四个象限及坐标轴的一些点的对称点及坐标，寻找关于坐标轴对称的点的坐标的一般规律，可培养学生观察、归纳、分析问题解决问题的能力，并通过研究线段之间关系发现对称点的坐标之间的关系，从中体验数形结合思想，教学中应让学生认识到寻找规律后检验其正确性是科学研究问题的一个必不可少的步骤.
13.3 等腰三角形
13.3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
1.理解掌握等腰三角形的性质.
2.运用等腰三角形性质进行证明和计算.
3.观察等腰三角形的对称性、发展形象思维.
4.通过实践、观察、证明等腰三角形的性质,发展学生推理能力.
5.通过运用等腰三角形的性质解决有关问题,提高运用知识和技能解决问题的能力.
6.引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲,并在运用数学知识解答问题的活动中取得成功的体验.
【教学重点】
等腰三角形的性质及应用.
【教学难点】
等腰三角形的证明.
一、情境导入，初步认识
问题1 让学生根据自己的理解,做一个等腰三角形.要求学生独立思考,动手做图后,再互相交流评价.
可按下列方法做出:
作一条直线l,在l上取点A,在l外取点B,作出点B关于直线l的对称点C,连接AB,AC,CB,则可得到一个等腰三角形.
问题2 老师拿出事先准备好的长方形纸片,按下图方式折叠剪裁.
观察并讨论:△ABC有什么特点?教师指导,并介绍等腰三角形的相关概念,及等腰三角形是轴对称图形.
【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
二、思考探究，获取新知
教师依据学生讨论发言的情况,归纳等腰三角形的性质:
①∠B=∠C→两个底角相等.
②BD=CD→AD为底边BC上的中线.
③∠BAD=∠CAD→AD为顶角∠BAC的平分线.
∠ADB=∠ADC=90°→AD为底边BC上的高.
指导学生用语言叙述上述性质.
性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成:“等边对等角”).
性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线,底边上的高重合(简记为:“三线合一”).
教师指导对等腰三角形性质的证明.
1.证明等腰三角形底角的性质.
教师要求学生根据猜想的结论画出相应的图形,写出已知和求证.在引导学生分析思路时强调:
(1)利用三角形全等来证明两角相等.为证∠B=∠C,需证明以∠B,∠C为元素的两个三角形全等,需要添加辅助线构造符合证明要求的两个三角形.
(2)添加辅助线的方法可以有多种方式:如作顶角平分线,或作底边上的中线,或作底边上的高等.
2.证明等腰三角形“三线合一”的性质.
【教学说明】在证明中,设计辅助线是关键,引导学生用全等的方法去处理,在不同的辅助线作法中,由辅助线带来的条件是不同的,重视这一点，要求学生板书证明过程,以体会一题多解带来的体验.
例 如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.
解:∵AB=AC,BD=BC=AD,
∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD(等边对等角).
设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.
于是在△ABC中,有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,
解得x=36°
于是在△ABC中,有∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.
【教学说明】等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”性质，可以实现由边到角的转化，从而可求出相应角的度数.要在解题过程中,学会从复杂图形中分解出等腰三角形,用方程思想和数形结合思想解决几何问题.
三、运用新知，深化理解
第1组练习:
1.如图,在下列等腰三角形中,分别求出它们的底角的度数.
2.如图，△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,∠BAC=90°,AD是底边BC上的高,标出∠B,∠C,∠BAD,∠DAC的度数,指出图中有哪些相等线段.
3.如图,在△ABC,AB=AD=DC,∠BAD=26°,求∠B和∠C的度数.
第2组练习:
1.如果△ABC是轴对称图形,则它一定是( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形
2.等腰三角形的一个外角是100°,它的顶角的度数是( )
A.80° B.20°
C.80°和20° D.80°或50°
3.已知等腰三角形的腰长比底边多2cm,并且它的周长为16cm.求这个等腰三角形的边长.
4.如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E.求证:AE=CE.
【教学说明】
等腰三角形解边方面的计算类型较多,引导学生见识不同类型,并适时概括归纳,帮学生形成解题能力,注意提醒学生分类讨论思想的应用.
【答案】
第1组练习答案:
1.(1)72°;(2)30°
2.∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°;AB=AC,BD=DC=AD
3.∠B=77°,∠C=38.5°
第2组练习答案:
1.C
2.C
3.设三角形的底边长为xcm,则其腰长为(x+2)cm,根据题意,得2(x+2)+x=16.解得x=4.∴等腰三角形的三边长为4cm,6cm和6cm.
4.延长CD交AB的延长线于P,在△ADP和△ADC中,∠PAD=∠CAD,AD=AD,∠PDA=∠CDA,∴△ADP≌△ADC.∴∠P=∠ACD.又∵DE∥AP,∴∠CDE=∠P.∴∠CDE=∠ACD,∴DE=EC.同理可证:AE=DE.∴AE=CE.
四、师生互动，课堂小结
这节课主要探讨了等腰三角形的性质,并对性质作了简单的应用.请学生表述性质,提醒每个学生要灵活应用它们.
学生间可交流体会与收获.
1.布置作业：从教材“习题13.3”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
本课时应把重点放在逐步展示知识的形成过程上，先让学生通过剪纸认识等腰三角形；再通过折纸猜测、验证等腰三角形的性质；然后运用全等三角形的知识加以论证.由特殊到一般、由感性上升到理性，逻辑演绎，层层展开，步步深入.
第2课时 等腰三角形的判定
1.理解掌握等腰三角形的判定.
2.运用等腰三角形判定进行证明和计算.
3.通过推理证明等腰三角形的判定定理,发展学生的推理能力,培养学生分析、归纳问题的能力.
4.引导学生观察,发现等腰三角形的判定方法,获得成功的感受，并在这个过程中体验学习的乐趣.
【教学重点】
等腰三角形的判定定理.
【教学难点】
等腰三角形判定定理的证明.
一、情境导入，初步认识
先请学生回忆等腰三角形的性质,再向学生提出下列问题.
问题1 如图,位于海上A,B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警,当时测得∠A=∠B.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发,能不能大约同时赶到出事地点(不考虑风浪因素).
引导学生作如下思考:
(1)应该能同时赶到出事地点,因为两艘救生船的速度相同,同时出发,在相同的时间内走过的路程应该相同,也就是OA=OB,所以两船能同时赶到出事地点.
(2)能同时赶到O点位置的一个很重要的因素是∠A=∠B,也就是说如果∠A不等于∠B,那么同时以同样的速度出发就不能同时赶到出事地点.
【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
问题2 根据上述探究,考虑:“在一个三角形中，如果两个角相等，那么它们所对的边也相等”，并证明这个结论.
1.指导学生表述结论并写出证明过程.
2.指出表述要严谨,如不能说成：“如果一个三角形的两个底角相等，那么它是等腰三角形”.
二、思考探究，获取新知
例1 求证：如果一个三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
【教学说明】本题是文字叙述的证明题,先应将文字语言转化为相应的数学语言,再根据题意画出相应的几何图形.
要证明这个问题,由特征结论联想“等角对等边”，而等角由已知的平行线和角平分线可推得.
例2 如图,标杆AB高5m,为了将它固定,需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D,E两点拉两条绳子,使得D,B,E在一条直线上,量得DE=4m,绳子CD和CE要多长?
【教学说明】
这是一个与实际生活相关的问题,要解决这类问题,需要将实际问题抽象为数学模型.本题的实质是已知等腰三角形的底边和底边上的高,求腰长的问题.
解：如图(2),选取比例尺为1∶100.
①作线段DE=4cm.
②作线段DE的垂直平分线MN,与DE交于点B.
③在MN上截取BC=2.5cm.
④连接CD,CE,△CDE就是所求的等腰三角形,量出CD的长,就可以计算出要求的绳长.
例3 如图,已知△ABC中,AB=AC,BD,CE分别是两腰上的中线.求证:BD=CE.
证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又∵CD=AC,BE=AB,
∴CD=BE.
在△BEC和△CDB中,
∵BE=CD,∠ABC=∠ACB,BC=CB,
∴△BEC≌△CDB(SAS).
∴BD=CE.
三、运用新知，深化理解
1.如图,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,分别计算∠1,∠2的度数,并说明图中有哪些等腰三角形.
2.如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠,重合部分是一个等腰三角形吗?为什么?
3.如图,AC和BD相交于点O,AB∥DC,OA=OB.求证:OC=OD.
4.如图,在△ABD中,C是BD上的一点,且AC⊥BD,AC=BC=CD.(1)求证:△ABD是等腰三角形.(2)求∠BAD的度数.
【教学说明】上述习题要引导学生边做题边总结,熟悉等腰三角形的性质与判定常与哪些知识在一起应用,等腰三角形性质与判定间有什么区别与联系,并鼓励学生探究一题多解的方法.
【答案】
1.∠1=72°,∠2=36°;等腰三角形有:△ABC、△ABD、△BCD
2.是等腰三角形,可证得∠1=∠2
3.∵OA=OB,∴∠A=∠B.又∵AB∥DC,∴∠A=∠C,∠B=∠D.∴∠C=∠D,∴OC=OD(等角对等边).
4.(1)证明:∵AC⊥BD,∴∠ACB=∠ACD=90°.又∵AC=AC,BC=CD,∴△ACB≌△ACD(SAS).∴AB=AD(全等三角形的对应边相等).∴△ABD是等腰三角形.(2)由(1)可知AB=AD,∴∠B=∠D.又∵AC=BC,∴∠B=∠BAC,∴AC=CD.∴∠D=∠DAC.在△ABD中,∠B+∠D+∠BAC+∠DAC=180°.∴2(∠BAC+∠DAC)=180°,∴∠BAC+∠DAC=90°,即∠BAD=90°.
四、师生互动，课堂小结
利用问题指导学生总结:
问题1 你学会了几种判定等腰三角形的方法?
问题2 等腰三角形性质与判定有哪些联系和区别?
【总结】本节课主要探究了等腰三角形判定定理,并对判定定理的简单应用有了一定的认识,在利用定理的过程中体会定理的重要性.在直观的探索和抽象的证明中养成一定的逻辑推理能力.
1.布置作业：从教材“习题13.3”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
利用等腰三角形的性质定理与判定定理的互逆关系来学习等腰三角形的判定是很重要、很常见的研究问题的方法，本节之前线段垂直平分线的知识的学习及以后学习平行四边形等特殊四边形的知识时会反复用到这种方法.
13.3.2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质与判定
1.掌握等边三角形的定义.
2.理解等边三角形的性质与判定定理.
3.经过应用等边三角形的性质与判定的过程培养学生分析问题、解决问题的能力.
4.通过对等边三角形的学习，了解等边三角形的对称美,增强应用数学知识解决实际问题的信心.
【教学重点】
等边三角形的性质和判定方法.
【教学难点】
等边三角形性质的应用.
一、 情境导入，初步认识
在等腰三角形中,有一种特殊的等腰三角形——三条边都相等的三角形,它叫等边三角形.请大家画图并结合等腰三角形的知识探讨等边三角形具有哪些特征,同学间互相交流.教师归纳总结如下:
1.等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴.
2.等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°.
3.三角都相等的三角形是等边三角形.
4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
其中,前两个是等边三角形性质,后两个是等边三角形的判定.
【教学说明】学生的发言会是多方位多角度的,教师应从边、角、对称性等类型归纳.同时强调,作为特殊的等腰三角形,等边三角形首先具备等腰三角形的所有性质.教师讲课前，先让学生完成“名师导学”.
二、思考探究，获取新知
例1 如图,已知P,Q是△ABC的边BC上两点,且PB=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的大小.
【分析】由已知显然可知△APQ是等边三角形,每个角都是60°.又知△APB与△AQC都是等腰三角形,两底角相等,由三角形外角性质即可推得∠PAB=30°.
解:∵AP=AQ=PQ,
∴△APQ是等边三角形.
∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°.
又∵AP=PB,
∴∠PAB=∠PBA.
又∵∠APQ=∠PBA+∠PAB,
∴∠PAB=30°.
同理∠QAC=30°.
∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=120°.
【教学说明】本例综合应用等边三角形与等腰三角形在角方面的性质,要求解题要规范,表述要有条理,言必有据,可让学生说出过程中每一步的依据.
例2 在等边△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，BO，CO的垂直平分线分别交BC于点E和点F.求证：△OEF是等边三角形.
【分析】由角平分线得∠OBC=∠OCB=30°,再根据线段垂直平分线的性质可得OE=BE,OF=CF.据此可计算出∠OEF及∠OFE的度数，进而可证得△OEF是等边三角形.
【证明】∵E,F分别是BO,CO的垂直平分线上的点，
∴OE=BE,OF=CF.
∵△ABC是等边三角形，且OB,CO分别平分∠ABC,∠ACB,
∴∠OBE=∠BOE=∠OCF=∠COF=30°.
∴∠OEF=∠OFE=60°.
∴∠EOF=60°.
∴△OEF是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）.
【教学说明】
证明一个三角形是等边三角形，要灵活运用判定方法，根据已知提供的条件灵活选择，本题可用多种方法证明.
三、运用新知，深化理解
1.△ABC中,AB=BC,∠B=∠C,则∠A= .
2.下列说法不正确的是( ).
A.有两个角为60°的三角形是等边三角形
B.有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
C.有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形
D.三个外角都相等的三角形是等边三角形
3.已知∠AOB=30°,点P在∠AOB内部,P1与P关于OB对称,P2与P关于OA对称,则△P1OP2是( )三角形.
A.直角 B.钝角 C.等腰 D.等边
4.如图,在等边△ABC中,D为BC上一点,BD=2CD,DE⊥AB于E,CE交AD于P.求∠APE的度数.
【教学说明】用多媒体(或小黑板)出示以上问题,学生可在老师指导下完成,巩固所学知识.
【答案】1.60° 2.C 3.D
4.解：∵△ABC为等边三角形.
∴∠B=∠ACB=60°，AC=BC，
又∵DE⊥AB，∠B=60°，
∴∠BDE=30°.
∴BE=BD，而BD=2CD
∴BE=CD.
在△BCE和△CAD中

∴△BCE≌△CAD，
∴∠BCE=∠DAC
而∠BCE+∠ACE=60°，
∴∠DAC+∠ACE=60°.
∴∠APC=120°，
∴∠APE=60°.
四、师生互动，课堂小结
教师指导学生回忆本节所学知识点,学生间交流,互相查漏补缺.
1.布置作业：从教材“习题13.3”中选取.
2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.
本课时学习特殊的等腰三角形——等边三角形，可让学生先自主探索再合作交流，小组内、小组间充分交流后概括所得结论，这既巩固等腰三角形的应用知识，又类比探索等腰三角形性质和判定定理的方法，加深了对等腰三角形与等边三角形联系与区别的理解.
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
1.熟练掌握含30°角的直角三角形的性质.
2.会利用性质解题.
3.通过直尺量取得到直观结论，然后加以证明。
4.本节课使学生经历了“实验——猜想——证明”的过程，使同学们初步体验了自然科学的一般研究方法，提高了学生研究和学习的兴趣.
【教学重点】
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【教学难点】
巧妙运用性质解题.
一、情境导入，初步认识
用两个全等的含30°角的直角三角尺，试着把它们拼在一起，看能否拼成一个等边三角形，然后以小组为单位一起讨论可从中发现什么结论，并予以证明.
老师指导拼图，得出结论，并一起证明结论.
（1）在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
（2）在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为30°.
【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
二、思考探究，获取新知
例1 在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC=60°,∠BAC的平分线AM的长为15cm，求BC的长.
【分析】要求BC的长，可分别求出BM和CM的长.利用等腰三角形的判定得出BM=AM，利用含30°角的直角三角形的性质得CM=AM,将所求线段转化为已知线段进行求解.
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°,
∠BAC=60°,
∴∠B=30°.
∵AM平分∠BAC,
∴∠CAM=∠BAM=30°.
∴∠B=∠BAM,∴AM=BM=15cm.
∴在Rt△ACM中，∠CAM=30°.
∵CM=AM=7.5cm.
∴BC=CM+BM=7.5+15=22.5cm.
【教学说明】
在直接求一条线段不易求的情况下，可以将其转化为求易求的两条线段的和或差进行计算.
例2 在Rt△ABD中，∠ADB=90°,∠A=60°,作DC∥AB,且∠DBC=∠BDC,DC与BC交于点C，已知CD=4cm.
（1）求∠CBD的度数；
（2）求AB的长.
【分析】(1)根据直角三角形的两个锐角互余，可知∠DBA的度数，再由DC∥AB及等腰三角形的性质即可计算∠CBD的度数；（2）可作等腰三角形CBD底边上的高，延长交AB于点E.根据等腰三角形“三线合一”，可以得出CE平分BD且平分∠DCB,由此可知△BCE是等边三角形，所以BE=4,则DE=BE=4.再证明△ADE是等边三角形即可.
解：（1）在Rt△ADB中，∵∠A=60°,∠ADB=90°,
∴∠ABD=30°.
又∵AB∥CD,∴∠CDB=∠ABD=30°.
∴∠CBD=∠CDB=30°.
（2）过点C作CM⊥BD于点M，交AB于点E，连接DE,则DE=EB,
∴∠EDB=∠EBD=30°.
∵∠CDM=30°,∠CMD=90°,
∴CM=CD=2.
又∵∠EBM=∠CBM=30°,BM=BM,
∠EMB=∠CMB=90°,
∴△CBM≌△EBM(ASA),
∴EM=CM=2.
∴DE=2EM=4.
∵∠DEA=∠EDB+∠EBD=60°,
∠A=60°,
∴AD=DE=4.
又∵∠ADB=90°,∠ABD=30°,
∴AB=2AD=8.
【教学说明】
直角三角形30°角的性质常与直角三角形的两个锐角互余同时运用，此性质是求线段长度和证明线段间倍分问题的重要依据.
例3 如图所示，在△ABC中，AB=AC,D为BC边上的点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F，∠BAC=120°.求证：DE+DF=BC.
【分析】∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.又DE⊥AB,DF⊥AC,可以构造两个含30°角的直角三角形.
【证明】∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=(180°-120°)=30°.
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°.
在Rt△BDE中，∵∠B=30°,
∴DE=BD.
同理，在Rt△CDF中，DF=CD.
∴DE+DF=BD+CD= (BD+CD)= BC.
例4 如图所示，在四边形ABCD中，AD=4,BC=1,∠A=30°,∠ADC=120°,试求CD的长.
【分析】由于CD不是特殊三角形的边长，所以无法利用已知条件直接求出，延长AD、BC，将题中已知条件集中在两个特殊的三角形中.
解：延长AD、BC交于点E,
在Rt△ABE中，∠E=180°-90°-30°=60°,
又∵∠CDE=180°-120°=60°,
∴∠DCE=60°.
∴△CED是等边三角形.
设CD=x,则BE=1+x,AE=4+x,
在Rt△ABE中，∵∠A=30°,
∴AE=2BE.
即4+x=2(1+x),解得x=2,即CD的长为2.
三、运用新知，深化理解
1.若三角形的三个内角的比为1∶2∶3,则它的最短边与最长边的比为（ ）.
A.1∶3
B.1∶2
C.2∶3
D.1∶4
2.如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角是60°,那么这个三角形是____.
【答案】1.B 2.等边三角形
四、师生互动，课堂小结
特殊直角三角形，运用性质先判断，30°所对的直角边，长度恰为斜边一半.
1.布置作业：从教材“习题13.3”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历观察、实验、归纳等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法，同时升华学生的情感、态度和价值观.
13.4 课题学习最短路径问题
1.了解最短路径问题.
2.掌握解决最短路径问题的方法.
3.通过解决最短路径问题的过程培养学生分析问题的能力.
4.通过对最短路径问题的学习，增强应用数学知识解决实际问题的信心.
【教学重点】
解决最短路径问题.
【教学难点】
最短路径的选择.
一、情景导入，初步认识
问题1 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
问题2 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）
【教学说明】（1）C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小.
作出点B关于l的对称点B′，连接AB′，线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求.
（2）N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小?
将AM沿与河岸垂直方向平移，移动距离为河宽，则A点移到A′点，连接A′B，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN.
教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
二、思考探究，获取新知
例 要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管道最短？
【分析】本问题就是要在l上找一点C，使AC与CB的和最小.设B′是B关于直线l的对称点，本问题也就是要使AC与CB′的和最小.在连接AB′的线中，线段AB′最短.因此，线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求.
【教学说明】解决最短路径问题通常运用的知识有“过直线作已知点的对称点”，“两点的所有连线中，线段最短”等.
三、师生互动，课堂小结
这节课主要学习了最短路径问题，让学生相互交流体会与收获，并总结本课所学知识.
完成练习册中本课时的练习.
本课时教学时要尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，以生动活泼的形式呈现有关内容，教学时，根据本课内容特点，可依据其学科知识间联系调动课堂气氛，培养学生学习兴趣.
章末复习
1.建立本章知识框架图,沟通知识点间联系.
2.复习有关的概念、性质、判定、求解问题的方法,以及证(解)题的思路、方法等.
3.进一步认识生活中的轴对称现象,理解轴对称的性质.
4.提高用规范的数学语言表达论证、计算过程的能力.
5.在数学活动中提升求知欲,建立自信心,以及在解决问题过程中发展逻辑思维能力.
【教学重点】
轴对称、轴对称变换、等腰三角形的性质和判定.
【教学难点】
等腰三角形性质和判定的应用.
一、知识框图，整体把握
【教学说明】
教师带领学生边复述边完成框图，重在挖掘知识间的联系.
二、释疑解惑，加深理解
本章知识体现了数学思想,教师归纳讲解,帮助学生提升能力.
1.数形结合思想在坐标系中的应用
用坐标表示轴对称,体现了数与形的结合,直观，易于理解与认识.
例1 求P(3,2)关于x轴、关于直线x=-1对称点的坐标.
解：分别为P′(3,-2),P″(-5,2).
【教学说明】根据题中要求和对称特点,画出相应示意图,结果就一目了然.
2.分类讨论思想解决等腰三角形问题
例2 若等腰三角形的一个角为50°,求顶角的度数.
【分析】50°的角可能是等腰三角形的顶角,也可能是底角.
解:当底角为50°时,顶角为80°,故等腰三角形的顶角为50°或80°.
【教学说明】
由于等腰三角形的特殊性,做题时要注意分类思想的应用,要看已知角是顶角还是底角,已知边是腰还是底边,腰上的高是在三角形的内部还是在外部,考虑周全才不致于漏解.
3.利用方程思想求值
例3 等腰三角形的周长为30cm，一边长是12cm，求另两边的长.
【分析】本题已知长为12cm的边，不确定是腰或底边，所以要分两种情况求解.
解：当腰长为12cm时，设底边长为xcm，
∵x+2×12=30，
∴x=6.
当底边长为12cm时，设腰长为ycm.
∵2y+12=30,
∴y=9.
因此，三角形另两边的长为12cm，6cm或9cm，9cm.
【教学说明】用方程思想解几何题是常用的思路和方法.
三、典例精析，复习新知
例4 如图，凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD.已知OA＞OC，OB＞OD，试比较BC+AD与AB+CD的大小.
【分析】利用轴对称变换，以及三角形两边之和大于第三边，能很直观地得出BC+AD＞AB+CD的结论.
解:如图，以AC为对称轴，将△ADO翻折，由于AC⊥BD，则点D必落在BO上，设为D′，
则AD′=AD，OD′=OD.
同理，将△BCO翻折，点C必落在AO上，设为C′，则BC′=BC，OC′=OC.
连C′D′，BC′，AD′，CD′，设BC′与AD′交于点E，
则C′D′=CD.
在△ABE和△C′D′E′中，
C′E+D′E＞C′D′，①
BE+AE＞AB.②
①+②得BC′+AD′＞AB+C′D′，即BC+AD＞AB+CD.
【教学说明】利用轴对称变换可得出边、角相等的一系列结论，所以要求学生能够灵活地应用这种变换.
例5 如图，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN.试探究线段CN、BM、MN之间的关系，并加以证明.
【分析】通过观察可以猜想这三条线段之间的关系为MN=CN+BM.通过观察可以猜想这三条线段之间的关系为MN=CN+BM.这类问题的证明方法通常是将MN截成两段，或将NC或MB延长，补成长为CN+BM的线段，运用全等三角形论证.
解:BM+CN=MN.
证明：如图，延长AC至M1，使CM1=BM，连接DM1.
∵△ABC是正三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵∠BDC=120°，且BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB=30°.
∴∠ABD=∠ACD=90°.∠DCM1=90°.
又∵BD=CD，BM=CM1，
∴Rt△BDM≌Rt△CDM1（SAS）.
∴DM=DM1，∠BDM=∠CDM1,
∴∠MDM1=∠MDC+CDM1=∠MDC+∠BDM=∠BDC=120°.
又∵∠MDN=60°，
∴∠M1DN=∠MDN=60°.
又∵DM=DM1，DN=DN,
∴△MDN≌△M1DN（SAS）.
∴MN=M1N=NC+M1C=CN+BM.
【教学说明】
对于此类题，三条线段之间的关系一般是它们的和差关系，证明方法通常采用截长补短法.
例6 如图,花边中的图案以正方形为基础,由圆弧或圆构成,依照例图,请你为班级黑板报设计一条花边.
要求:只要画出组成花边的一个图案,不写画法,不需要文字;以所给的正方形为基础,用圆弧或圆画出;图案应有美感;与例图不同.
【分析】本题主要考查大家根据轴对称性质设计花边图案的能力,而且要符合题中的四点要求,这是一道融数学与美术为一体的综合创新素质题.
【答案】此题答案不唯一,略举几例如图所示.
【教学说明】数学知识与现实生活紧密相连,眼前轴对称的应用比比皆是,提醒每个学生留心,从生活实际中提升对轴对称的认识.
1.布置作业：从教材“复习题13”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
本章知识与现实生活联系密切，是人们日常生活和生产中应用较广的几何图形，是三角形知识的延续与拓展，涉及的轴对称、线段垂直平分线、等腰三角形知识，可让解题从全等的模式中解脱出来，而且可简便解决相关的计算、证明问题，使解题过程简化，在复习中应强化这些知识.