数学九年级上册22.1.1 二次函数教学设计及反思

这是一份数学九年级上册22.1.1 二次函数教学设计及反思，共52页。教案主要包含了教学重点，教学难点，教学说明，归纳结论，设计说明，设计及教学说明，设计与教学说明等内容，欢迎下载使用。

第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数

1.能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.
3.通过具体问题情景中的二次函数关系了解二次函数的一般表述式，在类比一次函数、反比例函数表达式时感受二次函数中二次项系数a≠0的重要特征.
4.在探究二次函数的学习活动中，体会通过探究发现的乐趣.
【教学重点】
结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的有关概念.
【教学难点】
1.能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系；
2.重视二次函数y=ax2+bx+c中a≠0这一隐含条件.

一、情境导入，初步认识
问题1 如图所示是一个棱长为xcm的正方体，它的表面积为ycm2,则y与x之间的关系式可表示为 ，y是x的函数吗？

问题2 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队n有什么关系？这就是说，每个队要与其他 个球队各比赛一场，整个比赛场次数应为 ，这里m是n的函数吗？
问题3 某种产品现在的年产量为20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
二、思考探究，获取新知
全班同学合作交流，共同完成上面三个问题，教师全场巡视，发现问题可给予个别指导.在同学们基本完成情形下，教师再针对问题2，解释m=n(n-1)而不是m=n(n-1)的原因；针对问题3，可引导同学们先算出第二年产量为20(1+x)t，第三年产量为20(1+x)(1+x)t，得到y=20（1+x)2.
【教学说明】上述活动的目的在于引导同学们能通过具体问题情境建立二次函数关系式，体会二次函数是刻画实际生活中自变量与因变量的关系的重要模型之一.
思考函数y=6x2，m=n2-n,y=20x2+40x+20有哪些共同点？
【教学说明】在同学们相互交流、发言的过程中，教师应关注：（1）语言是否规范；（2）是否抓住共同点；（3）针对少数同学可能进一步探索出其不同点等问题应及时引导，让同学们在轻松快乐的环境中进入二次函数的学习.
【归纳结论】上述三个函数都是用自变量的二次式表示的，从而引出二次函数定义.一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，a、b、c分别是二次项系数，一次项系数和常数项.
【教学说明】
针对上述定义，教师应强调以下几个问题：（1）关于自变量x的二次式必须是二次整式，即可以是二次单项式、二次二项式和二次三项式；（2）二次项的系数a≠0是定义中不可缺少的条件，若a=0，则它是一次函数；（3）二次项和二次项系数不同，二次项指ax2,二次项系数则仅是指a的值；同样，一次项与一次项系数也不同.
教师在学生理解的情况下，引导学生做课本P29练习.
三、运用新知，深化理解
1.下列函数中，哪些是二次函数，哪些不是？若是二次函数，指出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）y=(x+2)(x-2);
(2)y=3x(2-x)+3x2;
(3)y=-2x+1;
(4)y=1-3x2.
2.若y=(m+1)xm2+1-2x+3是y关于x的二次函数，试确定m的值或取值范围.
3.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现：这种商品的销售量m(件）与每件商品的销售价x（元）满足一次函数关系m=162-2x，试写出商场销售这种商品的日销售利润y（元）与每件商品的销售价x（元)之间的函数关系式，y是x的二次函数吗？
4.如图，用同样规格的正方形白瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：

（1）在第n个图中，每一横行共有 块瓷砖，每一竖列共有 块瓷砖（均用含n的代数式表示）；
（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与（1）中的n的函数关系式（不要求写自变量n的取值范围）.
【教学说明】这个环节的教学自主性很强，可让同学们分小组完成，对优胜小组给予鼓励，培养学生团队精神，让部分学生分享成功的快乐，但对题2、3、4，教师应及时给予引导，鼓励学生大胆完成.
【答案】1.解：（1）y=(x+2)(x-2)=x2-4,该函数是二次函数，它的二次项系数为1，一次项系数是0，常数项是-4.
（2）y=3x(2-x)+3x2=6x,该函数不是二次函数.
（3）该函数不是二次函数.
（4）该函数是二次函数，它的二次项系数为-3，一次项系数为0，常数项为1.
2.解：∵是y关于x的二次函数.
∴m+1≠0且m2+1=2,
∴m≠-1且m2=1，
∴m=1.
3.解：由题意分析可知，该商品每件的利润为（x-30）元，则依题意可得：
y=(162-3x)(x-30)
即y=-3x2+252x-4860
由此可知y是x的二次函数.
4.解：（1）观察图示可知第1、2、3个图形中每一横行瓷砖分别为4，5，6，每一竖列瓷砖分别为3，4，5，由此推断在第n个图中，每一横行共有（n+3）块瓷砖，每一竖行共有（n+2）块瓷砖；
（2）y=(n+3)(n+2)即y=n2+5n+6.
四、师生互动，课堂小结
1.二次函数的定义；
2.熟记二次函数y=ax2+bx+c中a≠0,a、b、c为常数的条件.
【教学说明】本环节设置的目的在于让学生进一步认识二次函数的相关定义，教师可与学生一起回顾.

1.布置作业：教材习题22.1第1、2、7题；
2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.

本课时的内容涉及到初中第二个函数内容，由于前面有了学习一次函数的经验，因此教师教学时可在学生以往经验的基础上，创设丰富的现实情境，使学生初步感知二次函数的意义，进而能从具体事物中抽象出数学模型，并列出二次函数的解析式.
教学时应注重引导学生探究新知，在观察、分析后归纳、概括，注重学生的过程经历和体验，让学生领悟到现实生活中的数学问题，提高研究与应用能力.
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质

1.会用描点法画二次函数y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念；
2.掌握二次函数y=ax2的性质，能确定二次函数y=ax2的表达式.
3.通过画出简单的二次函数y=x2，y=-x2等探索出二次函数y=ax2的性质及图象特征.
4.使学生经历探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯.
【教学重点】
1.二次函数y=ax2的图象的画法及性质；
2.能确定二次函数y=ax2的解析式.
【教学难点】
1.用描点法画二次函数y=ax2的图象，探索其性质；
2.能依据二次函数y=ax2的有关性质解决问题.

一、情境导入，初步认识
问题1在八年级下册，我们学习的一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是什么形状呢？通常怎样画一个函数的图象？
【教学说明】通过对问题1的思考，可激发学生的求知欲望，想尝试运用列表法画出一个二次函数的图象.
问题2 你能画出二次函数y=x2的图象吗？
【教学说明】学生分组画y=x2的图象，教师巡视，对于不正确的给予指导，尤其应关注学生的列表和连线，然后给予讲评，提醒注意的问题，并让学生发表不同的意见，达成共识.
二、思考探究，获取新知
问题1你能说说二次函数y=x2的图象有哪些特征吗？不妨试试看，并与同伴交流.
【教学说明】教师应在学生的交流过程中，听取他们各自的看法，对于通过观察而归纳出的结论叙述较好的给予肯定，对不够完整的或叙述欠佳的学生给予鼓励，并予以诱导.在这一活动过程中，让学生们逐步积累对二次函数y=ax2的图象及其简单性质的感性认识.
问题2请在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并通过图象谈谈它们的特征及其差异.
y=x2与y=2x2.
【教学说明】在这一活动过程中，教师可将全班同学进行适当分组，分别完成两个图象的画图，并结合图象给予恰当的描述.教师巡视，适时点拨，最后在黑板上与全班同学一起进行归纳总结.
问题3（1）在同一直面坐标系中，画出函数y=-x2,y=-x2,y=-2x2的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点？（2）当a<0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？
【教学说明】教师在处理问题时可让学生画图后回答，可让学生从开口方向、最值、增减性三个方面作答，最后教师以课件方式展示结论.
【归纳结论】
1.二次函数y=ax2的图象是一条开口向上或向下的抛物线.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
2.二次函数y=ax2的图象及其性质，如下表所示：

3.二次函数y=ax2的开口大小与a的关系：
|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大.|a|值相同，开口形状相同.
【教学说明】针对师生共同完成的归纳总结，教师应着重强调两点：（1）a的符号决定着抛物线的开口方向，|a|的大小，影响抛物线的开口大小；（2）对于函数的增减性及最大（小）值，教师应引导学生通过图象进行分析，利用图象的直观性获得结论，切忌死记硬背，让同学感受到数形结合思想方法是函数问题中最重要的思想方法之一，增强他们的学习兴趣.
三、运用新知，深化理解
1.若抛物线y=ax2与y=4x2的形状及开口方向均相同，则a= .
2.下列关于二次函数y=ax2(a≠0)的说法中，错误的是（ ）
A.它的图象的顶点是原点
B.当a<0，在x=0时，y取得最大值
C.a越大，图象开口越小;a越小，图象开口越大
D.当a>0，在x>0时，y随x的增大而增大
3.请在同一坐标系中画出函数y1=x和y2=-x2的图象，结合图象，指出当x取何值时，y1>y2；当x取何值时，y1 4.一个二次函数，它的图象的顶点是原点，对称轴是y轴，且经过点（-1，）.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）画出这个二次函数的图象；
（3）根据图象指出，当x>0时，若x增大，y怎样变化？当x<0时，若x增大，y怎样变化？
（4）当x取何值时，y有最大（或最小）值，其值为多少？
【教学说明】本环节易采用先让学生独立思考，再以小组交流的方式展开.其中题2、3、4均是集图象与性质于一体，鼓励学生用自己的语言叙述，逐步渗透用数学语言进行说理的能力，同时进一步体现数形结合的思想.
【答案】1.4
2.C【解析】当a>0时，a值越大，开口越小，a值越小，开口越大；当a<0时，a值越大，开口越大，a值越小，开口越小.所以C项说法不对.
3.列表如下：
如图所示：

根据图象可知，当x>0或x<-1时，y1>y2,当-1y1.
4.解：（1）设这个二次函数解析式为y=ax2,将（-1，）代入得a=,所以
y=x2.
(2)略
(3)当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小.
(4)当x=0时，y有最小值，y最小值=0.
四、师生互动，课堂小结
1.画二次函数y=ax2的图象时，有哪些地方是你需关注的？
2.你是如何理解并熟记抛物线y=ax2的性质的？
3.本节课你还存在哪些疑问？
【教学说明】问题1旨在提醒学生画图过程中列表时应以原点为中心，左右对称选取点，连线时应用光滑曲线连接；问题2是为了进一步突出数形结合思想在函数问题的解决过程中的重要性；而问题3是想了解学生哪部分没学好，难学，以便教师可以进行针对性辅导.

1.布置作业：教材习题22.1第3、4、11题.
2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.

本课时的设计比较注重让学生动手操作，让学生通过画二次函数的图象初步掌握其性质，画图的过程中需注意引导学生与其他函数的图象与性质进行对比.本课的目的是要让学生通过动手操作，经历探索归纳的思维过程，逐步获得图象传达的信息，熟悉图象语言，进而形成函数思想.
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质

1.能画出二次函数y=ax2+k的图象；
2.掌握二次函数y=ax2与y=ax2+k图象之间的联系；
3.掌握二次函数y=ax2+k的图象及其性质.
4.通过画二次函数y=2x2+1与y=2x2-1的图象，感受它们与y=2x2的联系，并由此得到y=ax2与y=ax2+k的图象及性质的联系和区别.
5.在通过类比的方法获取二次函数y=ax2+k的图象及其性质过程中，进一步增强学生的数形结合意识，体会通过探究获得知识的乐趣.
【教学重点】
1.二次函数y=ax2与y=ax2+k的图象之间的联系；
2.二次函数y=ax2+k的图象及其性质.
【教学难点】
二次函数y=ax2+k的性质的基本应用.

一、情境导入，初步认识
问题1请同学们谈谈一次函数y=x与y=x+2的图象之间的关系；
问题2同样地，你能猜想出二次函数y=x2与y=x2+1的图象之间有何关系吗？
【教学说明】问题1既是复习旧知识，同时又为解决本节知识起到抛砖引玉的作用.学生的回答也许形式多样，教师适时诱导，并设疑，为后面的解惑作铺垫.
二、思考探究，获取新知
问题1在同一坐标系中，画出二次函数y=2x2+1，y=2x2-1的图象.请观察图象，谈谈它们有哪些相同点和不同点，并指明这两个图象的关系如何？
【教学说明】在学生自主操作时，教师应指导它们在画平面直角坐标系时的单位长度要稍大一些，如选取0.8cm或1cm为一个单位长度为好，这样学生们所画出的图形才有可能清晰些.教师应巡视，纠正画图过程中可能出现的失误，并引导他们进行分析，发现规律，获得感性认识.
问题2（教材第33页练习）在同一直角坐标中，画出下列二次函数的图象y=x2，y=x2+2，y=x2-2，观察三条抛物线的位置关系并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点.你能说出抛物线y=x2+k的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线y=x2有什么关系？
【教学说明】设计问题2，一方面进一步增强学生的画图能力，另一方面加深学生的感性认识，从而形成对二次函数y=ax2+k的图象及其性质的初步认识.同伴间应相互交流，教师巡视指导，然后完成课本第33页练习.
【归纳结论】
1.二次函数y=ax2+k的图象可以由y=ax2的图象通过上、下平移得到.
2.y=ax2与y=ax2+k的性质如下：

三、运用新知，深化理解
1.抛物线y=3x2可以看作是抛物线y=3x2-4向 平移 得到的.
2.已知抛物线y=ax2+k与抛物线y=-2x2的形状相同，且图象到x轴的最近点的距离为3，求a、k的值，并指出抛物线y=ax2+k的开口方向，对称轴和顶点坐标.
【教学说明】针对本节所学内容及学生掌握的情况，设计训练题1，2，目的是加深学生对新知识的理解，能灵活运用所学知识解决简单的问题.教师在这个过程中要予以诱导.
【答案】略
四、师生互动，课堂小结
本环节师生共同回顾所学知识，如y=ax2+k的图象特征，函数的增减性等，并对可能出现的困难、疑问给予整理，进行辨析.

完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.

本课时教学重点在于培养学生的比较能力，旨在希望学生通过对比发现函数图象的性质，从而进一步增强学生的数形结合意识，体会通过探究获得知识的乐趣.
第2课时 二次函数y=a（x-h）2的图象和性质

1.能画出二次函数y=a(x-h)2的图象；
2.了解抛物线y=ax2与抛物线y=a(x-h)2的联系；
3.掌握二次函数y=a(x-h)2的图象特征及其简单性质.
4.通过动手操作、观察比较、分析思考、规律总结等活动过程完成对二次函数y=a(x-h)2的图象及其性质的认知.
5.在学生学习活动过程中，使他们进一步体会数形结合的思想方法，培养创造性思维能力和动手实践能力，增强学习兴趣、激发学习欲望.
【教学重点】
1.掌握二次函数y=a(x-h)2的图象及性质；
2.二次函数y=ax2与y=a(x-h)2图象之间的联系.
【教学难点】
利用二次函数y=a(x-h)2的性质解决实际问题.

一、情境导入，初步认识
我们知道，二次函数y=ax2-2的图象可以由函数y=ax2的图象向下平移得到，那么函数y=(x-2)2的图象是否可以由函数y=x2的图象经过平移而得到呢？
二、思考探究，获取新知
问题在同一坐标系中画出二次函数y=-(x+1)2,y=-(x-1)2的图象，指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；并结合图象，说说抛物线y=-x2, y=-(x+1)2, y=-(x-1)2的关系.
【教学说明】在教学过程中，学生独立思考后，合作完成.教师巡视指导，针对学生在画图、探究过程中可能出现的错误给予指正，对好的给予表扬，并展示其图象，在合作交流过程中探索出抛物线y=-(x+1)2,y=-(x-1)2与y=-x2的联系.
【归纳结论】函数y=ax2与y=a(x-h)2的图象及其性质如下表：

三、运用新知，深化理解
【设计说明】针对本节知识，设计了以下几道题，及时了解学生运用新知解决问题的能力，查漏补缺.
1.抛物线y=3(x-3)2的开口方向是向 ，对称轴是 ，顶点是 .
2.若抛物线y=a(x-h)2的顶点是（-3，0），它是由抛物线y=-2x2通过平移而得到的，则a= ,h= .
【教学说明】这两道题可采用抢答的形式来处理，可适当让学生说明其解题思路或依据.
【答案】1.上 x=3 (3,0)
2.-2-3
四、师生互动，课堂小结
1.抛物线y=ax2与y=ax2+c和抛物线y=ax2与y=a(x-h)2有哪些共同点，又有哪些不同点？同伴间可相互交流.
2.将抛物线y=ax2上下平移与左右平移所得到的表达式在形式上有何区别？
3.课本第35页练习.
【设计及教学说明】对所给两个问题的思考，让学生亲历知识的自主建构，不断完善自己的知识结构.

完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.

本课时教学仍在于着重培养学生的比较和判断能力，通过比较找出异同点，从而进一步归纳性质，并通过练习使学生从“练”中“悟”，形成函数意识.

第3课时 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质

1.会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象；
2.掌握抛物线y=ax2与y=a(x-h)2+k之间的平移规律；
3.依据具体问题情境建立二次函数y=a(x-h)2+k模型来解决实际问题.
4.通过“活动探究——观察思考——运用迁移”等三个环节来获取新知识，掌握新技能，解决新问题.
5.进一步培养学生观察能力、抽象概括能力，渗透数形结合、从特殊到一般的思想方法，了解从特殊到一般的辩证关系.
【教学重点】
二次函数y=a(x-h)2+k（a≠0）的图象及其性质.
【教学难点】
1.二次函数y=a(x-h)+k与y=ax2(a≠0)的图象之间的平移关系；
2.通过对图象的观察，分析规律，归纳性质.

一、情境导入，初步认识
问题将抛物线y=-x2向下平移1个单位，所得到的抛物线表达式是什么？若再将它向左平移1个单位呢？
【教学说明】学生通过对前两节课所学习的上、下平移和左、右平移规律的回顾与思考，在尝试解决问题的过程中，可增强他们的学习兴趣，激发求知欲望，也为新知识的学习做好铺垫.学生们可相互交流，教师对其结论可暂不作评价.
二、思考探究，获取新知
问题1 画出二次函数y=-(x+1)2-1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点坐标.
问题2 请在问题1中所在的平面直角坐标系内，画出抛物线y=-x2，及抛物线y=-（x+1）2，y=-x2-1,观察所得到的四个抛物线，你能发现什么？
问题3请依据问题2中你的发现，说说抛物线y=a(x-h)2+k是由抛物线y=ax2(a≠0)通过怎样的平移而得到的？并说说它的对称轴和顶点坐标.
【教学说明】教师可给予15~20分钟的时间让学生自主探究，画出图象，并让学生们交流，获得感性认识.教师巡视，鼓励每个学生积极参与进来，针对个别同学，应适时予以点拨.如果条件允许，对学生的成果可通过多媒体展示.
【归纳结论】1.一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=ax2的形状相同（因为a值相同），而位置不同.将抛物线y=ax2上下平移，可得到抛物线y=ax2+k(k＞0时，向上平移k个单位；k＜0时，向下平移-k个单位)，再将抛物线y=ax2+k左右平移后，可得到抛物线y=a(x-h)2+k（h＞0时，向右平移；h＜0时，向左平移）.
2.抛物线y=a(x-h)2+k的性质：
（1）a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下；
（2）对称轴是直线x=h；
（3）顶点坐标是（h，k）.
【教学说明】1.通过探究，师生共同交流，达成共识后，教师在黑板上与学生一道进行归纳，了解并掌握本课时知识.
2.此时教师可对问题情境中的问题1作出评价，让学生体验成功的快乐.
3.归纳结论完成后，教师引导学生做第37页练习，可让学生采取举手抢答的形式进行.
三、典例精析，掌握新知
例（教材第36页例4）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？
解：如图建立直角坐标系，点（1，3）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数是y=a(x-1)2+3（0≤x≤3）.

由这段抛物线经过点（3，0）可得
0=a(3-1)2+3,
解得a=- .
因此y=-(x-1)2+3（0≤x≤3）.
当x=0时，y=2.25，也就是说，水管应长2.25m.
【教学说明】教师讲解此例时，可向学生提问：
（1）坐标系的原点为什么建立在池中心点？
（2）自变量的取值范围为什么是0≤x≤3？
（3）设函数解析式有什么诀窍？
四、运用新知，深化理解
【设计说明】针对本节所学知识，通过几道小题进行演练，巩固所学新知识，并依据学生的完成情况，教师可适时予以查漏补缺.
1.抛物线y=-3(x+2)2-4的顶点坐标是 ，当x 时，函数值y随x的增大而增大.
2.若抛物线的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点坐标为（1,0），则这条抛物线与x轴的另一个交点是 .
3.已知二次函数的图象顶点坐标为（-4，3），且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是 .
4.已知二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线y=-(x+1)2+3.
（1）试确定a,h,k的值；
（2）指出二次函数y=a(x-h)2+k图象的开口方向，对称轴和顶点坐标.
5.将抛物线y=2(x-1)2+3作下列移动，求得到的新抛物线的解析式.
（1）向左平移2个单位，再向下平移3个单位；
（2）顶点不动，将原抛物线开口方向反向.
【教学说明】第1，2题较为简单，可采用抢答形式来处理，第3小题应引导学生设出所求的二次函数表达式为y=a(x-h)2+k的形式，第4、5题为选做题，教师可根据教学实际选择做或不做.

五、师生互动，课堂小结
1.抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的特征有哪些？
2.如果解抛物线的顶点坐标（或对称轴或最低点等），要想确定该抛物线表达式，如何设出这个表达式更有利于求解呢？
【设计及教学说明】问题1侧重于所学知识回顾，而问题2侧重于应用，为后继学习做好铺垫.教学时，教师应予以评讲.

1.布置作业：教材习题22.1第5题.
2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.

前面的几个课时是从最基本的二次函数图象入手开始探索，已初步对二次函数的性质进行了归纳，因此本课时的内容算是对前面内容的小结.所以教学时教师应大胆放手让学生自主归纳与探究，教师给予引导和提示并让学生适时进行练习，以巩固所学，在这一过程中应注意渗透数形结合的思想方法.
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

1.能通过配方法把二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）化成y=a(x-h)2+k的形式，以便确定它的对称轴和顶点坐标；
2.会利用对称性画出二次函数的图象，掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的平移规律；
3.会用公式确定二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴和顶点.
4.通过思考、探索、尝试与归纳等过程，让学生能主动积极地探索新知.
5.经历探求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标的过程，感悟二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2的内在联系，体验利用抛物线的对称轴画抛物线的方法，感受数学的对称美.
【教学重点】
用抛物线的对称轴画二次函数y=ax2+bx+c的图象，通过配方确定抛物线的对称轴和顶点坐标.通过配方法将二次函数的一般形式化为顶点式，探索二次函数y=ax2+bx+c的平移变换.
【教学难点】
用配方法推导抛物线的对称轴与顶点坐标.

一、情境导入，初步认识
问题1请说出抛物线y=ax2+k，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标.
问题2你知道二次函数y=x2-6x+21的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标吗？
【教学说明】问题1设计的目的既是对前面所学知识进行简单的回顾，又为本节知识的学习展示着方法和思路，学生处理起来较为简单，可采用抢答形式来处理.问题2设计的目的在于制造认知冲突，激发学生的求知欲望，学生在处理问题2时可能有些困难，教师适时诱导，引入新课.
二、思考探究，获取新知
问题1你能把二次函数y=x2-6x+21化成y=a(x-h)2+k的形式吗？并指出它的图案的对称轴和顶点坐标.
问题2在同一直角坐标系中用描点法画出二次函数y=x2-6x+21与y=x2的图象,并对比观察它们的图象有什么区别和联系.
问题3请结合问题2的图象，指出当x取何值时，函数值y的最小值是多少？当x取何值时，函数y随x的增大而减小？当x取何值时，y随x的增大而增大？
【教学说明】在学生探索上述三个问题过程中，教师巡视，关注学生将二次函数一般式化为顶点式时可能出现的失误，予以诱导，引导学生在画y=x2-6x+21的图象时如何列表，这样列表有哪些好处等，并使学生在活动过程中进一步认识到：要想正确认识二次函数y=ax2+bx+c,一定要将它利用配方法化成y=a(x-h)2+k的形式才行.
三、问题引导，归纳结论
问题1抛物线y=ax2+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？你是如何做到的？

∴抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=，顶点坐标是 .
【归纳结论】二次函数y=ax2+bx+c的图象及其性质:

【教学说明】针对所提出的问题，可能部分同学感到有些困难，因而教师在巡视过程中，应给予帮助，适当鼓励，让学生尽可能自主探究，最后师生共同探索结果.在结论归纳完成后，教师引导学生做课本第39页练习，可让学生自主完成，然后举手回答.
问题2二次函数y=ax2+bx+c的图象的平移变换.
已知将二次函数y=x2+bx+c的图象先向左平移3个单位，再向上平移2个单位得二次函数y=x2-2x+1的图象，求b和c.
分析：要求b与c，需先求函数y=x2+bx+c的关系式，要求关系式，可先求出顶点坐标；根据两抛物线的平移情况，可确定顶点坐标.
解：∵y=x2-2x+1=(x-1)2,∴抛物线y=x2-2x+1的顶点为（1,0）.根据题意，此抛物线向下平移2个单位，向右平移3个单位，可得y=x2+bx+c,此时，（1，0）平移到（4，-2），即抛物线y=x2+bx+c的顶点是（4，-2），∴y=x2+bx+c=(x-4)2-2=x2-8x+14,∴b=-8,c=14.
【教学说明】
1.可先回顾前面学过的y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象的平移关系，引导学生思考，交流，探索结果，然后师生共同探讨总结规律：抛物线y=a(x-h)2+k在平移时，a不变，只是h或k发生变化，因此，研究抛物线的平移问题，关键是准确求出抛物线顶点的坐标，进而研究其顶点位置的变化情况.
2.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）通过配方可化为的形式，于是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可看成由抛物线y=ax2向左或右平移个单位，向上或向下平移个单位得到的.
四、运用新知，深化理解
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则（ ）
A.a＞0,b＞0,c＞0
B.a＞0,b＜0,c＜0
C.a＜0,b＜0,c＜0
D.a＞0,b＞0,c＜0
2.把二次函数y=1/4x2-x+3用配方法化成y=a(x-h)2+k的形式为_____.
3.二次函数y=-1/2x2-3x+5/2的图象的顶点坐标为_____.
4.把抛物线y=ax2+bx+c，先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2-3x+5,则a+b+c=_____.
【教学说明】1题中a、c的符号可直接通过观察图象获得，再由a的符号及对称轴x=-b/2a＜0，可得到b的符号，这是本题的重难点，教学时教师可予以重点关注；2、3两题较为简单，同学们可自主完成;4题中抛物线通过平移变换，得到y=x2-3x+5,逆推易得a、b、c的值，从而得到a+b+c，此类题型需熟练掌握二次函数的平移变换.
【答案】1.D
2.y=1/4(x-2)2+2
3.(-3,7)
4.11
五、师生互动，课堂小结
1.形如y=ax2+bx+c(a≠0)的二次函数的顶点坐标及对称轴的确定：
（1）当二次函数y=ax2+bx+c容易配方时，可采用配方法来确定顶点坐标及对称轴方程；
（2）当a、b、c比较复杂时，可直接用公式来确定：
抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为，顶点坐标为.
2.解决二次函数y=ax2+bx+c的平移问题时，应先将它化为y=a(x-h)2+k形式后，进行研究为好.

1.布置作业：教材习题22.1中选取.
2. 完成练习册中本课时练习的“课后作业“部分。

本课时的主要任务是理解和掌握二次函数的一般式.我们研究函数的一般基本方法是由解析式画图象，再由图象得出性质，再反过来由函数性质研究图象的其他特征.因此本课时的教学仍可采用这种思维方法来探讨二次函数一般式的性质（如顶点坐标，对称轴以及增减性等），另外还要向学生渗透转化思想，即如何将相对复杂的一般式转化为其他解析式的形式.
第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式

1.利用已知点的坐标用待定系数法求二次函数的解析式.
2.通过介绍二次函数的三点式，顶点式，交点式，结合已知的点，灵活地选择恰当的解析式求法.
3.经历用待定系数法求解二次函数解析式的过程，发现二次函数三点式、顶点式与交点式之间的区别及各自的优点，培养学生思维的灵活性.
【教学重点】
待定系数法求二次函数的解析式.
【教学难点】
选择恰当的解析式求法.

一、情境导入，初步认识
问题我们知道，已知一次函数图象上两个点的坐标，可以用待定系数法求出它的解析式，试问：要求出一个二次函数的表达式，需要几个独立的条件呢？
【教学说明】对于问题，教师应与学生一起交流，明确确定一个一次函数表达式为什么需要两个独立的条件的原因，进而获得确定一个二次函数表达式需要三个独立的条件.
二、思考探究，获取新知
在前面的情境导入中，同学们已经知道确立一个二次函数需要三个条件.事实上，求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a、b、c的值.由已知条件（如二次函数图象上的三个点的坐标）列出关于a、b、c的方程组，并求出a、b、c,就可以写出二次函数表达式.
回顾前面学过的知识，已知学过y=ax2，y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k等几种形式的二次函数，所以在利用待定系数法求二次函数解析式时，一般也可分以下几种情况：
（1）顶点在原点，可设为y=ax2;
（2）对称轴是y轴（或顶点在y轴上），可设为y=ax2+k;
（3）顶点在x轴上，可设为y=a(x-h)2;
（4）抛物线过原点，可设为y=ax2+bx;
(5)已知顶点（h,k）时，可设顶点式为y=a(x-h)2+k;
（6）已知抛物线上三点时，可设三点式为y=ax2+bx+c;
（7）已知抛物线与x轴两交点坐标为（x1,0）,(x2,0)时，可设交点式为y=a(x-x1)(x-x2).
【教学说明】教师在教学时，可由浅入深进行讲解.对每一种情形，可先让学生自主思考探索交流想法后，再共同总结出各情况的设法，学生在思考中加深对知识的理解、记忆与掌握.
三、典例精析，掌握新知
例根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式.
（1）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（1,0），（-5,0），顶点的纵坐标为92，求这个二次函数的解析式.
（2）已知二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）；
（3）已知二次函数的图象的顶点为（-1，3），且经过点（2，5）.
分析：
(1)由已知的两点（1,0），（-5,0）的纵坐标知，这两点是关于对称轴对称的两个点，即对称轴为直线x=-2,由此可知顶点坐标为（-2，9/2），可用交点式和顶点式两种方法求解.
(2)已知三点坐标，即直接给出了三组对应关系，可通过设三点式用待定系数法求解.
（3）由条件初看起来似显不足，因为只给出经过图象上的两点的坐标，但若注意到顶点坐标实际上存在着两个独立等式，即有=-1, =3,因此仍可求出相应二次函数解析式.这时可利用一般式，代入求值得到结果，也可设这个二次函数解析式为y=a（x-h）2+k，其中h，k可直接由顶点坐标得到，即h=-1，k=3，再把（2，5）代入求出a值，可快速获得该二次函数表达式.
解：（1）方法一：设这个二次函数的解析式为y=a(x-1)(x+5),则a(-2-1)(-2+5)=9/2,∴a=-1/2,y=-1/2(x-1)(x+5)=-1/2x2-2x+5/2,即这个二次函数解析式为y=-1/2x2-2x+5/2.
方法二：∵图象过（1,0），（-5,0），则对称轴为直线x=-2,设这个二次函数的解析式为y=a(x+2)2+9/2,
则a(1+2)2+9/2=0,解得a=-1/2.
∴y=-1/2(x+2)2+9/2=-1/2x2-2x+5/2,即这个二次函数解析式为y=-1/2x2-2x+5/2.
（2）设所求的二次函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0)，由题意，有：
解这个方程组，得
故所求二次函数解析式为y=2x2-3x+5；
（3）方法一：设所求的二次函数表达式为y=ax2+bx+c（a≠0），由题意，有：
解得：
故所求二次函数解析式为y=2/9x2+4/9x+29/9；
方法二：设所求的二次函数表达式为y=a（x-h）2+k(a≠0)，由题意,有:
h=-1，k=3，即y=a（x+1）2+3.
把（2，5）代入，得5=a×9+3.∴a=2/9.
故所求二次函数解析式为y=2/9(x+1)2+3，即y=2/9x2+4/9x+29/9.
【教学说明】可让学生先独立思考，求出解析式，并交流结果，让快速完成的同学体验成功的喜悦；对出现的问题，让他们自查并反思，加深印象，在学生完成后，师生共同探索，总结收获.教师给出完整解答，规范学生的答题过程，最后教师引导学生做教材第40页练习.
四、运用新知，深化理解
1.抛物线y=ax2+bx-3过点（2,4），则代数式8a+4b+1的值为（ ）
A.3 B.9
C.15 D.-15
2.抛物线y=mx2-3x+3m-m2过原点，则m=_____,该抛物线的关系式为________.
3.根据下列条件，分别求出对应的二次函数的解析式：
（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1），B（1，0），C（-1，2）；
（2）二次函数的图象顶点为（3，-2），且图象与x轴两个交点间的距离为4；
（3）抛物线的对称轴为直线x=2,且经过点（1，4）和（5，0）.
【教学说明】1、2两题较为简单，可让学生自主完成，第2题注意抛物线解析式中的二次项系数不能为0.解第3题时，应注意关注学生是否能根据不同条件设二次函数的解析式.
【答案】1.C 2.3 y=3x2-3x
3.（1）y=2x2-x-1;
(2)y=1/2(x-3)2-2，即y=1/2x2-3x+5/2.
【解析】依题意，可设此二次函数表达式y=a(x-3)2-2，又它的对称轴为x=3，且图象与x轴两交点间距离为4,可知图象与x轴的交点坐标应分别为(1,0)和(5,0),从而可求出二次函数表达式;
(3)∵对称轴为直线x=2，且过点（5，0），则必过点（-1，0）.
故可设抛物线的解析式为y=a(x-5)(x+1).
又抛物线过点(1,4),∴4=a(1-5)(1+1),∴a=-1/2.
故抛物线的解析式为
y=-1/2(x-5)(x+1),即y=-1/2x2+2x+5/2.
五、师生互动，课堂小结
求解析式时，要灵活运用待定系数法设出适当的解析式，师生一起回忆设二次函数解析式的几种情况.

1.布置作业：教材习题22.1第8、10、12题.
2.完成练习册中本课时练习的“课后作业“部分。

本课时的主要内容是利用待定系数法求二次函数解析式，教师应让学生体会求解过程，关键是让学生学会如何运用三点式，顶点式，交点式等来求解析式.
22.2 二次函数与一元二次方程

1.了解二次函数与一元二次方程之间的联系，掌握二次函数图象与x轴的位置关系可由对应的一元二次方程的根的判别式进行判别，了解用图象法确定一元二次方程的近似解的方法.
2.通过对实际问题情境的思考感受二次函数与对应的一元二次方程的联系，体会用函数的观点看一元二次方程的思想方法.
3.进一步增强学生的数形结合思想方法，增强学生的综合解题能力.
【教学重点】
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0之间的联系，利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
【教学难点】
一元二次方程根的情况与二次函数图象与x轴位置关系的联系.

一、情境导入，初步认识
问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（m）与飞行时间t（s）之间具有关系：h=20t-5t2.

考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要飞行多长时间？
（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要飞行多长时间？
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
【教学说明】
教师可通过教材的引例，引用其递进式的问题链，让学生在相互交流过程中，自然而然地感受到引用方程思想来解决函数问题的思想方法.教师巡视，及时释疑解惑，并尽量予以肯定和鼓励，激发学生的学习兴趣.
二、思考探究，获取新知
通过对上述问题的思考，可以看出二次函数与一元二次方程之间存在着密切联系.例如，已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程-x2+4x=3;反过来，解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值.
问题1画出函数y=x2-4x+3的图象，根据图象回答下列问题：
（1）图象与x轴交点的坐标是什么？
（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程x2-4x+3=0有什么关系？
（3）你能从中得到什么启示？
问题2下列函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1）y=x2+x-2; (2)y=x2-6x+9; (3)y=x2-x+1.
问题3一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？
【教学说明】让学生在合作交流过程中完成问题1，2，并对问题3形成一个初步认识，达到从感性认识到理性思考的飞跃，从而认识新知.教师应巡视，对学生的交流成果给予积极评价，最后教师应在黑板上进行归纳总结.
【归纳结论】一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知：
（1）如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标为x0.那么当x=x0时，函数的值为0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根；
（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根.因此可通过方程的根的判别式Δ＜0，Δ=0和Δ＞0来判别抛物线与x轴的交点的个数（Δ=b2-4ac，其中a、b、c为抛物线表达式中二次项系数，一次项系数和常数项）.
【试一试】1.若抛物线y=x2-mx+1与x轴没有公共点，则m的取值范围是 .
2.求证：抛物线y=x2+ax+a-2与x轴总有两个交点.
【教学说明】让学生分组完成两个小题，使他们能体验成功的喜悦，对尚有困难的学生，应给予指导.
三、运用新知，深化理解
1.画出函数y=x2-2x-3的图象，利用图象回答：
（1）方程x2-2x-3=0的解是什么？
（2）x取什么值时，函数值大于0？
（3）x取什么值时，函数值小于0？
2.利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数解.
【教学说明】题1可让学生自主完成，教师予以巡视，并作指导；题2的处理建议师生共同完成，这里涉及到逼近求值思想，应作为指导.评讲本题的目的是让学生能进一步体验函数与方程的密切联系，但不要求学生掌握，只要了解即可.
【答案】1.图象如图所示：

(1)当x1=3,x2=-1.
(2)当x<-1或x>3时函数值大于0.
（3）当-1 2.解：作y=x2-2x-2的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.
所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈-0.7,x2≈2.7.

我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根：
观察函数y=x2-2x-2的图象可以发现，当自变量为2时的函数值小于0（点（2，-2）在x轴的下方），当自变量为3时的函数值大于0（点（3，1）在x轴的上方），因为抛物线y=x2-2x-2是一条连续不断的曲线，所以抛物线y=x2-2x-2在2＜x＜3这一段经过x轴，也就是说当自变量取2，3之间的某个值时，函数的值为0，即方程x2-2x-2=0在2，3之间有根.
我们可通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围.例如，取2，3的平均数2.5，用计算器算得自变量为2.5时的函数值为-0.75，与自变量为3时的函数值异号，所以这个根在2.5，3之间.再取2.5，3的平均数2.75，用计算器算得自变量为2.75时的函数值为0.0625，与自变量为2.5时的函数值异号，所以这个根在2.5，2.75之间.
重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.625，2.75之间，在2.6875，2.75之间……可以看到：根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值.例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，由于｜2.6875-2.75｜=0.0625＜0.1，我们可以将2.6875作为根的近似值.
四、师生互动，课堂小结
1.抛物线y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0有何关联？你能不画出抛物线y=ax2+bx+c而了解此抛物线与x轴的交点情况吗？你是怎样做的？
2.你能利用抛物线来确定相应的方程的根的近似值吗？从中你有哪些体会？

1.布置作业：教材习题22.2第1、2、3、4、6题.
2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.

本课时教学首先通过具体情况让学生感受用方程思想方法来解决函数问题的思路，然后通过图象来探究一元二次方程的根和二次函数与x轴交点之间的关联.
这样整个教学过程充分利用了学生已形成的方程、函数间的关系来类比引导挖掘、探索二次函数与一元二次方程的关系.此外，通过观察图象直观理解、解答练习以及实际观察分析都是必经的途径与方法，重在让学生自主体会.
22.3 实际问题与二次函数
第1课时 实际问题与二次函数（1）

1.能根据实际问题构造二次函数模型.
2.能用抛物线的顶点坐标来确定二次函数的最大（小）值问题.
3.通过对“矩形面积”、“销售利润”等实际问题的探究，让学生经历数学建模的基本过程，体会建立数学模型的思想.
4.体会二次函数是一类最优化问题的模型，感受数学的应用价值，增强数学的应用意识.
【教学重点】
用二次函数的最大值（或最小值）来解决实际应用问题.
【教学难点】
将实际问题转化为数学问题，并用二次函数性质进行决策.

一、情境导入，初步认识
问题 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
教师以课件形式展示教材中的图，并向学生提问：
（1）图中抛物线的顶点在哪里？
（2）这个抛物线的顶点是否是小球运动的最高点？
（3）小球运动至最高点的时间是什么时间？
（4）通过前面的学习，你认为小球运行轨迹的顶点坐标是什么？
【教学说明】教师通过以上问题让学生体会：求最值问题都可转化为求抛物线的顶点坐标，引导学生看图时，要让学生明白为什么图象只有t轴上面的一部分.
二、思考探究，获取新知
探究 用总长为60m的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.
（1）你能求出S与l之间的函数关系式吗？
（2）此矩形的面积能是200m2吗？若能，请求出此矩形的长、宽各是多少？
（3）此矩形的面积能是250m2吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由.
（4）当l是多少米时，场地的面积S最大？最大值是多少？
【设计及教学说明】设计上述问题的目的一方面是让学生了解从实际问题中构建数学模型的思想方法并帮助学生思考，另一方面通过对问题（2）、（3）的思考回顾上节所学过知识，加深函数与方程的联系的理解.在教学时，教师可让学生自主探究，针对问题（3）、（4）教师可作适当提示，让学生尽量独立完成，从而体验成功的喜悦，进而完成本节知识的初步学习.
【归纳结论】学生经历上述问题的思考探究后，可归纳出以下建立二次函数模型解决实际问题的步骤：①从问题中，分析出什么是自变量，什么是因变量；
②分析问题中的数量关系，列出函数关系式；
③研究自变量的取值范围；
④研究所得函数，找出最值；
⑤检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；
⑥应用二次函数的性质解决提出的实际问题.
三、运用新知，深化理解

1.如图，用12m长的木条，做一个有横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，则窗子的横档长为（ ）
A.0.5米
B.1米
C.2米
D.2.5米
2.已知等腰三角形的面积S与底边x有如下关系:S=-5x2+10x+14,要使S有最大值，则x= .
3.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=30°,AB=12cm,点P是AB边上的一个动点，过点P作PE⊥BC,PF⊥AC,当PB=时，四边形PECF的面积最大，最大值为.

4.张大爷要围成一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形.设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米.
（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写自变量x的取值范围）；
（2）当x为何值时，S有最大值？并求出其最大值.

5.如图所示，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点）.已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x(cm).
（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的V;
（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？

【教学说明】1.可让全班同学自主探究，获得结论.教师在学生探究过程中，应适当予以提示，帮助学生度过难关，如第4题中设AB=xm时，则BC=（32-2x）m.避免出现BC= m的错误.
2.解决此类问题，一般先应用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系，再用配方法或公式法求出顶点坐标，结合二次函数的性质与自变量的取值范围确定最大面积.教师通过学生对上述题目的探索，分析，帮助他们总结思路方法，巩固新知.

四、师生互动，课堂小结
1.通过本节课的学习你有什么收获？
2.你觉得这节课有哪些问题需要特殊关注的？谈谈自己的看法.
3.建立函数模型解决实际问题有哪些步骤？

1.布置作业：从教材习题22.3中选取.
2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.

二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型，也是某些单变量最优化的数学模型，如最大利润、最大面积等实际问题，因此本课时主要结合这两类问题进行了一些探讨.生活中的最优化问题通过数学模型可抽象为二次函数的最值问题，由于学生对于这一转化过程较难理解，因此教学时教师可通过分步设问的方式让学生逐层深入、稳步推出，让学生自主建立数学模型，在这个过程中教师可通过让学生画图探讨最值.总之，在本课时的教学过程中，要让学生经历数学建模的基本过程，体验探究知识的乐趣.
第2课时 实际问题与二次函数（2）

1.能根据实际问题构建二次函数模型，并利用函数性质来解决实际问题.
2.再次经历利用二次函数解决实际问题的过程，进一步体验数学建模思想，培养学生解决实际问题的能力.
3.进一步体会数学知识的应用价值，感受数学来自于生活又服务于生活，激发学习数学的兴趣.
【教学重点】
用函数知识解决实际问题，感受数学建模思想.
【教学难点】
根据抛物线型实际问题，建立恰当的平面直角坐标系，建立二次函数模型.

一、情境导入，初步认识
问题 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本价，且每件获利不得高于45%.经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b,且x=65时，y=55；x=75时，y=45.
（1）试求出一次函数的表达式；
（2）若该商场所试销服装的获利为w元，试写出w与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？
(3)若所获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围.
【设计与教学说明】设计上述问题既是对上节课的回顾，又是本节教学的一个重点，承上启下，创设熟知情境，激发学习兴趣.教学时，教师可让学生自主探究，合作交流，探寻结论.教师在巡视过程中，可适时设置如下问题：①若设销售单价为x元，则x的取值范围是什么？题目中是否有这方面的要求；②单从w与x的关系式上看，x为何值时，w取得最大值？而此时的x值是否适合题设要求？如果不满足题设要求，根据x的取值范围及w与x的函数性质，你能确定x取何值时，w取得最大值吗？③这里获得w的最大值与根据顶点坐标确定的最大值有什么不同？为什么会出现这种情况，谈谈你的看法；你能从中得到哪些启示？最后教师可挑选一名优秀作品展示，与全班同学共同分享，并做必要评析.
二、思考探究，获取新知
探究某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：若调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知该商品的进价为每件40元，如何定价才能使每星期的利润最大？
【教学说明】本例是一道较复杂的市场营销问题，学生可能一时无法入手，这时教师可设置如下一系列问题引导学生思考：
问题1若设每件涨价x元，则每周可少卖多少件？每周的销售量是多少件？由此，你能确定涨价x元中x的取值范围吗？
问题2若设每件降价x元，则每周可多卖多少件？每周的销售量是多少件？此时，你能确定降价x元中x的取值范围吗？
问题3设每周利润为y元，由利润=销售量×（售价-进价），你能分别得出涨价x元和降价x元时，相应的销售利润y关于x的函数关系式吗？并根据y与x的关系式，指明当涨价x元（或降价x元）中x取何值时，销售利润y达到最大值，并求出y的最大值.
问题4在问题3中所得到的两个最大值相同吗？如果不同，你认为应该怎样定价，才能使每星期的利润最大？
问题5通过对前面问题的思考，你能总结出解这类营销问题的一般思路方法吗？有哪些值得注意的问题？
学生通过合作交流，得到初步认识，教师再予以归纳总结.在活动中，教师应重点关注：①学生在构建函数模型时，是否注意分类？②在每一种情况下，是否考虑了自变量的取值范围？③是否根据函数性质来获得相应最大值？④能否从中得到些启示？
三、运用新知，深化理解
1.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销量y（件）之间的关系如下表：

且日销量y（件）是销售价x(元)的一次函数.
（1）求日销量y（件）与x(元)的一次函数.
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时最大销售利润是多少？
2.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间每天的房价增加x元（x为10的正整数倍）.
（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;
（2）设宾馆一天的利润为W元，求W与x的函数关系式；
（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？
【教学说明】
1.可让全班同学自主探究，获得结论，相互交流结果.教师在学生探究过程中，应给予适当提示.如：表格也是函数的一种表现形式，从表中找到两组量由待定系数法求得一次函数解析式，再由“利润=单个商品利润×销售量”构建二次函数求最值.
2.第2题中利用求二次函数最大值或最小值的方法，求出当x为何值时，W有最大值，但要注意x的取值范围是0≤x≤160，由此取值范围确定最大值.教师通过学生对上述两例的探索、分析，帮助他们总结思路方法，巩固新知.


四、师生互动，课堂小结
1.通过本节课的学习，你有什么收获？
2.对于由二次函数的性质求最大利润问题，你认为有哪些需要注意的？

1.布置作业：从教材习题22.3中选取.
2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.

本课时教学与上一课时基本相同，所不同的是教学时应注意建立正确的直角坐标系，使类似于抛物线的实际问题转化为平面直角坐标系中的抛物线.教学时教师仍可采用分步设问的形式让学生回答并让学生相互交流.教师应鼓励学生用多种方法建立平面直角坐标系，并求出相应抛物线表达式，在这一过程中让学生体验探究发现的快乐，体会数学的最优化思考.
第3课时 实际问题与二次函数（3）

1.能根据实际问题构建二次函数模型，并利用函数性质来解决实际问题.
2.再次经历利用二次函数解决实际问题的过程，进一步体验数学建模思想，培养学生解决实际问题的能力.
3.进一步体会数学知识的应用价值，感受数学来自于生活又服务于生活，激发学习数学的兴趣.
【教学重点】
用函数知识解决实际问题，感受数学建模思想.
【教学难点】
根据抛物线型实际问题，建立恰当的平面直角坐标系，建立二次函数模型.

一、情境导入，初步认识
问题1 如图所示，交通运输业的不断发展使得人们的日常生活越来越便利，隧道的开凿也让许多天堑变通途.一般情况下，隧道都有一定高度，超过高度的车辆无法通过，因此，在隧道入口处常常会设有提醒司机的限高标志.

同学们，这个隧道的外形轮廓是不是很像我们学过的二次函数图形？如果已知一辆车的高度和隧道设计的相关数据，你能判断出该车是否能安全通过隧道吗？
问题2如图所示，我想班上很多同学都喜欢篮球这项运动，都希望有天能像林书豪和姚明那样在NBA的赛场上驰骋吧？其实篮球运动中很多问题也涉及到了我们现在所学的二次函数.

【教学说明】
教师演示一些图片：拱桥，喷泉，投篮等，创设一些学生熟悉的情境，提高学生的学习兴趣，引入新知.
二、思考探究，获取新知
【设计说明】要解决上述问题，我们往往要通过建立合理的平面直角坐标系后，建立二次函数模型，然后根据模型找出实际生活中的数据与模型中的哪些量相对应，将实际语言转化为数学语言.
问题（教材第51页探究3）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？

【教学说明】教学时，为了便于学生探究，教师可设置如下问题予以引导：①对于抛物线形拱桥，要是能知道此抛物线表达式就好了.你能确定这条抛物线的表达式吗？（设置疑问，激发学生的求知欲望.）②你能先在图中建立一个恰当的平面直角坐标系，使抛物线形拱桥转化为坐标系中的抛物线吗？不妨试试看，并尝试着求出此时抛物线的表达式.（同学间可相互交流，教师巡视，及时予以指导，鼓励学生用多种方法建立平面直角坐标系，并尝试求出相应抛物线表达式.在这一过程中应让学生体验到恰当的尝试过程中体验探究发现的快乐，体会数学的最优化思想.）在学生完成上述探究后，结合相应的图象，师生一同完成本题的解答.
三、运用新知，深化理解
1.一自动喷灌设备的喷流情况如右图所示，设水管AB在高出地面1.5米的B处有一自动旋转的喷水头，其喷出的水流成抛物线形.喷头B与水流最高点C的连线与水管AB之间夹角为135°（即∠ABC=135°），且水流最高点C比喷头B高2米.试求水流落点D与A点的距离.（精确到0.1米）

2.如图，一位篮球运动员在离篮筐水平距离4m处跳起投篮，球沿一条抛物线运行，球的出手高度为1.8m.当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度，然后准确落入篮筐内.已知篮筐中心离地面的距离为3.05m,你能求出球所能达到的最大高度约是多少吗？（精确到0.01m）

【教学说明】这个环节的教学自主性很强，可以让学生在小组内完成，也可以采用分组的方法进行.教师巡视，对优胜者给予鼓励，让他们体验成功的快乐；对尚有困难的学生应给予指导，鼓励他们探究下去.最后教师可展示优秀者作品，或在黑板上进行评析，尽量让学生能掌握这类建立坐标系的问题的解法.
【答案】1.解：如图所示，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系.

连BC,则∠ABC=135°，过C点作CE⊥x轴，垂足为E，又过B点作BF⊥CE，垂足为F.由题意易证四边形AEFB为矩形，∴∠ABF=90°，∴∠CBF=135°-90°=45°，∴∠BCF=45°，Rt△CBF为等腰直角三角形，又由题意易知AB=1.5米，CF=2米，∴BF=CF=2米,而CE=CF+EF=CF+AB=3.5米，则B（0，1.5），C（2，3.5）.设该图象解析式为y=a(x-h)2+k,则y=a(x-2)2+3.5,将B（0，1.5）代入可求得a=-.
∴y=-(x-2)2+3.5.设D（m,0）代入，得m=+2≈4.6.（负值已舍去）即DA=4.6米.
2.解：如图所示，以篮框所在直线为y轴，地面所在直线为x轴，其交点为坐标原点O.

建立平面直角坐标系，设篮框中心点为A点，运动员出手点为B点，顶点为C点，依题意可得A(0,3.05),B(-4,1.8),设C(-1.5,m），设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,将A、B代入可求得1.8=16a-4b+3.05①
又由图象可知-=-1.5,b=3a,将其代入①中，可求得a=-0.3125,则b=-0.9375.
∴y=-0.3125x2-0.9375x+3.05.
则m=≈3.75（m）.
即球所能达到的最大高度约是3.75m.
四、师生互动，课堂小结
1.构建二次函数模型解决实际应用问题时，应关注自变量的取值范围并结合二次函数性质进行探讨；
2.对具有抛物线形状的实际问题，应能根据图形的特征建立恰当的平面直角坐标系，这样能更快捷的解决问题，应注意体会.

1.布置作业：从教材习题22.3中选取.
2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.

本课时教学与上一课时基本相同，所不同的是教学时应注意建立正确的直角坐标系，使类似于抛物线的实际问题转化为平面直角坐标系中的抛物线.教学时教师仍可采用分步设问的形式让学生回答并让学生相互交流.教师应鼓励学生用多种方法建立平面直角坐标系，并求出相应抛物线表达式，在这一过程中让学生体验探究发现的快乐，体会数学的最优化思考.
本章热点专题训练

1.掌握本章重要的知识点，能用相关函数知识解决具体问题.
2.通过梳理本章知识，回顾解决实际问题中所涉及数形结合思想、方程思想、分类讨论思想的过程，加深对本章知识的理解.
3.在利用本章知识解决具体问题过程中，进一步增强数学应用意识，感受数学的应用价值，激发学习兴趣.
【教学重点】
本章知识结构梳理及其应用.
【教学难点】
灵活运用二次函数性质解决实际问题.

一、知识框图，整体把握

【教学说明】通过展示本章知识结构框图，可以系统地了解本章知识及它们之间的关系.教学时，教师可边回顾边建立结构框图.
二、释疑解惑，加深理解
1.二次函数定义：
一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的式子称为y关于x的二次函数.需注意的是，二次项系数a≠0是定义中不可缺少的条件.例如，若二次函数是y关于x的二次函数，则m的值为多少？
在这个地方，我们由定义可得，从而m=-3.这里应防止出现由m2-7=2直接得到m=±3的错误.
2.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象及其性质
（1）a的符号决定抛物线的开口方向；反之，由抛物线的开口方向可确定a的符号（a＞0，开口向上；a＜0，开口向下）；
（2）抛物线的对称轴为x=-，利用抛物线的对称轴通常可解决两个方面的问题：①结合a的符号及对称轴所处位置判别b的符号；②利用对称轴及开口方向确定函数的增减性；
（3）抛物线的顶点坐标（-， ），利用抛物线的顶点，可确定函数的最大（小）值，但对自变量x有限制时，相应的函数值的最大值（或最小值）就应利用函数性质来确定，不能一概而定；
(4)抛物线与x轴的交点及对应的一元二次方程的关系：抛物线与x轴有两个交点，一个交点，没有交点，可由其对应的一元二次方程的根的判别式来判别，即有两个交点Δ=b2-4ac＞0，有一个交点Δ=b2-4ac=0，没有交点Δ=b2-4ac＜0.至于其交点的横坐标，则可由对应的一元二次方程得到.
三、典例精析，复习新知
例1已知二次函数的图象如图所示，现有下列结论：①b2-4ac＞0，②a＞0，③b＞0,④c＞0,⑤9a+3b+c＜0，则其中结论正确的个数是（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

【解析】由开口方向可知②a＞0正确，结合对称轴x=1＞0，即-＞0，可知b＜0，故③错；又抛物线与x轴有两个交点，有Δ=b2-4ac＞0，从而①正确；而抛物线交y轴于负半轴，因此c＜0；利用抛物线的对称性知，抛物线与x轴的另一个交点应在3~4之间，故当x=3时，y=9a+3b+c＜0，因而结论正确的个数有3个，应选B.需注意的是，在判别9a+3b+c＜0时，由抛物线的对称轴为x=1及抛物线的对称性，得到当x=3和x=-1时，它们的函数值应相同，从而作出正确判别.
例2已知二次函数y=x2+bx+c,其图象对称轴为x=1，且经过（2， ）.
（1）求此二次函数的表达式；
（2）该图象与x轴交于B、C两点（B点在C点左侧），请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点E，使△EBC的面积最大，并求出最大面积.
【分析】在（1）中，由对称轴x=1，可得到关于b的方程，从而可得二次函数表达式；在（2）中，一方面应利用解方程方法得到B、C点坐标，再结合图象知，当E点处于此抛物线的顶点时，S△EBC最大，可得结论.
例3某商场新进一批商品，每个成本价25元，销售一段时间发现销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间成一次函数关系，如下表：

（1）求y与x之间的函数关系式;
（2）若该商品的销售单价在45元~70元之间浮动，
①销售单价定为多少元时，销售利润最大？此时销售量为多少？
②商场想要在这段时间内获得4550元的销售利润，销售单价应定为多少？
【分析】在（2）中，可先得到销售利润w（元）与销售单价x之间的函数关系式为w=y·(x-25),再结合函数性质及自变量范围是45≤x≤70可得①的结论，并通过解方程，获得②的结论.需要注意的是，本例中“销售单价在45元~70元之间浮动”已暗含着自变量x的取值是受限制的，因而确定销售利润的最大值及求获得4550元利润时，销售单价是多少时，一定应结合函数图象，利用函数性质作出合理说明，不可轻下结论.
【教学说明】师生共同回顾本章主要知识点，教师适时给予评讲，阐明应用各知识点时需注意哪些问题，加深学生理解.对于所选例题，既可让学生自主完成，也可合作交流获得结论，根据需要可适当增减例题，对所选例题，教师应给予诱导，适时点拨，达到巩固所学知识的目的.
四、师生互动，课堂小结
1.通过这节课的学习你有哪些问题？
2.回顾本章知识，你还有哪些问题？
【教学说明】学生相互交流，进一步加深对本章知识的理解，针对学生存在的疑问，可当堂解决，也可课后个别辅导，帮助他（她）完善对本章知识的认知.

1.布置作业：从教材P56~57复习题22中选取.
2. 完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.

本课时是本章的复习课.本章的内容比较多，也比较重要，因此教学时师生应共同回顾与反思，归纳出本章的知识框架图，并让学生回答二次函数的一些性质，如开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性等知识点，并适时通过课堂训练来达到复习效果.此外，对于学生容易产生错误的知识点，教师要给予释疑并通过例题的讲解使学生加深理解，对于实际问题，教师仍需要通过一些典型例题来让学生掌握.
课堂复习中，教师要充分与学生互动，活跃课堂气氛，使学生在愉快的学习中复习并最终掌握二次函数的知识，让学生对方程思想、数形结合思想以及转化思想有进一步的理解.