专题04 动点相切与最值-2022-2023学年九年级数学上学期期末分类复习满分冲刺（苏科版）

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典例1
如图，∠ABC＝70°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，12OB长为半径做⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线绕点B按顺时针方向旋转（ ）
A．35°或70°B．40°或100°C．40°或90°D．50°或110°
试题分析：设旋转后与⊙O相切于点D，连接OD，则可求得∠DBO＝30°，再利用角的和差可求得∠ABD的度数．
答案详解：解：如图，设旋转后与⊙O相切于点D，连接OD，
∵OD=12OB，
∴∠OBD＝30°，
∴当点D在射线BC上方时，∠ABD＝∠ABC﹣∠OBD＝70°﹣30°＝40°，
当点D在射线BC下方时，∠ABD＝∠ABC+∠OBD＝70°+30°＝100°，
所以选：B．
典例2
如图，已知线段OP交⊙O于点B，且OB＝PB＝4，点A是⊙O上的一个动点，那么点B到直线AP距离的最大值为 2 ．
试题分析：如图，过点B作BH⊥AP于H，过点O作OT⊥AP于T．利用三角形中位线定理证明BH=12OT，求出OT的最大值即可解决问题．
答案详解：解：如图，过点B作BH⊥AP于H，过点O作OT⊥AP于T．
∵∠BHP＝∠OTB＝90°，
∴BH∥OT，
∵BP＝OB，
∴TH＝HP，
∴BH=12OT，
当PA与⊙O相切时，OT＝4，此时BH的值最大，最大值为2，
所以答案是：2．
实战训练
一．动点与相切
1．如图，半圆O的直径DE＝10cm，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝10cm，半圆O以1cm/s的速度从右到左运动，在运动过程中，D、E点始终在直线BC上，设运动时间为t（s），当t＝0（s）时，半圆O在△ABC的右侧，OC＝6cm，那么，当t为 s时，△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝43cm，AD＝12cm，动点P以每秒1cm的速度从点C沿折线C﹣D﹣A匀速运动，到点A运动停止．以P为圆心作半径为3cm的⊙P，当⊙P与对角线BD相切时，点P的运动时间为 s．
3．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为1的⊙P的圆心P从点A（4，m）出发以每秒2个单位长度的速度沿射线AC的方向运动，设点P运动的时间为t秒，则当t＝ 秒时，⊙P与坐标轴相切．
4．如图，在平面直角坐标系中，A（0，23），动点B、C从原点O同时出发，分别以每秒1个单位和每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，以点A为圆心，OB的长为半径画圆；以BC为一边，在x轴上方作等边△BCD．设运动的时间为t秒，当⊙A与△BCD的边BD所在直线相切时，t的值为 ．
5．如图，正方形ABCD的边长为8．M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为（ ）
A．3B．43C．3或43D．不确定
二．圆中最值与相切
6．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，有一过点C的动圆O与斜边AB相切于动点P，连接CP．随着切点P的位置不同，则圆O的半径最小值为（ ）
A．2.5B．2.4C．2.2D．1.2
7．如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP＝4，则线段OM的最小值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．如图，已知⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，且OP＝2．若PT是⊙O的切线，T为切点，连结OT，则PT＝ ．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知C（6，8），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为 ．
10．如图，半径为1的⊙O与直线l相切于点A，C为⊙O上的一点，CB⊥l于点B，则AB+BC的最大值是（ ）
A．2B．12+3C．2+1D．2+22
11．如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为3，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 ．
12．如图①，半径为2的圆O外有一点P，且OP＝6，点A是⊙O上一点，则线段PA长的最大值为 ，最小值为 ；
问题解决
（2）如图②，在Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，求线段PB的距离的最小值；
（3）如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F为边AC上的动点，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，求线段PB的距离的最小值．