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初中数学人教版九年级上册21.1 一元二次方程教案
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这是一份初中数学人教版九年级上册21.1 一元二次方程教案，共45页。教案主要包含了教学重点，教学难点，教学说明，讨论结果，归纳结论，探讨结论等内容，欢迎下载使用。
第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
1.使学生理解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式,并能将一元二次方程化成一般式,正确识别二次项系数、一次项系数和常数项.
2.会判断一个数是否是一元二次方程的根.
3.经历由实际问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，让学生体会到方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.
4.进一步培养学生的观察、类比、归纳能力，体验数学的严密性和深刻性.
【教学重点】
一元二次方程的概念及其一般表现形式.
【教学难点】
从实际问题中抽象出一元二次方程的模型；识别方程中的“项”及“系数”.
一、情境导入,初步认识
(课件展示问题)雷锋纪念馆前的雷锋雕像高为2m，设计者当初设计它的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，即下部高度的平方等于上部与全部的积，如果设此雕像的下部高为xm，则其上部高为（2-x）m，由此可得到的等量关系如何？它是关于x的方程吗？如果是，你能看出它和我们以往学过的方程有什么不同吗？
【教学说明】设置上述从美学角度而构建的人体雕像（教师可适时补充有关简单黄金分割问题）可激发学生学习兴趣，进而增强求知欲望.
二、思考探究，获取新知
由上述问题，我们可以得到x2=2(2-x),即x2+2x-4=0.显然这个方程只含有一个未知数，且x的最高次数为2，这类方程在现实生活中有广泛的应用.
探究1见教材第2页问题1.(课件展示问题)
【教学说明】针对上述问题可给予5~8分钟时间让学生讨论，教师可相应设置如下问题帮助学生分析：如果设四角折起的正方形的边长为xm，则制成的无盖方盒的底面长为多少?宽为多少?由底面积为3600cm2,可得到的方程又是怎样的?
【讨论结果】设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为(100-2x)cm,宽为(50-2x)cm,由此可得到方程(100-2x)(50-2x)=3600,整理为:4x2-300x+1400=0,化简,得x2-75x+350=0,由此方程可得出所切去的正方形的大小.
探究2见教材2~3页问题2.
【教学说明】教学过程中,教师可设置如下问题:
(1)这次排球赛共安排 场;
(2)若设应邀请x个队参赛，则每个队与其它 个队各赛一场，这样共应有 场比赛；
(3)由此可列出的方程为 ，化简得 .教师提出问题，引导学生思考方程的建模过程，同时注重激发学生解决问题的欲望和兴趣.（课件展示）
【讨论结果】设应邀请x个队参赛，通过分析可得到·x·（x-1）=28,化简，得x2-x=56，即x2-x-56=0.
观察思考观察前面所构建的三个方程，它们有什么共同点？可让学生先独立思考，然后相互交流，得出这些方程的特征：
（1）方程各项都是整式；
（2）方程中只含有一个未知数；
（3）未知数的最高次数是2.
【归纳结论】
1.一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.
想一想
1.二次项的系数a为什么不能为0?
2.在指出二次项系数、一次项系数和常数项时，a、b、c都一定是正数吗？谈谈你的看法.
【教学说明】本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流.注重类比是帮助学生正确理解概念的有效方法.
探究3 从探究2中我们可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，因此可列表如下：
可以发现，当x=8时，x2-x-56=0,所以x=8是方程x2-x-56=0的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
思考
1.一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？
2.方程x2-x-56=0有一个根为x=8，它还有其它的根吗？
【探讨结论】1.一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根；
2.由于x=-7时，x2-x-56=49-（-7）-56=0，故x=-7也是方程x2-x-56的一个根.事实上，一元二次方程如果有实数根，则必然有两个实数根，通常记为x1=m,x2=n.
三、典例精析，掌握新知
例1 已知关于x的方程(m+2)x|m|+3x+m=0是一元二次方程，求此一元二次方程.
分析:观察方程特征，依定义建立关于m的方程，再考虑其二次项系数不能为0，可得到结论.
解：由题意有 ,∴m=2.
因此原一元二次方程为4x2+3x+2=0.
例2将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中二次项系数、一次项系数及常数项.
解：去括号，得3x2-3x=5x+10,移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为3x2-8x-10=0.
其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
【教学说明】以上两例均可让学生独立思考，自主完成.教师巡视，了解学生的掌握情况，最后选取几个优秀作业和有代表性问题作业通过幻灯片展示给全班同学学习与思考，加深对本节知识的理解和掌握.
四、运用新知，深化理解
1.下列各式中，是一元二次方程的是（ ）
A.3x2+1x=0
B.ax2+bx+c=0
C.(x-3)(x-2)=x2
D.(3x-1)(3x+1)=3
2.关于x的方程（k-1）x|k|+1-2x=3是一元二次方程，则k= .
3.已知方程5x2+mx-6=0的一个根为4，则m的值为 .
4.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式，指出其二次项系数、一次项系数及常数项：
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x;
（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x;
（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的平方，求较短一段的长x.
【教学说明】让学生当堂完成上述练习，达到巩固新知目的.最后
全班同学核对答案即可.
【答案】1.D 2.-1 3.-37/2
4.(1)4x2-25=0,其中二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为-25；
(2)x2-2x-100=0,其二次项系数、一次项系数和常数项分别为1,-2,-100;
(3)x2-3x+1=0，其二次项系数、一次项系数和常数项分别为1，-3，1.
五、师生互动，课堂小结
教师提出以下问题，让学生交流，加强反思、提炼及知识归纳.
(1)一元二次方程的定义，一般式及二次项系数、一次项系数和常数项；
（2）一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)中的括号是否可有可无？为什么？
（3）通过这节课的学习你还有哪些收获？
【教学说明】师生共同回顾，注重学生的交流发言.
1.布置作业：从教材“习题21.1”中选取.
2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.
1.注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.
2.教师创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.
3.增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.
4.对于一元二次方程的根的概念形成过程，要让学生大胆猜测，经过思考、讨论、分析的过程，让学生在交流中体会成功.
21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时 直接开平方法
1.会利用开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程；
2.初步了解形如（x+n）2=p（p≥0）方程的解法.
3.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.
4.通过对实例的探究过程，体会类比、转化、降次的数学思想方法.
5.在成功解决实际问题过程中，体验成功的快乐，增强数学学习的信心和乐趣.
【教学重点】
解形如x2=p(p≥0)的方程.
【教学难点】
把一个方程化成x2=p(p≥0)的形式.
一、情境导入，初步认识
问题我们知道，42=16,(-4)2=16，如果有x2=16，你知道x的值是多少吗？说说你的想法.如果3x2=18呢？
【教学说明】让学生通过回顾平方根的意义初步感受利用开平方法求简单一元二次方程的思路，引入新课.教学时，教师提出问题后，让学生相互交流，在类比的基础上感受新知.
解：如果x2=16，则x=±4;若3x2=18,则x=±.
二、思考探究，获取新知
探究一桶油漆可刷的面积为1500dm2 ，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
思考1 设一个盒子的棱长为xdm，则它的外表面面积为，10个这种盒子的外表面面积的和为 ，由此你可得到方程为，你能求出它的解吗？
解：6x2,10×6x2,10×6x2=1500，整理得x2=25,根据平方根的意义，得x=±5,可以验证，5和-5是原方程的两个根，因为棱长不能为负值，所以盒子的棱长为5dm,故x=5dm.
【教学说明】学生通过自主探究，尝试用开平方法解决一元二次方程，体验成功的快乐.教师应关注学生的思考是否正确，是否注意到实际问题的解与对应的一元二次方程的解之间的关系，帮助学生获取新知.
【归纳结论】一般地，对于方程
x2=p,（Ⅰ）
（1）当p>0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不等的实数根
x1=- ,x2=;
(2)当p=0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根x1=x2=0;
(3)当p<0时，因为对任意实数x，都有x2≥0,所以方程（Ⅰ）无实数根.
思考2对上面题解方程（Ⅰ）的过程，你认为应该怎样解方程（x+3）2=5?
学生通过比较它们与方程x2=25异同，从而获得解一元二次方程的思路.
在解方程（Ⅰ）时，由方程x2=25得x=±5.由此想到：
由方程
（x+3）2=5,②
得x+3=± ,
即x+3=或x+3=-.③
于是，方程（x+3）2=5的两个根为x1=-3+,x2=-3-.
【教学说明】教学时，就让学生独立尝试给出解答过程，最后教师再给出规范解答，既帮助学生形成用直接开平方法解一元二次方程的方法，同时为以后学配方法作好铺垫，让学生体会到类比、转化、降次的数学思想方法.
【归纳结论】
上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.
【教学说明】上述归纳结论应由师生共同探讨获得，教师要让学生知道解一元二次方程的实质是转化.
三、典例精析，掌握新知
例解下列方程：（教材第6页练习）
(1)2x2-8=0; (2)9x2-5=3;
(3)(x+6)2-9=0; (4)3(x-1)2-6=0;
(5)x2-4x+4=5; (6)9x2+5=1.
解：(1)原方程整理，得2x2=8,即x2=4,根据平方根的意义，得x=±2,即x1=2,x2=-2.
（2）原方程可化为9x2=8,即x2=8/9.两边开平方，得x=± ,
即x1=,x2=-.
(3)原方程整理，得（x+6）2=9，根据平方根的意义,得x+6=±3,即x1=-3,x2=-9.
（4）原方程可化为（x-1）2=2,
两边开平方，得x-1=± ，
∴x1=1+,x2=1-;
（5）原方程可化为（x-2）2=5,
两边开平方，得x-2=± ,
∴x1=2+,x2=2-.
（6）原方程可化为9x2=-4,x2=-4/9.由前面结论知，当p<0时，对任意实数x,都有x2≥0，所以这个方程无实根.
【教学说明】本例可选派六位同学上黑板演算，其余同学自主探究，独立完成.教师巡视全场，发现问题及时予以纠正，帮助学生深化理解，最后师生共同给出评析，完善认知.特别要强调用直接开平方法开方时什么情况下是无实根的.
四、运用新知，深化理解
1.若8x2-16=0，则x的值是 .
2.若方程2(x-3)2=72，那么这个一元二次方程的两根是 .
3.如果实数a、b满足3a+4+b2-12b+36=0,则ab的值为 .
4.解关于x的方程：
(1)(x+m)2=n(n≥0);
(2)2x2+4x+2=5.
5.已知方程（x-2）2=m2-1的一个根是x=4,求m的值和另一个根.
【教学说明】让学生独立完成，加深对本节知识的理解和掌握.
五、师生互动，课堂小结
教师可以向学生这样提问：
(1)你学会怎样解一元二次方程了吗？有哪些步骤？
(2)通过今天的学习你了解了哪些数学思想方法？与同伴交流.
【教学说明】教师可引导学生提炼本节知识及方法，感受解一元二次方程的降次思想方法.
1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.
2. 完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分..
1.本课时通过创设问题情景，激发学生探索新知的欲望.
2.本课时还通过回忆旧知识为新知学习作好铺垫.
3.教师引导学生自主、合作、探究、验证，培养学生分析问题、解析问题的能力.
第2课时 配方法
1.掌握用配方法解一元二次方程.
2.理解通过变形运用开平方法解一元二次方程的方法，进一步体验降次的数学思想方法.
3.在学生合作交流过程中，进一步增强合作交流意识，培养探究精神，增强数学学习的乐趣.
【教学重点】
用配方法解一元二次方程.
【教学难点】
用配方法解一元二次方程的方法和技巧.
一、情境导入，初步认识
问题 要使一块长方形的场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，场地的长与宽各是多少？
思考 如果设这个长方形场地的宽为xm，则长为 ，由题意可列出的方程为 ，你能将此方程化为(x+n)2=p的形式，并求出它的解吗？
【教学说明】经历从实际问题中抽象出一元二次方程模型的过程，进一步增强学生的数学建模能力，并通过思考，用类比、转化思想方法探索出解这类方程的一种方法，导入新课.教学过程中，应给予学生充分思考，交流活动时间，达到探索新知的目的.
二、思考探究，获取新知
【教学说明】让学生阅读第6~7页探究内容，再完成下面的“想一想”.
想一想1.下列各题中的括号内应填入怎样的数合适？谈谈你的看法.
（1）x2+10x+( )=(x+ )2;
(2)x2-3x+( )=(x- )2;
(3)x2-x+( )=(x- )2;
(4)x2+x+( )=(x+ )2.
2.利用上述想法，试试解下列方程：
(1)x2+10x+3=0; (2)x2-3x+1=0;
(3)x2-x=4; (4)x2+x-7=0.
1.依次填入：（1）25；5；（2） ， ；（3） ； ；（4） ， .
2.解：（1）原方程可化为：x2+10x=-3,配方，得x2+10x+25=-3+25,即（x+5）2=22,∴x+5=± ,即x1=-5+,x2=-5-;
试一试 1.请说说用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的方法是怎样的？与同伴交流.
2.如果某个一元二次方程的二次项系数不是1时，还能用配方法解这个一元二次方程吗？谈谈你的看法，并尝试解方程x2+x-3=0.
【教学说明】让学生独立思考后，相互交流看法.理解并掌握用配方法解一元二次方程的思维方法.然后选取学生代表发言，最后师生共同总结，完善认知.
三、典例精析，掌握新知
例（教材第7页例1）解下列方程
（1）x2-8x+1=0;
（2）2x2+1=3x;
（3）3x2-6x+4=0.
分析：对于（2）、（3）中的方程，可先将未知数的项放在等号左边，常数项移至等号的右边后，再根据等式性质将二次项系数化为1，从而转化为形如x2+mx=n的方程，利用配方法可求出方程的解.
【教学说明】让学生自主探究，独立完成，同时选三名同学上黑板演算，教师巡视，针对学生可能出现的问题，教师应适时予以点拨：
（1）二次项系数不是1时，怎么办？
（2）配方过程中，在等式两边加上的常数与一次项系数的关系如何？
（3）配方过程中，若等号右边为负数，这个方程有没有实数根？
（4）配方过程中还需注意哪些问题等等.最后师生共同评析，加深用配方法解一元二次方程的理解.
【归纳结论】
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
（x+n）2=p(Ⅱ)
的形式，那么就有：
（1）当p>0时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根
x1=-n- , x2=-n+;
(2)当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根
x1=x2=-n;
(3)当p<0时，因为对任意实数x,都有（x+n）2≥0,所以方程（Ⅱ）无实数根.
【试一试】师生共同完成教材第9页练习.
【教学说明】第1题老师可让学生口答，第2题教师可选几名学生板演，师生共同完成后，老师仍要向学生强调方程无实数根的情况.
四、运用新知，深化理解
1.将二次三项式x2-4x+2配方后，得（ ）
A.（x-2）2+2
B.(x-2)2-2
C.(x+2)2+2
D.(x+2)2-2
2.已知x2-8x+15=0，左边化成含x的完全平方式，其中正确的有（ ）
A.x2-8x+(-4)2=31
B.x2-8x+(-4)2=1
C.x2+8x+42=1
D.x2-4x+4=-11
3.若代数式的值为0，则x的值为 .
4.方程x2-2x-3=0的解为 .
5.要使一块长方形场地的长比宽多3m，其面积为28m2，试求这个长方形场地的长与宽各是多少？
【教学说明】通过上述几道题目的练习，可进一步巩固对本节知识的理解和领悟.
【答案】1.B
2.B
3.x=2
4.x1=-1,x2=3
5.长与宽分别为7m和4m.
五、师生互动，课堂小结
1.通过本节课的学习，你能用配方法解一元二次方程吗？有哪些需要注意的地方？
2.用配方法解一元二次方程涉及哪些数学思想方法？
【教学说明】让学生通过对上述问题的回顾与思考，反思学习体会，完善知识体系.
1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.
2. 完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.
1.本节课，重在学生的自主参与，进而获得成功的体验，在数学方法上，仍突出数学研究中转化的思想，激发学生产生合理的认识冲突，激发兴趣，建立自信心.
2.在练习内容上，有所改进，加强了核心知识的理解与巩固，提高自己解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，提高教学效果.
3.用配方法解一元二次方程是学习解一元二次方程的基本方法，后面的求根公式是在配方法的基础上推出的，配方法在使用时又与原来学习的完全平方式联系密切，用配方法解一元二次方程既是对原来知识的巩固，又是对后面学习内容的铺垫.在二次函数顶点坐标的求解中也同样使用的是配方法，因此配方法是一种基本的数学解题方法.
21.2.2 公式法
1.理解并掌握求根公式的推导过程；
2.能利用公式法求一元二次方程的解.
3.经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力.
4.用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严谨认真的科学态度.
【教学重点】
用公式法解一元二次方程.
【教学难点】
推导一元二次方程求根公式的过程.
一、情境导入，初步认识
我们知道，对于任意给定的一个一元二次方程，只要方程有解，都可以利用配方法求出它的两个实数根.事实上，任何一个一元二次方程都可以写成ax2+bx+c=0的形式，我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看，该怎样做？
【教学说明】让学生回顾用配方法解一元二次方程的一般过程，从而尝试着求ax2+bx+c=0（a≠0）的方程的解，导入新课，教学时，应给予足够的思考时间，让学生自主探究.
二、思考探究，获取新知
通过问题情境思考后，师生共同探讨方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解.
由ax2+bx+c=0(a≠0),移项，ax2+bx=-c.二次项系数化为1，得x2+x=-.配方，得x2+x+ =-+，即.
至此，教师应作适当停顿，提出如下问题，引导学生分析、探究：
（1）两边能直接开平方吗？为什么？
（2）你认为下一步该怎么办？谈谈你的看法.
【教学说明】设置停顿并提出两个问题的目的在于纠正学生的盲目行为，引导学生正确认识代数式b2-4ac的取值与此方程的解之间的关系，加深认知.教学时，应让学生积极主动思考，畅所欲言，在相互交流中促进理解.
师生共同完善认知：
一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用Δ表示，即Δ=b2-4ac.从而有：
①当Δ=b2-4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；当Δ=b2-4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根；当Δ=b2-4ac＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数解；
②当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根可写成x= ，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.
三、典例精析，掌握新知
例1不解方程，判别下列各方程的根的情况.
(1)x2+x+1=0; (2)x2-3x+2=0; (3)3x2-x=2.
分析:找出方程中二次项系数、一次项系数和常数项，利用b2-4ac与0的大小关系可得结论.注意：在确定方程中a、b、c的值时，一定要先把方程化为一般式后才能确定，否则会出现失误.
解：（1）∵a=1,b=1,c=1,∴Δ=b2-4ac=12-4×1×1=-3＜0,∴原方程无实数解;
(2)∵a=1,b=-3,c=2,∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×2=1＞0,∴原方程有两个不相等实数根；
（3）原方程可化为3x2-x-2=0,∴a=3,b=- ,c=-2,∴Δ=b2-4ac=(-)2-4×3×(-2)=2+24=26＞0.∴原方程有两个不相等的实数根.
例2用公式法解下列方程：
(1)x2-4x-7=0; (2)2x2-2x+1=0; (3)5x2-3x=x+1; (4)x2+17=8x
分析：将方程化为一般形式后，找出a、b、c的值并计算b2-4ac后，可利用公式求出方程的解.
【教学说明】以上两例均可让学生自主完成，同时选派同学上黑板演算.教师巡视，针对学生的困惑及时予以指导，最后共同评析黑板上作业，一方面引导学生关注其解答是否正确，同时还应注意其解答格式是否规范，查漏补缺，深化理解.教师接着引导学生阅读第12页有关引言中问题的解答，向学生提问：（1）什么情况下根的取值为正数？（2）列方程解决实际问题在取值时应注意什么？
四、运用新知，深化理解
1.关于x的方程x2-2x+m=0有两个实数根，则m的取值范围是 .
2.如果关于x的一元二次方程k2x2-（2k+1）x+1=0有两个不相等实数根，那么k的取值范围是（ ）
A.k＞-
B.k＞-且k≠0
C.k＜-
D.k≥-且k≠0
3.方程x2+4x+6=0的根是（ ）
A.x1=，x2=
B.x1=6, x2=
C.x1=2, x2=
D.x1=x2=-
4.关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一个根为0，试求m的值.
（注：5~6题为教材第12页练习）
5.解下列方程：
（1）x2+x-6=0; （2）x2-x-14=0; （3）3x2-6x-2=0;
（4）4x2-6x=0; （5）x2+4x+8=4x+11; （6）x(2x-4)=5-8x.
6.求第21.1节中问题1的答案.
【教学说明】通过练习可进一步理解和掌握本节知识，在学中练、练中学的活动中得到巩固和提高.
【答案】1.m≤1
2.B
3.D
4.把x=0代入方程，得m2+2m-3=0,解得m1=1,m2=-3,又∵m-1≠0，即m≠1,故m的值为-3.
5~6略
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看.
【教学说明】在学生回顾与反思本节课的学习过程中，进一步完善认知，师生共同归纳总结.
1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.
2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.
1.本课容量较大，难度较大，计算的要求较高，因此在教学设计各环节均围绕着利用公式法解一元二次方程这一重点内容展开，问题设计，课堂学习有利于学生强化运算能力，掌握基本技能，也有利于教师发现教学中存在的问题.
2.在教学设计中，引导学生自主探索一元二次方程的求根公式，在师生讨论中发现求根公式，并学会利用公式解一元二次方程.
3.整个课堂都以学生动手训练为主，让学生积极介入探索活动，体验到成功的喜悦.
4.公式法是在配方法的基础上推出的一种解一元二次方程的基本方法，它使解一元二次方程更加简便，在公式的运用中，涉及到根的判别式，使公式法解一元二次方程得到延续和深化.
21.2.3 因式分解法
1.会用因式分解法（提公因式法、运用公式）解一元二次方程.
2.能根据方程的具体特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.
3.在经历探索用因式分解法解一元二次方程及依据方程特征选择恰当方法解一元二次方程的过程中,进一步锻炼学生的观察能力，分析能力和解决问题能力.
4.通过因式分解法解一元二次方程的探究活动，培养学生勇于探索的良好习惯，感受数学的严谨性及教学方法的多样性.
【教学重点】
会用因式分解法解一元二次方程.
【教学难点】
理解并应用因式分解法解一元二次方程.
一、情境导入，初步认识
问题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度（单位：m）为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.01s）
想一想 你能根据题意列出方程吗？你能想出解此方程的简捷方法吗？
【教学说明】让学生通过具体问题寻求解决问题的方法，激发学生求知欲望，引入新课.
二、思考探究，获取新知
学生通过讨论，交流得出方程为10x-4.9x2=0.
在学生用配方法或公式法求出上述方程的解后，教师引导学生尝试找出其简捷解法为：
x(10-4.9x)=0. ∴x=0或10-4.9x=0, ∴x1=0,x2=≈2.04.
从而可知物体被抛出约2.04s后落回到地面.
想一想 以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次方程的?
通过学生的讨论、交流可归纳为：
当方程的一边为0，而另一边可以分解成两个一次因式的乘积时，利用a·b=0，则a=0或b=0，把一元二次方程变为两个一元一次方程，从而求出方程的解.这种解法称为因式分解法.
【教学说明】让学生自主探索，进行归纳总结，既锻炼学生的分析问题，解决问题能力，又能培养总结化归能力，并从中体验转化、降次的思想方法.
三、典例精析，掌握新知
例1 解下列方程：
（1）x(x-2)+x-2=0; (2)5x2-2x-=x2-2x+.
解：（1）因式分解，得(x-2)(x+1)=0.故有x-2=0或x+1=0.∴x1=2,x2=-1;
（2）原方程整理为4x2-1=0.因式分解，得(2x+1)(2x-1)=0.∴2x+1=0或2x-1=0.∴x1=-,x2=.
想一想 以上两个方程可以用配方法或公式法来解决吗？如果可以，请比较它们与因式分解法的优缺点.
例2 用适当的方法解下列方程：
(1)3x2+x-1=0; (2)2(x-3)2=12;
(3)(3x-2)2=4(3-x)2; (4)(x-1)(x+2)=-2.
分析:根据方程的结构特征，灵活选择恰当的方法来求解.
【教学说明】以上两例均应先让学生自主完成，最后共同评析，达到深化理解本节知识的目的.教学时，可选派学生代表上黑板完成.对于学生的解法只要合理就应给予肯定，若有更简捷解法时再予以说明.
思考请你谈谈解一元二次方程的几种方法的特点，与同伴交流.
【归纳结论】1.配方法要先配方，再降次；公式法可直接套用公式；因式分解法要先使方程的一边为0，而另一边能用提公因式法或公式法分解因式，从而将一元二次方程化为两个一次因式的积为0，达到降次目的，从而解出方程；
2.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，而因式分解法则只适用于某些一元二次方程，不是所有的一元二次方程都适用因式分解法来求解.
四、运用新知，深化理解
1.用因式分解法解方程，下列方程中正确的是（ ）
A.（2x-2）(3x-4)=0,∴2x-2=0或3x-4=0
B.(x+3)(x-1)=1,∴x+3=0或x-1=1
C.（x+2）(x-3)=6,∴x+2=3或x-3=2
D.x(x+2)=0,∴x+2=0
2.当x= 时，代数式x2-3x的值是-2.
3.已知y=x2+x-6,当x= 时，y的值等于0.当x= 时,y的值等于24.
（注：4~5题为教材第14页练习）
4.解下列方程：
（1）x2+x=0; （2）x2-2x=0;
（3）3x2-6x=-3; （4）4x2-121=0;
（5）3x(2x+1)=4x+2; （6）(x-4)2=(5-2x)2.
5.如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍.求小圆形场地的半径.
【教学说明】针对所设置的作业，可因不同的学生分层次布置作业，让每个学生都能参与数学的学习，激发学习热情.
【答案】1.A 2.1或2 3.2或-35或-6 4~5略.
五、师生互动，课堂小结
1.用因式分解法解一元二次方程有哪些优缺点？需注意哪些细节问题？
2.通过本节课的学习，你还有哪些收获和体会?
【教学说明】
设计两个问题引导学生回顾本课知识的学习过程，反思学习过程中的疑惑，查漏补缺，完善认知.
1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.
2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.
1.本节课围绕利用因式分解法解一元二次方程这一重点内容，教师通过问题情境以及学生的合作交流，使学生的问题凸现出来，让学生迅速掌握解题技能，并探讨出解题的一般步骤，使学生知道因式分解法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，提高解题速度.
2.学生已经学过多项式的因式分解，所以对本课内容并不陌生，通过本课学习，让学生更能领会因式分解在数学领域的广泛应用.
3.本节课有大量的基础计算问题，也有符合不同学生层次的问题，力争让所有学生学有所得，提高课堂效率.
4.解一元二次方程是本章教学的重中之重，如何正确选择用不同方法解一元二次方程是关键，本节课中的计算题有一题多解问题，体现了选择“最优化”解方程方法的问题.
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
1.掌握一元二次方程根与系数的关系；
2.能运用根与系数的关系解决具体问题.
3.经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程,体验观察→发现→猜想→验证的思维转化过程，培养学生分析问题和解决问题的能力.
3.通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，理解事物间相互联系、相互制约的辩证唯物主义观点，掌握由“特殊——一般——特殊”的数学思想方法，培养学生勇于探索的精神.
【教学重点】
一元二次方程根与系数的关系及其应用.
【教学难点】
探索一元二次方程根与系数的关系.
一、情境导入，初步认识
问题 请完成下面的表格
观察表格中的结果，你有什么发现？
【教学说明】通过对具体问题的思考，可以找出x1+x2和x1·x2与方程的系数之间的关系，引入新课.
二、思考探究，获取新知
通过对问题情境的讨论，可以发现方程的两根之和和两根之积与它们的系数之间存在一定的联系，请运用你发现的规律填空:
(1)已知方程x2-4x-7=0的根为x1,x2，则x1+x2= , x1·x2= ;
(2)已知方程x2+3x-5=0的两根为x1,x2，则x1+x2= , x1·x2= .
答案：（1）4，-7；（2）-3，-5.
思考1（1）如果方程x2+mx+n=0的两根为x1,x2，你能说说x1+x2和x1·x2的值吗？
（2）如果方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,你知道x1+x2和x1·x2与方程系数之间的关系吗？说说你的理由.
【教学说明】设置上述思考的两个问题，目的在于引导学生在感性认识的基础上进行理性思考，从而理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系.教学时，应给予充足的思考交流时间，让学生自主探究结论.最后师生共同进行探究，完善认知.具体推导过程可参见教材.
【归纳结论】根与系数的关系（韦达定理）：
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两实数根x1,x2，则x1+x2=- ,x1·x2= .这表明两根之和为一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.
思考2 在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式Δ=b2-4ac≥0呢？为什么？
【教学说明】设置思考2的目的在于让学生明白用根与系数关系解题的前提条件是Δ≥0，否则方程就没有实数根，自然不存在x1,x2，防止学生片面理解而导致失误.教学时可结合具体问题引起学生注意.
三、典例精析，掌握新知
例1见教材16页例4.
分析：对于方程（3），应化为一般形式后，再利用根与系数的关系来求解.
【试一试】教材第16页练习.
例2 已知方程x2-x+c=0的一根为3,求方程的另一根及c的值.
分析：设方程的另一根为x1，可通过求两根之和求出x1的值；再用两根之积求c，也可将x=3代入方程求出c值.再利用根与系数关系求x1值.
解：设方程另一根为x1，由x1+3=1,∴x1=-2.又x1·3=-2×3=c,∴c=-6.
例3已知方程x2-5x-7=0的两根分别为x1,x2，求下列式子的值：
（1）x12+x22; （2） .
分析：将所求代数式分别化为只含有x1+x2和x1·x2的式子后，用根与系数的关系，可求其值.
解:∵方程x2-5x-7=0的两根为x1,x2,∴x1+x2=5,x1·x2=-7.
(1)x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=52-2×(-7)=25+14=39;
(2) =
【教学说明】例1是根与系数关系的直接应用问题，学生能够自主完成，对于课本的练习老师可让学生稍作思考后解答；例2侧重于逆用根与系数关系，应注意引导学生进行正确思考；而例3侧重于利用根与系数的关系，进行代数式求值，这里将代数式转化为只含有x1+x2及x1·x2的式子是解决问题的关键，应引导学生关注这类变形方法.教学过程中仍应让学生先自主探究，独立完成，最后教师再予以评讲，让学生理解并掌握根与系数的关系；对于学生在探索过程中的成绩和问题也给予评析，进行反思.
例4已知x1，x2是方程x2-6x+k=0的两个实数根，且x12·x22-x1-x2=115，
（1）求k的取值；（2）求x12+x22-8的值.
分析：将x1+x2=6，x1·x2=k，代入x12·x22-x1-x2=115可求出k值.此时需用Δ=b2-4ac来判断k的取值，这是本例的关键.
解：（1）由题意有x1+x2=6,x1·x2=k.∴x12·x22-x1-x2=(x1·x2)2-(x1+x2)=k2-6=115,∴k=11或k=-11.又∵方程x2-6x+k=0有实数解，∴Δ=(-6)2-4k≥0,∴k≤9.∴k=11不合题意应舍去，故k的值为-11;
(2)由(1)知，x1+x2=6,x1·x2=-11,
∴x12+x22-8=(x1+x2)2-2x1x2-8=36+22-8=50.
【教学说明】设置本例的目的在于引导学生正确认识根与系数的关系和根的判别式之间的不可分割的特征.教学时应予以强调.
四、运用新知，深化理解
1.若x1,x2是方程x2+x-1=0的两个实数根，则x1+x2= ,x1·x2= ;
2.已知x=1是方程x2+mx-3=0的一个根，则另一个根为，m= ;
3.若方程x2+ax+b=0的两根分别为2和-3，则a= ,b=;
4.已知a,b是方程x2-3x-1=0的两根，求ba+ab的值.
【教学说明】设计这4个小题的目的在于让学生尽快掌握一元二次方程的根与系数的关系，前3个题，较为简单，可让学生自主完成，最后一个稍微有一点难度，只需将 + 化简即可.
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习你有哪些收获和体会？有哪些地方需要特别注意的?谈谈你的看法.
【教学说明】让学生通过回顾与反思加深对知识的领悟，畅所欲言，共同提高.
1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.
2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.
1.从熟知的解法解一元二次方程的过程中探索根与系数的关系，并发现可用系数表示的求根公式来证明这个关系，再通过问题探讨帮助学生运用这个关系解决问题，注重了知识产生、发展和出现的过程，注重了知识的应用.
2.教学过程贯穿以旧引新，从具体到抽象，从特殊到一般，从简单到复杂，从猜想到论证，使学生在体验知识发生、发展和应用的过程中理解和掌握推理的数学思想与化归思想.
3.教材把本节作为了解的内容，但本节知识在中考试题填空题、选择题、解答题中均有出现，为了让学生能适应平时的试题，把本节内容进行了一定的延伸，同时也可以激发同学们学习的兴趣.
21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 实际问题与一元二次方程（1）
1.会根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，能根据问题中的实际意义，检验所得结果的合理性.
2.经过“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程中，进一步锻炼学生的分析问题，解决问题的能力.
3.通过建立一元二次方程解决实际问题，体验数学的应用价值，增强学习数学的兴趣.
【教学重点】
构建一元二次方程解决实际问题.
【教学难点】
会用代数式表示问题中的数量关系，能根据问题的实际意义，检验所得结果的合理性.
一、情境导入，初步认识
问题在上一节的习题21.2中，我们遇见过一些用列方程来求解的实际应用问题，你能说说列方程解应用问题的步骤是怎样的？
学生在相互讨论交流中可得出结论为：①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤答.
【教学说明】让学生在回顾解实际问题过程中的思路方法，为进一步学习新的问题作好铺垫，导入新课.
二、思考探究，获取新知
探究1 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均1个人传染了几个人？
【教学说明】教师展示出问题后，先让学生仔细分析题意，尝试着寻求解决问题的方法.为了让学生更好地理解题意，不妨设置如下几个问题：（1）若设平均每轮传染中一个人可传染x个人，则第一轮传染后共有 人患了流感；
（2）第二轮传染后，被传染的人数为 人，故第二轮传染后共 人患了流感.
最后师生共同完成解答过程：
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染后共有（1+x）人患了流感，第二轮传染后共［1+x+(1+x)·x］人患流感，依题意可列方程为
1+x+(1+x)·x=121
方程可整理为(1+x)(1+x)=121,即(1+x)2=121.∴x1=10,x2=-12(不合题意，应舍去)，
故平均一个人传染了10个人.
想一想（1）照上述传染速度，三轮传染后患流感的人数共有多少人？
（2）通过对上述问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系，有新认识吗？
【教学说明】（1）的问题学生可通过前面的分析获得结论，进一步加深对传播问题中数量关系的理解和认识；（2）中问题应让学生相互交流，总结规律.
探究2两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本为6000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本为3000元，生产1t乙种药品的成本为3600元.哪种药品成本的年平均下降率较大？
思考（1）甲种药品成本的年平均下降额与乙种药品的年平均下降额分别是多少？它与年平均下降率是否是一回事？
（2）若设甲种药品的年平均下降率为x，则第一年后的成本为 元，第二年后的成本为 元，你能列出相应的方程并求出问题的解吗？对于乙种药品呢？
【教学说明】思考（1）旨在让学生感受成本下降问题中，成本下降额和成本下降率这两个接近而不同的概念，前者表示绝对变化量，单位是元，后者表示相对变化量，是表示比率的数字，从而全面比较对象的变化状况；思考（2）则进一步让学生感受到两个时间段的平均变化率，如经济增长率、人口增长率等，设平均变化率为x，则有变化前数量×(1+x)2=两年后的数量，由此可得到一元二次方程的数学模型，并确定方程和问题的解，教学过程中，教师应引导学生积极思考，寻求出实际问题中所蕴含的等量关系，让学生体会到寻找等量关系是解决问题的关键，最后师生共同完成解答过程.
三、典例精析，掌握新知
例1某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支？
解：设每个支干长出x个小分支，由题意可列方程为
1+x+x2=91,解得x1=9,x2=-10(不合题意，应舍去),即每个支干长出9个小分支.
例2某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.98%，平均每次降息的百分率是多少？
解：设平均每次降息的百分率为a%，依题意可列方程为：
2.25%（1-a%）2=1.98%
解得a1≈6.19,a2≈193.81(不合题意，应舍去).
即平均每次降息的百分率约为6.19%.
【教学说明】让学生独立思考，自主探究，找出题目中的等量关系，并能构建合适的一元二次方程来解决问题，加深对知识的领悟，其中例2可借助计算器来帮助解决问题.教学时，教师在学生探究期间应巡视全场，帮助困难学生找出解决问题的思路方法，最后给出完整解答过程，培养学生良好的解题习惯.
四、运用新知，深化理解
1.一台电视机的成本价为a元，原销售价比成本价增加25%，因库存积压，两次降价处理，若每次降价的百分率为x%，则最后销售价应为 .
2.某养鸡场一只患禽流感的小鸡经过两天的传染后，使养鸡场共有169只小鸡感染禽流感，那么在每一天的传染中平均一只小鸡传染了几只小鸡？
3.某校坚持对学生进行近视眼的防治，近视眼人数逐年减少.据统计，2023年和2022年的近视眼人数只占2021年人数的75%，这两年平均每年近视眼人数下降的百分率是多少?
【教学说明】
设置这几道题有利于学生进一步掌握一元二次方程应用题的解法，题目稍难，老师应巡视给予指导，然后共同完成.
【答案】1.（1+25%）a·(1-x%)2元
2.设每一天的传染中平均一只小鸡传染了x只小鸡，由题意，得（1+x）+(1+x)·x=169，解得x1=12,x2=-14(不合题意，舍去)，故每一天平均一只小鸡传染了12只小鸡.
3.设平均每年的近视眼人数下降的百分率为x，2021年的近视眼人数为a人，由题意有（1-x）a+(1-x)2·a=75%a，解得x1=0.5,x2=2.5，显然x=2.5不合题意，应舍去，即平均每年近视眼人数下降的百分率为50%.
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，你对传播类和增长率（下降率）的应用问题的处理有哪些体会和收获？谈谈你的看法.
【教学说明】教师可向学生提问，以进一步巩固列方程解应用题的方法和解题步骤，为后续学习作好铺垫.
1.布置作业：从教材“习题21.3”中选取.
2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.
1.教师引导学生熟悉列一元二次方程解应用题的步骤，创设问题推导出列一元二次方程解应用题的步骤，有利于学生熟练掌握用一元二次方程解应用题的步骤.
2.传播类和增长率问题是一元二次方程中的重点问题，本设计问题中反映出不同的“传播”和增长率，有利于学生更好地掌握这一问题.
第2课时 实际问题与一元二次方程（2）
1.继续探索实际问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型；
2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.
3.经历将实际问题抽象为数学问题的过程，体验解决问题策略的多样性，发展数学应用意识.
4.通过构建一元二次方程解决身边的问题，体会数学的应用价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.
【教学重点】
列一元二次方程解决应用问题.
【教学难点】
寻找问题中的等量关系.
一、情境导入，初步认识
问题1 通过上节课的学习，请谈谈列方程解应用题的一般步骤是怎样的？关键是什么?
问题2 现有长19cm，宽为15cm长方形硬纸片，将它的四角各剪去一个同样大小的正方形后，再折成一个无盖的长方形纸盒，要使纸盒的底面积为77cm2，问剪去的小正方形的边长应是多少？你能解决这一问题吗？不妨试试看.
【教学说明】问题1的目的是引导学生回顾前面学过的知识，为本节课的学习作好铺垫；问题2则过渡到本节要处理的问题中来，使学生初步感受到一元二次方程也是解决几何问题的重要手段之一，引入新课.
二、思考探究，获取新知
探究教材20页探究3.
【教学说明】让学生自主探究，相互交流，尝试寻求解决问题的方法.为了帮助学生更好地理解题意，可设置如下几个问题：（1）中央长方形的长与宽的比是多少呢？（2）如果设出中央长方形的长的话，你能求出左、右边衬的宽吗？上、下边衬的宽呢？（3）问题中的等量关系是什么？由此你能得到怎样的方程？（4）如果将问题中的等量关系（四周彩色边衬所占面积是整个长方形面积的四分之一）转化为中央长方形面积与整个长方形面积之间的关系时，结论如何？由此你又能列出怎样的方程呢？然后教师在巡视过程中，关注学生的解题方法，选取有代表性的依据不同方式而获得结论的学生上黑板展示他们的解答过程，共同分析，提高认知.
三、典例精析，掌握新知
例1 有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面上，如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的长度相同，试求这块台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）
分析：设四周垂下的宽度为x尺时，可知台布的长为(2x+6)尺，宽为（2x+3）尺，利用台布的面积是桌面面积的2倍构建方程可获得结论.
解：设四周垂下的宽度为x尺时，依题意可列方程为（6+2x）(3+2x)=2×6×3.整理方程，得2x2+9x-9=0.解得x1≈0.84,x2≈-5.3(不合题意，舍去).即这块台布的长约为7.7尺，宽约为4.7尺.
例2 如右图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m.
（1）若所围的面积为150m2，试求此长方形鸡场的长和宽；
（2）如果墙长为18m，则(1)中长方形鸡场的长和宽分别是多少？
（3）能围成面积为160m2的长方形鸡场吗？说说你的理由.
分析:如图,若设BC=xm，则AB的长为m,若设AB=xm,则BC=(35-2x)m,再利用题设中的等量关系，可求出（1）的解；在（2）中墙长a=18m意味着BC边长应小于或等于18m,从而对（1）的结论进行甄别即可；（3）中可借助（1）的解题思路构建方程，依据方程的根的情况可得到结论.
解:(1)设BC=xm,则AB=CD=，依题意可列方程为x·=150,
解这个方程，得x1=20,x2=15.
当BC=x=20m时，AB=CD=7.5m，当BC=15m时，AB=CD=10m.即这个长方形鸡场的长与宽分别为20m和7.5m或15m和10m;
(2)当墙长为18m时，显然BC=20m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽只能是15m和10m;
(3)不能围成面积为160m2的长方形鸡场，理由如下：设BC=xm,由（1）知AB=m,从而有x·=160,方程整理为x2-35x+320=0.此时Δ=352-4×1×320=1225-1280＜0,原方程没有实数根，从而知用35m的篱笆按图示方式不可能围成面积为160m2的鸡场.
【教学说明】以上两例均应先让学生独立思考，探索出问题的解.教师在学生自主探究过程中，应关注学生是否能正确理解题意，如何设未知数并构建方程，是否能根据问题的实际意义检验结果的合理性等，及时帮助学生克服困难，掌握列方程解决实际问题的方法.最后师生共同给出答案.让学生进一步加深理解，在反思中获取新知.
四、运用新知，深化理解
1.直角三角形的两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长为（ ）
A. B.5 C. D.7
2.从正方形铁皮的一边切去一个2cm宽的长方形，若余下的长方形的面积为48cm2，则原来正方形的铁皮的面积为 .
3.如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，地毯中间的矩形图案的长为6m，宽为3m，若整个地毯的面积为40m2，求花边的宽.
4.某种服装进价每件60元，据市场调查，这种服装按80元销售时，每月可卖出400件，若销售价每涨价1元，就要少卖出5件，如果服装店预计在销售这种服装时每月获利12000元，那么这种服装的销售价定为多少时，可使顾客更实惠?
【教学说明】让学生学以致用，巩固新知.
【答案】1.B 2.64cm2
3.设花边的宽为xm，依题意有（6+2x）(3+2x)=40，解得x1=1,x2=-11/2(不合题意应舍去)，即花边的宽度为1m.
4.设销售价提高了x个1元，则每月应少卖出5x件.依题意可列方程为（80+x-60）×(400-5x)=12000.解这个方程，得x1=20,x2=40.显然，当x=40时，销售价为120元，当x=20时，销售价为100元，要使顾客得到实惠，则销售价越低越好，故这种服装的销售价应定为100元合适.
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，谈谈你对列一元二次方程解决实际问题的体会和收获？你认为有哪些地方需要特别注意？
【教学说明】让学生回顾整理本节知识，反思学习过程的体会，加深理解.
1.布置作业：从教材“习题21.3”中选取.
2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.
1.面积问题的设置,力求以点带面,了解列一元二次方程的步骤并能解答简单的应用题，训练题是对前面问题的延伸，使学生灵活运用解题的能力有很大的提高，对学生思维能力的拓展、发散有很大的帮助.
2.列一元二次方程解应用题是让数学来源于生活，是对一元二次方程解法的延伸，同时又是一元二次方程或二元一次方程组解应用题步骤的总结和内容的升华，列一元二次方程解应用题是下章中学习二次函数解决问题的基础.
第3课时 实际问题与一元二次方程（3）
1.探索以几何图形为背景的应用题，找出其中的等量关系，建立一元二次方程，体会数学模型在解决现实生活问题中的作用.
2.能根据实际问题的意义检验结果的合理性.
3.经历数学建模建立一元二次方程的过程，锻炼学生分析问题，解决问题的能力.
4.通过建立一元二次方程解决实际生活问题，感受数学在生活中的实用性，提高学生学习数学的积极性，体会数学给人类生活带来的促进作用.
【教学重点】
列一元二次方程解决实际应用问题.
【教学难点】
寻找问题中的等量关系.
一、情境导入，初步认识
问题现有长19cm，宽为15cm长方形硬纸片，将它的四角各剪去一个同样大小的正方形后，再折成一个无盖的长方形纸盒，要使纸盒的底面积为77cm2，问剪去的小正方形的边长应是多少？你能解决这一问题吗？不妨试试看.
【教学说明】通过问题引入本节要处理的问题，使学生初步感受到一元二次方程也是解决几何问题的重要手段之一，引入新课.
二、思考探究，获取新知
探究教材20页探究3.
【教学说明】让学生自主探究，相互交流，尝试寻求解决问题的方法.为了帮助学生更好地理解题意，可设置如下几个问题：（1）中央长方形的长与宽的比是多少呢？（2）如果设出中央长方形的长的话，你能求出左、右边衬的宽吗？上、下边衬的宽呢？（3）问题中的等量关系是什么？由此你能得到怎样的方程？（4）如果将问题中的等量关系（四周彩色边衬所占面积是整个长方形面积的四分之一）转化为中央长方形面积与整个长方形面积之间的关系时，结论如何？由此你又能列出怎样的方程呢？然后教师在巡视过程中，关注学生的解题方法，选取有代表性的依据不同方式而获得结论的学生上黑板展示他们的解答过程，共同分析，提高认知.
三、典例精析，掌握新知
例1有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面上，如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的长度相同，试求这块台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）
分析：设四周垂下的宽度为x尺时，可知台布的长为(2x+6)尺，宽为（2x+3）尺，利用台布的面积是桌面面积的2倍构建方程可获得结论.
解：设四周垂下的宽度为x尺时，依题意可列方程为（6+2x）(3+2x)=2×6×3.整理方程，得2x2+9x-9=0.解得x1≈0.84,x2≈-5.3(不合题意，舍去).即这块台布的长约为7.7尺，宽约为4.7尺.
例2如右图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m.
（1）若所围的面积为150m2，试求此长方形鸡场的长和宽；
（2）如果墙长为18m，则(1)中长方形鸡场的长和宽分别是多少？
（3）能围成面积为160m2的长方形鸡场吗？说说你的理由.
分析:如图,若设BC=xm，则AB的长为m,若设AB=xm,则BC=(35-2x)m,再利用题设中的等量关系，可求出（1）的解；在（2）中墙长a=18m意味着BC边长应小于或等于18m,从而对（1）的结论进行甄别即可；（3）中可借助（1）的解题思路构建方程，依据方程的根的情况可得到结论.
解:(1)设BC=xm,则AB=CD=，依题意可列方程为x·=150,
解这个方程，得x1=20,x2=15.
当BC=x=20m时，AB=CD=7.5m，当BC=15m时，AB=CD=10m.即这个长方形鸡场的长与宽分别为20m和7.5m或15m和10m;
(2)当墙长为18m时，显然BC=20m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽只能是15m和10m;
(3)不能围成面积为160m2的长方形鸡场，理由如下：设BC=xm,由（1）知AB=m,从而有x·=160,方程整理为x2-35x+320=0.此时Δ=352-4×1×320=1225-1280＜0,原方程没有实数根，从而知用35m的篱笆按图示方式不可能围成面积为160m2的鸡场.
【教学说明】以上两例均应先让学生独立思考，探索出问题的解.教师在学生自主探究过程中，应关注学生是否能正确理解题意，如何设未知数并构建方程，是否能根据问题的实际意义检验结果的合理性等，及时帮助学生克服困难，掌握列方程解决实际问题的方法.最后师生共同给出答案.让学生进一步加深理解，在反思中获取新知.
四、运用新知，深化理解
1.直角三角形的两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长为（ ）
A. B.5
C. D.7
2.从正方形铁皮的一边切去一个2cm宽的长方形，若余下的长方形的面积为48cm2，则原来正方形的铁皮的面积为_____.
3.如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，地毯中间的矩形图案的长为6m，宽为3m，若整个地毯的面积为40m2，求花边的宽.
4.如图，在△ABC中，∠B=90°,点P从点A开始，沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果点P，Q分别从点A,B同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于8cm2？
【教学说明】让学生学以致用，巩固新知.
【答案】1.B 2.64cm2
3.解：设花边的宽为xm，依题意有（6+2x）(3+2x)=40，解得x1=1,x2=-1/12(不合题意应舍去)，即花边的宽度为1m.
4.解：设要经过x秒钟，则1/2（6-x）·2x=8.整理得x2-6x+8=0,解得x1=2,x2=4,∴经过2秒或4秒，△PBQ的面积为8cm2.
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，谈谈你对列一元二次方程解决实际问题的体会和收获？你认为有哪些地方需要特别注意？
【教学说明】让学生回顾整理本节知识，反思学习过程的体会，加深理解.
1.布置作业：从教材“习题21.3”中选取.
2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.
1.面积问题的设置,力求以点带面,了解列一元二次方程的步骤并能解答简单的应用题，训练题是对前面问题的延伸，使学生灵活运用解题的能力有很大的提高，对学生思维能力的拓展、发散有很大的帮助.
2.列一元二次方程解应用题是让数学来源于生活，是对一元二次方程解法的延伸，同时又是一元二次方程或二元一次方程组解应用题步骤的总结和内容的升华，列一元二次方程解应用题是下章中学习二次函数解决问题的基础.
本章热点专题训练
1.进一步加深对一元二次方程及其解的理解，能选择恰当的方法解一元二次方程，掌握用一元二次方程解决实际问题的思路方法，加强对应用问题的分析和解决能力.
2.经历分析问题和解决问题的过程，拓展对一元二次方程的认识.
3.进一步提高在实际问题中运用方程思想解决问题的能力，增强数学应用的兴趣和意识，感悟解一元二次方程的策略的多样性和合理性，培养开拓创新精神.
【教学重点】
理解并掌握一元二次方程的解法、根与系数关系和根的判别式，加强构建一元二次方程解决应用问题的能力.
【教学难点】
综合运用一元二次方程定义、根的判别式及根与系数关系解决具体问题.
一、释疑解惑，加深理解
1.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，且a≠0),这里二次项系数a≠0是必要条件，而这一点往往在解题过程中易忽视，而致结论出错.
思考 若关于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0有一根为0，则常数m的值为.（参考答案：m=2）
2.一元二次方程的解法有：开平方法、配方法、公式法和因式分解法.对于具体的方程，一定要认真观察，分析方程特征，选择恰当的方法予以求解.无论选择哪种方法来解方程，降次思想是它的基本思想.
3.根的判别式及根与系数的关系：（1）根的判别式Δ=b2-4ac与0的大小关系可直接确定方程的根的情况，当Δ=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根.当Δ=b2-4ac＜0时方程没有实数根.（2）根与系数的关系：若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1,x2，则x1+x2=-,x1·x2=.（3）利用根与系数的关系确定方程的待定字母系数时，千万应注意验证Δ=b2-4ac是否大于等于0，否则所求出的值就不合题意应舍去，这点应引起学生高度重视.
4.列一元二次方程解实际应用问题是数学应用的具体体现，如解决传播类问题、增长率类问题、利润问题及几何图形的计算问题等，而解决这些实际问题的关键是弄清题意，找出其中的等量关系，恰当设未知数，建立方程并予以求解.需注意的是，应根据问题的实际意义检验结果是否合理.
【教学说明】在对上述知识的回顾过程中，既可师生根据教材的主要知识点进行剖析，也可由教师设置问题，让学生思考后进行总结交流，从而整体上加强对本章知识的理解，同时，对易错点给予强调，引起学生注意.
三、典例精析，复习新知
例1已知关于x的方程（m+n-1）x(m+n)2+1-(m+n)x+mn=0是一元二次方程，则m+n的值为 .
分析：由题意应有(m+n)2+1=2,故(m+n)2=1,∴m+n=±1,又因为一元二次方程的二次项系数m+n-1≠0，∴m+n≠1,从而可知m+n=-1.
例2已知a是方程x2-2014x+1=0的一个根，求代数式a2-2013a+的值.
解：根据方程根的定义有a2-2014a+1=0,从而a2-2013a=a-1.a2+1=2014a,故原式=a-1+= = =2013.
在评讲本例时，要防止少数学生利用求根公式求出a的值再代入计算的做法，解释这种解法的弊端，并引导学生学会用整体代入思想解题的方法和技巧.
例3已知关于x的方程x2-2（m+1）x+m2=0有两个实数根，试求m的最小整数值.
解：由题意有Δ=［-2(m+1)］2-4×1×m2=8m+4≥0，∴m≥-1/2,故m的最小整数值为0.
例4某零售商购进一批单价为16元的玩具，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格，经试验发现，若按每件20元销售时，每月可销售360件；若按每件25元销售时，每月能卖出210件，假定每月销售件数y（件）是价格x的一次函数.
（1）试求y与x之间的关系式；
（2）当销售价定为多少时，每月获得1800元利润？
（3）每月的利润能达到2000元吗？为什么？
解：在（1）中，设y=kx+b，把(20,360),(25,210)代入，可得y=-30x+960(16≤x≤32);在（2）中，设获利为w(元)，则w=(x-16)(-30x+960),当w=1800时，有（x-16）(-30x+960)=1800，解得x1=22,x2=26,故销售价定为22元或26元时，每月可获得1800元利润；在（3）中，令（x-16)(-30x+960)=2000,整理，得3x2-144x+1736=0,此时Δ=b2-4ac=（-144）2-4×3×1736=-96＜0，原方程无解，即每月利润不可能为2000元.
【教学说明】在具体教学时，教师可根据自己的设想设置例题，对所选例题的处理仍应先让学生自主探究，尝试着独立完成，让学生边回顾边思考，加深对本章知识的掌握.
四、复习训练，巩固提高
1.若方程(m2-2)x2-1=0有一根为1，则m的值是多少？
2.若方程3x2-5x-2=0有一根为a，则6a2-10a的值是多少？
3.已知关于x的方程(a-2)x2-2(a-1)x+(a+1)=0，a为何非负整数时，（1）方程只有一个实数根？（2）方程有两个相等实数根？（3）方程有两个不等实数根？
4.百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“六·一”国际儿童节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天可多售出2件.要想平均每天销售这种童装盈利1200元，在对顾客利益最大基础上，那么每件童装应降价多少元？
【教学说明】这4个小题的设置旨在帮助学生复习知识，其中第1、2题较简单，由学生自主完成，第3、4题可由师生共同完成.
【答案】1.m=± 2.4 3.(1)a=2;(2)a=3;(3)a=0或a=1
4.每件降价20元.
五、师生互动，课堂小结
通过这节课学习，对本章的知识你有哪些新的认识？有何体会？
【教学说明】师生共同进行小结反思，让学生进一步加深对本章知识的理解和领悟，积累解题方法和经验，完善知识体系.
1.布置作业：从教材“复习题21”中选取.
2.完成本课的热点专题训练.
1.本节课为复习课，所以首先要让学生了解本章的知识体系，该掌握哪些知识点，所以教学的展开都以问题的解决为中心，使教学过程成为在老师指导下学生的一种自主探索的学习活动过程，在探索中体现数学思想方法的渗透、应用，巩固知识内容.
2.本章的内容，关键是在经历和体验知识的形成与应用过程中，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，一元二次方程是初中阶段最重要的方程，它是解答数学问题的重要工具和方法，并且对学习函数，尤其是二次函数的综合问题起着决定性作用，它在中考试题中占有一定的比例.
第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
1.使学生理解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式,并能将一元二次方程化成一般式,正确识别二次项系数、一次项系数和常数项.
2.会判断一个数是否是一元二次方程的根.
3.经历由实际问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，让学生体会到方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.
4.进一步培养学生的观察、类比、归纳能力，体验数学的严密性和深刻性.
【教学重点】
一元二次方程的概念及其一般表现形式.
【教学难点】
从实际问题中抽象出一元二次方程的模型；识别方程中的“项”及“系数”.
一、情境导入,初步认识
(课件展示问题)雷锋纪念馆前的雷锋雕像高为2m，设计者当初设计它的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，即下部高度的平方等于上部与全部的积，如果设此雕像的下部高为xm，则其上部高为（2-x）m，由此可得到的等量关系如何？它是关于x的方程吗？如果是，你能看出它和我们以往学过的方程有什么不同吗？
【教学说明】设置上述从美学角度而构建的人体雕像（教师可适时补充有关简单黄金分割问题）可激发学生学习兴趣，进而增强求知欲望.
二、思考探究，获取新知
由上述问题，我们可以得到x2=2(2-x),即x2+2x-4=0.显然这个方程只含有一个未知数，且x的最高次数为2，这类方程在现实生活中有广泛的应用.
探究1见教材第2页问题1.(课件展示问题)
【教学说明】针对上述问题可给予5~8分钟时间让学生讨论，教师可相应设置如下问题帮助学生分析：如果设四角折起的正方形的边长为xm，则制成的无盖方盒的底面长为多少?宽为多少?由底面积为3600cm2,可得到的方程又是怎样的?
【讨论结果】设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为(100-2x)cm,宽为(50-2x)cm,由此可得到方程(100-2x)(50-2x)=3600,整理为:4x2-300x+1400=0,化简,得x2-75x+350=0,由此方程可得出所切去的正方形的大小.
探究2见教材2~3页问题2.
【教学说明】教学过程中,教师可设置如下问题:
(1)这次排球赛共安排 场;
(2)若设应邀请x个队参赛，则每个队与其它 个队各赛一场，这样共应有 场比赛；
(3)由此可列出的方程为 ，化简得 .教师提出问题，引导学生思考方程的建模过程，同时注重激发学生解决问题的欲望和兴趣.（课件展示）
【讨论结果】设应邀请x个队参赛，通过分析可得到·x·（x-1）=28,化简，得x2-x=56，即x2-x-56=0.
观察思考观察前面所构建的三个方程，它们有什么共同点？可让学生先独立思考，然后相互交流，得出这些方程的特征：
（1）方程各项都是整式；
（2）方程中只含有一个未知数；
（3）未知数的最高次数是2.
【归纳结论】
1.一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.
想一想
1.二次项的系数a为什么不能为0?
2.在指出二次项系数、一次项系数和常数项时，a、b、c都一定是正数吗？谈谈你的看法.
【教学说明】本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流.注重类比是帮助学生正确理解概念的有效方法.
探究3 从探究2中我们可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，因此可列表如下：
可以发现，当x=8时，x2-x-56=0,所以x=8是方程x2-x-56=0的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
思考
1.一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？
2.方程x2-x-56=0有一个根为x=8，它还有其它的根吗？
【探讨结论】1.一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根；
2.由于x=-7时，x2-x-56=49-（-7）-56=0，故x=-7也是方程x2-x-56的一个根.事实上，一元二次方程如果有实数根，则必然有两个实数根，通常记为x1=m,x2=n.
三、典例精析，掌握新知
例1 已知关于x的方程(m+2)x|m|+3x+m=0是一元二次方程，求此一元二次方程.
分析:观察方程特征，依定义建立关于m的方程，再考虑其二次项系数不能为0，可得到结论.
解：由题意有 ,∴m=2.
因此原一元二次方程为4x2+3x+2=0.
例2将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中二次项系数、一次项系数及常数项.
解：去括号，得3x2-3x=5x+10,移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为3x2-8x-10=0.
其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
【教学说明】以上两例均可让学生独立思考，自主完成.教师巡视，了解学生的掌握情况，最后选取几个优秀作业和有代表性问题作业通过幻灯片展示给全班同学学习与思考，加深对本节知识的理解和掌握.
四、运用新知，深化理解
1.下列各式中，是一元二次方程的是（ ）
A.3x2+1x=0
B.ax2+bx+c=0
C.(x-3)(x-2)=x2
D.(3x-1)(3x+1)=3
2.关于x的方程（k-1）x|k|+1-2x=3是一元二次方程，则k= .
3.已知方程5x2+mx-6=0的一个根为4，则m的值为 .
4.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式，指出其二次项系数、一次项系数及常数项：
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x;
（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x;
（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的平方，求较短一段的长x.
【教学说明】让学生当堂完成上述练习，达到巩固新知目的.最后
全班同学核对答案即可.
【答案】1.D 2.-1 3.-37/2
4.(1)4x2-25=0,其中二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为-25；
(2)x2-2x-100=0,其二次项系数、一次项系数和常数项分别为1,-2,-100;
(3)x2-3x+1=0，其二次项系数、一次项系数和常数项分别为1，-3，1.
五、师生互动，课堂小结
教师提出以下问题，让学生交流，加强反思、提炼及知识归纳.
(1)一元二次方程的定义，一般式及二次项系数、一次项系数和常数项；
（2）一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)中的括号是否可有可无？为什么？
（3）通过这节课的学习你还有哪些收获？
【教学说明】师生共同回顾，注重学生的交流发言.
1.布置作业：从教材“习题21.1”中选取.
2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.
1.注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.
2.教师创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.
3.增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.
4.对于一元二次方程的根的概念形成过程，要让学生大胆猜测，经过思考、讨论、分析的过程，让学生在交流中体会成功.
21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时 直接开平方法
1.会利用开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程；
2.初步了解形如（x+n）2=p（p≥0）方程的解法.
3.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.
4.通过对实例的探究过程，体会类比、转化、降次的数学思想方法.
5.在成功解决实际问题过程中，体验成功的快乐，增强数学学习的信心和乐趣.
【教学重点】
解形如x2=p(p≥0)的方程.
【教学难点】
把一个方程化成x2=p(p≥0)的形式.
一、情境导入，初步认识
问题我们知道，42=16,(-4)2=16，如果有x2=16，你知道x的值是多少吗？说说你的想法.如果3x2=18呢？
【教学说明】让学生通过回顾平方根的意义初步感受利用开平方法求简单一元二次方程的思路，引入新课.教学时，教师提出问题后，让学生相互交流，在类比的基础上感受新知.
解：如果x2=16，则x=±4;若3x2=18,则x=±.
二、思考探究，获取新知
探究一桶油漆可刷的面积为1500dm2 ，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
思考1 设一个盒子的棱长为xdm，则它的外表面面积为，10个这种盒子的外表面面积的和为 ，由此你可得到方程为，你能求出它的解吗？
解：6x2,10×6x2,10×6x2=1500，整理得x2=25,根据平方根的意义，得x=±5,可以验证，5和-5是原方程的两个根，因为棱长不能为负值，所以盒子的棱长为5dm,故x=5dm.
【教学说明】学生通过自主探究，尝试用开平方法解决一元二次方程，体验成功的快乐.教师应关注学生的思考是否正确，是否注意到实际问题的解与对应的一元二次方程的解之间的关系，帮助学生获取新知.
【归纳结论】一般地，对于方程
x2=p,（Ⅰ）
（1）当p>0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不等的实数根
x1=- ,x2=;
(2)当p=0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根x1=x2=0;
(3)当p<0时，因为对任意实数x，都有x2≥0,所以方程（Ⅰ）无实数根.
思考2对上面题解方程（Ⅰ）的过程，你认为应该怎样解方程（x+3）2=5?
学生通过比较它们与方程x2=25异同，从而获得解一元二次方程的思路.
在解方程（Ⅰ）时，由方程x2=25得x=±5.由此想到：
由方程
（x+3）2=5,②
得x+3=± ,
即x+3=或x+3=-.③
于是，方程（x+3）2=5的两个根为x1=-3+,x2=-3-.
【教学说明】教学时，就让学生独立尝试给出解答过程，最后教师再给出规范解答，既帮助学生形成用直接开平方法解一元二次方程的方法，同时为以后学配方法作好铺垫，让学生体会到类比、转化、降次的数学思想方法.
【归纳结论】
上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.
【教学说明】上述归纳结论应由师生共同探讨获得，教师要让学生知道解一元二次方程的实质是转化.
三、典例精析，掌握新知
例解下列方程：（教材第6页练习）
(1)2x2-8=0; (2)9x2-5=3;
(3)(x+6)2-9=0; (4)3(x-1)2-6=0;
(5)x2-4x+4=5; (6)9x2+5=1.
解：(1)原方程整理，得2x2=8,即x2=4,根据平方根的意义，得x=±2,即x1=2,x2=-2.
（2）原方程可化为9x2=8,即x2=8/9.两边开平方，得x=± ,
即x1=,x2=-.
(3)原方程整理，得（x+6）2=9，根据平方根的意义,得x+6=±3,即x1=-3,x2=-9.
（4）原方程可化为（x-1）2=2,
两边开平方，得x-1=± ，
∴x1=1+,x2=1-;
（5）原方程可化为（x-2）2=5,
两边开平方，得x-2=± ,
∴x1=2+,x2=2-.
（6）原方程可化为9x2=-4,x2=-4/9.由前面结论知，当p<0时，对任意实数x,都有x2≥0，所以这个方程无实根.
【教学说明】本例可选派六位同学上黑板演算，其余同学自主探究，独立完成.教师巡视全场，发现问题及时予以纠正，帮助学生深化理解，最后师生共同给出评析，完善认知.特别要强调用直接开平方法开方时什么情况下是无实根的.
四、运用新知，深化理解
1.若8x2-16=0，则x的值是 .
2.若方程2(x-3)2=72，那么这个一元二次方程的两根是 .
3.如果实数a、b满足3a+4+b2-12b+36=0,则ab的值为 .
4.解关于x的方程：
(1)(x+m)2=n(n≥0);
(2)2x2+4x+2=5.
5.已知方程（x-2）2=m2-1的一个根是x=4,求m的值和另一个根.
【教学说明】让学生独立完成，加深对本节知识的理解和掌握.
五、师生互动，课堂小结
教师可以向学生这样提问：
(1)你学会怎样解一元二次方程了吗？有哪些步骤？
(2)通过今天的学习你了解了哪些数学思想方法？与同伴交流.
【教学说明】教师可引导学生提炼本节知识及方法，感受解一元二次方程的降次思想方法.
1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.
2. 完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分..
1.本课时通过创设问题情景，激发学生探索新知的欲望.
2.本课时还通过回忆旧知识为新知学习作好铺垫.
3.教师引导学生自主、合作、探究、验证，培养学生分析问题、解析问题的能力.
第2课时 配方法
1.掌握用配方法解一元二次方程.
2.理解通过变形运用开平方法解一元二次方程的方法，进一步体验降次的数学思想方法.
3.在学生合作交流过程中，进一步增强合作交流意识，培养探究精神，增强数学学习的乐趣.
【教学重点】
用配方法解一元二次方程.
【教学难点】
用配方法解一元二次方程的方法和技巧.
一、情境导入，初步认识
问题 要使一块长方形的场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，场地的长与宽各是多少？
思考 如果设这个长方形场地的宽为xm，则长为 ，由题意可列出的方程为 ，你能将此方程化为(x+n)2=p的形式，并求出它的解吗？
【教学说明】经历从实际问题中抽象出一元二次方程模型的过程，进一步增强学生的数学建模能力，并通过思考，用类比、转化思想方法探索出解这类方程的一种方法，导入新课.教学过程中，应给予学生充分思考，交流活动时间，达到探索新知的目的.
二、思考探究，获取新知
【教学说明】让学生阅读第6~7页探究内容，再完成下面的“想一想”.
想一想1.下列各题中的括号内应填入怎样的数合适？谈谈你的看法.
（1）x2+10x+( )=(x+ )2;
(2)x2-3x+( )=(x- )2;
(3)x2-x+( )=(x- )2;
(4)x2+x+( )=(x+ )2.
2.利用上述想法，试试解下列方程：
(1)x2+10x+3=0; (2)x2-3x+1=0;
(3)x2-x=4; (4)x2+x-7=0.
1.依次填入：（1）25；5；（2） ， ；（3） ； ；（4） ， .
2.解：（1）原方程可化为：x2+10x=-3,配方，得x2+10x+25=-3+25,即（x+5）2=22,∴x+5=± ,即x1=-5+,x2=-5-;
试一试 1.请说说用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的方法是怎样的？与同伴交流.
2.如果某个一元二次方程的二次项系数不是1时，还能用配方法解这个一元二次方程吗？谈谈你的看法，并尝试解方程x2+x-3=0.
【教学说明】让学生独立思考后，相互交流看法.理解并掌握用配方法解一元二次方程的思维方法.然后选取学生代表发言，最后师生共同总结，完善认知.
三、典例精析，掌握新知
例（教材第7页例1）解下列方程
（1）x2-8x+1=0;
（2）2x2+1=3x;
（3）3x2-6x+4=0.
分析：对于（2）、（3）中的方程，可先将未知数的项放在等号左边，常数项移至等号的右边后，再根据等式性质将二次项系数化为1，从而转化为形如x2+mx=n的方程，利用配方法可求出方程的解.
【教学说明】让学生自主探究，独立完成，同时选三名同学上黑板演算，教师巡视，针对学生可能出现的问题，教师应适时予以点拨：
（1）二次项系数不是1时，怎么办？
（2）配方过程中，在等式两边加上的常数与一次项系数的关系如何？
（3）配方过程中，若等号右边为负数，这个方程有没有实数根？
（4）配方过程中还需注意哪些问题等等.最后师生共同评析，加深用配方法解一元二次方程的理解.
【归纳结论】
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
（x+n）2=p(Ⅱ)
的形式，那么就有：
（1）当p>0时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根
x1=-n- , x2=-n+;
(2)当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根
x1=x2=-n;
(3)当p<0时，因为对任意实数x,都有（x+n）2≥0,所以方程（Ⅱ）无实数根.
【试一试】师生共同完成教材第9页练习.
【教学说明】第1题老师可让学生口答，第2题教师可选几名学生板演，师生共同完成后，老师仍要向学生强调方程无实数根的情况.
四、运用新知，深化理解
1.将二次三项式x2-4x+2配方后，得（ ）
A.（x-2）2+2
B.(x-2)2-2
C.(x+2)2+2
D.(x+2)2-2
2.已知x2-8x+15=0，左边化成含x的完全平方式，其中正确的有（ ）
A.x2-8x+(-4)2=31
B.x2-8x+(-4)2=1
C.x2+8x+42=1
D.x2-4x+4=-11
3.若代数式的值为0，则x的值为 .
4.方程x2-2x-3=0的解为 .
5.要使一块长方形场地的长比宽多3m，其面积为28m2，试求这个长方形场地的长与宽各是多少？
【教学说明】通过上述几道题目的练习，可进一步巩固对本节知识的理解和领悟.
【答案】1.B
2.B
3.x=2
4.x1=-1,x2=3
5.长与宽分别为7m和4m.
五、师生互动，课堂小结
1.通过本节课的学习，你能用配方法解一元二次方程吗？有哪些需要注意的地方？
2.用配方法解一元二次方程涉及哪些数学思想方法？
【教学说明】让学生通过对上述问题的回顾与思考，反思学习体会，完善知识体系.
1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.
2. 完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.
1.本节课，重在学生的自主参与，进而获得成功的体验，在数学方法上，仍突出数学研究中转化的思想，激发学生产生合理的认识冲突，激发兴趣，建立自信心.
2.在练习内容上，有所改进，加强了核心知识的理解与巩固，提高自己解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，提高教学效果.
3.用配方法解一元二次方程是学习解一元二次方程的基本方法，后面的求根公式是在配方法的基础上推出的，配方法在使用时又与原来学习的完全平方式联系密切，用配方法解一元二次方程既是对原来知识的巩固，又是对后面学习内容的铺垫.在二次函数顶点坐标的求解中也同样使用的是配方法，因此配方法是一种基本的数学解题方法.
21.2.2 公式法
1.理解并掌握求根公式的推导过程；
2.能利用公式法求一元二次方程的解.
3.经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力.
4.用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严谨认真的科学态度.
【教学重点】
用公式法解一元二次方程.
【教学难点】
推导一元二次方程求根公式的过程.
一、情境导入，初步认识
我们知道，对于任意给定的一个一元二次方程，只要方程有解，都可以利用配方法求出它的两个实数根.事实上，任何一个一元二次方程都可以写成ax2+bx+c=0的形式，我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看，该怎样做？
【教学说明】让学生回顾用配方法解一元二次方程的一般过程，从而尝试着求ax2+bx+c=0（a≠0）的方程的解，导入新课，教学时，应给予足够的思考时间，让学生自主探究.
二、思考探究，获取新知
通过问题情境思考后，师生共同探讨方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解.
由ax2+bx+c=0(a≠0),移项，ax2+bx=-c.二次项系数化为1，得x2+x=-.配方，得x2+x+ =-+，即.
至此，教师应作适当停顿，提出如下问题，引导学生分析、探究：
（1）两边能直接开平方吗？为什么？
（2）你认为下一步该怎么办？谈谈你的看法.
【教学说明】设置停顿并提出两个问题的目的在于纠正学生的盲目行为，引导学生正确认识代数式b2-4ac的取值与此方程的解之间的关系，加深认知.教学时，应让学生积极主动思考，畅所欲言，在相互交流中促进理解.
师生共同完善认知：
一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用Δ表示，即Δ=b2-4ac.从而有：
①当Δ=b2-4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；当Δ=b2-4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根；当Δ=b2-4ac＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数解；
②当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根可写成x= ，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.
三、典例精析，掌握新知
例1不解方程，判别下列各方程的根的情况.
(1)x2+x+1=0; (2)x2-3x+2=0; (3)3x2-x=2.
分析:找出方程中二次项系数、一次项系数和常数项，利用b2-4ac与0的大小关系可得结论.注意：在确定方程中a、b、c的值时，一定要先把方程化为一般式后才能确定，否则会出现失误.
解：（1）∵a=1,b=1,c=1,∴Δ=b2-4ac=12-4×1×1=-3＜0,∴原方程无实数解;
(2)∵a=1,b=-3,c=2,∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×2=1＞0,∴原方程有两个不相等实数根；
（3）原方程可化为3x2-x-2=0,∴a=3,b=- ,c=-2,∴Δ=b2-4ac=(-)2-4×3×(-2)=2+24=26＞0.∴原方程有两个不相等的实数根.
例2用公式法解下列方程：
(1)x2-4x-7=0; (2)2x2-2x+1=0; (3)5x2-3x=x+1; (4)x2+17=8x
分析：将方程化为一般形式后，找出a、b、c的值并计算b2-4ac后，可利用公式求出方程的解.
【教学说明】以上两例均可让学生自主完成，同时选派同学上黑板演算.教师巡视，针对学生的困惑及时予以指导，最后共同评析黑板上作业，一方面引导学生关注其解答是否正确，同时还应注意其解答格式是否规范，查漏补缺，深化理解.教师接着引导学生阅读第12页有关引言中问题的解答，向学生提问：（1）什么情况下根的取值为正数？（2）列方程解决实际问题在取值时应注意什么？
四、运用新知，深化理解
1.关于x的方程x2-2x+m=0有两个实数根，则m的取值范围是 .
2.如果关于x的一元二次方程k2x2-（2k+1）x+1=0有两个不相等实数根，那么k的取值范围是（ ）
A.k＞-
B.k＞-且k≠0
C.k＜-
D.k≥-且k≠0
3.方程x2+4x+6=0的根是（ ）
A.x1=，x2=
B.x1=6, x2=
C.x1=2, x2=
D.x1=x2=-
4.关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一个根为0，试求m的值.
（注：5~6题为教材第12页练习）
5.解下列方程：
（1）x2+x-6=0; （2）x2-x-14=0; （3）3x2-6x-2=0;
（4）4x2-6x=0; （5）x2+4x+8=4x+11; （6）x(2x-4)=5-8x.
6.求第21.1节中问题1的答案.
【教学说明】通过练习可进一步理解和掌握本节知识，在学中练、练中学的活动中得到巩固和提高.
【答案】1.m≤1
2.B
3.D
4.把x=0代入方程，得m2+2m-3=0,解得m1=1,m2=-3,又∵m-1≠0，即m≠1,故m的值为-3.
5~6略
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看.
【教学说明】在学生回顾与反思本节课的学习过程中，进一步完善认知，师生共同归纳总结.
1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.
2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.
1.本课容量较大，难度较大，计算的要求较高，因此在教学设计各环节均围绕着利用公式法解一元二次方程这一重点内容展开，问题设计，课堂学习有利于学生强化运算能力，掌握基本技能，也有利于教师发现教学中存在的问题.
2.在教学设计中，引导学生自主探索一元二次方程的求根公式，在师生讨论中发现求根公式，并学会利用公式解一元二次方程.
3.整个课堂都以学生动手训练为主，让学生积极介入探索活动，体验到成功的喜悦.
4.公式法是在配方法的基础上推出的一种解一元二次方程的基本方法，它使解一元二次方程更加简便，在公式的运用中，涉及到根的判别式，使公式法解一元二次方程得到延续和深化.
21.2.3 因式分解法
1.会用因式分解法（提公因式法、运用公式）解一元二次方程.
2.能根据方程的具体特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.
3.在经历探索用因式分解法解一元二次方程及依据方程特征选择恰当方法解一元二次方程的过程中,进一步锻炼学生的观察能力，分析能力和解决问题能力.
4.通过因式分解法解一元二次方程的探究活动，培养学生勇于探索的良好习惯，感受数学的严谨性及教学方法的多样性.
【教学重点】
会用因式分解法解一元二次方程.
【教学难点】
理解并应用因式分解法解一元二次方程.
一、情境导入，初步认识
问题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度（单位：m）为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.01s）
想一想 你能根据题意列出方程吗？你能想出解此方程的简捷方法吗？
【教学说明】让学生通过具体问题寻求解决问题的方法，激发学生求知欲望，引入新课.
二、思考探究，获取新知
学生通过讨论，交流得出方程为10x-4.9x2=0.
在学生用配方法或公式法求出上述方程的解后，教师引导学生尝试找出其简捷解法为：
x(10-4.9x)=0. ∴x=0或10-4.9x=0, ∴x1=0,x2=≈2.04.
从而可知物体被抛出约2.04s后落回到地面.
想一想 以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次方程的?
通过学生的讨论、交流可归纳为：
当方程的一边为0，而另一边可以分解成两个一次因式的乘积时，利用a·b=0，则a=0或b=0，把一元二次方程变为两个一元一次方程，从而求出方程的解.这种解法称为因式分解法.
【教学说明】让学生自主探索，进行归纳总结，既锻炼学生的分析问题，解决问题能力，又能培养总结化归能力，并从中体验转化、降次的思想方法.
三、典例精析，掌握新知
例1 解下列方程：
（1）x(x-2)+x-2=0; (2)5x2-2x-=x2-2x+.
解：（1）因式分解，得(x-2)(x+1)=0.故有x-2=0或x+1=0.∴x1=2,x2=-1;
（2）原方程整理为4x2-1=0.因式分解，得(2x+1)(2x-1)=0.∴2x+1=0或2x-1=0.∴x1=-,x2=.
想一想 以上两个方程可以用配方法或公式法来解决吗？如果可以，请比较它们与因式分解法的优缺点.
例2 用适当的方法解下列方程：
(1)3x2+x-1=0; (2)2(x-3)2=12;
(3)(3x-2)2=4(3-x)2; (4)(x-1)(x+2)=-2.
分析:根据方程的结构特征，灵活选择恰当的方法来求解.
【教学说明】以上两例均应先让学生自主完成，最后共同评析，达到深化理解本节知识的目的.教学时，可选派学生代表上黑板完成.对于学生的解法只要合理就应给予肯定，若有更简捷解法时再予以说明.
思考请你谈谈解一元二次方程的几种方法的特点，与同伴交流.
【归纳结论】1.配方法要先配方，再降次；公式法可直接套用公式；因式分解法要先使方程的一边为0，而另一边能用提公因式法或公式法分解因式，从而将一元二次方程化为两个一次因式的积为0，达到降次目的，从而解出方程；
2.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，而因式分解法则只适用于某些一元二次方程，不是所有的一元二次方程都适用因式分解法来求解.
四、运用新知，深化理解
1.用因式分解法解方程，下列方程中正确的是（ ）
A.（2x-2）(3x-4)=0,∴2x-2=0或3x-4=0
B.(x+3)(x-1)=1,∴x+3=0或x-1=1
C.（x+2）(x-3)=6,∴x+2=3或x-3=2
D.x(x+2)=0,∴x+2=0
2.当x= 时，代数式x2-3x的值是-2.
3.已知y=x2+x-6,当x= 时，y的值等于0.当x= 时,y的值等于24.
（注：4~5题为教材第14页练习）
4.解下列方程：
（1）x2+x=0; （2）x2-2x=0;
（3）3x2-6x=-3; （4）4x2-121=0;
（5）3x(2x+1)=4x+2; （6）(x-4)2=(5-2x)2.
5.如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍.求小圆形场地的半径.
【教学说明】针对所设置的作业，可因不同的学生分层次布置作业，让每个学生都能参与数学的学习，激发学习热情.
【答案】1.A 2.1或2 3.2或-35或-6 4~5略.
五、师生互动，课堂小结
1.用因式分解法解一元二次方程有哪些优缺点？需注意哪些细节问题？
2.通过本节课的学习，你还有哪些收获和体会?
【教学说明】
设计两个问题引导学生回顾本课知识的学习过程，反思学习过程中的疑惑，查漏补缺，完善认知.
1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.
2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.
1.本节课围绕利用因式分解法解一元二次方程这一重点内容，教师通过问题情境以及学生的合作交流，使学生的问题凸现出来，让学生迅速掌握解题技能，并探讨出解题的一般步骤，使学生知道因式分解法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，提高解题速度.
2.学生已经学过多项式的因式分解，所以对本课内容并不陌生，通过本课学习，让学生更能领会因式分解在数学领域的广泛应用.
3.本节课有大量的基础计算问题，也有符合不同学生层次的问题，力争让所有学生学有所得，提高课堂效率.
4.解一元二次方程是本章教学的重中之重，如何正确选择用不同方法解一元二次方程是关键，本节课中的计算题有一题多解问题，体现了选择“最优化”解方程方法的问题.
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
1.掌握一元二次方程根与系数的关系；
2.能运用根与系数的关系解决具体问题.
3.经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程,体验观察→发现→猜想→验证的思维转化过程，培养学生分析问题和解决问题的能力.
3.通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，理解事物间相互联系、相互制约的辩证唯物主义观点，掌握由“特殊——一般——特殊”的数学思想方法，培养学生勇于探索的精神.
【教学重点】
一元二次方程根与系数的关系及其应用.
【教学难点】
探索一元二次方程根与系数的关系.
一、情境导入，初步认识
问题 请完成下面的表格
观察表格中的结果，你有什么发现？
【教学说明】通过对具体问题的思考，可以找出x1+x2和x1·x2与方程的系数之间的关系，引入新课.
二、思考探究，获取新知
通过对问题情境的讨论，可以发现方程的两根之和和两根之积与它们的系数之间存在一定的联系，请运用你发现的规律填空:
(1)已知方程x2-4x-7=0的根为x1,x2，则x1+x2= , x1·x2= ;
(2)已知方程x2+3x-5=0的两根为x1,x2，则x1+x2= , x1·x2= .
答案：（1）4，-7；（2）-3，-5.
思考1（1）如果方程x2+mx+n=0的两根为x1,x2，你能说说x1+x2和x1·x2的值吗？
（2）如果方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,你知道x1+x2和x1·x2与方程系数之间的关系吗？说说你的理由.
【教学说明】设置上述思考的两个问题，目的在于引导学生在感性认识的基础上进行理性思考，从而理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系.教学时，应给予充足的思考交流时间，让学生自主探究结论.最后师生共同进行探究，完善认知.具体推导过程可参见教材.
【归纳结论】根与系数的关系（韦达定理）：
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两实数根x1,x2，则x1+x2=- ,x1·x2= .这表明两根之和为一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.
思考2 在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式Δ=b2-4ac≥0呢？为什么？
【教学说明】设置思考2的目的在于让学生明白用根与系数关系解题的前提条件是Δ≥0，否则方程就没有实数根，自然不存在x1,x2，防止学生片面理解而导致失误.教学时可结合具体问题引起学生注意.
三、典例精析，掌握新知
例1见教材16页例4.
分析：对于方程（3），应化为一般形式后，再利用根与系数的关系来求解.
【试一试】教材第16页练习.
例2 已知方程x2-x+c=0的一根为3,求方程的另一根及c的值.
分析：设方程的另一根为x1，可通过求两根之和求出x1的值；再用两根之积求c，也可将x=3代入方程求出c值.再利用根与系数关系求x1值.
解：设方程另一根为x1，由x1+3=1,∴x1=-2.又x1·3=-2×3=c,∴c=-6.
例3已知方程x2-5x-7=0的两根分别为x1,x2，求下列式子的值：
（1）x12+x22; （2） .
分析：将所求代数式分别化为只含有x1+x2和x1·x2的式子后，用根与系数的关系，可求其值.
解:∵方程x2-5x-7=0的两根为x1,x2,∴x1+x2=5,x1·x2=-7.
(1)x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=52-2×(-7)=25+14=39;
(2) =
【教学说明】例1是根与系数关系的直接应用问题，学生能够自主完成，对于课本的练习老师可让学生稍作思考后解答；例2侧重于逆用根与系数关系，应注意引导学生进行正确思考；而例3侧重于利用根与系数的关系，进行代数式求值，这里将代数式转化为只含有x1+x2及x1·x2的式子是解决问题的关键，应引导学生关注这类变形方法.教学过程中仍应让学生先自主探究，独立完成，最后教师再予以评讲，让学生理解并掌握根与系数的关系；对于学生在探索过程中的成绩和问题也给予评析，进行反思.
例4已知x1，x2是方程x2-6x+k=0的两个实数根，且x12·x22-x1-x2=115，
（1）求k的取值；（2）求x12+x22-8的值.
分析：将x1+x2=6，x1·x2=k，代入x12·x22-x1-x2=115可求出k值.此时需用Δ=b2-4ac来判断k的取值，这是本例的关键.
解：（1）由题意有x1+x2=6,x1·x2=k.∴x12·x22-x1-x2=(x1·x2)2-(x1+x2)=k2-6=115,∴k=11或k=-11.又∵方程x2-6x+k=0有实数解，∴Δ=(-6)2-4k≥0,∴k≤9.∴k=11不合题意应舍去，故k的值为-11;
(2)由(1)知，x1+x2=6,x1·x2=-11,
∴x12+x22-8=(x1+x2)2-2x1x2-8=36+22-8=50.
【教学说明】设置本例的目的在于引导学生正确认识根与系数的关系和根的判别式之间的不可分割的特征.教学时应予以强调.
四、运用新知，深化理解
1.若x1,x2是方程x2+x-1=0的两个实数根，则x1+x2= ,x1·x2= ;
2.已知x=1是方程x2+mx-3=0的一个根，则另一个根为，m= ;
3.若方程x2+ax+b=0的两根分别为2和-3，则a= ,b=;
4.已知a,b是方程x2-3x-1=0的两根，求ba+ab的值.
【教学说明】设计这4个小题的目的在于让学生尽快掌握一元二次方程的根与系数的关系，前3个题，较为简单，可让学生自主完成，最后一个稍微有一点难度，只需将 + 化简即可.
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习你有哪些收获和体会？有哪些地方需要特别注意的?谈谈你的看法.
【教学说明】让学生通过回顾与反思加深对知识的领悟，畅所欲言，共同提高.
1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.
2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.
1.从熟知的解法解一元二次方程的过程中探索根与系数的关系，并发现可用系数表示的求根公式来证明这个关系，再通过问题探讨帮助学生运用这个关系解决问题，注重了知识产生、发展和出现的过程，注重了知识的应用.
2.教学过程贯穿以旧引新，从具体到抽象，从特殊到一般，从简单到复杂，从猜想到论证，使学生在体验知识发生、发展和应用的过程中理解和掌握推理的数学思想与化归思想.
3.教材把本节作为了解的内容，但本节知识在中考试题填空题、选择题、解答题中均有出现，为了让学生能适应平时的试题，把本节内容进行了一定的延伸，同时也可以激发同学们学习的兴趣.
21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 实际问题与一元二次方程（1）
1.会根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，能根据问题中的实际意义，检验所得结果的合理性.
2.经过“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程中，进一步锻炼学生的分析问题，解决问题的能力.
3.通过建立一元二次方程解决实际问题，体验数学的应用价值，增强学习数学的兴趣.
【教学重点】
构建一元二次方程解决实际问题.
【教学难点】
会用代数式表示问题中的数量关系，能根据问题的实际意义，检验所得结果的合理性.
一、情境导入，初步认识
问题在上一节的习题21.2中，我们遇见过一些用列方程来求解的实际应用问题，你能说说列方程解应用问题的步骤是怎样的？
学生在相互讨论交流中可得出结论为：①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤答.
【教学说明】让学生在回顾解实际问题过程中的思路方法，为进一步学习新的问题作好铺垫，导入新课.
二、思考探究，获取新知
探究1 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均1个人传染了几个人？
【教学说明】教师展示出问题后，先让学生仔细分析题意，尝试着寻求解决问题的方法.为了让学生更好地理解题意，不妨设置如下几个问题：（1）若设平均每轮传染中一个人可传染x个人，则第一轮传染后共有 人患了流感；
（2）第二轮传染后，被传染的人数为 人，故第二轮传染后共 人患了流感.
最后师生共同完成解答过程：
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染后共有（1+x）人患了流感，第二轮传染后共［1+x+(1+x)·x］人患流感，依题意可列方程为
1+x+(1+x)·x=121
方程可整理为(1+x)(1+x)=121,即(1+x)2=121.∴x1=10,x2=-12(不合题意，应舍去)，
故平均一个人传染了10个人.
想一想（1）照上述传染速度，三轮传染后患流感的人数共有多少人？
（2）通过对上述问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系，有新认识吗？
【教学说明】（1）的问题学生可通过前面的分析获得结论，进一步加深对传播问题中数量关系的理解和认识；（2）中问题应让学生相互交流，总结规律.
探究2两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本为6000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本为3000元，生产1t乙种药品的成本为3600元.哪种药品成本的年平均下降率较大？
思考（1）甲种药品成本的年平均下降额与乙种药品的年平均下降额分别是多少？它与年平均下降率是否是一回事？
（2）若设甲种药品的年平均下降率为x，则第一年后的成本为 元，第二年后的成本为 元，你能列出相应的方程并求出问题的解吗？对于乙种药品呢？
【教学说明】思考（1）旨在让学生感受成本下降问题中，成本下降额和成本下降率这两个接近而不同的概念，前者表示绝对变化量，单位是元，后者表示相对变化量，是表示比率的数字，从而全面比较对象的变化状况；思考（2）则进一步让学生感受到两个时间段的平均变化率，如经济增长率、人口增长率等，设平均变化率为x，则有变化前数量×(1+x)2=两年后的数量，由此可得到一元二次方程的数学模型，并确定方程和问题的解，教学过程中，教师应引导学生积极思考，寻求出实际问题中所蕴含的等量关系，让学生体会到寻找等量关系是解决问题的关键，最后师生共同完成解答过程.
三、典例精析，掌握新知
例1某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支？
解：设每个支干长出x个小分支，由题意可列方程为
1+x+x2=91,解得x1=9,x2=-10(不合题意，应舍去),即每个支干长出9个小分支.
例2某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.98%，平均每次降息的百分率是多少？
解：设平均每次降息的百分率为a%，依题意可列方程为：
2.25%（1-a%）2=1.98%
解得a1≈6.19,a2≈193.81(不合题意，应舍去).
即平均每次降息的百分率约为6.19%.
【教学说明】让学生独立思考，自主探究，找出题目中的等量关系，并能构建合适的一元二次方程来解决问题，加深对知识的领悟，其中例2可借助计算器来帮助解决问题.教学时，教师在学生探究期间应巡视全场，帮助困难学生找出解决问题的思路方法，最后给出完整解答过程，培养学生良好的解题习惯.
四、运用新知，深化理解
1.一台电视机的成本价为a元，原销售价比成本价增加25%，因库存积压，两次降价处理，若每次降价的百分率为x%，则最后销售价应为 .
2.某养鸡场一只患禽流感的小鸡经过两天的传染后，使养鸡场共有169只小鸡感染禽流感，那么在每一天的传染中平均一只小鸡传染了几只小鸡？
3.某校坚持对学生进行近视眼的防治，近视眼人数逐年减少.据统计，2023年和2022年的近视眼人数只占2021年人数的75%，这两年平均每年近视眼人数下降的百分率是多少?
【教学说明】
设置这几道题有利于学生进一步掌握一元二次方程应用题的解法，题目稍难，老师应巡视给予指导，然后共同完成.
【答案】1.（1+25%）a·(1-x%)2元
2.设每一天的传染中平均一只小鸡传染了x只小鸡，由题意，得（1+x）+(1+x)·x=169，解得x1=12,x2=-14(不合题意，舍去)，故每一天平均一只小鸡传染了12只小鸡.
3.设平均每年的近视眼人数下降的百分率为x，2021年的近视眼人数为a人，由题意有（1-x）a+(1-x)2·a=75%a，解得x1=0.5,x2=2.5，显然x=2.5不合题意，应舍去，即平均每年近视眼人数下降的百分率为50%.
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，你对传播类和增长率（下降率）的应用问题的处理有哪些体会和收获？谈谈你的看法.
【教学说明】教师可向学生提问，以进一步巩固列方程解应用题的方法和解题步骤，为后续学习作好铺垫.
1.布置作业：从教材“习题21.3”中选取.
2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.
1.教师引导学生熟悉列一元二次方程解应用题的步骤，创设问题推导出列一元二次方程解应用题的步骤，有利于学生熟练掌握用一元二次方程解应用题的步骤.
2.传播类和增长率问题是一元二次方程中的重点问题，本设计问题中反映出不同的“传播”和增长率，有利于学生更好地掌握这一问题.
第2课时 实际问题与一元二次方程（2）
1.继续探索实际问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型；
2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.
3.经历将实际问题抽象为数学问题的过程，体验解决问题策略的多样性，发展数学应用意识.
4.通过构建一元二次方程解决身边的问题，体会数学的应用价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.
【教学重点】
列一元二次方程解决应用问题.
【教学难点】
寻找问题中的等量关系.
一、情境导入，初步认识
问题1 通过上节课的学习，请谈谈列方程解应用题的一般步骤是怎样的？关键是什么?
问题2 现有长19cm，宽为15cm长方形硬纸片，将它的四角各剪去一个同样大小的正方形后，再折成一个无盖的长方形纸盒，要使纸盒的底面积为77cm2，问剪去的小正方形的边长应是多少？你能解决这一问题吗？不妨试试看.
【教学说明】问题1的目的是引导学生回顾前面学过的知识，为本节课的学习作好铺垫；问题2则过渡到本节要处理的问题中来，使学生初步感受到一元二次方程也是解决几何问题的重要手段之一，引入新课.
二、思考探究，获取新知
探究教材20页探究3.
【教学说明】让学生自主探究，相互交流，尝试寻求解决问题的方法.为了帮助学生更好地理解题意，可设置如下几个问题：（1）中央长方形的长与宽的比是多少呢？（2）如果设出中央长方形的长的话，你能求出左、右边衬的宽吗？上、下边衬的宽呢？（3）问题中的等量关系是什么？由此你能得到怎样的方程？（4）如果将问题中的等量关系（四周彩色边衬所占面积是整个长方形面积的四分之一）转化为中央长方形面积与整个长方形面积之间的关系时，结论如何？由此你又能列出怎样的方程呢？然后教师在巡视过程中，关注学生的解题方法，选取有代表性的依据不同方式而获得结论的学生上黑板展示他们的解答过程，共同分析，提高认知.
三、典例精析，掌握新知
例1 有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面上，如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的长度相同，试求这块台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）
分析：设四周垂下的宽度为x尺时，可知台布的长为(2x+6)尺，宽为（2x+3）尺，利用台布的面积是桌面面积的2倍构建方程可获得结论.
解：设四周垂下的宽度为x尺时，依题意可列方程为（6+2x）(3+2x)=2×6×3.整理方程，得2x2+9x-9=0.解得x1≈0.84,x2≈-5.3(不合题意，舍去).即这块台布的长约为7.7尺，宽约为4.7尺.
例2 如右图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m.
（1）若所围的面积为150m2，试求此长方形鸡场的长和宽；
（2）如果墙长为18m，则(1)中长方形鸡场的长和宽分别是多少？
（3）能围成面积为160m2的长方形鸡场吗？说说你的理由.
分析:如图,若设BC=xm，则AB的长为m,若设AB=xm,则BC=(35-2x)m,再利用题设中的等量关系，可求出（1）的解；在（2）中墙长a=18m意味着BC边长应小于或等于18m,从而对（1）的结论进行甄别即可；（3）中可借助（1）的解题思路构建方程，依据方程的根的情况可得到结论.
解:(1)设BC=xm,则AB=CD=，依题意可列方程为x·=150,
解这个方程，得x1=20,x2=15.
当BC=x=20m时，AB=CD=7.5m，当BC=15m时，AB=CD=10m.即这个长方形鸡场的长与宽分别为20m和7.5m或15m和10m;
(2)当墙长为18m时，显然BC=20m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽只能是15m和10m;
(3)不能围成面积为160m2的长方形鸡场，理由如下：设BC=xm,由（1）知AB=m,从而有x·=160,方程整理为x2-35x+320=0.此时Δ=352-4×1×320=1225-1280＜0,原方程没有实数根，从而知用35m的篱笆按图示方式不可能围成面积为160m2的鸡场.
【教学说明】以上两例均应先让学生独立思考，探索出问题的解.教师在学生自主探究过程中，应关注学生是否能正确理解题意，如何设未知数并构建方程，是否能根据问题的实际意义检验结果的合理性等，及时帮助学生克服困难，掌握列方程解决实际问题的方法.最后师生共同给出答案.让学生进一步加深理解，在反思中获取新知.
四、运用新知，深化理解
1.直角三角形的两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长为（ ）
A. B.5 C. D.7
2.从正方形铁皮的一边切去一个2cm宽的长方形，若余下的长方形的面积为48cm2，则原来正方形的铁皮的面积为 .
3.如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，地毯中间的矩形图案的长为6m，宽为3m，若整个地毯的面积为40m2，求花边的宽.
4.某种服装进价每件60元，据市场调查，这种服装按80元销售时，每月可卖出400件，若销售价每涨价1元，就要少卖出5件，如果服装店预计在销售这种服装时每月获利12000元，那么这种服装的销售价定为多少时，可使顾客更实惠?
【教学说明】让学生学以致用，巩固新知.
【答案】1.B 2.64cm2
3.设花边的宽为xm，依题意有（6+2x）(3+2x)=40，解得x1=1,x2=-11/2(不合题意应舍去)，即花边的宽度为1m.
4.设销售价提高了x个1元，则每月应少卖出5x件.依题意可列方程为（80+x-60）×(400-5x)=12000.解这个方程，得x1=20,x2=40.显然，当x=40时，销售价为120元，当x=20时，销售价为100元，要使顾客得到实惠，则销售价越低越好，故这种服装的销售价应定为100元合适.
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，谈谈你对列一元二次方程解决实际问题的体会和收获？你认为有哪些地方需要特别注意？
【教学说明】让学生回顾整理本节知识，反思学习过程的体会，加深理解.
1.布置作业：从教材“习题21.3”中选取.
2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.
1.面积问题的设置,力求以点带面,了解列一元二次方程的步骤并能解答简单的应用题，训练题是对前面问题的延伸，使学生灵活运用解题的能力有很大的提高，对学生思维能力的拓展、发散有很大的帮助.
2.列一元二次方程解应用题是让数学来源于生活，是对一元二次方程解法的延伸，同时又是一元二次方程或二元一次方程组解应用题步骤的总结和内容的升华，列一元二次方程解应用题是下章中学习二次函数解决问题的基础.
第3课时 实际问题与一元二次方程（3）
1.探索以几何图形为背景的应用题，找出其中的等量关系，建立一元二次方程，体会数学模型在解决现实生活问题中的作用.
2.能根据实际问题的意义检验结果的合理性.
3.经历数学建模建立一元二次方程的过程，锻炼学生分析问题，解决问题的能力.
4.通过建立一元二次方程解决实际生活问题，感受数学在生活中的实用性，提高学生学习数学的积极性，体会数学给人类生活带来的促进作用.
【教学重点】
列一元二次方程解决实际应用问题.
【教学难点】
寻找问题中的等量关系.
一、情境导入，初步认识
问题现有长19cm，宽为15cm长方形硬纸片，将它的四角各剪去一个同样大小的正方形后，再折成一个无盖的长方形纸盒，要使纸盒的底面积为77cm2，问剪去的小正方形的边长应是多少？你能解决这一问题吗？不妨试试看.
【教学说明】通过问题引入本节要处理的问题，使学生初步感受到一元二次方程也是解决几何问题的重要手段之一，引入新课.
二、思考探究，获取新知
探究教材20页探究3.
【教学说明】让学生自主探究，相互交流，尝试寻求解决问题的方法.为了帮助学生更好地理解题意，可设置如下几个问题：（1）中央长方形的长与宽的比是多少呢？（2）如果设出中央长方形的长的话，你能求出左、右边衬的宽吗？上、下边衬的宽呢？（3）问题中的等量关系是什么？由此你能得到怎样的方程？（4）如果将问题中的等量关系（四周彩色边衬所占面积是整个长方形面积的四分之一）转化为中央长方形面积与整个长方形面积之间的关系时，结论如何？由此你又能列出怎样的方程呢？然后教师在巡视过程中，关注学生的解题方法，选取有代表性的依据不同方式而获得结论的学生上黑板展示他们的解答过程，共同分析，提高认知.
三、典例精析，掌握新知
例1有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面上，如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的长度相同，试求这块台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）
分析：设四周垂下的宽度为x尺时，可知台布的长为(2x+6)尺，宽为（2x+3）尺，利用台布的面积是桌面面积的2倍构建方程可获得结论.
解：设四周垂下的宽度为x尺时，依题意可列方程为（6+2x）(3+2x)=2×6×3.整理方程，得2x2+9x-9=0.解得x1≈0.84,x2≈-5.3(不合题意，舍去).即这块台布的长约为7.7尺，宽约为4.7尺.
例2如右图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m.
（1）若所围的面积为150m2，试求此长方形鸡场的长和宽；
（2）如果墙长为18m，则(1)中长方形鸡场的长和宽分别是多少？
（3）能围成面积为160m2的长方形鸡场吗？说说你的理由.
分析:如图,若设BC=xm，则AB的长为m,若设AB=xm,则BC=(35-2x)m,再利用题设中的等量关系，可求出（1）的解；在（2）中墙长a=18m意味着BC边长应小于或等于18m,从而对（1）的结论进行甄别即可；（3）中可借助（1）的解题思路构建方程，依据方程的根的情况可得到结论.
解:(1)设BC=xm,则AB=CD=，依题意可列方程为x·=150,
解这个方程，得x1=20,x2=15.
当BC=x=20m时，AB=CD=7.5m，当BC=15m时，AB=CD=10m.即这个长方形鸡场的长与宽分别为20m和7.5m或15m和10m;
(2)当墙长为18m时，显然BC=20m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽只能是15m和10m;
(3)不能围成面积为160m2的长方形鸡场，理由如下：设BC=xm,由（1）知AB=m,从而有x·=160,方程整理为x2-35x+320=0.此时Δ=352-4×1×320=1225-1280＜0,原方程没有实数根，从而知用35m的篱笆按图示方式不可能围成面积为160m2的鸡场.
【教学说明】以上两例均应先让学生独立思考，探索出问题的解.教师在学生自主探究过程中，应关注学生是否能正确理解题意，如何设未知数并构建方程，是否能根据问题的实际意义检验结果的合理性等，及时帮助学生克服困难，掌握列方程解决实际问题的方法.最后师生共同给出答案.让学生进一步加深理解，在反思中获取新知.
四、运用新知，深化理解
1.直角三角形的两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长为（ ）
A. B.5
C. D.7
2.从正方形铁皮的一边切去一个2cm宽的长方形，若余下的长方形的面积为48cm2，则原来正方形的铁皮的面积为_____.
3.如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，地毯中间的矩形图案的长为6m，宽为3m，若整个地毯的面积为40m2，求花边的宽.
4.如图，在△ABC中，∠B=90°,点P从点A开始，沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果点P，Q分别从点A,B同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于8cm2？
【教学说明】让学生学以致用，巩固新知.
【答案】1.B 2.64cm2
3.解：设花边的宽为xm，依题意有（6+2x）(3+2x)=40，解得x1=1,x2=-1/12(不合题意应舍去)，即花边的宽度为1m.
4.解：设要经过x秒钟，则1/2（6-x）·2x=8.整理得x2-6x+8=0,解得x1=2,x2=4,∴经过2秒或4秒，△PBQ的面积为8cm2.
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，谈谈你对列一元二次方程解决实际问题的体会和收获？你认为有哪些地方需要特别注意？
【教学说明】让学生回顾整理本节知识，反思学习过程的体会，加深理解.
1.布置作业：从教材“习题21.3”中选取.
2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.
1.面积问题的设置,力求以点带面,了解列一元二次方程的步骤并能解答简单的应用题，训练题是对前面问题的延伸，使学生灵活运用解题的能力有很大的提高，对学生思维能力的拓展、发散有很大的帮助.
2.列一元二次方程解应用题是让数学来源于生活，是对一元二次方程解法的延伸，同时又是一元二次方程或二元一次方程组解应用题步骤的总结和内容的升华，列一元二次方程解应用题是下章中学习二次函数解决问题的基础.
本章热点专题训练
1.进一步加深对一元二次方程及其解的理解，能选择恰当的方法解一元二次方程，掌握用一元二次方程解决实际问题的思路方法，加强对应用问题的分析和解决能力.
2.经历分析问题和解决问题的过程，拓展对一元二次方程的认识.
3.进一步提高在实际问题中运用方程思想解决问题的能力，增强数学应用的兴趣和意识，感悟解一元二次方程的策略的多样性和合理性，培养开拓创新精神.
【教学重点】
理解并掌握一元二次方程的解法、根与系数关系和根的判别式，加强构建一元二次方程解决应用问题的能力.
【教学难点】
综合运用一元二次方程定义、根的判别式及根与系数关系解决具体问题.
一、释疑解惑，加深理解
1.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，且a≠0),这里二次项系数a≠0是必要条件，而这一点往往在解题过程中易忽视，而致结论出错.
思考 若关于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0有一根为0，则常数m的值为.（参考答案：m=2）
2.一元二次方程的解法有：开平方法、配方法、公式法和因式分解法.对于具体的方程，一定要认真观察，分析方程特征，选择恰当的方法予以求解.无论选择哪种方法来解方程，降次思想是它的基本思想.
3.根的判别式及根与系数的关系：（1）根的判别式Δ=b2-4ac与0的大小关系可直接确定方程的根的情况，当Δ=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根.当Δ=b2-4ac＜0时方程没有实数根.（2）根与系数的关系：若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1,x2，则x1+x2=-,x1·x2=.（3）利用根与系数的关系确定方程的待定字母系数时，千万应注意验证Δ=b2-4ac是否大于等于0，否则所求出的值就不合题意应舍去，这点应引起学生高度重视.
4.列一元二次方程解实际应用问题是数学应用的具体体现，如解决传播类问题、增长率类问题、利润问题及几何图形的计算问题等，而解决这些实际问题的关键是弄清题意，找出其中的等量关系，恰当设未知数，建立方程并予以求解.需注意的是，应根据问题的实际意义检验结果是否合理.
【教学说明】在对上述知识的回顾过程中，既可师生根据教材的主要知识点进行剖析，也可由教师设置问题，让学生思考后进行总结交流，从而整体上加强对本章知识的理解，同时，对易错点给予强调，引起学生注意.
三、典例精析，复习新知
例1已知关于x的方程（m+n-1）x(m+n)2+1-(m+n)x+mn=0是一元二次方程，则m+n的值为 .
分析：由题意应有(m+n)2+1=2,故(m+n)2=1,∴m+n=±1,又因为一元二次方程的二次项系数m+n-1≠0，∴m+n≠1,从而可知m+n=-1.
例2已知a是方程x2-2014x+1=0的一个根，求代数式a2-2013a+的值.
解：根据方程根的定义有a2-2014a+1=0,从而a2-2013a=a-1.a2+1=2014a,故原式=a-1+= = =2013.
在评讲本例时，要防止少数学生利用求根公式求出a的值再代入计算的做法，解释这种解法的弊端，并引导学生学会用整体代入思想解题的方法和技巧.
例3已知关于x的方程x2-2（m+1）x+m2=0有两个实数根，试求m的最小整数值.
解：由题意有Δ=［-2(m+1)］2-4×1×m2=8m+4≥0，∴m≥-1/2,故m的最小整数值为0.
例4某零售商购进一批单价为16元的玩具，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格，经试验发现，若按每件20元销售时，每月可销售360件；若按每件25元销售时，每月能卖出210件，假定每月销售件数y（件）是价格x的一次函数.
（1）试求y与x之间的关系式；
（2）当销售价定为多少时，每月获得1800元利润？
（3）每月的利润能达到2000元吗？为什么？
解：在（1）中，设y=kx+b，把(20,360),(25,210)代入，可得y=-30x+960(16≤x≤32);在（2）中，设获利为w(元)，则w=(x-16)(-30x+960),当w=1800时，有（x-16）(-30x+960)=1800，解得x1=22,x2=26,故销售价定为22元或26元时，每月可获得1800元利润；在（3）中，令（x-16)(-30x+960)=2000,整理，得3x2-144x+1736=0,此时Δ=b2-4ac=（-144）2-4×3×1736=-96＜0，原方程无解，即每月利润不可能为2000元.
【教学说明】在具体教学时，教师可根据自己的设想设置例题，对所选例题的处理仍应先让学生自主探究，尝试着独立完成，让学生边回顾边思考，加深对本章知识的掌握.
四、复习训练，巩固提高
1.若方程(m2-2)x2-1=0有一根为1，则m的值是多少？
2.若方程3x2-5x-2=0有一根为a，则6a2-10a的值是多少？
3.已知关于x的方程(a-2)x2-2(a-1)x+(a+1)=0，a为何非负整数时，（1）方程只有一个实数根？（2）方程有两个相等实数根？（3）方程有两个不等实数根？
4.百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“六·一”国际儿童节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天可多售出2件.要想平均每天销售这种童装盈利1200元，在对顾客利益最大基础上，那么每件童装应降价多少元？
【教学说明】这4个小题的设置旨在帮助学生复习知识，其中第1、2题较简单，由学生自主完成，第3、4题可由师生共同完成.
【答案】1.m=± 2.4 3.(1)a=2;(2)a=3;(3)a=0或a=1
4.每件降价20元.
五、师生互动，课堂小结
通过这节课学习，对本章的知识你有哪些新的认识？有何体会？
【教学说明】师生共同进行小结反思，让学生进一步加深对本章知识的理解和领悟，积累解题方法和经验，完善知识体系.
1.布置作业：从教材“复习题21”中选取.
2.完成本课的热点专题训练.
1.本节课为复习课，所以首先要让学生了解本章的知识体系，该掌握哪些知识点，所以教学的展开都以问题的解决为中心，使教学过程成为在老师指导下学生的一种自主探索的学习活动过程，在探索中体现数学思想方法的渗透、应用，巩固知识内容.
2.本章的内容，关键是在经历和体验知识的形成与应用过程中，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，一元二次方程是初中阶段最重要的方程，它是解答数学问题的重要工具和方法，并且对学习函数，尤其是二次函数的综合问题起着决定性作用，它在中考试题中占有一定的比例.
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