专题05 函数动点最值之线段与面积-2022-2023学年九年级数学上学期期末分类复习满分冲刺（苏科版）

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典例1
如图，抛物线y＝ax2+2x+c．与x轴交于A，B两点，与y轴交于C（0，3），直线y＝﹣x﹣1经过点A且与抛物线交于另一点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P是位于直线AD上方的抛物线上的一个动点，连接PA，PD，求△PAD的面积的最大值．
解题思路：：（1）根据y＝﹣x﹣1经过点A，可求出点A的坐标，将点A、C的坐标代入y＝ax2+2x+c即可求出抛物线的解析；
（2）联立抛物线和一次函数y＝﹣x﹣1的解析式列方程解出可得点D的坐标，过点P作PE∥y轴，交AD于E，设P（t，﹣t2+2t+3），则E（t，﹣t﹣1）（点），表示PE的长（线），根据三角形面积公式可得△APD的面积(式)，配方后可得结论．
答案详解：解：（1）∵直线y＝﹣x﹣1经过点A，
∴令y＝0，则0＝﹣x﹣1，
∴x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c得：
a−2+c=0c=3，
解得：a=−1c=3，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）﹣x2+2x+3＝﹣x﹣1，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴D（4，﹣5），
过点P作PE∥y轴，交AD于E，
设P（t，﹣t2+2t+3），则E（t，﹣t﹣1），
∴PE＝（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t﹣1）＝﹣t2+3t+4，
∴△PAD的面积=12•PE•（4+1）=52（﹣t2+3t+4）=−52（t−32）2+1258，
当t=52时，△PAD的面积最大，且最大值是1258．
典例2
如图，二次函数y=12x2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），一次函数y＝kx+1的图象经过点B和二次函数图象上另一点A．其中点A的坐标为（4，3）．
（1）求二次函数和一次函数的解析式；
（2）若抛物线上的点P在第四象限内，过点P作x轴的垂线PQ，交直线AB于点Q，求线段PQ的最大值．
解题思路：（1）先把A点坐标代入y＝kx+1可求出k，从而得到一次函数解析式为y=12x+1，则易得B（﹣2，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征，设P（x，12x2−12x﹣3），Q（x，12x+1），（点）则PQ=12x+1﹣（12x2−12x﹣3），（线）把解析式配成顶点式得到PQ=−12（x﹣1）2+92，（式）然后根据二次函数的性质求PQ的最大值．
答案详解：解：（1）把A（4，3）代入y＝kx+1得：
4k+1＝3，
解得：k=12，
∴一次函数解析式为y=12x+1，
当y＝0时，12x+1＝0，
解得x＝﹣2，
则B（﹣2，0），
把B（﹣2，0），A（4，3）代入y=12x2+bx+c得：
2−2−2b+c=08+4b+c=3，
解得：b=−12c=−3
∴抛物线解析式为y=12x2−12x﹣3；
（2）设P（x，12x2−12x﹣3），则Q（x，12x+1），
∴PQ=12x+1﹣（12x2−12x﹣3）
=−12x2+x+4
=−12（x﹣1）2+92，
∴当x＝1时，PQ最大，最大值为92．
实战训练
一．线段最值之纵差法
1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，B，C两点的坐标分别为（3，0）和（0，3）．
（1）直线BC的解析式为 y＝﹣x+3 ．
（2）求抛物线所对应的函数解析式．
（3）①顶点D的坐标为 （1，4） ；
②当0≤x≤4时，二次函数的最大值为 4 ，最小值为 ﹣5 ．
（4）若点M是第一象限的抛物线上的点，过点M作x轴的垂线交BC于点N，求线段MN的最大值．
试题分析：（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）把B（3，0），和C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求函数解析式；
（3）①由y＝﹣（x﹣1）2+4，即可求顶点坐标；
②当x＝1时，函数有最大值4，当x＝4时，函数有最小值﹣5；
（4）设点M（t，﹣t2+2t+3），则N（t，﹣t+3），可得MN=−(t−32)2+94，即可求MN的最大值．
答案详解：解：（1）设直线BC的解析式为y＝kx+m，
∴3k+m=0m=3，
∴k=−1m=3，
∴y＝﹣x+3，
所以答案是：y＝﹣x+3；
（2）把B（3，0），和C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得−9+3b+c=0c=3，
解得b=2c=3，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（3）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D（1，4），
所以答案是：（1，4）；
②∵函数的对称轴为直线x＝1，
∴当x＝1时，函数有最大值4，
∵0≤x≤4，
∴当x＝4时，函数有最小值﹣5，
所以答案是：4，﹣5；
（4）设点M（t，﹣t2+2t+3），则N（t，﹣t+3），
∴MN＝﹣t2+3t=−(t−32)2+94，
∴线段MN的最大值是94．
2．如图，直线y=−23x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=−43x2+bx+c经过点A，B．
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）M（m，0）为线段OA上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．
①试用含m的代数式表示线段PN的长；
②求线段PN的最大值．
试题分析：（1）把A点坐标代入直线解析式可求得c，则可求得B点坐标，由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）①M（m，0），则P（m，−23m+2），N（m，−43m2+103m+2），即可求出PN的长；
②根据二次函数的性质可得线段PN的最大值．
答案详解：解：（1）∵y=−23x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，
∴0＝﹣2+c，解得c＝2，
∴B（0，2），
∵抛物线y=−43x2+bx+c经过点A，B，
∴−12+3b+c=0c=2，解得b=103c=2，
∴抛物线解析式为y=−43x2+103x+2；
（2）①M（m，0），则P（m，−23m+2），N（m，−43m2+103m+2），
∴PN=(−43m2+103m+2)−(−23m+2)=−43m2+4m（0≤m≤3）；
②∵PN=−43m2+4m=−43(m−32)2+3，
∴m=32时，线段PN有最大值为3．
3．如图，已知二次函数y=12x2﹣x−32的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）若D是线段OB上一个动点，过D作x轴的垂线交直线BC于E点，交抛物线于F点，求线段EF的最大值．
试题分析：（1）将x＝0代入函数解析式即可求出C点坐标，将y＝0代入函数解析式即可求出A、B的坐标；
（2）利用一次函数的待定系数法直接求解即可；
（3）设点D的坐标，再利用两点之间的距离公式求解即可．
答案详解：（1）解：∵二次函数y=12 x2﹣x−32，
令 y＝0，即12x2−x−32=0，
∴x1＝3，x2＝﹣1，
由图可得，B在A的右边，
∴B（3，0），A（﹣1，0），
令 x＝0，则y=−32，即C(0，−32)；
（2）解：设直线BC解析式为 y＝kx+b，
把 B（3，0），C（0，﹣2）代入得，
3k+b=0b=−32，
解得k=12b=−32，
∴直线BC解析式为y=12x−32；
（3）解：设 D（x，0），0≤x≤3，DF⊥x 轴，
∴xD＝xE＝xF＝x，
∵E在直线BC上，
∴yE=12x−32，即E(x，12x−32)，
∵F在抛物线上，
∴yF=12x2−x−32，即F(x，12x2−x−32)，
∴EF=|yE−yF|=12x−32−(12x2−x−32)=−12x2+32x，
∴x=−b2a=32，
∴0≤x≤32，y随x的增大而增大，32＜x≤3，y随x的增大而减小，
∴x=32 时，EF有最大值，
∴EF=−12×(32)2+32×32=98；
∴EF的最大值是 98．
4．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（5，0），与y轴交于点C（0，5）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值．
试题分析：（1）通过待定系数法求解．
（2）由B，C坐标求出直线BC解析式，设点M坐标为（m，m2﹣6m+5），从而可得点N坐标，进而求解．
答案详解：解：（1）将（5，0），（0，5）代入y＝x2+bx+c得25+5b+c=0c=5，
解得b=−6c=5，
∴y＝x2﹣6x+5．
（2）设直线BC解析式为y＝kx+n，
将（5，0），（0，5）代入y＝kx+n得5k+n=0n=5，
解得k=−1n=5，
∴y＝﹣x+5，
设点M坐标为（m，m2﹣6m+5），则点N坐标为（m，﹣m+5），
∴MN＝﹣m+5﹣（m2﹣6m+5）＝﹣m2+5m＝﹣（m−52）2+254，
∴MN最大值为254．
二．线段最值之改邪归正
5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，B（1，0），与y轴交于D（0，3），直线与抛物线交于B、C两点，其中C（﹣2，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥BC，抛物线上是否存在一点P使得线段PE最大，若存在，请求出点P的坐标和线段PE的最大值，若不存在，请说明理由．
试题分析：（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）过点P作x轴的垂线与BC交点F，可知PE和PF的比例关系确定，即PF越大，PE就越大．
答案详解：解：（1）把点B（1，0），D（0，3），C（﹣2，3）分别代入y＝ax2+bx+c，得
a+b+c=0c=34a−2b+c=3．
解得a=−1b=−2c=3．
故该抛物线解析式是y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图，过点P作PG⊥x轴于点G，与BC交点F，过点C作CH⊥x轴于点H，
则有CH∥PG，H（﹣2，0），
∴BH＝1﹣（﹣2）＝3，CH＝3，
∴BC=32，
∵在△FPE和△FGB中，∠PEF＝∠FGB＝90°，∠PFE＝∠GFB，
∴∠EPF＝∠FBG＝∠CBH，
∴cs∠CBA＝cs∠EPF=BHBC=PEPF=22，
∴PE=22PF，
设直线BC的解析式为：y＝kx+t（k≠0），
把B（1，0），C（﹣2，3）分别代入，
得k+t=0−2k+t=3．
解得k=−1t=1．
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+1．
设P（a，﹣a2﹣2a+3），
则F（a，﹣a+1），
∴PF＝﹣a2﹣2a+3﹣（﹣a+1）＝﹣a2﹣a+2，
∴当a=−−1−2=−12时，PFmax=−14+12+2=94，
则此时点P的坐标为（−12，154），PEmax=22PFmax=928．
6．如图1，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B点，与y轴交于点C（0，2）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上，且满足∠PAB＝∠ACO，求点P的坐标；
（3）如图2，若点D是在直线BC上方的抛物线的一点，作DE⊥BC于点E，求线段DE的最大值．
试题分析：（1）由抛物线y=−12x2+bx+c经过A（﹣1，0）、C（0，2），用待定系数法即得抛物线解析式为y=−12x2+32x+2；
（2）过P作PM⊥x轴于M，设P（m，−12m2+32m+2），根据∠PAB＝∠ACO，得tan∠PAB＝tan∠ACO，即PMAM=AOCO=12，有|−12m2+32m+2|m+1=12，即可解得点P的坐标为（3，2）或（5，﹣3）；
（3）作D作DN⊥x轴于N交BC于F，由y=−12x2+32x+2得B（4，0），可得直线BC为y=−12x+2，在Rt△BOC中，可求cs∠CBO=OBBC=255，而DE⊥BC，∠DFE＝∠BFN，知∠EDF＝∠NBF，故DE＝DF•cs∠EDF＝DF•cs∠CBO=255DF，即知DF最大时，DE最大，设D（n，−12n2+32n+2），则DF=−12（n﹣2）2+2，即可得DE的最大值为455．
答案详解：解：（1）∵抛物线y=−12x2+bx+c经过A（﹣1，0）、C（0，2），
∴0=−12−b+c2=c，解得b=32c=2，
∴抛物线解析式为y=−12x2+32x+2；
（2）过P作PM⊥x轴于M，如图：
设P（m，−12m2+32m+2），则PM＝|−12m2+32m+2|，AM＝m+1，
∵∠PAB＝∠ACO，
∴tan∠PAB＝tan∠ACO，即PMAM=AOCO=12，
∴|−12m2+32m+2|m+1=12，
当P在x轴上方时，−12m2+32m+2m+1=12，
解得m＝3或m＝﹣1（与A重合，舍去），
∴P（3，2），
当P在x轴下方时，−12m2+32m+2m+1=−12，
解得m＝5或m＝﹣1（舍去），
∴P（5，﹣3），
综上所述，点P的坐标为（3，2）或（5，﹣3）；
（3）作D作DN⊥x轴于N交BC于F，如图：
在y=−12x2+32x+2中，令y＝0得−12x2+32x+2＝0，
解得x＝4或x＝﹣1，
∴B（4，0），
设直线BC为y＝kx+2，
∴0＝4k+2，解得k=−12，
∴直线BC为y=−12x+2，
在Rt△BOC中，BC=OC2+OB2=25，
∴cs∠CBO=OBBC=255，
∵DE⊥BC，∠DFE＝∠BFN，
∴∠EDF＝∠NBF，
∴DE＝DF•cs∠EDF＝DF•cs∠CBO=255DF，
∴DF最大时，DE最大，
设D（n，−12n2+32n+2），则F（n，−12n+2），
∴DF＝（−12n2+32n+2）﹣（−12n+2）=−12（n﹣2）2+2，
∴n＝2时，DF最大为2，
∴DE的最大值为255×2=455．
三．面积最值--改邪归正纵横积
7．如图，已知抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求△ACD面积的最大值．
试题分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式，进行计算即可解答；
（2）过点D作DF⊥x轴，垂足为F，交直线AC于点E，先求出点A的坐标，再求出直线AC的解析式为y=−34x﹣3，然后设点D的坐标为（t，34t2+94t﹣3），则点E的坐标为（t，−34t﹣3），从而可得DE=−34t2﹣3t，最后根据△ADC的面积＝△ADE的面积+△CDE的面积，进行计算即可解答．
答案详解：解：（1）∵点B的坐标为（1，0），
∴OB＝1，
∵OC＝3OB，
∴OC＝3，
∴点C的坐标为（0，﹣3），
把B（1，0），C（0，﹣3）代入抛物线y＝ax2+3ax+c中得：
a+3a+c=0，c=−3，
解得：a=34c=−3，
∴抛物线的表达式为y=34x2+94x﹣3；
（2）过点D作DF⊥x轴，垂足为F，交直线AC于点E，
当y＝0时，34x2+94x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝1，
∴A（﹣4，0），B（1，0），
∴OA＝4，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣4，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b中得：
−4k+b=0b=−3，
解得：k=−34b=−3，
∴直线AC的解析式为y=−34x﹣3，
设点D的坐标为（t，34t2+94t﹣3），则点E的坐标为（t，−34t﹣3），
∴DE=−34t﹣3﹣（34t2+94t﹣3）=−34t2﹣3t，
∴△ADC的面积＝△ADE的面积+△CDE的面积
=12DE•AF+12DE•OF
=12DE•（AF+OF）
=12DE•OA
=12•（−34t2﹣3t）•4
=−32t2﹣6t
=−32（t+2）2+6，
∴当t＝﹣2时，△ACD面积有最大值，最大值为6，
∴△ACD面积的最大值为6．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）经过A（﹣2，0），C（0，﹣2）两点，与x轴另一交点为B．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴找出点若M，使得∠BMC＝90°，求出点M的坐标；
（3）点P为直线BC下方的抛物线上的一个动点（点P与B、C不重合）求△PBC面积的最大值．
试题分析：（1）把A，C代入抛物线，求得a，c即可；
（2）求出点B（4，0），对称轴为直线x＝1，设M（1，m），利用勾股定理列出关于m的方程，解方程即可求得结论；
（3）过点P作y轴的平行线交BC于点D，设点P（x，14x2−12x﹣2），则点D （x，12x﹣2），PD=12x﹣2﹣（14x2−12x﹣2）=−14x2+x，由S△PBC=12PD•OB=12（−14x2+x）×4=−12（x﹣2）2+2，根据二次函数的性质即可求得．
答案详解：解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）经过A（﹣2，0），C（0，﹣2）两点，
∴c＝﹣2，4a+4a﹣2＝0，
解得a=14，
∴抛物线解析式为y=14x2−12x﹣2；
（2）∵y=14x2−12x﹣2=14（x﹣1）2−94，
∴抛物线对称轴为直线x＝1．
当y＝0时，14x2−12x﹣2＝0，
∴x＝﹣2或4，
∴B（4，0），
∴设点M（1，m），
∴CM2+BM2＝BC2．
∴1+（m+2）2+（4﹣1）2+m2＝42+22，
∴m＝﹣3或1，
∴点M的坐标为（1，﹣3）或（1，1）；
（3）过点P作PD∥y轴，交交BC于点D，
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数），
∵B（4，0），C（0，﹣2），
∴4k+b=0b=−2，解得：k=12b=−2，
故直线BC的解析式为：y=12x﹣2，
设点P（x，14x2−12x﹣2），则点D （x，12x﹣2），
∴PD=12x﹣2﹣（14x2−12x﹣2）=−14x2+x，
∴S△PBC=12PD•OB=12（−14x2+x）×4=−12（x﹣2）2+2（其中0＜x＜4），
∵−12＜0，
∴这个二次函数有最大值．
当x＝2时，S△PBC的最大值为2．
9．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大，求出点P的坐标．
试题分析：过点P作PK∥y轴交BC于点K，首先求得A、B、C的坐标，然后利用待定系数法求出设直线BC解析式，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则K（t，t+3），根据S四边形PBAC＝S△PBC+S△ABC，得出S四边形PBAC=−32（t+32）2+758，运用二次函数求最值方法即可得出答案．
答案详解：解：如图，过点P作PK∥y轴交BC于点K，
令x＝0，则y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴A（1，0），B（﹣3，0），
设直线BC解析式为y＝kx+b，将B（﹣3，0），C（0，3）代入，
得：−3k+b=0b=3，
解得：k=1b=3，
∴直线BC解析式为y＝x+3，
设P（t，﹣t2﹣2t+3），则K（t，t+3），
∴PK＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，
∴S△PBC＝S△PBK+S△PCK=12PK•（t+3）+12PK•（0﹣t）=32PK=32（﹣t2﹣3t），
S△ABC=12AB•OC=12×4×3＝6，
∴S四边形PBAC＝S△PBC+S△ABC=32（﹣t2﹣3t）+6=−32（t+32）2+758，
∵−32＜0，
∴当t=−32时，四边形PBAC的面积最大，
此时点P的坐标为（−32，154）．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求出该抛物线的函数关系式；
（2）求出该抛物线的对称轴；
（3）点P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m（0＜m＜3）．当△PCB的面积的最大值时，求点P的坐标．
试题分析：（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）由y＝（x﹣1）2﹣4直接求对称轴即可；
（3）先求直线BC的解析式，过点P作PQ∥y轴交于BC于点Q，则P（m，m2﹣2m﹣3），Q（m，m﹣3），再由S△PBC=−32（m−32）2+278，求P点坐标即可．
答案详解：解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，
∴a−b+c=09a+3b+c=0c=−3，
解得a=1b=−2c=−3，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1；
（3）设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴3k+b=0b=−3，
解得k=1b=−3，
∴y＝x﹣3，
过点P作PQ∥y轴交于BC于点Q，
∵点P的横坐标为m，
∴P（m，m2﹣2m﹣3），则Q（m，m﹣3），
∴PQ＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∴S△PBC=12×3×（﹣m2+3m）=−32（m−32）2+278，
∵0＜m＜3，
∴当m=32时，△PCB的面积有最大值，
此时P（32，−154）．
11．如图，关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且过点D（﹣1，4）．
（1）求b的值及该二次函数图象的对称轴；
（2）连接AC，AD，CD，求△ADC的面积；
（3）在AC上方抛物线上有一动点M，请直接写出△ACM的面积取到最大值时，点M的坐标．
试题分析：（1）直接把点D（﹣1，4）代入二次函数y＝﹣x2+bx+3中得b的值，从而可得结论；
（2）根据三角形的面积差可得结论；
（3）如图2，过点M作MN∥y轴，交AC于点N，利用待定系数法可得直线AC的解析式，设点M的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3），则N（t，t+3），表示MN的长，根据三角形的面积公式并配方成顶点式可得结论．
答案详解：解：（1）把点D（﹣1，4）代入二次函数y＝﹣x2+bx+3中得：﹣1﹣b+3＝4，
∴b＝﹣2，
∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴对称轴是：直线x＝﹣1；
（2）如图1，连接OD，
当y＝0时，﹣（x+1）2+4＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），
∵D（﹣1，4），C（0，3），
∴△ADC的面积＝S△AOD+S△CDO﹣S△AOC=12×3×4+12×3×1−12×3×3＝3；
（3）如图2，过点M作MN∥y轴，交AC于点N，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴设直线AC的解析式为y＝kx+m，
则−3k+m=0m=3，解得：k=1m=3，
∴直线AC的解析式为：y＝x+3，
设点M的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3），则N（t，t+3），
∵点M是在AC上方抛物线上有一动点，
∴﹣3＜t＜0，MN＝（﹣t2﹣2t+3）﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，
∴S△AMC=12•MN•OA=32（﹣t2﹣3t）=−32（t+32）2+278，
∵−32＜0，
∴当t=32时，△ACM的面积有最大值，此时点M的坐标为（−32，154）．
12．如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）结合函数图象，当﹣2＜x＜4时，直接写出y的取值范围： −94≤y＜18 ．
（2）若点M是直线AC下方抛物线上一动点，求四边形ABCM面积的最大值．
试题分析：（1）求出抛物线与x轴的交点，对称轴，再根据函数的性质求出y的取值范围；
（2）过点M作MN⊥x轴与点N，设点M（x，x2+x﹣2），则AN＝x+2，ON＝﹣x，OB＝1，OC＝2，MN＝﹣（x2+x﹣2）＝﹣x2﹣x+2，根据S 四边形ABCM＝S△AOM+S△OCM+S△BOC构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
答案详解：解：（1）由 y＝0，得 x2+x﹣2＝0 解得 x＝﹣2，x＝1，
∴A（﹣2，0），B（1，0），
对称轴为x=−2+12=−12，
∴当x=−12时，y＝（−12）2+（−12）﹣2=−94，
当x＝4时，y＝42+4﹣2＝18，
∴当﹣2＜x＜4时，y的取值范围为−94≤y＜18，
所以答案是：−94≤y＜18；
（2）由 x＝0，得 y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
过点M作MN⊥x轴与点N，
设点M（x，x2+x﹣2），则AO＝2，ON＝﹣x，OB＝1，OC＝2，MN＝﹣（x2+x﹣2）＝﹣x2﹣x+2，
S 四边形ABCM＝S△AOM+S△OCM+S△BOC=12×2×（﹣x2﹣x+2）+12×2×（﹣x）+12×1×2
＝﹣x2﹣2x+3
＝﹣（x+1）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当x＝﹣1时，S四边形ABCM的最大值为4．