人教版九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.1 圆教案

这是一份人教版九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.1 圆教案，共63页。教案主要包含了教学重点，教学难点，教学说明，归纳结论，归纳总结等内容，欢迎下载使用。
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆

1.通过观察实验操作，使学生理解圆的定义.
2.结合图形理解弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念.
3.通过举出生活中常见圆的例子，经历观察画圆的过程多角度体会和认识圆.
4.结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透.激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望.
【教学重点】
圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的理解.
【教学难点】
圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的区别与联系.

一、情境导入，初步认识
圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象.

1.观察以上图形，体验圆的和谐与美丽.请大家说说生活中还有哪些圆形？
2.请同学们在草稿纸上用圆规画圆，体验画圆的过程，想想圆是怎样形成的.
【教学说明】学生很容易找出生活中关于圆的例子，通过画圆，有利于学生从直观形象认识上升到抽象理性认识.
二、思考探究，获取新知
1.圆的描述性定义
问题1如教材79页图所示，通过用绳子和圆规画圆的过程，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
【教学说明】由于学生通过操作已经得出圆的定义，教师加以规范，有利于加深印象.

如右图：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.
注意：圆指的是圆周，不是圆面.
【教学说明】使学生能准确地理解并掌握圆的定义.
2.圆的集合定义
问题2我们以前学过“角平分线上的点到角的两边距离相等.”“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.”“线段的垂直平分线可以看作是到线段两个端点的距离相等的点的集合.”由此你能类似地给圆从集合的角度进行定义吗？
【教学说明】学生通过观察、类比、分析等方法给圆下定义，从而进一步体会圆的性质.
问：（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离有什么共同特征？
（2）到定点（圆心O）距离等于定长（半径r）的点有什么共同特征？
通过上面两个问题我们就能得到圆的集合定义.
【归纳结论】圆心为O，半径为r的圆，可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.
思考车轮为什么做成圆形的？如果车轮不是圆的（如椭圆或正方形等），坐车人会是什么感觉？


分析：把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变.因此，车辆在平路上行驶时，坐车的人会感到非常平稳.
如果车轮不是圆的，车辆在行驶时，坐车人感觉到上下颠簸，不舒服.
【教学说明】“思考”是使学生进一步理解体会圆的集合定义，同时充分将数学融入到生产生活中，激发学生的积极性和主动性，学会与人交流、合作，真正成为教与学的主体，形成师生互动的课堂氛围.
3.与圆有关的概念
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.（如：线段AB、AC）
经过圆心的弦（如AB）叫做直径.
注：直径是特殊的弦，但弦不一定是直径.
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.
如图，以A、B为端点的弧记作：AB，读作：弧AB.

注：①圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.
②大于半圆的弧，用三个点表示，如图中的ABC，叫做优弧.
小于半圆的弧，用两个点表示，如图中的AC，叫做劣弧.
等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.
注：半径相等的两个圆是等圆，反过来，同圆或等圆的半径相等.
等弧：在等圆或同圆中，能够互相重合的弧叫等弧.
注：①等弧是全等的，不仅是弧的长度相等.
②等弧只存在于同圆或等圆中.
【教学说明】结合图形，使学生准确地掌握与圆有关的概念，为后面的学习打下基础.
三、运用新知，深化理解
1.如何在操场上画一个半径是5m的圆？说说你的理由.
2.（1）以点A为圆心，可以画_____个圆.
（2）以已知线段AB的长为半径，可以画______个圆.
（3）以A为圆心，AB长为半径，可以画______个圆.
3.如图，半圆的直径AB=______.

4.如图，图中共有______条弦.
【教学说明】学生自主完成，加深对新学知识的理解和检测对圆的有关概念的掌握情况，对学生的疑惑教师及时指导，并进行强化.
【答案】
1.可以定一个圆心，取一根5m长的绳子绕圆心转动一周，所得的图形即可.
2.（1）无数 （2）无数 （3）一 3.2 4.2
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾圆的两种定义，弦（直径），弧（半圆、优弧、劣弧、等弧），等圆等知识点.
2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.
【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳，对于某些概念性的知识，要结合图形加以区别和理解.

1.布置作业：从教材“习题24.1”中选取.
2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.

本节课是从学生感受生活中圆的应用开始，到通过学生动手画圆，培养学生动手、动脑习惯，在操作过程中观察圆的特点，加深对所学知识的认识，并运用所学知识解决实际问题，体验应用知识的成就感，激发他们学习的兴趣.
24.1.2垂直于弦的直径

1.通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性.
2.掌握垂径定理及其推论.理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题.
3.通过探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.
4.结合本课特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透.
5.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望.
【教学重点】
垂径定理及其推论，会运用垂径定理等结论解决一些有关证明，计算和作图问题.
【教学难点】
垂径定理及其推论.

一、情境导入，初步认识
你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中心点到弦的距离）为7.2m.你能求出主桥拱的半径吗？（图：课本第82页图24.1-7）
【教学说明】赵州桥问题充分体现了数学与应用数学的关系，了解我国古代人民的勤劳与智慧，要解决此问题需要用到这节课的知识，这样较好地调动了学生的积极性，开启了学生的思维，成功地引入新课.
二、思考探究，获取新知
1.圆的轴对称性
问题1用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
【教学说明】学生通过自己动手操作，归纳出圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.
2.垂径定理及其推论
问题2 请同学们完成下列问题：
如右图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD.使CD⊥AB，垂足为E.
（1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么呢？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说说理由.
【教学说明】问题（1）是对圆的轴对称性这一结论的复习与应用，也是为问题（2）作下铺垫，垂径定理是根据圆的轴对称性得出来的.问题（2）可由问题（1）得到，问题（2）由学生合作交流完成，培养他们合作交流和主动参与的意识.
【归纳结论】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧（优弧、劣弧）.
数学语言：如上图，在⊙O中，AB是弦，直径CD垂直于弦AB.
∴AE=BE. 。
问（1）一条直线满足：①过圆心.②垂直于弦，则可得到什么结论？
【教学说明】本问题是帮助学生进一步分析定理的题设和结论，这样可以加深学生对定理的理解.
问（2）已知直径AB，弦CD且CE=DE（点E在CD上），那么可得到结论有哪些？（可要学生自己画图）
提示：分E点为“圆心”和“不是圆心”来讨论.即：CD是直径或CD是除直径外的弦来讨论.
结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
问（3）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧，为什么不是直径的弦？
【教学说明】问题（2）是为了推出垂径定理的推论而设立的，通过学生动手画图，观察思考，得出结论.问题（3）是对推论进行强调，使学生抓住实质，注意条件，加深印象.
3.利用垂径定理及推论解决实际问题
问题3 如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R，经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与相交于点C，根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高，AB=37.4，CD=7.2，则
AD=1/2AB=1/2×37.4=18.7，
OD=OC-CD=R-7.2.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2.
即：R2=18.72+(R-7.2)2
解得R≈27.9(m)
∴赵州桥主桥拱半径约为27.9m.
【教学说明】教师引导学生分析题意，先把实际问题转化为数学问题，然后画出图形进行解答.并且在解答过程中，让学生意识到勾股定理在这节课中的充分运用，以及圆的半径、弦、圆心到弦的距离和拱形高之间存在一定的联系.
三、运用新知，深化理解
1.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，根据圆的轴对称性可得：CE=______，=______；=______.

2.如图，在⊙O中，MN为直径，若MN⊥AB，则______，______，______，
若AC=BC，AB不是直径，则______，______，______.
3.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中），点O是这段弧的圆心，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D. AB=300m，CD=50m，则这段弯路的半径是____m.

【教学说明】让学生当堂完成，第1、2题是对垂径定理及其推论的巩固.第3题是对垂径定理的应用，需要将实际问题转化为数学问题.
【答案】1.DE
2.AC=BC = = MN⊥AB = =
3.250
四、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？
【教学说明】教师应让学生交流总结，然后补充说明，强调定理及其推论的应用.

1.布置作业：从教材“习题24.1”中选取.
2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.

1.这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题开始，引入课题从实验入手，得到圆的轴对称性，进而推出垂径定理及推论.教学设计中，从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般，层层递进，以利于提高学生的数学思维能力，同时，注意加强对学生的启发和引导，培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究素质.
2.本课的教学方法是将垂径定理和勾股定理有机结合，将圆的问题转化为直角三角形，常作的辅助线是半径或垂直于弦的直径.
24.1.3 弧、弦、圆心角

1.理解圆心角概念和圆的旋转不变性.
2.掌握在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系，以及它们在解题过程中的应用.
3.通过学生动手或计算机演示使学生感受圆的旋转不变性，发展学生的观察分析能力.
4.培养学生勇于探索的良好习惯，激发学生探究，发现数学问题的兴趣.
【教学重点】
圆心角、弧、弦之间的关系，并能运用此关系进行有关计算和证明.
【教学难点】
理解圆的旋转不变性和定理推论的应用.

一、情境导入，初步认识
汽车能正常行驶（其他情况正常）得益于车轮；而车轮又是具有什么性质才具有如此奇妙的作用呢？
教师拿出做好的教具，在纸上画下任意圆，任意画出两条半径，构成一个顶点在圆心上的角α，将这个圆绕圆心O旋转任意角度α，你会发现什么？
像α这样，顶点在圆心上的角叫圆心角.
这节课我们将要研究与它有关的一些定理，引入课题.

二、思考探究，获取新知
1.圆的旋转不变性
由上述探究活动中，我们不难发现：
围绕圆心O旋转任意角度α，都能与原来的图形重合，所以圆是中心对称图形，并且具有旋转不变的特征.
这也是车轮具有的特征，所以汽车才能正常行驶.
2.弧、弦、圆心角之间的关系
探究如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系，为什么？

【教学说明】让学生利用学具动手演示，观察，思考，同学之间合作交流，并归纳总结.教师提问几位学生代表回答他们发现的等量关系，教师同时在黑板上写出他们的结论.
【归纳结论】 AB=A′B′
∴由圆的旋转不变性可得出下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相同.
议一议（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弦相等吗？
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弧相等吗？
【教学说明】学生利用学具，结合圆的旋转不变性，很容易得出结论.这两个问题是为了使学生深切体会，圆心角、弧、弦三者在同圆或等圆中之间存在的关系.
推论：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等.


在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等.
请同学们根据图形给出定理及其推论的符号语言.
【教学说明】培养学生用符号语言表示结论，发展学生用符号语言说理的能力.
由此可总结为：在同圆或等圆中，圆心角相等弧相等弦相等.
3.圆心角、弧、弦定理及推论的应用
例1如图，在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
分析：在⊙O中，要使圆心角相等，可通过证明圆心角所对的弦或弧相等解题.
证明：∵AB=AC，∴AB=AC，△ABC是等腰三角形.
又∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA.∴∠AOB=∠BOC=∠AOC.
例2如图所示，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC、AD于E、F两点，交BA的延长线于G，判断EF和FG是否相等，并说明理由.
证明：如图.连接AE，
∵在ABCD中，AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4
又∵在⊙A中，AB=AE，
∴∠2=∠3，∴∠1=∠4
∴EF=FG（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等）
【教学说明】巩固定理内容，加深对定理的理解，初步应用定理解决问题，培养学生的逻辑推理能力及运用知识的能力.
三、运用新知，深化理解
1.观察下列选项中的图形及推理，其中正确的是：
∵∠AOB=∠A′OB′∵AD=BC
∴AB=A′B′∴AB=CD
（1）（2）
∵∠AOC=∠BOC
∴AD=BC
（3）
2.如图所示，C、D为半圆O的三等分点，AB为直径，则下列说法正确的有个.
①AD=CD=BC
②∠AOD=∠DOC=∠BOC
③四边形ADCO为菱形
【教学说明】这两道题要求学生当堂完成，学生独立思考并回答问题，教师作点评，要强调定理及推论的应用范围，以及对应量之间的关系.对回答好的同学及时给予鼓励表扬，增强学习数学的信心和热情.
【答案】 1.（2） 2.3
四、师生互动，课堂小结
通过这堂课的学习，你掌握了哪些基本概念和基本方法?如圆心角的概念，弧、弦、圆心角三者之间的关系等，试着与同伴交流.
【教学说明】先让学生对上述问题进行回顾与思考，完善知识体系，教师再进行补充说明.

1.布置作业：从教材“习题24.1”中选取.
2.完成练习册中本课时 练习的“课后作业”部分.

1.本节课学生通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，得出了圆的中心对称性、圆心角定理及推论，可以发展学生勇于探索的良好习惯，培养动手解决问题的能力.
2.本节课中，教师应让学生掌握解题方法，即要证弦相等或弧相等或圆心角相等，可先证其中一组量对应相等.掌握这个解题方法有助于提升学生的抽象思维能力.
24.1.4 圆周角

1.理解圆周角的概念.探索圆周角与同弧所对的圆心角之间的关系，并会用圆周角定理及推论进行有关计算和证明.
2.经历探索圆周角定理的过程，初步体会分类讨论的数学思想，渗透解决不确定的探索型问题的思想和方法，提高学生的发散思维能力.
3.通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验.
【教学重点】
圆周角定理及其推论的探究与应用.
【教学难点】
圆周角定理的证明中由一般到特殊的数学思想方法以及
圆周角定理及推论的应用.

一、情境导入，初步认识
如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗AB观看窗内的海洋动物，同学甲站在圆心O的位置.同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（∠AOB和∠ACB）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（∠ADB和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？

［相同，2∠ACB=2∠AEB=2∠ADB=∠AOB］
【教学说明】教师出示海洋馆图片，引导学生思考，引出课题，学生观察图形、分析，初步感知角的特征.
二、思考探究，获取新知
1.圆周角的定义
探究1 观察下列各图，图（1）中∠APB的顶点P在圆心O的位置，此时∠APB叫做圆心角，这是我们上节所学的内容.图（2）中∠APB的顶点P在⊙O上，角的两边都与⊙O相交，这样的角叫圆周角.请同学们分析（3）、（4）、（5）、（6）是圆心角还是圆周角.
【教学说明】设计这样的一个判断角的问题，是再次强调圆周角的定义，让学生深刻体会定义中的两个条件缺一不可.

【归纳结论】圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都与圆相交.二者缺一不可.
2.圆周角定理
探究2如图，（1）指出⊙O中所有的圆心角与圆周角，并指出这些角所对的是哪一条弧？
（2）量一量∠D、∠C、∠AOB的度数，看看它们之间有什么样的关系？
（3）改变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化？你发现其中有规律吗？若有规律，请用语言叙述.

解：（1）圆心角有：∠AOB圆周角有：∠C、∠D，它们所对的都是
（2）∠C=∠D=1/2∠AOB
.（3）改变动点C在圆周上的位置，这些圆周角的度数没有变化，并且圆周角的度数恰好等于同弧所对圆心角度数的一半.
【教学说明】教师利用几何画板测量角的大小，移动点C，让学生观察当C点位置发生改变过程中，图中有哪些不变，从而交流总结，找出规律，同时引导学生观察圆心与圆周角的位置关系，为定理分情况证明作铺垫.
为了进一步研究上面发现的结论，如图，在⊙O上任取一个圆周角∠ACB，将圆对折，使折痕经过圆心O和∠ACB的顶点C.由于点C的位置的取法可能不同，这时折痕可能会：
（1）在圆周角的一条边上；
（2）在圆周角的内部；
（3）在圆周角的外部.

已知：在⊙O中，所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB，求证：∠ACB=1/2∠AOB.
［提示分析：我们可按上面三种图形、三种情况进行证明.］
如图（1），圆心O在∠ACB的边上，∵OB=OC，∴∠B=∠C，而∠BOA=∠B+∠C，
∴∠B=∠C=1/2∠AOB.
图（2）（3）的证明方法与图（1）不同，但可以转化成（1）的基本图形进行证明，证明过程请学生们讨论完成.
得出圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半.
注意：①定理应用的条件是“同圆或等圆中”，而且必须是“同弧或等弧”，如下图（1）.
②若将定理中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立了.因为一条弦所对的圆周角有两种情况，它们一般不相等（而是互补）.如下图（2）.

【教学说明】在定理的证明过程中，要使学生明确，要不要分情况来证明.若要分情况证明，必须要明白按什么标准来分情况，然后针对各种不同的情况逐个进行证明.在证明过程中，第（1）种情况是特殊情况，是比较容易证明的，经过添加直径这条辅助线将（2）、（3）种情况转化为第（1）种情况，体现由一般到特殊的思想方法。对于后面要学生注意的两个问题，是为了加强学生对圆周角定理的理解，使学生能准确的掌握好圆周角定理。
3.圆周角定理的推论
议一议（1）特殊的弧——半圆，它所对的圆周角是多少度呢？
（2）如果一条弧所对的圆周角是90°，那么这条弧所对的圆心角是多少呢？
结论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.（圆周角定理的推论）
【教学说明】这个推论是圆中很重要的性质，为在圆中确定直角，构成垂直关系创造了条件.同时这一结论为在圆中证明直径提供了重要依据.
4.圆内接四边形
定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形.

⊙O是四边形ABCD的外接圆.
连接OB、OD，由圆周角定理可知：
∠A=1/2∠1，∠C=1/2∠2
而∠1+∠2=360°，∴∠A+∠C=
∴∠A与∠C互补，同理可得∠ADC+∠ABC=180°.
由此可知在⊙O的内接四边形ABCD中，对角∠A与∠C，∠ADC与∠ABC互补.
若延长BC至E，使得四边形ABCD有一个外角∠DCE，则∠DCE+∠BCD=180°.
∴∠A=∠DCE.即：外角∠DCE与内对角∠A相等.
由此可知圆内接四边形有如下性质：
圆内接四边形的对角互补，外角等于内对角.
【教学说明】从圆内接四边形的定义出发，可知圆内接四边形的四个内角都是圆周角，再由圆周角定理，把圆周角与相应的圆心角联系起来，就很容易得出圆内接四边形的性质定理.对于这个性质，学生要能分清这个命题的题设和结论，并结合图形写出已知和求证.
三、典例精析，获取新知
例1如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D.
求BC、AD、BD的长.

分析：由直径AB可知△ACB和△ADB为直角三角形，进而可用勾股定理求BC，又由CD平分∠ACB可知∠1=∠2，从而得到AD、BD.再次用勾股定理求出AD、BD的长.
解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，∴△ACB和△ADB为直角三角形.
在Rt△ABC中，BC==8（cm）.
∵CD平分∠ACB，∴∠1=∠2，∴AD=BD，∴
.又在Rt△ABD中，AD=BD=/2 AB=5（cm）
【教学说明】利用圆周角定理及其推论，将求线段长的问题转化到解直角三角形的问题上来.
例2 如图.AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠AOD=30°.求∠BCD的度数.

分析：这题有两种解答思路，可用圆周角定理，∠C=（180°+∠AOD）×1/2，也可由圆内接四边形的对角互补知：∠C+∠A=180°.而∠A=∠D，是等腰△OAD的两底角，从而可求出∠C.两种方法都不难求出∠C=105°.
【教学说明】教师提示，学生可自主选择方法，并由学生板书解答过程，发展学生的数学符号语言能力.
四、运用新知，深化理解
1.如图（1）所示，⊙O的直径AE=10cm.∠B=∠EAC，求AC的长.
2.如图（2）所示，AB是⊙O的直径，以AO为直径的⊙C与⊙O的弦AD相交于点E.（1）你认为图中有哪些相等的线段？（2）连接OE、BD.你认为OE与BD之间的关系是怎样的？
3.如图（3）所示，两圆相交于A、B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C、D分别在两圆上，若∠ADB=100°，求∠ACB的度数.
【教学说明】让学生通过习题巩固本节知识点，同时体会这节常见题型及常见辅助线的作法.在解题过程中，教师要对没有找到方法的学生进行点拨.
【答案】1. 5cm
2.(1)OA=OB，AC=OC，AE=DE (2)OE=1/2BD且OE∥BD
3.40°
五、师生互动，课堂小结
师生共同回顾本节所学的知识点有哪些？常见的辅助线有哪些？
【教学说明】学生自主交流小结，教师加以补充和点评，营造轻松愉悦的氛围.

1.布置作业：从教材“习题24.1”中选取.
2.完成练习册中本课时 练习的“课后作业”部分.

1.这节课首先是类比圆心角得出圆周角的概念.在探索圆周角与圆心角关系过程中，要求学生学会分类讨论，以及转化的数学思想解决问题，同时也培养了学生勇于探索的精神.其次，本节课还学习了圆内接四边形定义及圆内接四边形的性质，通过例题和习题训练，可以使学生在解答问题时灵活运用前面的一些基础知识，从中获取成功的经验，建立学习的自信心.
2.圆周角定理的证明分了三种情况探讨，这里蕴含着重要的数学思想——分类思想，教材中多处闪烁着分类思想的光环:三角形分类、方程的分类等，故教学过程中要整理相互交融的知识结构，加强分类思想的渗透.
24.2点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1点和圆的位置关系

1.掌握点与圆的三种位置关系及数量间的关系.
2.探求过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上三点画圆的方法.
3.了解运用“反证法”证明命题的思想方法.
4.通过生活中的实例探求点和圆的三种位置关系，并提炼出数量关系，从而渗透数形结合，分类讨论等数学思想.
5.形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神.
【教学重点】
（1）点与圆的三种位置关系.（2）过三点作圆.
【教学难点】
点与圆的三种位置关系及其数量关系反证法

一、情境导入，初步认识
射击是奥运会的一个正式体育项目，我国运动员在奥运会上屡获金牌，为我国赢得了荣誉，如图所示是射击靶的示意图，它是由若干个同心圆组成的，射击成绩是由击中靶子不同位置所决定的.图中是一位运动员射击10发子弹在靶上留下的痕迹.你知道如何计算运动员的成绩吗？

从数学的角度来看，这是平面上的点与圆的位置关系，我们今天这节课就来研究这一问题，引出课题.
【教学说明】随着现在经济科技的发展，奥运会越来越被人们所重视.本节通过学生熟悉的射击比赛成绩的算法，使学生在开拓知识视野的同时，感知点与圆的几种位置关系，体会数学在生活中应用.
二、思考探究，获取新知
1.点与圆的位置关系
我们取刚才射击靶上的一部分图形来研究点与圆存在的几种位置关系.
学生交流，回答问题.

教师点评：点与圆有三种位置关系：点在圆内，点在圆上，点在圆外.
议一议如下图，⊙O的半径为4cm，OA=2cm，OB=4cm，OC=5cm，那么，点A、B、C与⊙O有怎样的位置关系？

解：∵OB=4cm，∴OB=r，∴点B在⊙O上.
∵OA=2cm＜4cm，∴点A在⊙O内.
∵OC=5cm＞4cm，∴点C在⊙O外.
【教学说明】由前面所学的“圆上的点到圆心的距离都等于半径”，反之“到圆心的距离都等于半径的点都在圆上”可知点B一定在⊙O上 .然后引导学生看图形，初步体会并认识到点与圆的位置关系可以转化为数量关系.为下面得出结论作铺垫.
【归纳结论】点与圆的三种位置关系及其数量间的关系：
设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d.
则有：点P在⊙O外d＞r
点P在⊙O上d=r
点P在⊙O内d＜r
注：①“”表示可以由左边推出右边的结论，也可由右边推出左边结论.读作“等价于”.
②要明确“d”表示的意义，是点P到圆心O的距离.
2.圆的确定
探究（1）如图（1），作经过已知点的圆，这样的圆你能作出多少个？
（2）如图（2），作经过已知点A、B的圆，这样的圆能作多少个？它们的圆心分布有什么特点？

学生动手探究，作图，交流，得出结论，教师点评并总结.
解：（1）过已知点A画圆，可作无数个圆.这些圆的圆心分布于平面的任意一点，半径是任意长的线段（仅过点A，既不能确定圆心，也不能确定半径.）
（2）过已知的两点A、B也可作无数个圆.这些圆的圆心分布在线段AB的垂直平分线上.因为线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
（注：仅过点A、B，同样不能确定圆心，也不能确定半径.）
思考 在平面上有不共线的三点A、B、C，过这三个点能画多少个圆？圆心在哪里？

解：经过A、B两点的圆，圆心在线段AB的垂直平分线上.经过A、C两点的圆，圆心在线段AC的垂直平分线上，那么这两条垂直平分线一定相交，设交点为O，则OA=OB=OC，于是以O为圆心，以OA为半径的圆，必过B、C两点，所以过不在同一直线上的A、B、C三点有且仅有一个圆.
【归纳结论】不在同一直线上的三点确定一个圆.
由此结论要延伸到：
经过三角形三个顶点可以作一个圆，并且只能作一个，这个圆叫做三角形的外接圆.三角形的外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
三角形的外心——三角形三边垂直平分线的交点.它到三角形三个顶点的距离相等.
【教学说明】这段中心问题是过已知点作圆，在帮助学生分析这一问题时，紧紧抓住圆心和半径来研究.在三点共圆的问题上，一定要强调“不共线的三点”.这里学生实际动手作图的内容很多，可以充分调动学生学习的主动性和积极性，通过学生的动手操作和动脑思考，增强学生对知识的理解和领悟.
议一议 如果A、B、C三点在同一直线上，能画出经过这三点的圆吗？为什么？

解：如图，若过同一直线l上的三点A、B、C能作一个圆，圆心为P，则点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P是直线l1与直线l2的交点，由此可得:过直线l外一点P作直线l的垂线有两条l1和l2，这与以前学的“过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，∴过同一直线上的三点不能作圆.
【教学说明】所有学生都会看出这问题一定不能作圆，但如何证明呢?这是一个事实，直接证明有些困难，于是引入了反证法.反证法是间接证明问题的一种方法.它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，从矛盾断定所作的假设不成立，从而得出原命题成立，这种方法叫做反证法.初中阶段接触的较为简单.
三、典例精析，掌握新知
例1⊙O的半径为10cm，根据点P到圆心的距离：（1）8cm，（2）10cm，（3）13cm，判断点P与⊙O的位置关系？并说明理由.
解：由题意可知：r=10cm.
(1)d=8cm＜10cm，d＜r点P在⊙O内；
(2)d=10cm，d=r点P在⊙O上；
(3)d=13cm＞10cm，d＞r点P在⊙O外.
例2 如图，在A地往北90m处的B处，有一栋民房，东120m的C处有一变电设施，在BC的中点D处有一古建筑.因施工需要必须在A处进行一次爆破，为使民房，变电设施，古建筑都不遭破坏，问爆破影响的半径应控制在什么范围之内？

解：由题设可知：AB=90m，AC=120m，∠BAC=90°，由勾股定理可得：BC= =150（m）.
又∵D是BC的中点，∴AD=1/2BC=75（m）.
∴民房B，变电设施C，古建筑D到爆破中心的距离分别为：AB=90m，AC=120m，AD=75m.要使B、C、D三点不受到破坏，即B、C、D三点都在⊙A外，∴⊙A的半径要小于75m.
即：爆破影响的半径控制在小于75m的范围，民房、变电设施，古建筑才能不遭破坏.
【教学说明】例1可让学生独立思考，尝试写出过程；教师点评，并规范书写格式.例2是对本节知识的实际应用，教师引导学生分析问题，使学生学会将实际问题转化为数学问题，从而认识到问题的本质，也让学生体会到数学是与实际生活紧密相连的.
四、运用新知，深化理解
1.如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，D、E分别为AB、AC的中点，现以点B为圆心，BC的长为半径作⊙B，试问A、C、D、E四点分别与⊙B的位置关系？

2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC=13，BC=24，求⊙O的半径.

3.如图，有一个三角形鱼塘，在它的3个顶点A、B、C三处均有一棵大白杨树，现设想把三角形鱼塘扩建成圆形养鱼场，但必须保持白杨树不动，请问能否实现这一设想？若能，请设计画出示意图；若不能，说明理由.

【教学说明】上述三道题，教师可先给出提示，再让学生自主探究，或分组讨论，最后加以评析.题1是有关点和圆的位置关系，意在帮助学生加深理解新知，题2是外接圆的知识，题3是确定圆的知识的实际应用.
【答案】1.解:连接EB.∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5.∵E、D分别为AC、AB的中点，∴DB=1/2AB=2.5，EC=1/2AC=2，EB=.
∵AB=5＞3，∴点A在⊙B外；∵CB=3，∴点C在⊙B上；∵DB=2.5＜3，∴点D在⊙B内；∵EB= ＞3，∴点E在⊙B外.
2.解:∵AB=AC，∴ ，即A是 的中点.故连接OB，OA，则OA⊥BC，设垂足为D.在Rt△ABD中，AD==5.设⊙O的半径为r，则在Rt△OBD中，r2=(r-5)2+122，解得r=16.9.
3.只要作△ABC的外接圆即可.
五、师生互动，课堂小结
本节课你学到了哪些数学知识和数学方法？请与同伴交流 .
【教学说明】学生自主发言，教师进行点评和补充，要向学生强调反证法和数形结合的数学思想.

1.布置作业：从教材“习题24.2”中选取.
2.完成练习册中本课时 练习的“课后作业”部分.

本节课通过复习圆的定义入手，通过学生操作，总结出了点与圆的三种位置关系，其中渗透着分类讨论的思想，经过探讨过一点、两点、三点作圆，得出了不在同一直线上三点确定一个圆，从而自然引出三角形外接圆、外心及圆内接三角形的定义，此外还学习了用反证法证明命题的方法和步骤.这些定理都是从学生实践中得出的，培养了学生动手的能力.
24.2.2直线和圆的位置关系
第1课时 直线和圆的位置关系

1.掌握直线和圆的三种位置关系及其数量间的关系，掌握运用圆心到直线的距离的数量关系或用直线与圆的交点个数来确定直线与圆的三种位置关系的方法.
2.通过生活中的实例，探求直线和圆的三种位置关系，并提炼出相关的数学知识，从而渗透数形结合，分类讨论等数学思想.
3.在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.
【教学重点】
直线与圆的三种位置关系及其数量关系.
【教学难点】
通过数量关系判断直线与圆的位置关系.

一、情境导入，初步认识
问题1
在太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？如果我们把太阳看作一个圆，把地平线看作是一条直线，由此你能得出直线和圆的位置关系吗？
问题2
在纸上画一条直线l，把钥匙环看作一个圆，在纸上移动钥匙，你能发现钥匙在移动的过程中，它与直线l的公共点的个数的变化情况吗？
【教学说明】
从人们常见的太阳的东升西落的问题开始，然后学生通过移动钥匙环，亲身体会到现实生活中的数学知识，更加形象地表明了直线和圆的位置关系.先由学生交流、操作，观察发现直线与圆的位置关系，可让同学分别演示每一种情况，并写出交点的个数.
二、思考探究，获取新知
1.直线和圆的位置关系的定义及有关概念
由前面的两个探究情景可知：直线与圆有如下三种位置关系：

如图（1），直线l与⊙O有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，直线l叫做⊙O的割线.
如图（2），直线l与⊙O只有一个公共点，这时我们说直线l与⊙O相切，直线l叫做⊙O的切线，这一个公共点叫做切点.
如图（3），直线l与⊙O没有公共点，我们说这条直线l与⊙O相离.
【归纳结论】用直线和圆的交点个数可确定直线与圆的位置关系.
①直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交.
②直线与圆有一个公共点时，直线与圆相切.
③直线与圆没有公共点时，直线与圆相离.
【教学说明】
这里归纳总结这个结论，是为了让学生能更好的掌握用直线与圆交点个数的方法，来确定直线与圆的位置关系.但判断直线与圆的位置关系常用的方法是下面讲述的数量关系.
2.直线和圆的位置关系的性质和判定
思考在上面的图（1）、（2）、（3）中，设⊙O的半径为r，直线l到圆心O的距离为d，在直线和圆的三种不同位置关系中，d与r具有怎样的大小关系？反过来你能根据d与r的大小关系来确定直线和圆的位置关系吗？（学生讨论，归纳总结答案，并由学生代表回答问题.）
【归纳结论】直线l与⊙O相交d＜r；（两个交点）
直线l与⊙O相切d=r；（一个交点）
直线l与⊙O相离d＞r；(没有交点)
【教学说明】这是直线和圆的位置关系的性质和判定，对于这一结论，要求学生要熟记图形，通过数形结合的方法理解并记忆这个结论，重在结合图形进行理解掌握.
三、典例精析，掌握新知
例1
已知圆的半径等于10cm，直线l与圆只有一个公共点，求圆心到直线
l的距离.
解：∵直线l与圆只有一个公共点.∴直线l与圆相切.当直线
l与圆相切时，d=r=10cm.
∴圆心到直线l的距离为10cm.
例2如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？

(1) r=2cm；(2) r=2.4cm；(3) r=3cm.
分析：判断⊙C与直线AB的位置关系，就是比较半径r与圆心C到直线AB的距离d的大小关系，即比较r与图中CD的大小关系.
解：
如图，过C作CD⊥AB于点D.
∵∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm.
∴AB=5cm.
∵S△ABC=1/2·AB·CD=1/2·AC·BC，即1/2×5·CD=1/2×3×4，
∴CD=12/5=2.4cm.即d=2.4cm.
(1) r=2cm，d=2.4cm＞r，∴⊙C与直线AB相离.
(2) r=2.4cm，d=2.4cm=r，∴⊙C与直线AB相切.
(3) r=3cm，d=2.4cm＜r，∴⊙C与直线AB相交.
【教学说明】
例1是通过直线与圆的交点个数确定位置关系的，而例2是通过比较圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判定直线与圆的位置关系的.
四、运用新知，深化理解
1.完成课本P96练习.
2.如图，正方形ABCD中，边长为1.
（1）以点A为圆心，1为半径的圆与直线BC有怎样的位置关系？
（2）以A为圆心，半径为多少时，圆与直线BD相切？

【教学说明】这几道题比较简单，可由学生自主完成，教师再予以点评.
【答案】1.练习略.
2.（1）∵d=AB=1=r，∴⊙A与直线BC相切.
（2）∵AO⊥BD且AO=/2，∴以A为圆心，以/2为半径时，⊙A与直线BD相切.
五、师生互动，课堂小结
学生交流归纳，能够完成下表.

【教学说明】教师引导学生构建并填写表格，帮助学生理清知识脉络，在这个过程中，教师要注意多与学生进行互动交流，以了解学生对知识的真实掌握程度。

1.布置作业：从教材“习题24.2”中选取.
2.完成练习册中本课时 练习的“课后作业”部分.

本节课从生活中的常见情况引出了直线和圆的位置关系，并且从两个不同方面去判定直线与圆的三种关系，让学生讨论并归纳总结常用的直线和圆位置关系的判定方法，让学生领会该判定方法的实质是看直线到圆心的距离与半径的大小.对于该判定方法，学生一般能够熟记图形，以数形结合的方法理解并记忆.
第2课时 切线的判定与性质

1.能判定一条直线是否为一条切线，会过圆上一点作圆的切线.会运用切线的判定定理和性质定理解决问题.
2.经历切线的判定定理及性质定理的探究过程，养成学生既能自主探究，又能合作探究的良好学习习惯.
3.体验切线在实际生活中的应用，感受数学就在我们身边，感受证明过程的严谨性及结论的正确性.
【教学重点】
切线的判定定理及性质定理的探究和运用.
【教学难点】
切线的判定定理和性质的应用.

一、情境导入，初步认识
情境1 下雨天，小孩子总喜欢转动雨伞，你发现雨伞的水珠顺着伞面的边缘飞出，水珠是顺着什么方向飞出的？
情境2 用机器打磨铁制零件时，铁屑是沿什么方向飞出的？
情境3用一根细线系一个小球，当你快速转动细线时，小球运动形成一个圆，突然这个小球脱落，沿着圆的边缘飞出去，你知道小球会顺着什么方向飞出吗？
【教学说明】通过观察生活中的实例，使学生初步感知直线与圆相切的情景，深化学生思想中的数学模型.
二、思考探究，获取新知
1.切线的判定定理
思考1 如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A，作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？


分析：∵直线l⊥OA，而点A是⊙O的半径OA的外端点.
∴直线l与⊙O只有一个交点，并且圆心O到直线l的距离是垂线段OA，即是⊙O的半径.
∴直线l与⊙O相切.
【归纳总结】
切线的判定定理：经过半径的外端（点）并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
【教学说明】结合切线的定义以及“如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线和圆相切”，引导学生得出结论.在切线的判定定理中，“经过外端”和“垂直于半径”两者缺一不可.
试一试 （1）已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？（只能作一条直线）
（2）下图中的直线是圆的切线吗？（都不是圆的切线）

2.切线的性质定理
思考2 已知直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？为什么？（学生讨论，由学生代表回答）
教师点评：由于l是⊙O的切线，点A为切点，∴圆心O到l的距离等于半径，所以OA就是圆心O到直线l的距离.∴OA⊥直线l.
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
符号语言：∵直线l是⊙O的切线，切点为A.∴OA⊥直线l.
【教学说明】这个问题在引导学生分析时，直接证明比较困难，我们可以运用反证法.假设OA与l不垂直，过点O作OM⊥l，垂足为M，根据垂线段最短的性质，有OM＜OA，这说明圆心O到直线l的距离小于半径OA，直线l与⊙O就相交了，而这与直线l与⊙O相切矛盾.因此，OA垂直于直线l.
三、典例精析，掌握新知
例1 教材98页例1.（要证明一条直线是圆的切线，必须符合两个条件，即“经过半径外端”和“垂直于这条半径”.引导学生分析.
例2 （1）如图（1），AB是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，A是切点，∠PAB=30°，求∠AOB.
（2）如图（2），AB是⊙O的直径，DC切⊙O于点C，连接CA、CB，AB=12，∠ACD=30°，求AC的长.

解：（1）∵△OAB为等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA.又∵PA是⊙O的切线，∴由切线的性质可知：PA⊥OA，∴∠OAP=90°，∴∠OAB=∠OAP-∠BAP=90°-30°=60°，
∴∠AOB=180°-2∠OAB=180°-2×60°=60°.
（2）连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，而∠ACD=30°，.
∴∠OCA=60°，
∴△OAC是等边三角形，AC=OA=r=1/2×AB=1/2×12=6.
【教学说明】例1是对切线的判定定理的应用，要使学生掌握用这个定理来证明切线的关键（紧扣两点）.例2是利用切线的性质解题.在解决与圆有关的切线的问题时，常见辅助线有：（1）已知直线是圆的切线时，通常连接过切点的半径，则这条半径垂直于切线.
（2）要证明一条直线是圆的切线：①若直线过圆上某一点，则连接这点和圆心得到辅助半径，再证这条半径与直线垂直.即：已知公共点，连半径证垂直.②若直线与圆的公共点不确定，则过圆心作直线的垂线段，证明这条垂线段长等于圆的半径长.即：未知公共点，作垂线证半径.这种题型后面会给出练习.
四、运用新知，深化理解
1.完成教材第98页练习1、2.
2.如图，已知PA是∠BAC的平分线，AB是⊙O的切线，切点为E，求证：AC是⊙O的切线.

【教学说明】教材上的练习1、2由学生自主完成，加深对切线的判定及性质的理解掌握；第2题是对切线的性质与判定的综合应用，教师可先让学生独立思考，再加以提示.最后，师生共同完成解题.
【答案】1.（1）∵AT=AB，∴∠B=∠T=45°，∴∠A=180°-∠B-∠T=90°.又∵AB是⊙O的直径，∴AT是⊙O的切线.
（2）l1∥l2，理由如下：∵AB是⊙O的直径，且l1、l2是⊙O的切线，∴l1⊥AB，l2⊥AB，∴l1∥l2.
2.过O点作OF⊥AC于点F，连接OE.则OE⊥AE.∴∠OEA=∠OFA=90°，又∵PA是∠BAC的平分线，∴∠OAE=∠OAF，∵AO=AO，∴△OAF≌△OAE，∴OF=OE.又∵OE是半径，∴OF也为半径长.∴AC是⊙O的切线.
五、师生互动，课堂小结
1.让学生回顾本堂课的两个知识点.
2.试着让学生自己总结切线的证明方法，然后相互交流.
【教学说明】在这一环节，教师要尽可能地让学生自主总结与交流，然后适当地予以点评和补充.

1.布置作业：从教材“习题24.2”中选取.
2.完成练习册中本课时 练习的“课后作业”部分.

本节课从常见的生活情况入手，引入切线的概念，能激发学生的求知欲，接着又得出切线的判定方法及过圆上一点作已知圆的切线，又从另一侧面利用反证法，证明了切线的性质定理，这样，既证明了定理又复习了反证法.
第3课时 切线长定理

1.理解掌握切线长的概念和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心等概念.
2.利用圆的轴对称性帮助探求切线长的特征.结合求证三角形内面积最大的圆的问题，掌握三角形内切圆和内心的概念.
3.经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力.
【教学重点】
切线长定理及其应用.
【教学难点】
内切圆、内心的概念及运用.

一、情境导入，初步认识
探究 如图，纸上有一⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B，回答下列问题：（1）OB是⊙O半径吗？（2）PB是⊙O的切线吗？（3）PA、PB是什么关系？（4）∠APO和∠BPO有何关系？

学生动手实验，观察分析，合作交流后，教师抽取几位学生回答问题.
分析：OB与OA重合，OA是半径，∴OB也是半径.根据折叠前后的角不变，∴∠PBO=∠PAO=90°（即PB⊥OB），PA=PB，∠POA=∠POB；∠APO=∠BPO.而PB经过半径OB的外端点，∴PB是⊙O的切线.

二、思考探究，获取新知
1.切线长的定义及性质
切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.
我们知道圆的切线是直线，而切线长是一条线段长，不是直线.
如右图中，PA、PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB.又OA=OB，OP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP，∴PA=PB，∠AOP=∠BOP，∠APO=∠BPO.
由此我们得到切线长定理:
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
【教学说明】这个定理要让学生分清题设和结论.题设：过圆外一点作圆的切线.结论：①过圆外的这一点可作该圆的两条切线.②两条切线长相等.③这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
猜想：在上图中连接AB，则OP与AB有怎样的关系？
分析：∵PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点.∴PA=PB，∠OPA=∠OPB，∴OP⊥AB，且OP平分AB.
2.三角形的内切圆
思考 如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？

【教学说明】引导学生分析作图的关键，假设圆已经作出，圆心应满足什么条件，怎样根据这些条件确定圆心？圆心确定后，如何确定半径？教师引导，学生要互相讨论来解决这些问题.
假设符合条件的圆已作出，那么这个圆与△ABC的三边都相切，这个圆的圆心到△ABC三边的距离都等于半径.又因为我们在角平分线这节中学过，三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等.因此，在△ABC中，作∠B，∠C的角平分线BM和CN，它们相交于点I，则点I到AB、BC、AC的距离相等.∴以I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC三边相切.
内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
三角形的内心到三角形三边的距离相等.
【教学说明】要让学生对照图形理解三角形的内切圆的概念，并与三角形的外接圆进行比较.“接”和“切”是说明多边形的顶点和边与圆的关系；多边形的顶点都在圆上叫“接”，多边形的边都与圆相切叫“切”.
三、典例精析，掌握新知
例1 教材第100页，例2（本题较简单，教师指点，可由学生自主完成）
例2 如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，连接OP，交⊙O于C，若PA=6.PC=23.求⊙O的半径OA及两切线PA、PB的夹角.

分析：连接OA，设AO=x，在Rt△AOP中利用勾股定理求出x，由切线长定理知∠APO=12∠APB.求出∠APO就可得∠APB.
解：连接AO，∵PA是⊙O的切线，∴PA⊥OA，△PAO为直角三角形.
设OA=x，则OC=x，在Rt△PAO中，OA2+PA2=OP2，∴x2+62=(2+x)2，解得:x=2.∴OA=2，OP=4，∴∠AOP=60°，∠APO=30°.
∴∠APB=2∠APO=2×30°=60°.∴⊙O的半径OA为2，两切线PA、PB的夹角为60°.
【教学说明】例1、例2是利用切线长定理进行计算，在解题过程中，我们常常用方程来解决几何问题.
例3如图，在△ABC中，I是内心，∠BIC=100°，则∠A=____.

分析：∵I是内心.
∴BI，CI分别是∠ABC，∠ACB的平分线.
∴∠ABC+∠ACB=2（∠IBC+∠ICB）.
又∵∠BIC=100°，∴∠IBC+∠ICB=80°.
∴∠ABC+∠ACB=160°.
∴∠A=180°-160°=20°.
【教学说明】指导学生利用三角形内心的性质解决问题.
四、运用新知，深化理解
课本第100页练习1、2题.
【教学说明】教师引导学生完成课本练习.
五、师生互动，课堂小结
这节课学习了哪几个重要知识点？你有哪些疑惑？
【教学说明】学生自主交流并发言总结，教师予以补充和点评，让学生完整地领会本堂课的知识要点.

1.布置作业：从教材“习题24.2”中选取.
2.完成练习册中本课时 练习的“课后作业”部分.

本节课的教学是直线与圆的位置关系的继续，从探究切线长定理开始，通过如何作一个三角形的内切圆，引出三角形的内切圆和三角形内心的概念，经历这些探究过程，能使学生掌握图形的基本知识和基本技能，并能解决简单的问题.
24.3正多边形和圆

1.了解正多边形和圆的关系，了解正多边形半径和边长，边心距，中心，中心角等概念.会应用正多边形的有关知识解决圆中的计算问题.会用圆规、量角器和直尺来作圆内接正多边形.
2.结合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系，然后学会用圆的有关知识，解决正多边形的问题.
3.学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活、又服务于生活，体现事物之间是相互联系，相互作用的.
【教学重点】
正多边形与圆的相关概念及其之间的运算.
【教学难点】
探索正多边形和圆的关系，正多边形半径，中心角、弦心距，边长之间的关系.

一、情境导入，初步认识
观察这些美丽的图案，都是在日常生活中，我们经常能看到的利用正多边形得到的物体.

（1）你能从图案中找出多边形吗？
（2）你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样就能作出一个正多边形来？
【教学说明】学生通过观察美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体.让学生感受到数学来源于生活，并从中感受到数学美.问题（2）的提出是为了创设一个问题情境，激起学生主动将所学圆的知识与正多边形联系起来，激发学生积极探索、研究的热情，并有意将注意力集中在正多边形和圆的关系上.
二、思考探究，获取新知
1.正多边形和圆的关系
问题1将一个圆分成5等份，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是，请你证明这个结论.
教师引导学生根据题意画图，并写出已知和求证.
已知：如图，在⊙O中，A、B、C、D、E是⊙O的五等分点.依次连接ABCDE形成五边形.
问：五边形ABCDE是正五边形吗？如果是，请证明你的结论.
答案：五边形ABCDE是正五边形.

证明：在⊙O中，∵，∴AB=BC=CD=DE=EA， ，∴∠A=∠B；同理∠B=∠C=∠D=∠E，∴五边形ABCDE是正五边形.
【教学说明】教师引导学生从正多边形的定义入手证明，即证明多边形各边都相等，各角都相等；引导学生观察、分析，教师带领学生完成证明过程.
问题2如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗？
答案：这个n边形一定是正n边形.
【教学说明】在这个问题中，教师重点关注学生是否会仿照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n边形.从问题1到问题2是将结论由特殊推广到一般，这符合学生的认知规律，并教导学生一种研究问题的方法，由特殊到一般.
问题3各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形是正多边形吗？如果是，说明理由；如果不是，举出反例.
答案：各边相等的圆内接多边形是正多边形.因为：各边相等的圆内接多边形的各角也相等.各角相等的圆内接多边形不是正多边形.如：矩形.
【教学说明】问题3的提出是为了巩固所学知识，使学生明确判定圆内接多边形是正多边形，必须满足各边都相等，各内角也都相等，这两个条件缺一不可.同时教会学生学会举反例.培养学生思维的批判性.
2.正多边形的有关概念
综合图形，给出正多边形的中心，半径，中心角，边心距等概念.
正n边形：中心角为：
360°n；内角的度数为：180°（n-2）n
3.正多边形和圆有关的计算问题
例1（课本106页例题）有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）.
分析：根据题意作图，将实际问题转化为数学问题.
解：如图.∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=360°/6=60°.
∴△BOC是等边三角形.∴R=BC=4m，

∴这个亭子地基的周长为:4×6=24（m）.
过O点作OP⊥BC，垂足为P.在Rt△OCP中，OC=R=4，CP=1/2BC=2.
.
例2填空.

【教学说明】例1是让学生了解有关正多边形的概念后，掌握正多边形的计算.同时，通过例1引导学生将实际问题转化为数学问题，将多边形化归为三角形来解决.例2通过网格来呈现问题，在解决例2时，教师指导学生用数形结合的方法来解决问题，加深对有关概念的理解.
4.画正多边形
画正多边形，通常是通过等分圆周的方法来画的.等分圆周有两种方式：
（1）用量角器等分圆周.

方法一：由于在同圆或等圆中相等的圆心角所对弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆.
方法二：先用量角器画一个等于360°/n的圆心角，这个圆心角所对的弧就是圆的1/n，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的几等分点.
【教学说明】这两种方法可以任意等分圆，但不可避免地存在误差.
（2）用尺规等分圆
正方形的作法:如图（1)在⊙O中，尺规作两条垂直的直径，把⊙O四等分，从而作出正方形ABCD.再逐次平分各边所对弧，则可作正八边形、正十六边形等边数逐次倍增的正多边形.
正六边形的作法：方法一：如图（2）任意作一条直径AB，再分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径作弧，与⊙O交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D为⊙O的六等分点，顺次连接各等分点，得到正六边形ACEBFD.
方法二：如图（3）由于正六边形的半径等于边长.所以在圆上依次截取等于半径的弦，就将圆六等分，顺次连接各等分点即可得到正六边形.
【教学说明】尺规作图法是一种比较准确的等分圆的方法，但有较大的局限性，它不能将圆任意等分.
三、运用新知，深化理解
1.如图，圆内接正五边形ABCDE，对角线AC与BD相交于点P，则∠APB的度数为_______.

2.边长为2/π的正方形的内切圆与外接圆所组成的圆环的面积为_____.
3.如果一个正六边形的面积与一个正三角形的面积相等，求正六边形与正三角形的内切圆的半径之比.
4.如图，点M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，……正n边形的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON.

（1）求图1中的∠MON的度数；
（2）在图2中，∠MON的度数为_____，在图3中，∠MON的度数为_____；
（3）试探索∠MON的度数与正n边形边数n之间的关系.（直接写出答案）
【教学说明】题1、2可由学生自主探索完成，题3、4可先让学生思考，然后教师加以提示，最后共同解答.完成教材第106页、108页的练习.
【答案】1.72°



4.解：（1）连接OB、OC.∵正三角形ABC内接于⊙O，∴∠OBM=∠OCN=30°，∠BOC=120°.又∵BM=CN，OB=OC，∴△BOM≌△CON，∠BOM=∠CON，∴∠MON=∠BOC=120°.(2)90°72°(解法与（1）相同)
(3)∠MON=360°/n.
四、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，你知道正多边形和圆有怎样的关系吗？你知道正多边形的半径、边心距、内角、中心角等概念吗？你能画出正多边形吗？
【教学说明】教师先提出问题，然后让学生自主思考并回顾，教师再予以补充和点评.

1.布置作业：从教材“习题24.3”中选取.
2.完成练习册中本课时 练习的“课后作业”部分.

1.本节课首先从复习正多边形的定义入手，通过创设问题情境，将正多边形与圆紧密联系，让学生发现它们之间的密切关系，并将结论由特殊推广到一般，符合学生的认识规律，通过学习正多边形中的一些基本概念，引导学生将实际问题转化为数学问题，体现了化归的思想.其次，在这一基础上，又教给学生用等分圆周的方法作正多边形，这可以发展学生的作图能力.
2.等分圆周法是一种作正多边形的常见方法，通过作简单的正三角形、正方形、正六边形，一直推广到作正八边形的情况，可以向学生灌输极限的思想，极限是微积分中最主要、最基本的概念，它从数量上描述变量在变化过程中的变化趋势，在高中数学中，极限思想渗透到函数、数列等章节，又衔接高等数学，起着承上启下的作用.
24.4弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积

1.经历探索弧长计算公式的过程，培养学生的探索能力.了解弧长计算公式，并会应用弧长公式解决问题，提高学生的应用能力.
2.通过等分圆周的方法，体验弧长扇形面积公式的推导过程，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力.
3.通过对弧长和扇形面积公式的推导，理解整体和局部的关系.通过图形的转化，体会转化在数学解题中的妙用.
【教学重点】
弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积.
【教学难点】
运用弧长和扇形面积公式计算比较复杂图形的面积.

一、情境导入，初步认识
问题1 在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的另一端拴着一只羊，问：
（1）这只羊的最大活动面积是多少？
（2）如果这只羊只能绕过柱子n°角，那么它的最大活动面积是多少？

问题2 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，这就涉及到计算弧长的问题.
如图，根据图中的数据你能计算的长吗？求出弯道的展直长度.


【教学说明】通过这样两个实际问题引入有关弧长和扇形面积的计算，从而引入课题。同时，这也是本节中最常见的两种类型.
二、思考探究，获取新知
1.探索弧长公式
思考1 你还记得圆的周长的计算公式吗？圆的周长可以看作多少度的圆周角所对的弧长？由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少?n°的圆心角所对的弧长多少？
分析：在半径为R的圆中，圆周长的计算公式为：C=2πR，则：
圆的周长可以看作360°的圆心角所对的弧；
∴1°的圆心角所对的弧长是：1/360·2πR=πR/180；
2°的圆心角所对的弧长是：2/360·2πR=πR/90；
4°的圆心角所对弧长是：4/360·2πR=πr/45；
∴n°的圆心角所对的弧长是：l=nπR/180；
由此可得出n°的圆心角所对的弧长是：l=nπR/180.
【教学说明】①在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义，n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式可以按推导过程来理解记忆；③区分弧、弧度、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等；弧长相等的弧也不一定是等弧，而只有在同圆或等圆中才可能是等弧.
小练习：①应用弧长公式求出上述弯道展直的长度.
②已知圆弧的半径为50cm，圆心角为60°，求此圆弧的长度.
答案：①500π+140(mm) ②50π/3(cm)
2.扇形面积计算公式
如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.

思考2 扇形面积的大小与哪些因素有关？（学生思考并回答）
从扇形的定义可知，扇形的面积大小与扇形的半径和圆心角有关.扇形的半径越长，扇形面积越大；扇形的圆心角越大，扇形面积越大.
思考3若⊙O的半径为R，求圆心角为n°的扇形的面积.
【教学说明】此问题有一定的难度，目的是引导学生迁移推导弧长公式的方法步骤，利用迁移方法探究新问题，归纳结论.

小练习：
①如果扇形的圆心角是230°，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆的面积的23/36.
②扇形面积是它所在圆的面积的23，这个扇形的圆心角的度数是240°；
③扇形的面积是S，它的半径是r，这个扇形的弧长是：2S/r.
【教学说明】这几个小练习是帮助学生理解扇形面积公式的推导，加深对公式以及扇形面积和弧长之间的转化关系的记忆.
三、典例精析，掌握新知
例1（教材112页例2）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径为0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（精确到0.01m2）.
解：连接OA、OB，作弦AB的垂线OD交 于点C.
∵OC=0.6，DC=0.3，∴OD=OC-DC=0.3
在Rt△OAD中，OA=0.6，OD=0.3，由勾股定理可知：AD=0.3；在Rt△OAD中，OD=1/2OA.∴∠OAD=30°，∠AOD=60°，∴∠AOB=120°.
∴有水部分的面积为：S=S扇形OAB-S△OAB=0.12π-12×0.63×0.3≈0.22(m2).
例2如图，⊙O1半径是⊙O2的直径，C是⊙O1上一点，O1C交⊙O2于点B，若⊙O1的半径等于5cm，AC的长等于⊙O1周长的110，则AB的长是cm.
分析：由AC的长是⊙O1周长的1/10可知：
∠AO1C=36°，∠AO2B=2∠AO1B=72°，O2A=5/2，
∴ 的长l=72π/180×5/2=π.
【教学说明】例1是求弓形面积，弓形面积是扇形面积与三角形面积的差或和，因此掌握了扇形面积公式，弓形面积就迎刃而解了，例2是结合弧长公式和圆有关知识进行求解.可由学生合作交流完成.
四、运用新知，深化理解
完成教材第113页练习3个小题.
【教学说明】这几个练习较为简单，可由学生自主完成，教师再予以点评.
五、师生互动，课堂小结
通过这堂课的学习，你知道弧长和扇形面积公式吗？你会用这些公式解决实际问题吗？
【教学说明】教师先提出问题，然后师生共同回顾，完善认知.

1.布置作业：从教材“习题24.4”中选取.
2.完成练习册中本课时 练习的“课后作业”部分.

本节课从复习圆周长公式入手，根据圆心角与所对弧长之间的关系，推导出了弧长公式.后又用类比的方法，推出扇形面积，两个公式的推导中，都渗透着由“特殊到一般”，再由“一般到特殊”的辩证思想，再由学生比较两个公式时，又很容易得出两者之间的关系，明确了知识间的联系.
第2课时 圆锥的侧面积和全面积

1.通过实物演示让学生知道圆锥的侧面展开图是扇形；知道圆锥各部分的名称，能够计算圆锥的侧面积和全面积.
2.通过展开圆锥知道圆锥的全面积是扇形和底面圆形，通过制作圆锥，理解圆锥与扇形和圆之间的关系，进一步体会数学中的转化思想，培养学生动手操作能力和分析问题解决问题的能力.
3.通过把圆锥展开和制作圆锥，理解事物之间的联系，激发学生动手的欲望和积极思考的兴趣.
【教学重点】
计算圆锥的侧面积和全面积.
【教学难点】
圆锥侧面展开的扇形和底面圆之间有关元素的计算.

一、情境导入，初步认识
多媒体播放:青青草原上的蒙古包，介绍蒙古包资料.
请同学们仔细观察蒙古包图片，说说它整体框架近似地看成是由哪些几何体构成的?你知道怎么计算包围在它外表毛毡的面积吗?
【教学说明】通过播放视频，吸引学生的注意力，在学生欣赏过程中思考数学问题，在轻松愉快的状态下开始这节课.
二、思考探究，获取新知
1.圆锥的相关概念
由具体的圆锥模型认识它的侧面展开图，认识圆锥各部分的名称.
把一个圆锥模型沿着母线剪开.让学生观察圆锥的侧面展开图，学生很容易得出:圆锥的侧面展开图是一个扇形；
圆锥的全面展开图是一个扇形和一个圆.
如图，连接圆锥顶点和底面圆上任意点的线段叫做圆锥的母线(图中的线段l)，连接顶点和底面圆心的线段叫圆锥的高（图中的h）.

问题 圆锥有多少条母线？圆锥的母线有什么性质？
通过这个问题使学生理解，在讨论圆锥的侧面展开图时，无论从哪里展开都行.
【结论】圆锥有无数条母线，圆锥的母线长相等.
2.圆锥的侧面积和全面积.
设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么把圆锥侧面展开后的扇形的半径为：l，扇形的弧长为：2πr，因此圆锥的侧面积为；1/2·2πr·l=πrl.圆锥的全面积为：πrl+πr2=πr(l+r).
【教学说明】让学生探究、思考、合作交流，找出图中隐藏的等量关系，明确圆锥侧面积，全面积的计算方法，学会分析问题、解决问题的方法.
三、典例精析，掌握新知
例1(教材114页例3)蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为12m2，高为3.2m，外围高1.8m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（π取3.142，结果取整数）？
解：由题意可知:下部圆柱的底面积为12m2，高为1.8m，
∴上部圆锥的高为：3.2-1.8=1.4（m）.
圆柱的底面圆半径为： (m)≈1.954(m).
∴圆柱的侧面积为：2π×1.954×1.8≈22.10(m2)，
圆锥的母线长为：≈2.404(m).
圆锥侧面展开扇形的弧长为：2π×1.954≈12.28(m).
圆锥的侧面积为：1/2×2.404×12.28≈14.76(m2)
∴搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡：
20×(22.10+14.76)≈738(m2)
【教学说明】这个例题也是弧长、扇形面积公式在圆锥中的应用.在计算扇形面积时，学生常常把圆锥底面半径当做是扇形的半径，所以在解题前要理解清楚这个扇形中各个元素与圆锥各个元素之间的关系，即扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是圆锥底面圆的周长.
例2 如图所示是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面展开图是扇形OAB，经测量，纸杯上开口圆的直径为6cm，下底圆直径是4cm，母线长EF=8cm，求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积（结果保留π）.


【教学说明】此例综合考查了弧长公式，扇形面积公式的灵活应用.教师在讲解前，可先让学生自由思考，然后评析.最后可让优秀学生上台板书解题过程.
四、运用新知，深化理解
1.圆锥底面圆的半径为5cm，母线长为8cm，则它的侧面积为_____cm2.
2.圆锥底面圆的直径为6cm，高为4cm，则它的全面积为______cm2.
3.已知圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则它的侧面展开图的圆心角为______.
4.亮亮想制作一个圆锥模型，模型的侧面是用一个半径为9cm，圆心角为240°的扇形铁皮制作的，再用一块圆形铁皮做底，请你帮他计算这块铁皮的半径为_____cm.
【教学说明】1、2题是圆锥的侧面积和全面积的计算，3、4题则较难，这两题教师作图引导学生分析问题，再由学生讨论交流完成，并写出解题过程.
【答案】1. 40π

五、师生互动，课堂小结
圆锥的侧面展开图是什么？如何计算圆锥的侧面积和全面积？你还有什么疑惑？
【教学说明】教师先提出问题，然后让学生进行回顾与思考，反思学习体会，完善知识结构.

1.布置作业:从教材“习题24.4”中选取.
2.完成练习册中本课时 练习的“课后作业”部分.

1.本节课从观察圆锥模型开始，通过猜想侧面展开图的形状，然后由老师具体操作验证结论的正确性，并能运用所学知识推导出圆锥的侧面积和全面积公式，培养了学生观察、猜想、探索等方面的能力.
2.本小节教材是复习圆周长公式推出弧长公式，复习圆面积公式推出扇形面积公式，是在小学基础知识上的提升，圆柱和圆锥的侧面积的计算，是将立体图形化为平面图形，通过具体操作，学生可以获得直观的感受，对于学习高中立体几何，会大有帮助.
本章热点专题训练

1.掌握本章重要知识.能灵活运用有关定理，公式解决具体问题.
2.通过梳理本章知识，回顾解决问题中所涉及的数形结合思想，分类讨论思想的过程，加深对本章知识的理解.
3.在运用本章知识解决具体问题过程中，进一步体会数学与生活的密切联系，增强数学应用意识，感受数学的应用价值，激发学生兴趣.
【教学重点】
回顾本章知识点，构建知识体系.
【教学难点】
利用圆的相关知识定理解决具体问题.

一、知识框图，整体把握

【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构框图，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.教学时，边回顾边建立结构框图.
二、释疑解惑，加深理解
1.垂径定理及推论的应用
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
拓展：①弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
②平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
说明：由垂径定理及其推论，可知对于一个圆和一条直线，如果具备下列五个性质中的两个，那么就具备其余三个性质.这五个性质分别为：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧.
特别注意：此处被平分的弦不能是直径，因为在圆中，任意两条直径总是互相平分的.
2.三角形内切圆的半径r，周长l与面积S之间的关系
与三角形各边都相切的圆叫做三角形内切圆.
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
所以，三角形的内心到三角形三边的距离相等，并且一定在三角形内，三角形有唯一的一个内切圆，而圆有无数个外切三角形.
3.两圆相交作公共弦的问题
两圆相交作公共弦的问题，往往利用圆的轴对称性构造直角三角形来解题，但要注意两圆圆心分布在同侧还是异侧.
三、典例精析，复习新知
例1 如图，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径.
则下列结论中不正确的是（ ）

分析：∵P是弦AB的中点，CD是过点P的直径.∴由垂径定理的推论及“三线合一”的性质即可判断.由题意易判断出D项结论不正确.
例2 如图，在垂径定理的运用中，常涉及弦长a，弦心距d，半径r，以及弓形高h这四者之间的关系，它们的关系是_____.
分析：根据这两个公式，在a、d、h、r四个量中，知道任意两个即可求出其他两个.由题意易求得它们的关系为r2=(a/2)2+d2,r=d+h.
例3如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE=1，CD=2，BF=3.且△ABC的面积为6,则内切圆的半径r=_____.

分析：直接求内切圆的半径有困难，由于面积已知，因此，可转化为面积法来求，连接AO、BO、CO，则△ABC分为三部分，由面积可求出半径.
6=×(AF+BF)·r+×(BD+CD)·r+×(AE+EC)·r
即：6=×4r+×5r+×3r
r==1.
引申：在上题中，若△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S,周长为l.则.
例4相交两圆的公共弦长6，两圆半径分别为3和5，求两圆的圆心距.
分析：两圆相交作公共弦，运用圆的轴对称性知连心线O1O2垂直平分公共弦，构造直角三角形，同时要注意两圆心分布在公共弦的同侧或异侧这两种情况.



例5如图，已知△ABC,AC=BC=6,∠C=90°,O是AB的中点，⊙O与AC相切于点D，与BC相切于点E，设⊙O交OB于F，连DF并延长交CB的延长线于G.
（1）∠BFG与∠BGF是否相等?为什么？
（2）求由DG、GE和ED所围成图形的面积（阴影部分）.
解：（1）∠BFG=∠BGF.连OD，∵OD=OF,∴∠ODF=∠OFD,∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC.又∵∠C=90°,即GC⊥AC∴OD∥GC.∴∠BGF=∠ODF，又∵∠BFG=∠OFD,∴∠BFG=∠BGF.

例6如图⊙O的半径为1，过点A（2，0）的直线与⊙O相切于点B，交y轴于点C.
（1）求线段AB的长.
（2）求以直线AC为图象的一次函数的解析式.


【教学说明】师生共同回顾本章主要知识点，教师适时给予评讲，阐明应用各知识点需要注意哪些问题.对于所述例题，可根据需要适当增减例题.
四、复习训练，巩固提高
1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB,垂足为P，若AP∶PB=1∶4,CD=8,则AB=______.

第1题图 第2题图
2.如图，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧BC上的一点，已知∠BAC=80°,那么∠BDC=______.
3.如图，这是一个滚珠轴承的平面示意图，若该滚珠轴承的内、外圆周的半径分别为2和6，则在两圆周之间所放滚珠最大半径为______.这样的滚珠最多能放______颗.
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠CAB=30°,BC=2，O、H 分别为AB、AC的中点，将△ABC绕点B沿逆时针方向旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中，线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为______.
5.如图，已知直线AB：y=-1/2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，O1为y轴上的点，以O1为圆心，经过A、B两点作圆，⊙O1与x轴交于另一点C，AF切⊙O1于点A，直线BD∥AF交⊙O1于点D，交OA于点E.
（1）求⊙O1的半径；
（2）求点E的坐标.
【教学说明】这部分安排了五个本章较典型的重点.题型是为了加强本章知识的综合应用，前三小题可让学生自由讨论，后两小题可师生共同探讨得出结论.
【答案】1.102.50°
3.26


五、师生互动，课堂小结
本堂课你能完整地回顾本章所学的有关圆的知识吗？你学会了哪些与圆相关的证明方法？你还有哪些困惑与疑问？
【教学说明】教师引导学生回顾本章知识，尽可能让学生自主交流与反思，对于学生的困惑与疑问，教师应予以补充和点评.

1.布置作业:从教材“复习题24”中选取.
2.完成练习册中本课时的课后作业.

本节课通过学习归纳本章内容，以垂径定理、内切圆、两圆相交作公共弦等知识点为支撑，力求以点带面，查漏补缺，让学生对本章知识了然于胸，此外，又通过两个有关切线的例题，加强对重点知识的训练.使学生能在全面掌握知识点前提下，又能抓住重点.