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专题15 期末培优检测（二）（考试范围：九上+九下第5-6章）-2022-2023学年九年级数学上学期期末分类复习满分冲刺（苏科版）
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这是一份专题15 期末培优检测（二）（考试范围：九上+九下第5-6章）-2022-2023学年九年级数学上学期期末分类复习满分冲刺（苏科版），文件包含专题15期末培优检测二考试范围九上+九下第5-6章原卷版docx、专题15期末培优检测二考试范围九上+九下第5-6章解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）一元二次方程x2+2x＝0的根是（ ）
A．x1＝0，x2＝2B．x1＝0，x2＝﹣2C．x1＝1，x2＝﹣2D．x1＝1，x2＝2
试题分析：方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
答案详解：解：∵x2+2x＝0，
∴x（x+2）＝0，
则x＝0或x+2＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣2，
所以选：B．
2．（3分）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，r为半径的圆与边AB有公共点，则r的取值范围为（ ）
A．r≥125B．r＝3或r＝4C．125≤r≤3D．125≤r≤4
试题分析：作CD⊥AB于D，由勾股定理求出AB，由三角形的面积求出CD，由AC＞BC，可得以C为圆心，r=125或4为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点；若⊙C与斜边AB有公共点，即可得出r的取值范围．
答案详解：解：作CD⊥AB于D，如图所示：
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB=32+42=5，
∵△ABC的面积=12AB•CD=12AC•BC，
∴CD=AC⋅BCAB=125=，
即圆心C到AB的距离d=125，
∵AC＜BC，
∴以C为圆心，r=125或4为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，
∴若⊙C与斜边AB有公共点，则r的取值范围是125≤r≤4．
所以选：D．
3．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝25°，则∠BOD等于（ ）
A．70°B．65°C．50°D．45°
试题分析：先根据垂径定理得到BC=BD，然后根据圆周角定理计算∠BOD的度数．
答案详解：解：∵弦CD⊥AB，
∴BC=BD，
∴∠BOD＝2∠CAB＝2×25°＝50°．
所以选：C．
4．（3分）已知一组数据：7，3，9，x，8，它们的平均数是7，则这组数据的中位数是（ ）
A．8B．7C．6D．5
试题分析：先利用平均数为7解出x的值，然后根据中位数的定义进行解答即可．
答案详解：解：∵数据：7，3，9，x，8，它们的平均数是7，
∴（7+3+9+x+8）÷5＝7，
∴x＝8，
把这些从小到大排列为：3，7，8，8，9，
则这组数据的中位数是8．
所以选：A．
5．（3分）一位同学抛硬币1000次，下面的四种结果中最有可能的是（ ）
A．350次正面朝上，650次反正朝上
B．477次正面朝上，523次反面朝上
C．878次正面朝上，122次反面朝上
D．300次正面朝上，700次反面朝上
试题分析：根据抛掷一枚硬币，正面朝上的概率和反面朝上的概率一样大，即可得出结论．
答案详解：解：∵抛掷一枚硬币，正面朝上的概率和反面朝上的概率一样大，都为12，
∴1000次的抛掷结果，正面朝上的数量和反面朝上的数量应该很接近，故B选项符合题意，
所以选：B．
6．（3分）如图，四边形ABCD内接于直径为3的⊙O，AB＝AC，E是弦AC和直径BD的交点，ED=35，则弦AD的长为（ ）
A．3B．2C．5D．6
试题分析：利用垂径定理和等腰三角形的性质，可以得到点A、O、F三点共线，然后根据勾股定理和三角形相似，可以得到AB的长，再根据勾股定理即可得到AD的长，本题得以解决．
答案详解：解：作OF⊥BC于点F，连接AO，则点F为BC的中点，
∵AB＝AC，
∴AF⊥BC，
∴点A、O、F三点共线，
∵AF⊥BC，DC⊥BC，
∴AO∥DC，
∴△AOE∽△CDE，
∴AOCD=OEDE，
∵⊙O的直径为3，ED=35，
∴AO=32，OE＝OD﹣ED=32−35=910，
∴32CD=91035，
解得CD＝1，
∵点O为BD的中点，点F为BC的中点，
∴OF=12CD=12，
∴AF＝AO+OF=32+12=2，
∵BD＝3，CD＝1，∠BCD＝90°，
∴BC=32−12=22，
∴BF=2，
∵∠AFB＝90°，
∴AB=AF2+BF2=22+(2)2=6，
∵BD＝3，∠BAD＝90°，
∴AD=BD2−AB2=32−(6)2=3，
所以选：A．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
7．（3分）4月9日我校组织了安全教育网上竞赛活动，从八年级抽取20名学生的成绩整理如表：
这组成绩的众数是 80 分．
试题分析：根据表格中的数据，可以直接写出这组数据的众数，本题得以解决．
答案详解：解：由表格中的数据可得，
这组数据的众数是80分，
所以答案是：80．
8．（3分）已知m、n是关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个不相等的实数根，且m2+mn+n2＝3，则q的取值范围是 ﹣3≤q＜1 ．
试题分析：先由韦达定理得出m+n＝﹣p，mn＝q，代入到（m+n）2﹣mn＝3，可得p2＝q+3，再结合Δ＝p2﹣4q＞0知q+3﹣4q＞0，解之可得答案．
答案详解：解：∵m、n是关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个不相等的实数根，
∴m+n＝﹣p，mn＝q，
∵m2+mn+n2＝3，
∴（m+n）2﹣mn＝3，
则（﹣p）2﹣q＝3，即p2﹣q＝3，
∴p2＝q+3，
又Δ＝p2﹣4q＞0，
∴q+3﹣4q＞0，
解得q＜1，
又p2＝q+3≥0，
∴q≥﹣3，
所以答案是：﹣3≤q＜1．
9．（3分）利用公式S2=14[（3−x）2+（3−x）2+（4−x）2+（6−x）2]计算4个数据的方差，则该方差为 32 ．
试题分析：先由方差的计算公式得出这组数据为3、3、4、6，再求出其平均数，继而代入公式计算即可．
答案详解：解：根据题意知，这组数据为3、3、4、6，
x=3+3+4+64=4，
则S2=14×[（3﹣4）2+（3﹣4）2+（4﹣4）2+（6﹣4）2]=32，
所以答案是：32．
10．（3分）设圆锥的体积是50（cm3），这个圆锥底面积S（cm2）与圆锥高h（cm）的关系式是 S=150ℎ （cm2）．
试题分析：圆锥的体积=13底面积×高，把相关数值代入整理即可求解．
答案详解：解：∵圆锥的体积等于底面积×高，
∴50=13hs，
∴S=150ℎ，
所以答案是：S=150ℎ．
11．（3分）已知①x2+ax+b＝0，②x2+bx+c＝0，③x2+cx+a＝0，a≠b≠c，方程①②有公共根p，②③有公共根q，①③有公共根r，则abc＝ 1 ．
试题分析：由一元二次方程的解的定义得到：p、q、r的值，易得pqr＝﹣1．分两种情况进行讨论：p＝q＝r和p、q、r互不相等．
答案详解：解：由题意得：p2+ap+b＝0，p2+bp+c＝0．
∴（a﹣b）p+b﹣c＝0，
∴p=c−ba−b．
同理，q=a−cb−c，r=b−ac−a．
∴pqr＝﹣1．
若p＝q＝r时，则有p＝q＝r＝﹣1，
将其代入方程，则有b−a=0c−b=0a−c=0．
∴a＝b＝c，与题设矛盾．
∴p、q、r互不相等．
∵p、q、r互不相等．若p＝q，则p、q是①③公共根，于是p＝q＝r＝﹣1．代入方程①②③，得
b−a=−1c−b=−1a−c=−1．
三式相加，有0＝﹣3，矛盾．
∴①的两根为p、r．②的两根为p、q，③的两根为q、r．
由根与系数的关系，有a＝qr，b＝pr，c＝pq，
∴abc＝（pqr）2＝1．
所以答案是：1．
12．（3分）在△ABC中，∠A＝62°，点I是外接圆圆心，则∠BIC＝ 124 度．
试题分析：根据圆周角定理得∠BIC＝2∠A＝124°．
答案详解：解：∠BIC＝2∠A＝124°．
13．（3分）用一根长为30cm的铁丝围成一个长方形，若设该长方形的一边长为xcm，面积为50cm2，则可列方程为 x（15﹣x）＝50 ．
试题分析：可根据长方形的周长可以用x表示宽的值，然后根据面积公式即可列出方程．
答案详解：解：设长方形的长为xcm，则宽为（15﹣x）cm，
根据面积为50cm2可得：x（15﹣x）＝50，
所以答案是：x（15﹣x）＝50．
14．（3分）如图，半圆的直径AB＝3，点C在半圆上，点E在AC上，且AE＝BC，EF⊥AB于点F．若设BC＝x，EF＝y，则y关于x的函数关系式为y＝ x23 ．（0＜x＜3）．
试题分析：连接BC，由圆周角定理可知∠ACB＝90°，再根据EF⊥AB可知∠AFE＝90°，故可得出△AEF∽△ABC，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
答案详解：解：连接BC，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，
∴△AEF∽△ABC，
∴AEAB=EFBC，
∵AE＝BC，BC＝x，EF＝y，
∴x3=yx，即y=x23．
所以答案是：x23．
三．解答题（共12小题，满分98分）
15．（6分）计算：（13）﹣1+（π﹣3）0﹣（﹣2）2．
试题分析：直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
答案详解：解：原式＝3+1﹣4
＝0．
16．（6分）（1）（x﹣2）2＝1；
（2）x2﹣4x﹣1＝0．
试题分析：（1）利用直接开平方法解方程；
（2）配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
答案详解：解：（1）（x﹣2）2＝1，
直接开平方得x﹣2＝±1，
解得x1＝3，x2＝1；
（2）x2﹣4x﹣1＝0，
移项得x2﹣4x＝1，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方4，得
x2﹣4x+4＝1+4，
∴（x﹣2）2＝5，
∴x﹣2＝±5，
∴x1＝2−5，x2＝2+5．
17．（8分）先化简，再求值：（x2x−1+x﹣1）÷11−x，其中x满足x2﹣x﹣5＝0．
试题分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则运算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
答案详解：解：原式=−x2+(x−1)2x−1•（x﹣1）
＝﹣2x2+2x﹣1
＝﹣2（x2﹣x）﹣1，
由x2﹣x﹣5＝0，得到x2﹣x＝5，
则原式＝﹣10﹣1＝﹣11．
18．（8分）已知平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+2m＝0的两个实数根．
（1）m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为3，求平行四边形ABCD的周长．
试题分析：（1）根据菱形的性质可得出AB＝AD，结合根的判别式，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长；
（2）将x＝3代入原方程可求出m的值，将m的值代入原方程结合根与系数的关系可求出AB+AD的值，再根据平行四边形的周长公式即可求出▱ABCD的周长．
答案详解：解：（1）∵平行四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∴方程x2﹣mx+2m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣m）2﹣8m＝0，
∴m1＝0（舍），m2＝8，
当m＝8时，方程为x2﹣8x+16＝0，
解得x1＝x2＝4，
即菱形的边长为4；
（2）∵AB，AD的长是方程x2﹣mx+2m＝0的两个实数根，AB的长为3，
∴AB+AD＝m，3是方程的一个根，
∴32﹣3m+2m＝0，
∴m＝9，
∴AB+AD＝9，
∴2（AB+AD）＝18，
即平行四边形ABCD的周长为18．
19．（8分）某校九年级（2）班A、B、C、D四位同学参加了校篮球队选拔．
（1）若从这四人中随机选取一人，恰好选中B参加校篮球队的概率是 14 ；
（2）若从这四人中随机选取两人，请用列表或画树状图的方法求恰好选中B、C两位同学参加校篮球队的概率．
试题分析：（1）直接根据概率公式即可得出答案；
（2）根据题意列出图表得出所有等情况数和选中B、C两位同学参加校篮球队的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
答案详解：解：（1）∵九年级（2）班A、B、C、D四位同学参加了校篮球队选拔，
∴从这四人中随机选取一人，恰好选中B参加校篮球队的概率是14；
所以答案是：14；
（2）列表格：
共有12种等情况数，其中恰好选中B、C两位同学参加校篮球队的有2种，
则P（B、C两位同学参加篮球队）=212=16．
20．（8分）甲、乙两位同学5次数学选拔赛的成绩统计如表，他们5次考试的总成绩相同，请同学们完成下列问题：
（1）求a的值；
（2）小颖计算了甲同学成绩的平均数为60，方差是s甲2=15×[（80﹣60）2+（40﹣60）2+（70﹣60）2+（50﹣60）2+（60﹣60）2]＝200．请你求出乙同学成绩的平均数和方差；
（3）从平均数和方差的角度分析，甲、乙两位同学谁的成绩更稳定．
试题分析：（1）用甲的总成绩减去乙的1、2、3、5次的成绩可得a的值；
（2）根据平均数和方差的定义求解即可得答案；
（3）根据方差的意义求解可得答案．
答案详解：解：（1）a＝（80+40+70+50+60）﹣（70+50+70+70）＝40，
所以答案是：40；
（2）乙同学的成绩平均数为15×（70+50+70+40+70）＝60，
方差S乙2=15×[（70﹣60）2+（50﹣60）2+（70﹣60）2+（40﹣60）2+（70﹣60）2]＝160；
（3）因为甲乙两位同学的平均数相同，S甲2＞S乙2，
所以乙同学的成绩更稳定．
21．（8分）如图，一个油漆桶高75cm，桶内还有剩余的油漆，一根木棒长1m，小明将木棒从桶盖小口斜插入桶内，一端触到桶底边缘时，量得木棒露在桶外的部分长10cm．抽出小棒，又量得木棒上沾了油漆的部分长36cm，请计算桶内油漆的高度．
试题分析：根据题意，画出图形，因为油面和桶底是平行的，所以可构成相似三角形，根据对应边成比例列方程即可解答．
答案详解：解：∵AC⊥BC，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=AEAC，
∴100−10−3690=75−CE75，
解得：CE＝30
∴桶内油漆的高度为30cm．
22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，过圆心O作弦BC的垂线，交过点C的切线于点D，OD交⊙O于点E，连接AC，BD．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AC＝AO＝3，求阴影部分的面积．
试题分析：（1）连接OC，由切线的性质得∠OCD＝90°，再由垂径定理得BE=CE，则∠BOE＝∠COE，然后证△OBD≌△OCD（SAS），得∠OBD＝∠OCD＝90°，即可得出结论；
（2）证△AOC是等边三角形，得∠AOC＝60°，则∠BOE＝∠COE＝60°，再由含30°角的直角三角形的性质得BD=3OB＝33，则阴影部分的面积＝△OBD的面积﹣扇形OBE的面积，即可求解．
答案详解：（1）证明：连接OC，如图所示：
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∵OD⊥BC，
∴BE=CE，
∴∠BOE＝∠COE，
在△OBD和△OCD中，
OB=OC∠BOD=∠CODOD=OD，
∴△OBD≌△OCD（SAS），
∴∠OBD＝∠OCD＝90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线；
（2）解：∵AC＝AO＝3＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴∠BOE＝∠COE＝60°，
∵∠OBD＝90°，OB＝AO＝3，
∴∠BDO＝30°，
∴BD=3OB＝33，
∴阴影部分的面积＝△OBD的面积﹣扇形OBE的面积=12×33×3−60π×32360=932−32π．
23．（8分）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠DOC＝α，将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′，AC′与BD′相交于点M．
（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想；
（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，已知AC＝kBD，请猜想此时AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想；
（3）当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，AD∥BC，此时（1）AC′与BD′的数量关系是否成立？∠AMB与α的大小关系是否成立？不必证明，直接写出结论．
试题分析：（1）根据矩形的性质及角之间的关系证明△BOD′≌△AOC′，得出对应边对应角相等，推理即可得出结论；
（2）先进行假设，然后根据平行四边形的性质及相似三角形比例关系即可得出答案；
（3）易证△BOD′≌△C′OA，则AC′＝BD′，∠OBD′＝∠OC′A≠∠OAC′，从而得出∠AMB≠α．
答案详解：解：（1）AC′＝BD′，∠AMB＝α，
证明：在矩形ABCD中，AC＝BD，OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
又∵OD＝OD′，OC＝OC′，
∴OB＝OD′＝OA＝OC′，
∵∠D′OD＝∠C′OC，
∴180°﹣∠D′OD＝180°﹣∠C′OC，
∴∠BOD′＝∠AOC′，
∴△BOD′≌△AOC′，
∴BD′＝AC′，
∴∠OBD′＝∠OAC′，
设BD′与OA相交于点N，
∴∠BNO＝∠ANM，
∴180°﹣∠OAC′﹣∠ANM＝180°﹣∠OBD′﹣∠BNO，
即∠AMB＝∠AOB＝∠COD＝α，
综上所述，BD′＝AC′，∠AMB＝α，
（2）AC′＝kBD′，∠AMB＝α，
证明：∵在平行四边形ABCD中，OB＝OD，OA＝OC，
又∵OD＝OD′，OC＝OC′，
∴OC′＝OA，OD′＝OB，
∵∠D′OD＝∠C′OC，
∴180°﹣∠D′OD＝180°﹣∠C′OC，
∴∠BOD′＝∠AOC′，
∴△BOD′∽△AOC′，
∴BD′：AC′＝OB：OA＝BD：AC，
∵AC＝kBD，
∴AC′＝kBD′，
∵△BOD′∽△AOC′，
设BD′与OA相交于点N，
∴∠BNO＝∠ANM，
∴180°﹣∠OAC′﹣∠ANM＝180°﹣∠OBD′﹣∠BNO，即∠AMB＝∠AOB＝α，
综上所述，AC′＝kBD′，∠AMB＝α，
（3）AC′＝BD′成立，∠AMB＝α不成立．
证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AO＝DO＝D′O，BO＝CO＝C′O，∠AOB＝∠COD＝∠C'OD'，
∴∠AOC'＝∠BOD'，
在△AOC′和△BOD′中，
AO=D'O∠AOC'=∠BOD'C'O=BO
∴△AOC′≌D′OB，
∴AC′＝BD'，∠C′AO＝∠BD′O，
∵∠AMN+∠MAN＝∠AOB+∠NBO，且∠MAN≠∠NBO，
∴∠AMB≠∠AOB＝α，
∴AC′＝BD′成立，∠AMB＝α不成立．
24．（8分）如图，在⊙O中，直径AB＝10，tanA=33．
（1）求弦AC的长；
（2）D是AB延长线上一点，且AB＝kBD，连接CD，若CD与⊙O相切，求k的值；
（3）若动点P以3cm/s的速度从A点出发，沿AB方向运动，同时动点Q以32cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t（0＜t＜103），连接PQ．当t为何值时，△BPQ为Rt△？
试题分析：（1）先利用特殊角的三角函数求出∠A，进而求出AC；
（2）先求出∠BOC＝60°，进而得出∠D＝30°，进而求出OD，即可求出BD，即可得出结论；
（3）先判断出点P在线段AB上，点Q在线段BC上，再分∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，最后用三角函数建立方程求解即可得出结论．
答案详解：解：（1）∵⊙O的直径AB＝10，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，tanA=33，
∴∠A＝30°，
∴AC＝ABcsA＝10cs30°＝10×32=53，
即弦AC的长为53；
（2）如图1，
连接OC，由（1）知，∠A＝30°，
∴∠BOC＝2∠A＝60°，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∴∠D＝90°﹣60°＝30°，
∵OB＝OC=12AB＝5，
∴OD＝2OC＝10，
∴BD＝OD﹣OB＝10﹣5＝5，
∵AB＝kBD，
∴k=ABBD=105=2，
即k的值为2；
（3）在Rt△ABC中，∵AB＝10，∠A＝30°，
∴BC=12AB＝5，
由运动知，AP＝3t，BQ=32t，
∵0＜t＜103，
∴0＜AP＜10，0＜BQ＜5，
∴点P在线段AB上，点Q在线段BC上，
∵△BPQ为直角三角形，且∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，
①当∠BQP＝90°时，如图2，
在Rt△BQP中，BP＝AB﹣AP＝10﹣3t，BQ=32t，∠ABC＝60°，
∴cs∠ABC=BQBP=32t10−3t=12，
∴t=53，
②当∠BPQ＝90°时，如图3，
在Rt△BPQ中，cs∠ABC=BPBQ=10−3t32t=12，
∴t=83，
即当t为53秒或83秒时，△BPQ为Rt△．
25．（10分）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图（1），△CDE∽△CAB，且沿周界CDEC与CABC环绕的方向（同为逆时针方向）相同，因此△CDE和△CAB互为顺相似；如图（2），△CDE∽△CBA，且沿周界CDEC与CBAC环绕的方向相反，因此△CDE和△CBA互为逆相似．
（1）根据以上材料填空：
①如图（3），AB∥CD，则△AOB∽△COD，它们互为 顺 相似（填“顺”或“逆”，下同）；
②如图（4），Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则△ABC∽ △ACD（或△CBD） ，它们互为 逆 相似；
③如图（5），若∠DAB＝∠EBC＝90°，并且BD⊥CE于点F，则△ABD∽ △BCE ，它们互为 顺 相似；
（2）如图（6），若△AOB∽△COD，指出图中另外的一对相似三角形并说明理由，同时指出它们互为顺相似还是互为逆相似；
（3）如图（7），在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15，点P在△ABC的斜边上，且AP＝16，过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC相似，则满足的截线共有 3 条．
试题分析：（1）①根据新定义直接判断，即可得出结论；
②先判断出∠ADC＝∠BDC＝90°＝∠ACB，进而分两种情况，判断出两三角形相似，最后根据新定义判断，即可得出结论；
③先判断出∠ABD＝∠C，进而得出△ABD∽△BCE，最后用新定义判断，即可得出结论；
（2）先由△AOB∽△COD，判断出AOCO=OBOD，∠AOB＝∠COD，进而得出∠AOC＝∠BOD，即可得出结论；
（3）先求出BP＝9，分三种情况，过点P作AB，AC，BC的垂线，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．
答案详解：解：（1）①∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴△AOB和△COD互为顺相似，
所以答案是：顺；
②∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°＝∠ACB，
Ⅰ、∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴△ABC和△ACD互为逆相似；
Ⅱ、∠B＝∠B，
∴△ABC∽△CBD，
∴△ABC和△CBD互为逆相似；
所以答案是：△ACD（或△CBD），逆；
③∵BD⊥CE，
∴∠BFC＝90°，
∴∠CBD+∠C＝90°，
∵∠EBC＝90°，
∴∠CBD+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠C，
∴△ABD∽△BCE，
∴△ABD和△BCE互为顺相似；
【注：Ⅰ、当△ABD∽△FCB时，△ABD和△FCB互为逆相似；
Ⅱ、当△ABD∽△FBE时，△ABD和△FBE互为逆相似；】
所以答案是：△BCE，顺；
（2）△AOC∽△BOD，△AOC和△BOD互为逆相似；
理由：∵△AOB∽△COD，
∴AOCO=OBOD，∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB﹣∠BOC＝∠COD﹣∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD，
∵AOCO=OBOD，
∴OAOB=OCOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴△AOC和△BOD互为逆相似；
（3）在Rt△ABC中，AC＝20，BC＝15，根据勾股定理得，AB=AC2+BC2=202+152=25，
∵AP＝16，
∴BP＝AB﹣AP＝9，
如图1，
①过点P作PG⊥BC于G，
∴∠BGP＝90°＝∠ACB，
∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△PBG，
∴ABBP=BCBG，
∴259=15BG，
∴BG=15×925=275＜BC，
∴点G在线段BC（不包括端点）上，
过点P作PG''⊥AC于G''，
∴∠AG''P＝∠ACB，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△APG''，
∴ABAP=ACAG″，
∴2516=20AG″，
∴AG''=20×1625=645＜AC，
∴点G''在线段AC（不包括端点）上，
过点P作PG'⊥AB，交直线BC与G'，交直线AC于H，
∵∠APG'＝∠APH＝90°＝∠ACB，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△G'BP，
∴ABBG'=BCBP，
∴25BG'=159，
∴BG'=25×915=15＝BC，
∴点G'和点H都和点C重合（注：为了说明问题，有意将点G'和点H没画在点C处），
所以答案是：3．
26．（12分）已知抛物线C1：y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A、B（点A在点B左边），与y轴交于点C，抛物线C2经过点A，与x轴的另一个交点为E（4，0），与y轴交于点D（0，﹣2）．
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）点P（m，0）为线段AB上一动点（不与A、B重合），过点P作y轴的平行线交抛物线C1于点M，交抛物线C2于点N．
①请用含m的代数式分别表示点M、N的坐标；
②设四边形OMEN的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S的最大值以及此时m的值；
③在点P移动的过程中，若CM＝DN≠0，则m的值为 1或73 ．
（3）如图（2），点Q（0，n）为y轴上一动点（0＜n＜4），过点Q作x轴的平行线依次交两条抛物线于点R、S、T、U，则TU﹣RS＝ 1 ．
试题分析：（1）令抛物线l1：y＝0，可求得点A和点B的坐标，然后设设抛物线l2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），将点D的坐标代入可求得a的值，从而得到抛物线的解析式．
（2）①利用待定系数法可得，M（m，﹣m2+2M+3），N（M，12m2−32m﹣2）．
②由点A和点B的坐标可求得AB的长，依据SAMBN=12AB•MN列出S与x的函数关系，从而可得到当S有最大值时，m的值，于是可得结论．
③CM与DN不平行时，可证明四边形CDNM为等腰梯形，然后可证明GM＝HN，列出关于m的方程，于是可求得点P的坐标；当CM∥DN时，四边形CDNM为平行四边形．故此DC＝MN＝5，从而得到关于m的方程，从而可得结论．
（3）设S，T的横坐标分别为x1，x2，设R，U的横坐标分别为x3，x4．利用根与系数的关系解决问题即可．
答案详解：解：（1）∵令﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
设抛物线l2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），
∵将D（0，﹣2）代入得：﹣4a＝﹣2，
∴a=12，
∴抛物线的解析式为y=12x2−32x﹣2．
（2）①由题意P（m，0），可得M（m，﹣m2+2m+3），N（m，12m2−32m﹣2）．
②如图1所示：
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
∵P（m，0），M（m，﹣m2+2m+3），N（m，12m2−32m﹣2），
∵MN⊥AB，
∴SAMBN=12AB•MN＝﹣3m2+7m+10（﹣1＜m＜3），
∴当m=76时，SAMBN有最大值，最大值=16912．
③如图2所示：作CG⊥MN于G，DH⊥MN于H，如果CM与DN不平行．
∵DC∥MN，CM＝DN，
∴四边形CDNM为等腰梯形．
∴∠DNH＝∠CMG．
在△CGM和△DNH中，
∠DNH=∠CMG∠DHN=∠CGMDN=CM，
∴△CGM≌△DNH（AAS），
∴MG＝HN．
∴PM﹣PN＝1．
∵P（m，0），则M（m，﹣m2+2m+3），N（m，12m2−32m﹣2）．
∴（﹣m2+2m+3）+（12m2−32m﹣2）＝1，解得：m1＝0（舍去），m2＝1．
当CM∥DN时，如图3所示：
∵DC∥MN，CM∥DN，
∴四边形CDNM为平行四边形．
∴DC＝MN＝5
∴﹣m2+2m+3﹣（12m2−32m﹣2）＝5，
∴m1＝0（舍去），m2=73，
综上所述，m的值为1或73．
所以答案是：1或73．
（3）设S，T的横坐标分别为x1，x2，设R，U的横坐标分别为x3，x4．
则TU＝x4﹣x2，RS＝x1﹣x3，
∴TU﹣RS＝（x4﹣x2）﹣（x1﹣x3）＝（x3+x4）﹣（x1+x2），
由﹣x2+2x+3＝n，可得，x2﹣2x﹣3+n＝0，
∴x1+x2＝2，
由12x2−32x﹣2＝n，可得x2﹣3x﹣4﹣2n＝0，
∴x3+x4＝3，
∴TU﹣RS＝（x3+x4）﹣（x1+x2）＝3﹣2＝1，
所以答案是：1．
分数（分）
60
70
80
90
100
人数（人）
2
3
8
5
2
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲的成绩
80
40
70
50
60
乙的成绩
70
50
70
a
70
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）一元二次方程x2+2x＝0的根是（ ）
A．x1＝0，x2＝2B．x1＝0，x2＝﹣2C．x1＝1，x2＝﹣2D．x1＝1，x2＝2
试题分析：方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
答案详解：解：∵x2+2x＝0，
∴x（x+2）＝0，
则x＝0或x+2＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣2，
所以选：B．
2．（3分）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，r为半径的圆与边AB有公共点，则r的取值范围为（ ）
A．r≥125B．r＝3或r＝4C．125≤r≤3D．125≤r≤4
试题分析：作CD⊥AB于D，由勾股定理求出AB，由三角形的面积求出CD，由AC＞BC，可得以C为圆心，r=125或4为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点；若⊙C与斜边AB有公共点，即可得出r的取值范围．
答案详解：解：作CD⊥AB于D，如图所示：
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB=32+42=5，
∵△ABC的面积=12AB•CD=12AC•BC，
∴CD=AC⋅BCAB=125=，
即圆心C到AB的距离d=125，
∵AC＜BC，
∴以C为圆心，r=125或4为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，
∴若⊙C与斜边AB有公共点，则r的取值范围是125≤r≤4．
所以选：D．
3．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝25°，则∠BOD等于（ ）
A．70°B．65°C．50°D．45°
试题分析：先根据垂径定理得到BC=BD，然后根据圆周角定理计算∠BOD的度数．
答案详解：解：∵弦CD⊥AB，
∴BC=BD，
∴∠BOD＝2∠CAB＝2×25°＝50°．
所以选：C．
4．（3分）已知一组数据：7，3，9，x，8，它们的平均数是7，则这组数据的中位数是（ ）
A．8B．7C．6D．5
试题分析：先利用平均数为7解出x的值，然后根据中位数的定义进行解答即可．
答案详解：解：∵数据：7，3，9，x，8，它们的平均数是7，
∴（7+3+9+x+8）÷5＝7，
∴x＝8，
把这些从小到大排列为：3，7，8，8，9，
则这组数据的中位数是8．
所以选：A．
5．（3分）一位同学抛硬币1000次，下面的四种结果中最有可能的是（ ）
A．350次正面朝上，650次反正朝上
B．477次正面朝上，523次反面朝上
C．878次正面朝上，122次反面朝上
D．300次正面朝上，700次反面朝上
试题分析：根据抛掷一枚硬币，正面朝上的概率和反面朝上的概率一样大，即可得出结论．
答案详解：解：∵抛掷一枚硬币，正面朝上的概率和反面朝上的概率一样大，都为12，
∴1000次的抛掷结果，正面朝上的数量和反面朝上的数量应该很接近，故B选项符合题意，
所以选：B．
6．（3分）如图，四边形ABCD内接于直径为3的⊙O，AB＝AC，E是弦AC和直径BD的交点，ED=35，则弦AD的长为（ ）
A．3B．2C．5D．6
试题分析：利用垂径定理和等腰三角形的性质，可以得到点A、O、F三点共线，然后根据勾股定理和三角形相似，可以得到AB的长，再根据勾股定理即可得到AD的长，本题得以解决．
答案详解：解：作OF⊥BC于点F，连接AO，则点F为BC的中点，
∵AB＝AC，
∴AF⊥BC，
∴点A、O、F三点共线，
∵AF⊥BC，DC⊥BC，
∴AO∥DC，
∴△AOE∽△CDE，
∴AOCD=OEDE，
∵⊙O的直径为3，ED=35，
∴AO=32，OE＝OD﹣ED=32−35=910，
∴32CD=91035，
解得CD＝1，
∵点O为BD的中点，点F为BC的中点，
∴OF=12CD=12，
∴AF＝AO+OF=32+12=2，
∵BD＝3，CD＝1，∠BCD＝90°，
∴BC=32−12=22，
∴BF=2，
∵∠AFB＝90°，
∴AB=AF2+BF2=22+(2)2=6，
∵BD＝3，∠BAD＝90°，
∴AD=BD2−AB2=32−(6)2=3，
所以选：A．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
7．（3分）4月9日我校组织了安全教育网上竞赛活动，从八年级抽取20名学生的成绩整理如表：
这组成绩的众数是 80 分．
试题分析：根据表格中的数据，可以直接写出这组数据的众数，本题得以解决．
答案详解：解：由表格中的数据可得，
这组数据的众数是80分，
所以答案是：80．
8．（3分）已知m、n是关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个不相等的实数根，且m2+mn+n2＝3，则q的取值范围是 ﹣3≤q＜1 ．
试题分析：先由韦达定理得出m+n＝﹣p，mn＝q，代入到（m+n）2﹣mn＝3，可得p2＝q+3，再结合Δ＝p2﹣4q＞0知q+3﹣4q＞0，解之可得答案．
答案详解：解：∵m、n是关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个不相等的实数根，
∴m+n＝﹣p，mn＝q，
∵m2+mn+n2＝3，
∴（m+n）2﹣mn＝3，
则（﹣p）2﹣q＝3，即p2﹣q＝3，
∴p2＝q+3，
又Δ＝p2﹣4q＞0，
∴q+3﹣4q＞0，
解得q＜1，
又p2＝q+3≥0，
∴q≥﹣3，
所以答案是：﹣3≤q＜1．
9．（3分）利用公式S2=14[（3−x）2+（3−x）2+（4−x）2+（6−x）2]计算4个数据的方差，则该方差为 32 ．
试题分析：先由方差的计算公式得出这组数据为3、3、4、6，再求出其平均数，继而代入公式计算即可．
答案详解：解：根据题意知，这组数据为3、3、4、6，
x=3+3+4+64=4，
则S2=14×[（3﹣4）2+（3﹣4）2+（4﹣4）2+（6﹣4）2]=32，
所以答案是：32．
10．（3分）设圆锥的体积是50（cm3），这个圆锥底面积S（cm2）与圆锥高h（cm）的关系式是 S=150ℎ （cm2）．
试题分析：圆锥的体积=13底面积×高，把相关数值代入整理即可求解．
答案详解：解：∵圆锥的体积等于底面积×高，
∴50=13hs，
∴S=150ℎ，
所以答案是：S=150ℎ．
11．（3分）已知①x2+ax+b＝0，②x2+bx+c＝0，③x2+cx+a＝0，a≠b≠c，方程①②有公共根p，②③有公共根q，①③有公共根r，则abc＝ 1 ．
试题分析：由一元二次方程的解的定义得到：p、q、r的值，易得pqr＝﹣1．分两种情况进行讨论：p＝q＝r和p、q、r互不相等．
答案详解：解：由题意得：p2+ap+b＝0，p2+bp+c＝0．
∴（a﹣b）p+b﹣c＝0，
∴p=c−ba−b．
同理，q=a−cb−c，r=b−ac−a．
∴pqr＝﹣1．
若p＝q＝r时，则有p＝q＝r＝﹣1，
将其代入方程，则有b−a=0c−b=0a−c=0．
∴a＝b＝c，与题设矛盾．
∴p、q、r互不相等．
∵p、q、r互不相等．若p＝q，则p、q是①③公共根，于是p＝q＝r＝﹣1．代入方程①②③，得
b−a=−1c−b=−1a−c=−1．
三式相加，有0＝﹣3，矛盾．
∴①的两根为p、r．②的两根为p、q，③的两根为q、r．
由根与系数的关系，有a＝qr，b＝pr，c＝pq，
∴abc＝（pqr）2＝1．
所以答案是：1．
12．（3分）在△ABC中，∠A＝62°，点I是外接圆圆心，则∠BIC＝ 124 度．
试题分析：根据圆周角定理得∠BIC＝2∠A＝124°．
答案详解：解：∠BIC＝2∠A＝124°．
13．（3分）用一根长为30cm的铁丝围成一个长方形，若设该长方形的一边长为xcm，面积为50cm2，则可列方程为 x（15﹣x）＝50 ．
试题分析：可根据长方形的周长可以用x表示宽的值，然后根据面积公式即可列出方程．
答案详解：解：设长方形的长为xcm，则宽为（15﹣x）cm，
根据面积为50cm2可得：x（15﹣x）＝50，
所以答案是：x（15﹣x）＝50．
14．（3分）如图，半圆的直径AB＝3，点C在半圆上，点E在AC上，且AE＝BC，EF⊥AB于点F．若设BC＝x，EF＝y，则y关于x的函数关系式为y＝ x23 ．（0＜x＜3）．
试题分析：连接BC，由圆周角定理可知∠ACB＝90°，再根据EF⊥AB可知∠AFE＝90°，故可得出△AEF∽△ABC，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
答案详解：解：连接BC，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，
∴△AEF∽△ABC，
∴AEAB=EFBC，
∵AE＝BC，BC＝x，EF＝y，
∴x3=yx，即y=x23．
所以答案是：x23．
三．解答题（共12小题，满分98分）
15．（6分）计算：（13）﹣1+（π﹣3）0﹣（﹣2）2．
试题分析：直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
答案详解：解：原式＝3+1﹣4
＝0．
16．（6分）（1）（x﹣2）2＝1；
（2）x2﹣4x﹣1＝0．
试题分析：（1）利用直接开平方法解方程；
（2）配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
答案详解：解：（1）（x﹣2）2＝1，
直接开平方得x﹣2＝±1，
解得x1＝3，x2＝1；
（2）x2﹣4x﹣1＝0，
移项得x2﹣4x＝1，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方4，得
x2﹣4x+4＝1+4，
∴（x﹣2）2＝5，
∴x﹣2＝±5，
∴x1＝2−5，x2＝2+5．
17．（8分）先化简，再求值：（x2x−1+x﹣1）÷11−x，其中x满足x2﹣x﹣5＝0．
试题分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则运算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
答案详解：解：原式=−x2+(x−1)2x−1•（x﹣1）
＝﹣2x2+2x﹣1
＝﹣2（x2﹣x）﹣1，
由x2﹣x﹣5＝0，得到x2﹣x＝5，
则原式＝﹣10﹣1＝﹣11．
18．（8分）已知平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+2m＝0的两个实数根．
（1）m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为3，求平行四边形ABCD的周长．
试题分析：（1）根据菱形的性质可得出AB＝AD，结合根的判别式，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长；
（2）将x＝3代入原方程可求出m的值，将m的值代入原方程结合根与系数的关系可求出AB+AD的值，再根据平行四边形的周长公式即可求出▱ABCD的周长．
答案详解：解：（1）∵平行四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∴方程x2﹣mx+2m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣m）2﹣8m＝0，
∴m1＝0（舍），m2＝8，
当m＝8时，方程为x2﹣8x+16＝0，
解得x1＝x2＝4，
即菱形的边长为4；
（2）∵AB，AD的长是方程x2﹣mx+2m＝0的两个实数根，AB的长为3，
∴AB+AD＝m，3是方程的一个根，
∴32﹣3m+2m＝0，
∴m＝9，
∴AB+AD＝9，
∴2（AB+AD）＝18，
即平行四边形ABCD的周长为18．
19．（8分）某校九年级（2）班A、B、C、D四位同学参加了校篮球队选拔．
（1）若从这四人中随机选取一人，恰好选中B参加校篮球队的概率是 14 ；
（2）若从这四人中随机选取两人，请用列表或画树状图的方法求恰好选中B、C两位同学参加校篮球队的概率．
试题分析：（1）直接根据概率公式即可得出答案；
（2）根据题意列出图表得出所有等情况数和选中B、C两位同学参加校篮球队的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
答案详解：解：（1）∵九年级（2）班A、B、C、D四位同学参加了校篮球队选拔，
∴从这四人中随机选取一人，恰好选中B参加校篮球队的概率是14；
所以答案是：14；
（2）列表格：
共有12种等情况数，其中恰好选中B、C两位同学参加校篮球队的有2种，
则P（B、C两位同学参加篮球队）=212=16．
20．（8分）甲、乙两位同学5次数学选拔赛的成绩统计如表，他们5次考试的总成绩相同，请同学们完成下列问题：
（1）求a的值；
（2）小颖计算了甲同学成绩的平均数为60，方差是s甲2=15×[（80﹣60）2+（40﹣60）2+（70﹣60）2+（50﹣60）2+（60﹣60）2]＝200．请你求出乙同学成绩的平均数和方差；
（3）从平均数和方差的角度分析，甲、乙两位同学谁的成绩更稳定．
试题分析：（1）用甲的总成绩减去乙的1、2、3、5次的成绩可得a的值；
（2）根据平均数和方差的定义求解即可得答案；
（3）根据方差的意义求解可得答案．
答案详解：解：（1）a＝（80+40+70+50+60）﹣（70+50+70+70）＝40，
所以答案是：40；
（2）乙同学的成绩平均数为15×（70+50+70+40+70）＝60，
方差S乙2=15×[（70﹣60）2+（50﹣60）2+（70﹣60）2+（40﹣60）2+（70﹣60）2]＝160；
（3）因为甲乙两位同学的平均数相同，S甲2＞S乙2，
所以乙同学的成绩更稳定．
21．（8分）如图，一个油漆桶高75cm，桶内还有剩余的油漆，一根木棒长1m，小明将木棒从桶盖小口斜插入桶内，一端触到桶底边缘时，量得木棒露在桶外的部分长10cm．抽出小棒，又量得木棒上沾了油漆的部分长36cm，请计算桶内油漆的高度．
试题分析：根据题意，画出图形，因为油面和桶底是平行的，所以可构成相似三角形，根据对应边成比例列方程即可解答．
答案详解：解：∵AC⊥BC，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=AEAC，
∴100−10−3690=75−CE75，
解得：CE＝30
∴桶内油漆的高度为30cm．
22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，过圆心O作弦BC的垂线，交过点C的切线于点D，OD交⊙O于点E，连接AC，BD．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AC＝AO＝3，求阴影部分的面积．
试题分析：（1）连接OC，由切线的性质得∠OCD＝90°，再由垂径定理得BE=CE，则∠BOE＝∠COE，然后证△OBD≌△OCD（SAS），得∠OBD＝∠OCD＝90°，即可得出结论；
（2）证△AOC是等边三角形，得∠AOC＝60°，则∠BOE＝∠COE＝60°，再由含30°角的直角三角形的性质得BD=3OB＝33，则阴影部分的面积＝△OBD的面积﹣扇形OBE的面积，即可求解．
答案详解：（1）证明：连接OC，如图所示：
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∵OD⊥BC，
∴BE=CE，
∴∠BOE＝∠COE，
在△OBD和△OCD中，
OB=OC∠BOD=∠CODOD=OD，
∴△OBD≌△OCD（SAS），
∴∠OBD＝∠OCD＝90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线；
（2）解：∵AC＝AO＝3＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴∠BOE＝∠COE＝60°，
∵∠OBD＝90°，OB＝AO＝3，
∴∠BDO＝30°，
∴BD=3OB＝33，
∴阴影部分的面积＝△OBD的面积﹣扇形OBE的面积=12×33×3−60π×32360=932−32π．
23．（8分）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠DOC＝α，将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′，AC′与BD′相交于点M．
（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想；
（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，已知AC＝kBD，请猜想此时AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想；
（3）当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，AD∥BC，此时（1）AC′与BD′的数量关系是否成立？∠AMB与α的大小关系是否成立？不必证明，直接写出结论．
试题分析：（1）根据矩形的性质及角之间的关系证明△BOD′≌△AOC′，得出对应边对应角相等，推理即可得出结论；
（2）先进行假设，然后根据平行四边形的性质及相似三角形比例关系即可得出答案；
（3）易证△BOD′≌△C′OA，则AC′＝BD′，∠OBD′＝∠OC′A≠∠OAC′，从而得出∠AMB≠α．
答案详解：解：（1）AC′＝BD′，∠AMB＝α，
证明：在矩形ABCD中，AC＝BD，OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
又∵OD＝OD′，OC＝OC′，
∴OB＝OD′＝OA＝OC′，
∵∠D′OD＝∠C′OC，
∴180°﹣∠D′OD＝180°﹣∠C′OC，
∴∠BOD′＝∠AOC′，
∴△BOD′≌△AOC′，
∴BD′＝AC′，
∴∠OBD′＝∠OAC′，
设BD′与OA相交于点N，
∴∠BNO＝∠ANM，
∴180°﹣∠OAC′﹣∠ANM＝180°﹣∠OBD′﹣∠BNO，
即∠AMB＝∠AOB＝∠COD＝α，
综上所述，BD′＝AC′，∠AMB＝α，
（2）AC′＝kBD′，∠AMB＝α，
证明：∵在平行四边形ABCD中，OB＝OD，OA＝OC，
又∵OD＝OD′，OC＝OC′，
∴OC′＝OA，OD′＝OB，
∵∠D′OD＝∠C′OC，
∴180°﹣∠D′OD＝180°﹣∠C′OC，
∴∠BOD′＝∠AOC′，
∴△BOD′∽△AOC′，
∴BD′：AC′＝OB：OA＝BD：AC，
∵AC＝kBD，
∴AC′＝kBD′，
∵△BOD′∽△AOC′，
设BD′与OA相交于点N，
∴∠BNO＝∠ANM，
∴180°﹣∠OAC′﹣∠ANM＝180°﹣∠OBD′﹣∠BNO，即∠AMB＝∠AOB＝α，
综上所述，AC′＝kBD′，∠AMB＝α，
（3）AC′＝BD′成立，∠AMB＝α不成立．
证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AO＝DO＝D′O，BO＝CO＝C′O，∠AOB＝∠COD＝∠C'OD'，
∴∠AOC'＝∠BOD'，
在△AOC′和△BOD′中，
AO=D'O∠AOC'=∠BOD'C'O=BO
∴△AOC′≌D′OB，
∴AC′＝BD'，∠C′AO＝∠BD′O，
∵∠AMN+∠MAN＝∠AOB+∠NBO，且∠MAN≠∠NBO，
∴∠AMB≠∠AOB＝α，
∴AC′＝BD′成立，∠AMB＝α不成立．
24．（8分）如图，在⊙O中，直径AB＝10，tanA=33．
（1）求弦AC的长；
（2）D是AB延长线上一点，且AB＝kBD，连接CD，若CD与⊙O相切，求k的值；
（3）若动点P以3cm/s的速度从A点出发，沿AB方向运动，同时动点Q以32cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t（0＜t＜103），连接PQ．当t为何值时，△BPQ为Rt△？
试题分析：（1）先利用特殊角的三角函数求出∠A，进而求出AC；
（2）先求出∠BOC＝60°，进而得出∠D＝30°，进而求出OD，即可求出BD，即可得出结论；
（3）先判断出点P在线段AB上，点Q在线段BC上，再分∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，最后用三角函数建立方程求解即可得出结论．
答案详解：解：（1）∵⊙O的直径AB＝10，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，tanA=33，
∴∠A＝30°，
∴AC＝ABcsA＝10cs30°＝10×32=53，
即弦AC的长为53；
（2）如图1，
连接OC，由（1）知，∠A＝30°，
∴∠BOC＝2∠A＝60°，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∴∠D＝90°﹣60°＝30°，
∵OB＝OC=12AB＝5，
∴OD＝2OC＝10，
∴BD＝OD﹣OB＝10﹣5＝5，
∵AB＝kBD，
∴k=ABBD=105=2，
即k的值为2；
（3）在Rt△ABC中，∵AB＝10，∠A＝30°，
∴BC=12AB＝5，
由运动知，AP＝3t，BQ=32t，
∵0＜t＜103，
∴0＜AP＜10，0＜BQ＜5，
∴点P在线段AB上，点Q在线段BC上，
∵△BPQ为直角三角形，且∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，
①当∠BQP＝90°时，如图2，
在Rt△BQP中，BP＝AB﹣AP＝10﹣3t，BQ=32t，∠ABC＝60°，
∴cs∠ABC=BQBP=32t10−3t=12，
∴t=53，
②当∠BPQ＝90°时，如图3，
在Rt△BPQ中，cs∠ABC=BPBQ=10−3t32t=12，
∴t=83，
即当t为53秒或83秒时，△BPQ为Rt△．
25．（10分）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图（1），△CDE∽△CAB，且沿周界CDEC与CABC环绕的方向（同为逆时针方向）相同，因此△CDE和△CAB互为顺相似；如图（2），△CDE∽△CBA，且沿周界CDEC与CBAC环绕的方向相反，因此△CDE和△CBA互为逆相似．
（1）根据以上材料填空：
①如图（3），AB∥CD，则△AOB∽△COD，它们互为 顺 相似（填“顺”或“逆”，下同）；
②如图（4），Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则△ABC∽ △ACD（或△CBD） ，它们互为 逆 相似；
③如图（5），若∠DAB＝∠EBC＝90°，并且BD⊥CE于点F，则△ABD∽ △BCE ，它们互为 顺 相似；
（2）如图（6），若△AOB∽△COD，指出图中另外的一对相似三角形并说明理由，同时指出它们互为顺相似还是互为逆相似；
（3）如图（7），在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15，点P在△ABC的斜边上，且AP＝16，过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC相似，则满足的截线共有 3 条．
试题分析：（1）①根据新定义直接判断，即可得出结论；
②先判断出∠ADC＝∠BDC＝90°＝∠ACB，进而分两种情况，判断出两三角形相似，最后根据新定义判断，即可得出结论；
③先判断出∠ABD＝∠C，进而得出△ABD∽△BCE，最后用新定义判断，即可得出结论；
（2）先由△AOB∽△COD，判断出AOCO=OBOD，∠AOB＝∠COD，进而得出∠AOC＝∠BOD，即可得出结论；
（3）先求出BP＝9，分三种情况，过点P作AB，AC，BC的垂线，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．
答案详解：解：（1）①∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴△AOB和△COD互为顺相似，
所以答案是：顺；
②∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°＝∠ACB，
Ⅰ、∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴△ABC和△ACD互为逆相似；
Ⅱ、∠B＝∠B，
∴△ABC∽△CBD，
∴△ABC和△CBD互为逆相似；
所以答案是：△ACD（或△CBD），逆；
③∵BD⊥CE，
∴∠BFC＝90°，
∴∠CBD+∠C＝90°，
∵∠EBC＝90°，
∴∠CBD+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠C，
∴△ABD∽△BCE，
∴△ABD和△BCE互为顺相似；
【注：Ⅰ、当△ABD∽△FCB时，△ABD和△FCB互为逆相似；
Ⅱ、当△ABD∽△FBE时，△ABD和△FBE互为逆相似；】
所以答案是：△BCE，顺；
（2）△AOC∽△BOD，△AOC和△BOD互为逆相似；
理由：∵△AOB∽△COD，
∴AOCO=OBOD，∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB﹣∠BOC＝∠COD﹣∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD，
∵AOCO=OBOD，
∴OAOB=OCOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴△AOC和△BOD互为逆相似；
（3）在Rt△ABC中，AC＝20，BC＝15，根据勾股定理得，AB=AC2+BC2=202+152=25，
∵AP＝16，
∴BP＝AB﹣AP＝9，
如图1，
①过点P作PG⊥BC于G，
∴∠BGP＝90°＝∠ACB，
∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△PBG，
∴ABBP=BCBG，
∴259=15BG，
∴BG=15×925=275＜BC，
∴点G在线段BC（不包括端点）上，
过点P作PG''⊥AC于G''，
∴∠AG''P＝∠ACB，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△APG''，
∴ABAP=ACAG″，
∴2516=20AG″，
∴AG''=20×1625=645＜AC，
∴点G''在线段AC（不包括端点）上，
过点P作PG'⊥AB，交直线BC与G'，交直线AC于H，
∵∠APG'＝∠APH＝90°＝∠ACB，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△G'BP，
∴ABBG'=BCBP，
∴25BG'=159，
∴BG'=25×915=15＝BC，
∴点G'和点H都和点C重合（注：为了说明问题，有意将点G'和点H没画在点C处），
所以答案是：3．
26．（12分）已知抛物线C1：y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A、B（点A在点B左边），与y轴交于点C，抛物线C2经过点A，与x轴的另一个交点为E（4，0），与y轴交于点D（0，﹣2）．
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）点P（m，0）为线段AB上一动点（不与A、B重合），过点P作y轴的平行线交抛物线C1于点M，交抛物线C2于点N．
①请用含m的代数式分别表示点M、N的坐标；
②设四边形OMEN的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S的最大值以及此时m的值；
③在点P移动的过程中，若CM＝DN≠0，则m的值为 1或73 ．
（3）如图（2），点Q（0，n）为y轴上一动点（0＜n＜4），过点Q作x轴的平行线依次交两条抛物线于点R、S、T、U，则TU﹣RS＝ 1 ．
试题分析：（1）令抛物线l1：y＝0，可求得点A和点B的坐标，然后设设抛物线l2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），将点D的坐标代入可求得a的值，从而得到抛物线的解析式．
（2）①利用待定系数法可得，M（m，﹣m2+2M+3），N（M，12m2−32m﹣2）．
②由点A和点B的坐标可求得AB的长，依据SAMBN=12AB•MN列出S与x的函数关系，从而可得到当S有最大值时，m的值，于是可得结论．
③CM与DN不平行时，可证明四边形CDNM为等腰梯形，然后可证明GM＝HN，列出关于m的方程，于是可求得点P的坐标；当CM∥DN时，四边形CDNM为平行四边形．故此DC＝MN＝5，从而得到关于m的方程，从而可得结论．
（3）设S，T的横坐标分别为x1，x2，设R，U的横坐标分别为x3，x4．利用根与系数的关系解决问题即可．
答案详解：解：（1）∵令﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
设抛物线l2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），
∵将D（0，﹣2）代入得：﹣4a＝﹣2，
∴a=12，
∴抛物线的解析式为y=12x2−32x﹣2．
（2）①由题意P（m，0），可得M（m，﹣m2+2m+3），N（m，12m2−32m﹣2）．
②如图1所示：
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
∵P（m，0），M（m，﹣m2+2m+3），N（m，12m2−32m﹣2），
∵MN⊥AB，
∴SAMBN=12AB•MN＝﹣3m2+7m+10（﹣1＜m＜3），
∴当m=76时，SAMBN有最大值，最大值=16912．
③如图2所示：作CG⊥MN于G，DH⊥MN于H，如果CM与DN不平行．
∵DC∥MN，CM＝DN，
∴四边形CDNM为等腰梯形．
∴∠DNH＝∠CMG．
在△CGM和△DNH中，
∠DNH=∠CMG∠DHN=∠CGMDN=CM，
∴△CGM≌△DNH（AAS），
∴MG＝HN．
∴PM﹣PN＝1．
∵P（m，0），则M（m，﹣m2+2m+3），N（m，12m2−32m﹣2）．
∴（﹣m2+2m+3）+（12m2−32m﹣2）＝1，解得：m1＝0（舍去），m2＝1．
当CM∥DN时，如图3所示：
∵DC∥MN，CM∥DN，
∴四边形CDNM为平行四边形．
∴DC＝MN＝5
∴﹣m2+2m+3﹣（12m2−32m﹣2）＝5，
∴m1＝0（舍去），m2=73，
综上所述，m的值为1或73．
所以答案是：1或73．
（3）设S，T的横坐标分别为x1，x2，设R，U的横坐标分别为x3，x4．
则TU＝x4﹣x2，RS＝x1﹣x3，
∴TU﹣RS＝（x4﹣x2）﹣（x1﹣x3）＝（x3+x4）﹣（x1+x2），
由﹣x2+2x+3＝n，可得，x2﹣2x﹣3+n＝0，
∴x1+x2＝2，
由12x2−32x﹣2＝n，可得x2﹣3x﹣4﹣2n＝0，
∴x3+x4＝3，
∴TU﹣RS＝（x3+x4）﹣（x1+x2）＝3﹣2＝1，
所以答案是：1．
分数（分）
60
70
80
90
100
人数（人）
2
3
8
5
2
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲的成绩
80
40
70
50
60
乙的成绩
70
50
70
a
70
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