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新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 判断零点所在的区间（含解析）
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这是一份新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 判断零点所在的区间（含解析），共27页。学案主要包含了考点梳理，题型归纳，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。
1. 函数的零点与方程的解
(1)零点的定义：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)方程的解、函数的零点、函数的图象之间的关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点.
(3)函数零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
2.理解函数零点存在定理要注意三点：
①“函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线”和“f(a)f(b)<0”这两个条件缺一不可. 如图1仅满足前者，图2仅满足后者，两函数均无零点.
图1 图2
②定理不可逆，就是说满足了①中的两个条件的函数一定有零点，但是一个函数有零点，不一定需要具备这两个条件. 如图3中f(a)f(b)＞0，但函数有零点.
图3 图4
③该定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数. 至少存在一个零点，就是说满足了①中的两个条件的函数一定至少有一个零点，但不一定只有一个零点，可能有其它更多的零点，如图4，但若该函数是单调函数，则有唯一零点.
【题型归纳】
题型一：判断零点所在的区间
1．函数的零点所在的大致区间是（ ）
A．B．
C．D．
2．函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
3．函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【双基达标】
4．已知函数，则函数的零点所在区间为（ ）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
5．用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1，2)内的近似解的过程中，构造函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根所在的区间是（ ）
A．(1，1.25)B．(1.25，1.5)
C．(1.5，1.75)D．(1.75，2)
6．函数的零点一定位于下列哪个区间内（ ）.
A．B．C．D．
7．函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
8．设函数的零点为，则（ ）
A．B．C．D．
9．函数的零点所在区间为（ ）
A．B．
C．D．
10．设函数，用二分法求方程近似解的过程中，计算得到，，则方程的近似解落在区间（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数，则零点所在的区间可以为（ ）
A．B．
C．D．
12．设函数与的图象交点为，则所在区间是（ ）
A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)
13．已知实数a>1，0A．(－2，－1)B．(－1，0)
C．(0，1)D．(1，2)
14．在下列区间中，方程的解所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
15．已知是的一个零点，是的一个零点，，则（ ）
A．B．
C．D．或
16．函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
17．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2，4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2，4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是（ ）
A．(2，4)B．(2，3)
C．(3，4)D．无法确定
18．已知是函数的零点，则的值（ ）
A．为正数B．为负数C．等于0D．无法确定正负
19．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
20．函数的零点所在区间是（ ）
A．B．
C．D．
【高分突破】
单选题
21．函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
22．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
23．已知，，若，则当取得最小值时，所在区间是（ ）
A．B．C．D．
24．用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
25．函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
26．已知三个函数的零点依次为，则的大小关系（ ）
A．B．
C．D．
27．若实数，，满足，，，则（ ）
A．B．
C．D．
28．函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
29．已知直线分别与函数和的图象交于点，则下列结论正确的是
A．B．
C．D．
30．函数的一个正零点所在的区间不可能是（ ）
A．B．C．D．
31．已知函数的零点为，则（ ）
A．的值为5B．的值为4
C．D．
32．记函数的零点为，则关于的结论正确的为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
33．关于函数，，下列四个结论中正确的为__________．
①在上单调递减，在上单调递增；
②有两个零点；
③存在唯一极小值点，且；
④有两个极值点．
34．函数的零点，则a=___________.
35．已知函数有唯一零点，求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过（不能用计算器）.
36．若函数的零点在区间，中，则的值为__．
37．求方程的解所在区间是________.
38．已知函数，若，，，互不相等，且，则的取值范围是_______.
四、解答题
39．已知函数为偶函数.
(1)求实数的值；
(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)设函数的零点为，求证：.
40．已知函数（e为自然对数的底数，）.
(1)若，求证：在区间内有唯一零点；
(2)若在其定义域上单调递减，求a的取值范围.
41．已知函数.
(1)若函数在区间内存在零点，求实数的取值范围；
(2)若时，求证：函数在上有且只有一个零点.
42．已知实数，设函数，是函数的导函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)证明：存在唯一零点，并求零点的最大值.
43．设函数．
(1)当时，恒成立，求b的范围；
(2)若在处的切线为，且，求整数m的最大值．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.
【详解】
解：的定义域为，又与在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，，，
所以，所以在上存在唯一的零点.
故选：C
2．C
【解析】
【分析】
本题直接使用零点存在性定理求解即可.
【详解】
解：∵
∴ ，，，
，
∴
根据零点存在性定理：的零点所在的区间是：.
故选：C.
3．B
【解析】
【分析】
利用零点存在性定理求解即可
【详解】
函数在 上单调递增，且在上连续.
因为，，
所以，
所以函数的零点所在的区间是.
故选：B
4．B
【解析】
【分析】
先分析函数的单调性，进而结合零点存在定理，可得函数在区间上有一个零点．
【详解】
解：函数在上为增函数，
又（1），（2），
函数在区间上有一个零点，
故选：．
5．B
【解析】
【分析】
根据零点存在性定理可求解.
【详解】
由f(1.25)<0，f(1.5)>0得f(1.25)·f(1.5)<0，
又函数f(x)的图象是连续不断的，
根据零点存在性定理可知，函数f(x)的一个零点x0∈(1.25，1.5)，
即方程x3＋3x－7＝0的根所在的区间是(1.25，1.5)，
故选：B
6．C
【解析】
【分析】
求出端点所对应的函数值，利用零点的存在性定理即可判断.
【详解】
，，
的零点一定位于.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用零点存在性定理判断零点所在区间，属于基础题.
7．C
【解析】
【分析】
由函数，分别求得区间端点的函数值，结合函数的单调性和零点的存在定理，即可求解.
【详解】
由题意，函数，可得函数为单调递增函数，
可得，，，
，，
所以，所以函数的零点所在区间为.
故选：C.
8．B
【解析】
【分析】
根据零点存在性定理进行求解.
【详解】
易知在R上单调递增且连续．由于，，，当时，，所以．
故选：B
9．B
【解析】
【分析】
由零点存在定理判定可得答案.
【详解】
因为在上单调递减，
且，，
所以的零点所在区间为．
故选：B.
10．A
【解析】
【分析】
根据二分法求方程的近似解的过程，由条件先求得，再求的符号，只须找到满足即可
【详解】
取，因为，所以方程近似解，
取，因为，
所以方程近似解，
故选：A.
11．B
【解析】
【分析】
先判断函数的单调性，并判断各区间端点处的函数值的正负，再结合零点存在性定理判断即得.
【详解】
显然函数在R上单调递增，，而，
所以零点所在的区间可以为.
故选：B
12．B
【解析】
【分析】
令，利用零点存在性定理即可求解.
【详解】
令，则f (0)＝－4<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝3>0，
∴f (x)的零点在区间(1，2)内，
即函数与的图象交点的横坐标．
故选：B
13．B
【解析】
【分析】
分别计算，以及的函数值，根据零点存在性定理，即可判断.
【详解】
因为a>1，0所以f(－1)＝－1－b<0，f(0)＝1－b>0，
所以f(－1)·f(0)<0，
则由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1，0)上存在零点.
故选：.
【点睛】
本题考查利用零点存在性定理判断零点所在区间，属基础题.
14．B
【解析】
设函数，结合导函数判断单调性，利用根的存在性定理即可判定其解所在区间.
【详解】
设函数，
所以是增函数，
，，
方程的解所在的区间为.
故选：B
15．A
【解析】
【分析】
利用导数研究函数的单调性得仅有1个零点，且，结合函数的单调性与零点的存在性定理得，根据对数运算得，进而，再根据范围得大小.
【详解】
解：因为，，
所以在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，
因为，所以仅有1个零点，
因为，所以，
因为是增函数，且，，
所以，
因为，，
所以，所以.
故选：A．
16．B
【解析】
【分析】
判断函数的单调性，计算区间端点处函数值，由局零点存在定理即可判断答案.
【详解】
函数,是单调递增函数，
当 时，，
，
故
故函数的零点所在的区间为，
故选：B
17．B
【解析】
【分析】
根据零点存在定理确定．
【详解】
解析：因为f(2)·f(4)<0，f(2)·f(3)<0，
所以f(3)·f(4)>0，所以x0∈(2，3)．
故选：B．
18．B
【解析】
【分析】
先确定函数的单调性，再确定函数零点所在的区间，即得解.
【详解】
解：由题可知单调递增（增函数+增函数=增函数），且，，则，
所以
所以.
故选：B
19．C
【解析】
【分析】
利用零点存在定理即可判断.
【详解】
函数的定义域为R.
因为函数均为增函数，所以为R上的增函数.
又，，
，.
由零点存在定理可得：的零点所在的区间为.
故选：C
20．B
【解析】
【分析】
结合函数的单调性，利用零点存在定理判断.
【详解】
解：因为是上的增函数，且，
所以的零点在区间内.
故选：B
21．B
【解析】
【分析】
结合单调性和零点存在定理直接判断即可.
【详解】
易知为增函数，又，
，故零点所在的区间是.
故选：B.
22．A
【解析】
【分析】
先利用零点存在定理判断出，再由指数函数和对数函数的性质求解.
【详解】
因为是上的增函数，且，，
所以，
又，所以，
所以，
故选：A.
23．D
【解析】
【分析】
由已知条件构造函数，利用导数求出最值，由零点存在性定理验证的根的范围即可.
【详解】
令，即，
∴，，
∴，
令，则，
令，则，
∴在上单调递增，且，
∴存在唯一使得，
当时，， ，当时，， ，
∴，
即取得最小值时，，
由零点的存在定理验证的根的范围，
当时，，当时，，
故，
故选：．
24．D
【解析】
【分析】
根据函数零点的存在性定理可知零点，结合对二分法的理解即可得出结果.
【详解】
因为，
由零点存在性知：零点，
根据二分法，第二次应计算，即，
故选：D.
25．C
【解析】
【分析】
根据函数零点存在性定理判断即可
【详解】
函数 是上的连续增函数,
,
可得,
所以函数 的零点所在的区间是.
故选：C
26．D
【解析】
【分析】
利用函数的单调性及零点存在定理即得.
【详解】
∵函数为增函数，又，
∴，
由，得，即，
∵在单调递增，
又，
∴，
∴.
故选：D.
27．A
【解析】
【分析】
结合对数函数、函数零点存在性定理等知识求得正确答案.
【详解】
，
，
对于函数，
在上递增，，
所以存在唯一零点，，使，
所以对于，有，
所以.
故选：A
28．A
【解析】
【分析】
结合函数的单调性、零点存在性定理确定正确选项.
【详解】
在上递增，
，
，所以的零点在区间.
故选：A
29．ABC
【解析】
【分析】
根据互为反函数的性质可得的中点坐标为，从而可判断A；利用基本不等式可判断B、D；利用零点存在性定理以及对数的运算性质可判断C.
【详解】
函数与互为反函数，
则与的图象关于对称，
将与联立，则，
由直线分别与函数和的图象交于点，
作出函数图像：
则的中点坐标为，
对于A，由，解得，故A正确；
对于B，，
因为，即等号不成立，所以，故B正确；
对于C，将与联立可得，即，
设，且函数为单调递增函数，
，，
故函数的零点在上，即，由，则，
，故C正确；
对于D，由，解得，
由于，则，故D错误；
故选：ABC
【点睛】
本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，属于难题.
30．ABC
【解析】
【分析】
判断函数的单调性，利用零点的存在性定理得到零点所在的区间，由此即可判断的正零点不可能在的区间.
【详解】
因为在上是增函数，所以至多有一个零点，
又因为，所以有且仅有一个零点且零点在内，
所以的正零点不可能在内.
故选：ABC.
【点睛】
本题考查函数的零点存在性定理的应用，难度较易.判断零点个数时，注意单调函数的零点至多有 个.
31．AD
【解析】
【分析】
由函数的零点为，得到，变形为，由为增函数，得到判断AB，再结合零点存在定理判断CD。
【详解】
∵，
∴，
∴．
令为增函数，
∴由，
得，
∴．
∴．
由，，
又由，，
有，
则.
故选：AD
32．BC
【解析】
分析函数的单调性，利用零点存在定理可判断A、B选项的正误，利用指数与对数的转化可判断B、D选项的正误.
【详解】
由于函数在上单调递增，且，，
，
由于是函数的零点，则，即，，即，则，
故A、D选项错误，B、C选项正确.
故选：BC.
【点睛】
本题考查利用零点存在定理判断零点的取值范围，同时也考查了指数与对数转化的应用，考查计算能力，属于中等题.
33．②③
【解析】
【分析】
利用导数可判断①，利用指数函数及正弦函数的性质可判断②，利用零点存在定理可知存在，使得，进而可知函数的单调性及极值情况，再结合函数的零点存在性定理及三角函数的图像性质可判断③④.
【详解】
∵，，
因为时，，，
所以，所以在上单调递增，故①错误；
有两个零点等价于有两个根，即函数与有两个交点，根据与的图象，可知在上有两个交点，故②正确；
，
，
，，
存在，使得且
在上，，在上，，
在上，单调递减，在上，单调递增，
在上存在唯一极小值点，
，则，
，故③正确．
令，则，
当时，，，，
当时，，．
在恒成立，
单调递增且，，
存在唯一零点，使得
，，即，，，即，
在处取得极小值故有唯一极小值点，故④错误．
故答案为：②③.
34．3
【解析】
【分析】
易知是增函数，再由零点存在定理结合求解.
【详解】
因为均为增函数，
所以是增函数，
又，
所以的零点，
又，
所以，
故答案为：3
35．
【解析】
【分析】
用二分法求函数零点近似值，直至区间的长度不超过即可.
【详解】
，，的零点.
，，.
，，.
而，即为符合条件的一个区间.
故答案为:
36．0
【解析】
判断在上递增，判定，（1）的符号，根据零点存在性定理即可得到所求值．
【详解】
函数，
可得在上递增，
由，
（1），
可得在内存在零点，
则．
故答案为：0．
37．
【解析】
【分析】
令，利用零点存在定理即得.
【详解】
构造函数，函数在上单调递增，
∵,
∴函数在存在零点.
故答案为：.
38．
【解析】
【分析】
由分段函数的性质画出函数图象，若、，将问题转化为与的交点问题，应用数形结合判断交点的区间，结合绝对值函数、对数函数的性质可得、、，根据目标式求范围即可.
【详解】
由解析式知：在上递减且值域为，在上递增且值域为，在上递减且值域为，在上递增且值域为.
∴的草图如下，令且，则，，，为与的交点横坐标，
由图知：，且，
∴(注意基本不等式的等号不能取)，又，
∴：由对勾函数的单调性知，在上递增，
∴，即.
综上，的范围为.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：将问题转化为函数的交点问题，应用数形结合法判断交点横坐标的范围及关系式，根据目标式求范围.
39．(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据偶函数的定义求得的值.
（2）利用分离常数法，结合换元法、函数的单调性来求得的取值范围.
（3）先求得的取值范围，结合函数的单调性证得不等式成立.
(1)
，
由于为偶函数，
所以，即，
所以，.
(2)
依题意关于的不等式恒成立，
即，
，
令，当时等号成立，
由于是单调递增函数，，即，
所以.
(3)
函数的零点为，
即，
函数在上递增，，
，
所以，
对任意，
，
其中，所以，即在上递增，
所以，
即.
40．(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）把代入，求出并探讨其单调性，再结合零点存在性定理判断作答.
（2）利用给定单调性建立不等式，再分类分离参数，构造函数，讨论求解作答.
(1)
当时，，求导得：，令，
则，则函数在R上单调递增，即函数在R上单调递增，
而，，由函数零点存在性定理知，存在唯一，有，
所以在区间内有唯一零点.
(2)
函数的定义域是R，依题意，，成立，
当时，成立，，
当时，，令，，，即函数在上单调递增，
又当时，恒成立，于是得，
当时，，令，，，当时，，当时，，
因此，在上单调递减，在上单调递增，当时，，于是得，
综上得：，
所以a的取值范围是.
【点睛】
思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题.
41．(1)；
(2)详见解析.
【解析】
【分析】
（1）当时，可得，当时，利用二次函数的性质分类讨论即得；
（2）由题可得，利用幂函数及一次函数的性质可知函数为增函数，再利用零点存在定理即证.
(1)
当，即时，由，得，
∴符合题意，
当，即时，函数的对称轴为，
当函数在区间内有两个零点时，则，
解得，
当函数在区间内有一个零点时，或在此区间上单调递增，
∴或，即或且，
当，即时，由得，符合题意；
综上，实数的取值范围为.
(2)
由题可得，又与单调递增，
∴函数在上单调递增，又，
所以有且仅有一个，使，
故函数在上有且只有一个零点.
42．(1)在上单调递减，在上单调递增；
(2)证明见解析，零点的最大值为.
【解析】
【分析】
（1）对求导，根据其导函数的符号确定单调区间即可.
（2）对求导，构造利用导数研究其单调性并确定的大小关系，再利用所得关系，结合放缩法、零点存在性定理及的单调性判断的零点存在性和唯一性，令得，构造并研究单调性求其最值即可.
(1)
当时，，则，
令得：，
又在R上单调递增且，
故时；时
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.
(2)
由得：，且在R上单调递增.
设，则，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，即，
又，.
所以在上存在唯一零点使得，解得.
设，，则，
令得：，
当时，则单调递增；
当时，则单调递减；
所以，故的零点的最大值为.
【点睛】
关键点点睛：第二问，构造并研究单调性判断的大小，利用此关系及单调性求证零点的存在性和唯一性，再求的零点关于参数a的表达式，再构造函数求最值.
43．(1);
(2)2
【解析】
【分析】
（1）求出当时，只需要；（2）先根据切线的条件求出参数，在类似（1）中用恒成立的方式来处理.
(1)
由，当时，得．
当时，，所以，即在上单调递增，所以，由恒成立，
得，所以，即b的范围是．
(2)
由得，且．
由题意得，所以，
又在切线上．
所以，所以，即．
因为，所以有．
令，则等价于，即，从而．
设，则．
易知在上单调递增，且．
所以，由函数零点存在性定理知，存在唯一的使得，
即，则．
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增．
从而．
而在上是减函数，所以．
因此的最小值．
从而整数m的最大值是2．
1. 函数的零点与方程的解
(1)零点的定义：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)方程的解、函数的零点、函数的图象之间的关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点.
(3)函数零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
2.理解函数零点存在定理要注意三点：
①“函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线”和“f(a)f(b)<0”这两个条件缺一不可. 如图1仅满足前者，图2仅满足后者，两函数均无零点.
图1 图2
②定理不可逆，就是说满足了①中的两个条件的函数一定有零点，但是一个函数有零点，不一定需要具备这两个条件. 如图3中f(a)f(b)＞0，但函数有零点.
图3 图4
③该定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数. 至少存在一个零点，就是说满足了①中的两个条件的函数一定至少有一个零点，但不一定只有一个零点，可能有其它更多的零点，如图4，但若该函数是单调函数，则有唯一零点.
【题型归纳】
题型一：判断零点所在的区间
1．函数的零点所在的大致区间是（ ）
A．B．
C．D．
2．函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
3．函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【双基达标】
4．已知函数，则函数的零点所在区间为（ ）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
5．用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1，2)内的近似解的过程中，构造函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根所在的区间是（ ）
A．(1，1.25)B．(1.25，1.5)
C．(1.5，1.75)D．(1.75，2)
6．函数的零点一定位于下列哪个区间内（ ）.
A．B．C．D．
7．函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
8．设函数的零点为，则（ ）
A．B．C．D．
9．函数的零点所在区间为（ ）
A．B．
C．D．
10．设函数，用二分法求方程近似解的过程中，计算得到，，则方程的近似解落在区间（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数，则零点所在的区间可以为（ ）
A．B．
C．D．
12．设函数与的图象交点为，则所在区间是（ ）
A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)
13．已知实数a>1，0
C．(0，1)D．(1，2)
14．在下列区间中，方程的解所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
15．已知是的一个零点，是的一个零点，，则（ ）
A．B．
C．D．或
16．函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
17．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2，4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2，4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是（ ）
A．(2，4)B．(2，3)
C．(3，4)D．无法确定
18．已知是函数的零点，则的值（ ）
A．为正数B．为负数C．等于0D．无法确定正负
19．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
20．函数的零点所在区间是（ ）
A．B．
C．D．
【高分突破】
单选题
21．函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
22．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
23．已知，，若，则当取得最小值时，所在区间是（ ）
A．B．C．D．
24．用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
25．函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
26．已知三个函数的零点依次为，则的大小关系（ ）
A．B．
C．D．
27．若实数，，满足，，，则（ ）
A．B．
C．D．
28．函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
29．已知直线分别与函数和的图象交于点，则下列结论正确的是
A．B．
C．D．
30．函数的一个正零点所在的区间不可能是（ ）
A．B．C．D．
31．已知函数的零点为，则（ ）
A．的值为5B．的值为4
C．D．
32．记函数的零点为，则关于的结论正确的为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
33．关于函数，，下列四个结论中正确的为__________．
①在上单调递减，在上单调递增；
②有两个零点；
③存在唯一极小值点，且；
④有两个极值点．
34．函数的零点，则a=___________.
35．已知函数有唯一零点，求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过（不能用计算器）.
36．若函数的零点在区间，中，则的值为__．
37．求方程的解所在区间是________.
38．已知函数，若，，，互不相等，且，则的取值范围是_______.
四、解答题
39．已知函数为偶函数.
(1)求实数的值；
(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)设函数的零点为，求证：.
40．已知函数（e为自然对数的底数，）.
(1)若，求证：在区间内有唯一零点；
(2)若在其定义域上单调递减，求a的取值范围.
41．已知函数.
(1)若函数在区间内存在零点，求实数的取值范围；
(2)若时，求证：函数在上有且只有一个零点.
42．已知实数，设函数，是函数的导函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)证明：存在唯一零点，并求零点的最大值.
43．设函数．
(1)当时，恒成立，求b的范围；
(2)若在处的切线为，且，求整数m的最大值．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.
【详解】
解：的定义域为，又与在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，，，
所以，所以在上存在唯一的零点.
故选：C
2．C
【解析】
【分析】
本题直接使用零点存在性定理求解即可.
【详解】
解：∵
∴ ，，，
，
∴
根据零点存在性定理：的零点所在的区间是：.
故选：C.
3．B
【解析】
【分析】
利用零点存在性定理求解即可
【详解】
函数在 上单调递增，且在上连续.
因为，，
所以，
所以函数的零点所在的区间是.
故选：B
4．B
【解析】
【分析】
先分析函数的单调性，进而结合零点存在定理，可得函数在区间上有一个零点．
【详解】
解：函数在上为增函数，
又（1），（2），
函数在区间上有一个零点，
故选：．
5．B
【解析】
【分析】
根据零点存在性定理可求解.
【详解】
由f(1.25)<0，f(1.5)>0得f(1.25)·f(1.5)<0，
又函数f(x)的图象是连续不断的，
根据零点存在性定理可知，函数f(x)的一个零点x0∈(1.25，1.5)，
即方程x3＋3x－7＝0的根所在的区间是(1.25，1.5)，
故选：B
6．C
【解析】
【分析】
求出端点所对应的函数值，利用零点的存在性定理即可判断.
【详解】
，，
的零点一定位于.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用零点存在性定理判断零点所在区间，属于基础题.
7．C
【解析】
【分析】
由函数，分别求得区间端点的函数值，结合函数的单调性和零点的存在定理，即可求解.
【详解】
由题意，函数，可得函数为单调递增函数，
可得，，，
，，
所以，所以函数的零点所在区间为.
故选：C.
8．B
【解析】
【分析】
根据零点存在性定理进行求解.
【详解】
易知在R上单调递增且连续．由于，，，当时，，所以．
故选：B
9．B
【解析】
【分析】
由零点存在定理判定可得答案.
【详解】
因为在上单调递减，
且，，
所以的零点所在区间为．
故选：B.
10．A
【解析】
【分析】
根据二分法求方程的近似解的过程，由条件先求得，再求的符号，只须找到满足即可
【详解】
取，因为，所以方程近似解，
取，因为，
所以方程近似解，
故选：A.
11．B
【解析】
【分析】
先判断函数的单调性，并判断各区间端点处的函数值的正负，再结合零点存在性定理判断即得.
【详解】
显然函数在R上单调递增，，而，
所以零点所在的区间可以为.
故选：B
12．B
【解析】
【分析】
令，利用零点存在性定理即可求解.
【详解】
令，则f (0)＝－4<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝3>0，
∴f (x)的零点在区间(1，2)内，
即函数与的图象交点的横坐标．
故选：B
13．B
【解析】
【分析】
分别计算，以及的函数值，根据零点存在性定理，即可判断.
【详解】
因为a>1，0
所以f(－1)·f(0)<0，
则由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1，0)上存在零点.
故选：.
【点睛】
本题考查利用零点存在性定理判断零点所在区间，属基础题.
14．B
【解析】
设函数，结合导函数判断单调性，利用根的存在性定理即可判定其解所在区间.
【详解】
设函数，
所以是增函数，
，，
方程的解所在的区间为.
故选：B
15．A
【解析】
【分析】
利用导数研究函数的单调性得仅有1个零点，且，结合函数的单调性与零点的存在性定理得，根据对数运算得，进而，再根据范围得大小.
【详解】
解：因为，，
所以在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，
因为，所以仅有1个零点，
因为，所以，
因为是增函数，且，，
所以，
因为，，
所以，所以.
故选：A．
16．B
【解析】
【分析】
判断函数的单调性，计算区间端点处函数值，由局零点存在定理即可判断答案.
【详解】
函数,是单调递增函数，
当 时，，
，
故
故函数的零点所在的区间为，
故选：B
17．B
【解析】
【分析】
根据零点存在定理确定．
【详解】
解析：因为f(2)·f(4)<0，f(2)·f(3)<0，
所以f(3)·f(4)>0，所以x0∈(2，3)．
故选：B．
18．B
【解析】
【分析】
先确定函数的单调性，再确定函数零点所在的区间，即得解.
【详解】
解：由题可知单调递增（增函数+增函数=增函数），且，，则，
所以
所以.
故选：B
19．C
【解析】
【分析】
利用零点存在定理即可判断.
【详解】
函数的定义域为R.
因为函数均为增函数，所以为R上的增函数.
又，，
，.
由零点存在定理可得：的零点所在的区间为.
故选：C
20．B
【解析】
【分析】
结合函数的单调性，利用零点存在定理判断.
【详解】
解：因为是上的增函数，且，
所以的零点在区间内.
故选：B
21．B
【解析】
【分析】
结合单调性和零点存在定理直接判断即可.
【详解】
易知为增函数，又，
，故零点所在的区间是.
故选：B.
22．A
【解析】
【分析】
先利用零点存在定理判断出，再由指数函数和对数函数的性质求解.
【详解】
因为是上的增函数，且，，
所以，
又，所以，
所以，
故选：A.
23．D
【解析】
【分析】
由已知条件构造函数，利用导数求出最值，由零点存在性定理验证的根的范围即可.
【详解】
令，即，
∴，，
∴，
令，则，
令，则，
∴在上单调递增，且，
∴存在唯一使得，
当时，， ，当时，， ，
∴，
即取得最小值时，，
由零点的存在定理验证的根的范围，
当时，，当时，，
故，
故选：．
24．D
【解析】
【分析】
根据函数零点的存在性定理可知零点，结合对二分法的理解即可得出结果.
【详解】
因为，
由零点存在性知：零点，
根据二分法，第二次应计算，即，
故选：D.
25．C
【解析】
【分析】
根据函数零点存在性定理判断即可
【详解】
函数 是上的连续增函数,
,
可得,
所以函数 的零点所在的区间是.
故选：C
26．D
【解析】
【分析】
利用函数的单调性及零点存在定理即得.
【详解】
∵函数为增函数，又，
∴，
由，得，即，
∵在单调递增，
又，
∴，
∴.
故选：D.
27．A
【解析】
【分析】
结合对数函数、函数零点存在性定理等知识求得正确答案.
【详解】
，
，
对于函数，
在上递增，，
所以存在唯一零点，，使，
所以对于，有，
所以.
故选：A
28．A
【解析】
【分析】
结合函数的单调性、零点存在性定理确定正确选项.
【详解】
在上递增，
，
，所以的零点在区间.
故选：A
29．ABC
【解析】
【分析】
根据互为反函数的性质可得的中点坐标为，从而可判断A；利用基本不等式可判断B、D；利用零点存在性定理以及对数的运算性质可判断C.
【详解】
函数与互为反函数，
则与的图象关于对称，
将与联立，则，
由直线分别与函数和的图象交于点，
作出函数图像：
则的中点坐标为，
对于A，由，解得，故A正确；
对于B，，
因为，即等号不成立，所以，故B正确；
对于C，将与联立可得，即，
设，且函数为单调递增函数，
，，
故函数的零点在上，即，由，则，
，故C正确；
对于D，由，解得，
由于，则，故D错误；
故选：ABC
【点睛】
本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，属于难题.
30．ABC
【解析】
【分析】
判断函数的单调性，利用零点的存在性定理得到零点所在的区间，由此即可判断的正零点不可能在的区间.
【详解】
因为在上是增函数，所以至多有一个零点，
又因为，所以有且仅有一个零点且零点在内，
所以的正零点不可能在内.
故选：ABC.
【点睛】
本题考查函数的零点存在性定理的应用，难度较易.判断零点个数时，注意单调函数的零点至多有 个.
31．AD
【解析】
【分析】
由函数的零点为，得到，变形为，由为增函数，得到判断AB，再结合零点存在定理判断CD。
【详解】
∵，
∴，
∴．
令为增函数，
∴由，
得，
∴．
∴．
由，，
又由，，
有，
则.
故选：AD
32．BC
【解析】
分析函数的单调性，利用零点存在定理可判断A、B选项的正误，利用指数与对数的转化可判断B、D选项的正误.
【详解】
由于函数在上单调递增，且，，
，
由于是函数的零点，则，即，，即，则，
故A、D选项错误，B、C选项正确.
故选：BC.
【点睛】
本题考查利用零点存在定理判断零点的取值范围，同时也考查了指数与对数转化的应用，考查计算能力，属于中等题.
33．②③
【解析】
【分析】
利用导数可判断①，利用指数函数及正弦函数的性质可判断②，利用零点存在定理可知存在，使得，进而可知函数的单调性及极值情况，再结合函数的零点存在性定理及三角函数的图像性质可判断③④.
【详解】
∵，，
因为时，，，
所以，所以在上单调递增，故①错误；
有两个零点等价于有两个根，即函数与有两个交点，根据与的图象，可知在上有两个交点，故②正确；
，
，
，，
存在，使得且
在上，，在上，，
在上，单调递减，在上，单调递增，
在上存在唯一极小值点，
，则，
，故③正确．
令，则，
当时，，，，
当时，，．
在恒成立，
单调递增且，，
存在唯一零点，使得
，，即，，，即，
在处取得极小值故有唯一极小值点，故④错误．
故答案为：②③.
34．3
【解析】
【分析】
易知是增函数，再由零点存在定理结合求解.
【详解】
因为均为增函数，
所以是增函数，
又，
所以的零点，
又，
所以，
故答案为：3
35．
【解析】
【分析】
用二分法求函数零点近似值，直至区间的长度不超过即可.
【详解】
，，的零点.
，，.
，，.
而，即为符合条件的一个区间.
故答案为:
36．0
【解析】
判断在上递增，判定，（1）的符号，根据零点存在性定理即可得到所求值．
【详解】
函数，
可得在上递增，
由，
（1），
可得在内存在零点，
则．
故答案为：0．
37．
【解析】
【分析】
令，利用零点存在定理即得.
【详解】
构造函数，函数在上单调递增，
∵,
∴函数在存在零点.
故答案为：.
38．
【解析】
【分析】
由分段函数的性质画出函数图象，若、，将问题转化为与的交点问题，应用数形结合判断交点的区间，结合绝对值函数、对数函数的性质可得、、，根据目标式求范围即可.
【详解】
由解析式知：在上递减且值域为，在上递增且值域为，在上递减且值域为，在上递增且值域为.
∴的草图如下，令且，则，，，为与的交点横坐标，
由图知：，且，
∴(注意基本不等式的等号不能取)，又，
∴：由对勾函数的单调性知，在上递增，
∴，即.
综上，的范围为.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：将问题转化为函数的交点问题，应用数形结合法判断交点横坐标的范围及关系式，根据目标式求范围.
39．(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据偶函数的定义求得的值.
（2）利用分离常数法，结合换元法、函数的单调性来求得的取值范围.
（3）先求得的取值范围，结合函数的单调性证得不等式成立.
(1)
，
由于为偶函数，
所以，即，
所以，.
(2)
依题意关于的不等式恒成立，
即，
，
令，当时等号成立，
由于是单调递增函数，，即，
所以.
(3)
函数的零点为，
即，
函数在上递增，，
，
所以，
对任意，
，
其中，所以，即在上递增，
所以，
即.
40．(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）把代入，求出并探讨其单调性，再结合零点存在性定理判断作答.
（2）利用给定单调性建立不等式，再分类分离参数，构造函数，讨论求解作答.
(1)
当时，，求导得：，令，
则，则函数在R上单调递增，即函数在R上单调递增，
而，，由函数零点存在性定理知，存在唯一，有，
所以在区间内有唯一零点.
(2)
函数的定义域是R，依题意，，成立，
当时，成立，，
当时，，令，，，即函数在上单调递增，
又当时，恒成立，于是得，
当时，，令，，，当时，，当时，，
因此，在上单调递减，在上单调递增，当时，，于是得，
综上得：，
所以a的取值范围是.
【点睛】
思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题.
41．(1)；
(2)详见解析.
【解析】
【分析】
（1）当时，可得，当时，利用二次函数的性质分类讨论即得；
（2）由题可得，利用幂函数及一次函数的性质可知函数为增函数，再利用零点存在定理即证.
(1)
当，即时，由，得，
∴符合题意，
当，即时，函数的对称轴为，
当函数在区间内有两个零点时，则，
解得，
当函数在区间内有一个零点时，或在此区间上单调递增，
∴或，即或且，
当，即时，由得，符合题意；
综上，实数的取值范围为.
(2)
由题可得，又与单调递增，
∴函数在上单调递增，又，
所以有且仅有一个，使，
故函数在上有且只有一个零点.
42．(1)在上单调递减，在上单调递增；
(2)证明见解析，零点的最大值为.
【解析】
【分析】
（1）对求导，根据其导函数的符号确定单调区间即可.
（2）对求导，构造利用导数研究其单调性并确定的大小关系，再利用所得关系，结合放缩法、零点存在性定理及的单调性判断的零点存在性和唯一性，令得，构造并研究单调性求其最值即可.
(1)
当时，，则，
令得：，
又在R上单调递增且，
故时；时
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.
(2)
由得：，且在R上单调递增.
设，则，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，即，
又，.
所以在上存在唯一零点使得，解得.
设，，则，
令得：，
当时，则单调递增；
当时，则单调递减；
所以，故的零点的最大值为.
【点睛】
关键点点睛：第二问，构造并研究单调性判断的大小，利用此关系及单调性求证零点的存在性和唯一性，再求的零点关于参数a的表达式，再构造函数求最值.
43．(1);
(2)2
【解析】
【分析】
（1）求出当时，只需要；（2）先根据切线的条件求出参数，在类似（1）中用恒成立的方式来处理.
(1)
由，当时，得．
当时，，所以，即在上单调递增，所以，由恒成立，
得，所以，即b的范围是．
(2)
由得，且．
由题意得，所以，
又在切线上．
所以，所以，即．
因为，所以有．
令，则等价于，即，从而．
设，则．
易知在上单调递增，且．
所以，由函数零点存在性定理知，存在唯一的使得，
即，则．
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增．
从而．
而在上是减函数，所以．
因此的最小值．
从而整数m的最大值是2．
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